基于立體幾何學(xué)的巖體結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀取值方法研究

陳柯宇，趙建軍，李清淼，賴琪毅，代欣然，鄧杰

(地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室(成都理工大學(xué))，成都 610059)

1 簡介

青藏高原地區(qū)地質(zhì)構(gòu)造強烈、板塊快速隆升，孕育了大量高陡巖質(zhì)邊坡，地質(zhì)人員現(xiàn)場難以通過地質(zhì)羅盤測量巖層產(chǎn)狀，室內(nèi)在地質(zhì)圖上求解產(chǎn)狀工作繁瑣且不直觀[1-4]。隨著復(fù)雜計算機視覺、無人機攝影和地質(zhì)調(diào)查領(lǐng)域發(fā)展結(jié)合的深入，通過航空傾斜攝影可以獲取厘米級分辨率的三維影像，為上述問題的解決提供了遠(yuǎn)程解決的新思路[5-8]。三維空間影像技術(shù)是能獲取目標(biāo)物體表部空間幾何特征，實現(xiàn)遠(yuǎn)距離、無接觸測量，通過室內(nèi)數(shù)據(jù)疊加便可獲取精度高、密度大的三維點云數(shù)據(jù)[9]。通過三維空間影像提取測點的經(jīng)緯度及高程信息，繼而計算高陡巖質(zhì)邊坡的結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀，整個過程相對安全、便捷[10]。目前計算產(chǎn)狀常采用向量關(guān)系法和擬合平面法[11-14]。

本文研究對象為高陡巖質(zhì)邊坡坡表松動巖體的結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀，不涉及深部巖體。通過高分辨航空遙感正射影像獲取研究區(qū)域的帶有位置信息的三維模型，與現(xiàn)場踏勘對照，確認(rèn)待測量的結(jié)構(gòu)面的擬合點，引入計算隱伏活動斷層傾向、傾角計算公式，通過Python語言將計算方法程序化并建立簡潔直觀的用戶窗口。

2 計算原理

基于立體幾何學(xué)的三點問題求解，相比傳統(tǒng)的作圖法具有公式化、程序化的特點。三點法求解結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀的充要條件是已知位于同一結(jié)構(gòu)面上的三個點間的平距、高差及兩兩連線的方位角。結(jié)構(gòu)面傾角的計算公式是已知三點之間平距和高差為變量的代數(shù)表達(dá)式。結(jié)構(gòu)面走向計算公式是已知三點之間平距、高差及三點連線的方位角為變量的代數(shù)表達(dá)式。

2.1 兩點間距離和方位角計算方法

借助航空斜攝影測量技術(shù)建立的三維圖像可以遠(yuǎn)程快速獲取單點的地理信息(經(jīng)緯度、高程)。兩點的平距及兩點連線的方位角無法直接從三維圖像上獲取，本文利用球面三角學(xué)相關(guān)公式進行推導(dǎo)并求解。

將地球近似看作一個球體，求解球面上A、B兩點的距離和方位角的示意圖如圖1所示。對于地球上兩點A、B，假設(shè)A為基準(zhǔn)點，B為測點，其經(jīng)緯度信息分別為Aj、Aw、Bj、Bw，θa、θb、θc為基準(zhǔn)點A、測點B、北極點N其中兩點與地心O夾角。θd為面AON與面BON夾角。

圖1 兩點求解距離和方位角示意圖

求解基準(zhǔn)點A與測點B與地心O之間夾角θc可以利用球面余弦公式：

cos(θc)=cos(θa)×cos(θb)+sin(θa)×sin(θb)×cos(θc)=cos(90°-Bw)×cos(90°-Aw)+sin(90°-Bw)×sin(90°-Aw)×cos(Bj-Aj)

(1)

(2)

根據(jù)球面正弦公式：

(3)

轉(zhuǎn)換得：

(4)

根據(jù)基準(zhǔn)點A與測點B的位置關(guān)系，測點相對于基準(zhǔn)點的方位角如下：

(1)B點相對于A位于第一象限，即Bj≥Aj且Bw≥Aw時：AB方位角為θA；

(2)B點相對于A位于第二象限，即Bj

(3)B點相對于A位于第三、四象限，即Bw

根據(jù)半正矢公式，球面上A、B兩點距離LAB為：

(5)

2.2 結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀計算方法

巖層層面與任一假想水平面的交線稱走向線，層面上與走向線垂直并沿斜面向下所引的直線叫傾斜線。傾斜線在水平面上的投影所指示的方向稱巖層的傾向。層面上的傾斜線和它在水平面上投影的夾角稱為傾角。

三點的高度關(guān)系和位置關(guān)系直接影響到結(jié)構(gòu)面傾角及傾向的公式推導(dǎo)。以三點高程不等的位置關(guān)系為例，如圖2中(a)、(b)所示，A、B、C分別為結(jié)構(gòu)面ABC三點，A點高程最高，B點高程次之，C點高程最低，DN為真北方向。存在水平面A’CE，A’為A點在水平面上投影，E為AB與水平面交點，CE即為走向線。AC上存在D與B高程一致，在平面ABC作DG⊥DB，DG與CE交于F。可得DG⊥CE，DG(DF)即為傾斜線。B’、D’、G’為B、D、G在水平面上投影。令∠G’FG為α，α∈(0，0.5Π)，∠A’D’B’為β，β∈(0，Π)，∠CA’E為γ，γ∈(0，Π)，AC之間高差為ha，AB高差為hb，AB間平距c，AC間平距為b，BC間平距為a，B’D’長度為d，BF前進方向為φBF，AB前進方向為φAB，AC前進方向為φAC,BC前進方向為φBC。傾斜線DF與其在水平面A’CE投影夾角α即為傾角，DF’前進方向φBF即為傾向。

圖2 三點求結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀示意圖

(6)

(7)

(8)

(9)

如圖2(a)所示位置關(guān)系下，結(jié)構(gòu)面ABC傾向φDF的計算公式如下：

φDF=φAC+β-90°

(10)

由公式(6)、(7)、(8)、(9)、(10)可知, 結(jié)構(gòu)面ABC的傾角α計算公式僅與點A、B、C高程及兩點間水平距離有關(guān),與點間的方位關(guān)系無關(guān)。而結(jié)構(gòu)面ABC的傾向不僅與三點的高程及兩點間水平距離有關(guān)，還與三點的位置關(guān)系、兩點連線方位角有關(guān)。對于選取的三點不同位置關(guān)系下傾角計算公式總結(jié)如表1。

表1 結(jié)構(gòu)面傾向計算公式

3 計算方法程序化

Python(Guido van Rossum，1991)是一種廣泛使用的編程語言，可以構(gòu)建計算程序所需的的函數(shù)式、指令式、結(jié)構(gòu)化、面向?qū)ο蟮木幊?。Numpy是python語言的一個擴展程序庫，提供大量的數(shù)學(xué)函數(shù)庫。Tkinter是Tk GUI工具包的標(biāo)準(zhǔn)python接口，是python建立圖形用戶界面的標(biāo)準(zhǔn)工具包。它也有其他的流行的GUI庫來代替，例如wxPython、PyQt。

借助以上三者，可以較好地實現(xiàn)算法的本地化并可視化窗口，有效降低后續(xù)操作人員的負(fù)擔(dān)，同時視覺上更加直觀且便于理解。設(shè)計流程如下：(1)搭建Python運行環(huán)境，并加載所需的擴展程序庫；(2)基于Numpy的底層函數(shù)將計算公式轉(zhuǎn)化為用戶自定義的函數(shù)，通過輸入函數(shù)建立人機交互路徑；(3)通過Tkinter提供的底層函數(shù)建立圖形用戶界面。最終圖形界面如圖3所示。

圖3 程序操作界面及Tkinter底層函數(shù)

設(shè)計完成的程序包括三個大的部分。窗口，用戶顯示屏上的某矩形區(qū)域，包含標(biāo)準(zhǔn)框架和控件。小工具，指圖形用戶界面中構(gòu)成應(yīng)用程序的任何構(gòu)建塊，包括容器、按鈕和對話框?？蚣埽菑?fù)雜布局的基本組織單位，是一個矩形區(qū)域，可以包含其他小部件。

程序各區(qū)域功能如下：A：輸入?yún)^(qū)，按照提示依次輸入三點的位置信息；B：確認(rèn)按鈕，完成前一項數(shù)據(jù)輸入并進入下一項；C：提示區(qū)，對當(dāng)前所需的操作進行提示；D：計算按鈕，完成數(shù)據(jù)輸入后，點擊按鈕開始計算；E，顯示區(qū)：顯示產(chǎn)狀計算結(jié)果；F：備注區(qū)，備注提示信息或進行數(shù)據(jù)記錄。

4 數(shù)據(jù)與測試

以藏東某溝谷高位巖質(zhì)陡壁為例，如圖4所示，為研究陡壁上部危巖落石的沖擊影響，需要測明陡壁上部控制結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀，以確定危巖落石方量。由于后緣巖壁陡峭，人工測量僅能在巖壁下部及兩側(cè)開展，為測量現(xiàn)場人員難以到達(dá)的區(qū)域的巖體結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀，本工程借助航空傾斜攝影技術(shù)和產(chǎn)狀計算程序進行調(diào)查。在大規(guī)模測量前，對程序計算產(chǎn)狀與現(xiàn)場羅盤測量的產(chǎn)狀進行對比，驗證程序計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，測試結(jié)果如表2所示。室內(nèi)測量的產(chǎn)狀與現(xiàn)場羅盤測量的產(chǎn)狀整體一致，傾向平均誤差為3°，傾角平均誤差為2°。現(xiàn)場調(diào)查產(chǎn)狀測量的傾向和傾角中誤差分別為4°和3°，現(xiàn)場容許的最大偶然誤差值為中誤差的3倍。室內(nèi)測量的產(chǎn)狀值在工程誤差容許范圍內(nèi)，可以滿足實際需求。

表2 現(xiàn)場實測產(chǎn)狀與室內(nèi)計算產(chǎn)狀對比表

圖4 測點無人機照片(#a)和航空傾斜攝影圖(#b)對比圖

上述結(jié)論表明借助三維影像和推導(dǎo)的傾角、傾向公式以及可以快速、準(zhǔn)確的獲取結(jié)構(gòu)面的產(chǎn)狀信息。同時不同的產(chǎn)狀計算方法都可以通過Python語言和Tkinter庫建立較好的圖形用戶界面。對于批量的數(shù)據(jù)也可以通過Python的循環(huán)語句，接入編寫的計算函數(shù)進行批量處理。

5 結(jié)論

本文使用立體幾何學(xué)知識及航空傾斜攝影技術(shù)總結(jié)出巖體表層結(jié)構(gòu)面的快速取值方法。

(1) 通過三維立體影像確定結(jié)構(gòu)面上三點經(jīng)緯度、高程，利用封裝的傾角、傾向計算程序可以快速、準(zhǔn)確的計算結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀。

(2) 本文使用Python編程語言將傾向、傾角計算方法通過圖形用戶界面的方式提供給用戶，讓算法在實際工程應(yīng)用中更加簡潔直觀。對于已有的解析幾何中的向量關(guān)系和最小二乘法擬合平面的產(chǎn)狀算法也可以通過本文流程實現(xiàn)窗口化。

(3) 限于現(xiàn)階段航空測量精度和三維地形圖只能提供巖體表面空間信息的問題，通過程序測量產(chǎn)狀的方法現(xiàn)階段仍無法完全取代傳統(tǒng)的現(xiàn)場羅盤測量。

本文的創(chuàng)新點在于基于立體幾何學(xué)和Python語言完成了產(chǎn)狀計算程序開發(fā)的全流程。