GM(1,1)殘差處理模型的變形預(yù)測實(shí)踐與分析★

翟 敏，常國霞

(中國建筑材料工業(yè)地質(zhì)勘查中心山西總隊(duì),山西 太原 030031)

1 概述

建筑工程項(xiàng)目在施工建設(shè)階段的變形監(jiān)測是保障工程安全順利進(jìn)行的必要手段,是安全措施決策分析的必要依據(jù),其往往延續(xù)至項(xiàng)目運(yùn)營階段[1]。在觀測得到變形數(shù)據(jù)后的數(shù)據(jù)分析階段中,變形預(yù)測是其中的一項(xiàng)重要內(nèi)容;它是依據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)以及相關(guān)資料,對后期未發(fā)生的或可能發(fā)生的變形進(jìn)行預(yù)測。經(jīng)過實(shí)踐以及科學(xué)研究,目前變形預(yù)測的方法已經(jīng)有很多種。而灰色系統(tǒng)理論中的GM(1,1)模型具有小樣本、貧信息建模的特點(diǎn)[2-3],變形數(shù)據(jù)具有灰色數(shù)據(jù)特征,因此其在變形預(yù)測領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)得到較大推廣。其中王凱倫等[4]采用灰色GM(1,1)模型,根據(jù)山東某礦區(qū)地表移動觀測站實(shí)測資料,對開采沉陷預(yù)測精度進(jìn)行了分析研究;邱利軍等[5-6]采用改進(jìn)的GM(1,1)模型對基坑沉降數(shù)據(jù)以及大壩變形數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測分析研究;丁萬濤等[7]、王新勝等[8]則針對隧道圍巖變形,采用灰色模型進(jìn)行了分析研究;姚穎康等[9]針對滑坡變形采用改進(jìn)GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測,取得比傳統(tǒng)模型好的效果。本文采用實(shí)際工程項(xiàng)目中某建筑物主體沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為分析依據(jù),建立均值GM(1,1)模型、殘差GM(1,1)模型以及坐標(biāo)變換模型進(jìn)行變形預(yù)測,并對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了對比分析,得到坐標(biāo)變換模型預(yù)測效果較好的結(jié)論。認(rèn)為對相似工程的模型選取及實(shí)踐具有一定參考價值。

2 均值GM(1,1)模型原理及殘差處理

2.1 均值GM(1,1)模型

設(shè)序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),其中,x(0)(k)≥0,k=1,2,…,n;X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)),X(1)為X(0)的1-AGO序列,計(jì)算公式為:

(1)

其中,k=1,2,…,n。

設(shè)Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)),其中:

(2)

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(3)

稱式(3)為均值GM(1,1)模型。

(4)

其中：

(5)

(6)

稱式(6)為均值GM(1,1)模型的白化微分方程,也稱影子方程。

均值GM(1,1)模型的時間響應(yīng)函數(shù)為:

(7)

若k≤n為模擬,若k>n為預(yù)測。累減還原式為:

(8)

而對應(yīng)的X(0)的時間響應(yīng)函數(shù)是:

(9)

2.2 殘差GM(1,1)模型

殘差GM(1,1)模型是以GM(1,1)模型的殘差序列再次建立GM(1,1)模型以進(jìn)行修正的方法。

設(shè)ε(0)=(ε(0)(1),ε(0)(2),…,ε(0)(n)),其中:

(10)

式(10)為X(1)的殘差序列。

若存在ki使得:

1)?k≥ki時,殘差序列符號一致。

2)n-ki≥4。

則包含ε(0)(ki)及其之后序列的序列段可用于建模。

當(dāng)k≤n時,是對擬合序列的修正;反之,則是對預(yù)測序列的修正。需要注意,若殘差序列不滿足符號一致的要求,可采用文獻(xiàn)[5]中的加常數(shù)的方法進(jìn)行序列變換后,建模預(yù)測,最后將預(yù)測結(jié)果反向還原即可。

2.3 坐標(biāo)變換修正殘差

文獻(xiàn)[6]認(rèn)為,GM(1,1)模型在擬合段末期,擬合一次累加數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)的一次累加值出現(xiàn)相近、相交或相離的趨勢,致使后期預(yù)測數(shù)據(jù)出現(xiàn)偏差;因此,提出采用坐標(biāo)變換的方法,修正預(yù)測值以減弱殘差影響。

首先以建模序列的一次累加序列最末項(xiàng)與一次累加序列的擬合值最末項(xiàng)計(jì)算平移量:

(11)

其目的是使得縱向平移后的一次累加序列已知值與擬合值在最末項(xiàng)重合。然后得到平移后的時間響應(yīng)函數(shù)為:

(12)

然后計(jì)算旋轉(zhuǎn)角度,為:

(13)

即以一次累加序列的擬合值與已知值的最后兩項(xiàng)構(gòu)成的直線計(jì)算夾角作為旋轉(zhuǎn)角。

在計(jì)算完旋轉(zhuǎn)角度后,即可利用下式對預(yù)測數(shù)據(jù)序列進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換:

(14)

其中,(x0,y0)為對應(yīng)建模序列最末項(xiàng)對應(yīng)的一次累加序列已知值；(x,y)為對應(yīng)一次累加序列預(yù)測值的橫縱數(shù)值；(x′,y′)為對應(yīng)變換后的橫縱數(shù)值。

最后,在變換后點(diǎn)序列相鄰點(diǎn)構(gòu)成直線或直線延長線上計(jì)算對應(yīng)橫向數(shù)值的縱向值作為一次累加序列的預(yù)測值。公式為:

(15)

3 工程實(shí)例應(yīng)用及比較分析

選用某建筑物主體沉降觀測2號點(diǎn)實(shí)測9期數(shù)據(jù)為依據(jù),采用前7期數(shù)據(jù)建立均值GM(1,1)模型,然后以殘差模型和坐標(biāo)變換兩種改進(jìn)形式對殘差進(jìn)行處理,以后2期數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。其實(shí)測數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 實(shí)測變形數(shù)據(jù)序列

采用C#語言編程對均值GM(1,1)模型以及兩種改進(jìn)進(jìn)行實(shí)現(xiàn)后,建模預(yù)測,得到后2期數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果如表2所示,預(yù)測結(jié)果的相對誤差如表3所示。

表2 不同模型預(yù)測結(jié)果 mm

表3 不同模型預(yù)測值的相對誤差 %

通過分析表2與表3可知,均值GM(1,1)模型預(yù)測精度較低,而殘差GM(1,1)模型相較于均值GM(1,1)模型的預(yù)測精度有所提高,而坐標(biāo)變換改進(jìn)模型的預(yù)測精度最高。從實(shí)例看,在第8期,坐標(biāo)變換模型預(yù)測值幾乎與實(shí)測值重合(其中涉及小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)取舍),而第9期數(shù)據(jù)預(yù)測值相對誤差為-3.98%,絕對誤差為-0.68 mm。而均值GM(1,1)模型以及殘差GM(1,1)模型的預(yù)測精度是不能接受的。需要說明,在殘差序列建模過程中,由于殘差序列不滿足建模要求,采用了殘差序列加常數(shù)1后的序列進(jìn)行建模,且采用的是加常數(shù)后滿足要求的第2期至第7期數(shù)據(jù),對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行反向還原得到修正值。

預(yù)測期的預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)比較如圖1所示。

從圖1可知,殘差模型和坐標(biāo)變換模型均是將預(yù)測值向?qū)崪y的校正,但校正值的大小決定因素不同。前者取決于GM(1,1)模型的預(yù)測值,而后者取決于模型的平移量和旋轉(zhuǎn)角。從圖1也可以發(fā)現(xiàn),一次累加的旋轉(zhuǎn)在累計(jì)沉降的預(yù)測值中有所體現(xiàn)。且在圖上可以看出,坐標(biāo)變換模型相較于均值GM(1,1)模型以及殘差模型,預(yù)測精度優(yōu)勢明顯。

4 結(jié)語

在建筑工程施工階段,變形監(jiān)測是保障工程安全進(jìn)行的必要手段。本文以沉降變形監(jiān)測實(shí)測沉降數(shù)據(jù)序列為基礎(chǔ),選取監(jiān)測點(diǎn)9期實(shí)測沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測實(shí)踐應(yīng)用分析,選擇前7期建立不同模型,后2期進(jìn)行對比驗(yàn)證,在程序?qū)崿F(xiàn)相關(guān)模型的基礎(chǔ)上對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析,認(rèn)為坐標(biāo)變換模型的預(yù)測結(jié)果達(dá)到了較好的預(yù)測效果,與實(shí)測累計(jì)沉降量相 近,其可以作為相似工程的預(yù)測選用方法,對相關(guān)實(shí)踐工作具有一定參考價值。