四元低相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集構(gòu)造

許成謙，李永雷，邢方園

(燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

在多載波CDMA通信系統(tǒng)中互補(bǔ)序列(Complementary Sequence，CS)使用非常廣泛[1]。根據(jù)相關(guān)函數(shù)定義不同,有周期互補(bǔ)序列(Periodic Complementary Sequence，PCS)、非周期互補(bǔ)序列(Aperiodic Complementary Sequence，ACS)[2]。根據(jù)PCS、ACS的相關(guān)函數(shù)定義，可看出ACS包含PCS，因而ACS在實(shí)際通信系統(tǒng)中更具用途。非周期互補(bǔ)序列是由多個(gè)子序列構(gòu)成的序列集，對(duì)于抑制通信系統(tǒng)中的多址干擾和多徑干擾有極其重要的作用，但其構(gòu)造較難，滿足實(shí)際應(yīng)用的較少，因而有必要對(duì)其深入研究。在通信系統(tǒng)中互補(bǔ)序列集(Complementary Sequence Set，CSS)不能支持大量的用戶，因此Fan等人在文獻(xiàn)[3]中提出了二元零相關(guān)區(qū)(Zero Correlation Zone，ZCZ)非周期互補(bǔ)序列集(ZCZ-ACSS)的概念。近年來人們?cè)赯CZ-ACSS的構(gòu)造方面研究較多且取得了較好效果。一類二元ZCZ-ACSS、三元低相關(guān)區(qū)(Low Correlation Zone，LCZ)非周期互補(bǔ)序列集(LCZ-ACSS)在文獻(xiàn)[4]中由Li等人利用一種特殊的正交序列集得以構(gòu)造。Liu K等人在文獻(xiàn)[5]中通過交織法利用8位QAM正交序列集和P相正交序列集構(gòu)造了一類最優(yōu)的8位QAM零相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集。Liu T等人在文獻(xiàn)[6]中構(gòu)造了具有低互相關(guān)特性的多重互補(bǔ)序列集，且集間非周期互相關(guān)幅度的最大值為P，通過組合后得到了一類幅度漸近最優(yōu)的ACSS。在文獻(xiàn)[7]中，陳曉玉等人基于高斯整數(shù)正交序列集構(gòu)造了具有理想的自相關(guān)性能和組內(nèi)互補(bǔ)特性的一類最優(yōu)的ZCZ-ACSS。近些年來，學(xué)者們進(jìn)一步對(duì)ZCZ-ACS偶集、組間ZCZ-CS進(jìn)行了研究。在正交矩陣偶的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[8]提出了ZCZ-ACS偶集的構(gòu)造方法。利用ZCZ序列集、整數(shù)集，白子祎等人在文獻(xiàn)[9]中構(gòu)造了一類ZCZ在組內(nèi)、組間均相等的PCSS。為進(jìn)一步擴(kuò)大CSS的集合大小，Liu B等人在文獻(xiàn)[10]中提出了低相關(guān)區(qū)準(zhǔn)互補(bǔ)序列集的概念，并提出了低相關(guān)區(qū)準(zhǔn)互補(bǔ)序列集的相關(guān)下界。Liu T等人在文獻(xiàn)[11]中構(gòu)造了一種二元LCZ-ACSS，且序列集的參數(shù)漸近最優(yōu)理論界限。目前為止，在文獻(xiàn)中并沒有對(duì)四元LCZ-ACSS的構(gòu)造，因此本文構(gòu)造的四元LCZ-ACSS能滿足通信系統(tǒng)一定的應(yīng)用需求。

1 基本概念

定義1設(shè)兩個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的復(fù)數(shù)序列a、b，a=(a0,a1,…,aL-1),b=(b0,b1,…,bL-1)。則這兩個(gè)序列的非周期相關(guān)函數(shù)Ca,b(τ)定義為

其中,t+τ=(t+τ)modL。若a=b，則Ra,b(τ)稱為周期自相關(guān)函數(shù)，記為Ra(τ)。顯然有

Ra,b(τ)=Ca,b(τ)+Ca,b(τ-L)。

定義2設(shè)一個(gè)L×L階矩陣H=[hk,t]L×L，令hk=(hk,0,hk,1,…,hk,L-1)表示矩陣H的第k行，其中0≤k≤L-1。對(duì)于矩陣H中任意兩行(或列)k1,k2，0≤k1≠k2≤L-1，hk1和hk2的互相關(guān)函數(shù)Rhk1，hk2(0)=0，則稱矩陣H為正交矩陣。

定義3設(shè)C={C0,C1,…,CM-1}是一個(gè)含M個(gè)序列的序列集，每個(gè)序列Cm包含N個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的序列:

0≤m≤M-1,0≤n≤N-1，

Cm={Cm,0,Cm,1,…,Cm,N-1}，

Cm,n=(cm,n(0),cm,n(1),…,cm,n(L-1))。

若序列相關(guān)函數(shù)：

定義4定義二元到四元的映射如下：

2 四元低相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集的構(gòu)造

構(gòu)造方法1：

步驟二：取一個(gè)N×N階的二元完全非循環(huán)矩陣G=[gi,j]N×N，gi,j∈{-1,1}。

步驟三：選定兩個(gè)正整數(shù)Z,K，滿足Z/N，L=KZ,M=KN。

步驟四：當(dāng)0≤m≤M-1,0≤n≤N-1,0≤t≤L-1時(shí)，?。?/p>

sm,n(t)=g?m/L」·Z+(tmodZ),n·q(mmodL),t,

Sm,n=(sm,n(0),sm,n(1),…,sm,n(L-1))，

Sm={Sm,0,Sm,1,…,Sm,N-1}，

S={S0,S1,…,SM-1}。

證明在S中任取Sm1,n,Sm2,n∈S，計(jì)算非周期相關(guān)函數(shù)如下：

g?m2/L」·Z+((t+τ)mod Z),n·q(m2mod L),t+τ=

m3=?m1/L」·Z+(tmodZ)，m4=?m2/L」·Z+((t+τ)modZ)。分四種情況討論：

情況一，若m1=m2,0<τ

其中，k1=m1modL，k2=m2modL。

證畢。

構(gòu)造方法1中使用了四元正交序列集和完全非循環(huán)矩陣，而四元正交序列集可以用文獻(xiàn)[12]的構(gòu)造方法得到，完全非循環(huán)矩陣可以用文獻(xiàn)[13]的構(gòu)造方法得到，故本文的構(gòu)造方法是可以實(shí)現(xiàn)的。

例取一個(gè)4×4階二元正交矩陣如下：

按照文獻(xiàn)[12]的構(gòu)造方法利用上述矩陣X可得到一個(gè)四元正交序列集Q={q0,q1,q2,q3}:

q0=(-1,-j,-1,j)，q1=(j,1,-j,1)，

q2=(j,-1,-j,-1)，q3=(-1,j,-1,-j)。

給定一個(gè)3×3階二元完全非循環(huán)矩陣如下：

S0={(0103);(2321);(0103)},

S1={(3212);(1030);(3212)},

S2={(3010);(1232);(3010)},

S3={(0301);(2123);(0301)},

S4={(2321);(0103);(0103)},

S5={(1030);(3212);(3212)},

S6={(1232);(3010);(3010)}，

?

3 結(jié)束語(yǔ)

本文所構(gòu)造的四元低相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集的低相關(guān)區(qū)長(zhǎng)度Z在滿足Z/N(N為子序列個(gè)數(shù))條件下可靈活設(shè)定。低相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列包含低相關(guān)區(qū)周期互補(bǔ)序列的性質(zhì)，因此在實(shí)際通信系統(tǒng)中具有更大用途。本文的構(gòu)造方法是基于四元正交序列集和二元完全非循環(huán)矩陣，在實(shí)際通信系統(tǒng)中，這兩者都較易得到且存在較廣，從而可得到大量四元低相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集，進(jìn)一步滿足多載波CDMA通信系統(tǒng)的需求。