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    一種集中式四自由度磁軸承振動抑制方法

    2022-03-30 04:41:22張靈修張廣明歐陽慧珉
    微電機(jī) 2022年2期
    關(guān)鍵詞:電磁鐵觀測器擾動

    張靈修,張廣明,歐陽慧珉

    (南京工業(yè)大學(xué) 電氣工程與控制科學(xué)學(xué)院,南京 211816)

    0 引 言

    與傳統(tǒng)機(jī)械軸承相比,磁軸承具有無機(jī)械摩擦、使用壽命長以及動力損失小等優(yōu)勢,在飛輪儲能、超高速金屬切削加工和高速透平機(jī)械等領(lǐng)域有著極為廣泛的應(yīng)用前景[1]。

    轉(zhuǎn)子的質(zhì)量不平衡會在旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生大小與轉(zhuǎn)速平方成正比、方向隨時間變化的同頻擾動,是系統(tǒng)中主要的擾動來源[2]。由于直接對轉(zhuǎn)子的不平衡參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確測量存在較大難度,在運(yùn)行中對同頻擾動觀測和抑制更為可行。對此,國內(nèi)外學(xué)者開展了廣泛的研究,主要包括:基于變步長迭代搜尋的方法[3]、基于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的方法[4]、基于干擾觀測器的擾動補(bǔ)償方法[5]以及基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的擾動估計和補(bǔ)償方法[6]。在現(xiàn)有研究成果中,雖然能夠在低轉(zhuǎn)速下對同頻擾動抑制取得不錯的效果,但大多采用了分散控制策略,并采用線性化的方式對電磁鐵模型進(jìn)行處理。由于線性化僅在工作點(diǎn)附近很小范圍內(nèi)準(zhǔn)確,因而在定轉(zhuǎn)子接觸、磁通飽和等極限情況下,采用線性化電磁鐵模型設(shè)計的控制器存在難以達(dá)到預(yù)期控制性能的問題。另一方面,由于將自由度之間的耦合作用內(nèi)?;⒓{入控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的考慮范圍,在高轉(zhuǎn)速工況下H∞魯棒控制[7]等集中控制策略比分散控制策略具有更好的適用性,但存在計算資源需求量大和難以實(shí)現(xiàn)寬轉(zhuǎn)速范圍抗擾等問題。

    針對上述問題,本文研究了以電磁力作為控制量的可行性,將擴(kuò)張狀態(tài)觀測器與集中控制策略相結(jié)合,提出了一種以電磁力為控制量的四自由度狀態(tài)反饋擾動抑制算法,并進(jìn)行了仿真實(shí)驗。本文的結(jié)構(gòu)如下:

    (1) 建立考慮轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)變化和軸承動、靜不平衡作用力的磁軸承動力學(xué)模型。

    (2) 以電磁力為控制量,從系統(tǒng)總能量角度出發(fā)設(shè)計了考慮耦合作用模型和外部擾動補(bǔ)償?shù)募惺剿淖杂啥葼顟B(tài)反饋控制器,并證明了其穩(wěn)定性。

    (3) 設(shè)計線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(LESO)對同頻擾動進(jìn)行觀測,并通過所設(shè)計的控制器進(jìn)行抑制。

    (4) 利用Matlab進(jìn)行實(shí)驗仿真,對所提出的控制算法進(jìn)行驗證。

    1 磁軸承-轉(zhuǎn)子動模型

    忽略軸向自由度和徑向自由度之間的耦合,并假設(shè)轉(zhuǎn)子工作在剛性模態(tài)下[8],建立如圖1所示的坐標(biāo)系統(tǒng)。

    圖1 轉(zhuǎn)子空間運(yùn)動示意圖

    其中o-xy為質(zhì)心坐標(biāo)系,o1-x1y1為左側(cè)的軸承坐標(biāo)系,o2-x2y2為右側(cè)的軸承坐標(biāo)系;l和n分別為左側(cè)和右側(cè)軸承距離質(zhì)心的距離;θx和θy分別為轉(zhuǎn)子在x軸和y軸方向轉(zhuǎn)動的角度。

    根據(jù)牛頓第二定律,當(dāng)轉(zhuǎn)子質(zhì)心偏離平衡位置xg和yg時,有

    (1)

    式中,m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量,g為重力加速度,ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速;轉(zhuǎn)子在x軸和y軸方向上的轉(zhuǎn)動慣量分別為Jx和Jy;左側(cè)和右側(cè)磁軸承作用在轉(zhuǎn)子上的控制力分別為fLx、fLy、fRx和fRy;不平衡力和力矩分別為fex、fey、Tεx和Tεy。

    式(1)的矩陣形式

    (2)

    其中

    當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時,不平衡力和力矩在質(zhì)心坐標(biāo)下可表示為[2]

    (3)

    式中,δ為轉(zhuǎn)子實(shí)際的質(zhì)量中心和幾何中心之間的偏差;ε為實(shí)際的慣性軸與幾何軸之間的夾角;φ為不平衡力和力矩的初始相位。

    記xL和yL分別為x1和y1方向上的位移距離,xR和yR分別為x2和y2方向上的位移距離。根據(jù)軸承坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)之間的近似變換關(guān)系,可得

    (4)

    定義誤差向量為

    (5)

    (6)

    將式(5)和式(6)代入式(2)中,可得轉(zhuǎn)子在軸承坐標(biāo)系下的以偏差量表示的運(yùn)動方程

    (7)

    進(jìn)一步對式(7)進(jìn)行移項和變換,可得

    (8)

    其中

    (9)

    為不平衡擾動產(chǎn)生的加速度向量。比較式(3)和式(9),可得

    (10)

    2 控制器設(shè)計

    2.1 四自由度狀態(tài)反饋控制器

    差動式電磁鐵的數(shù)學(xué)模型可以表示為如下的非線性的形式

    (11)

    式中,x為軸承坐標(biāo)下轉(zhuǎn)子偏離平衡點(diǎn)的距離;i為差動控制電流;s0為平衡點(diǎn)處轉(zhuǎn)子與電磁鐵之間氣隙的長度;i0為平衡點(diǎn)電流;k為與磁軸承及轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)有關(guān)的綜合性參數(shù)。

    在式(11)所給出的電磁鐵模型及約束條件下,不難驗證i(t)可由f(t)和x(t)唯一地反向計算得到。因此以f(t)作為待設(shè)計控制量與以i(t)作為控制量并無本質(zhì)區(qū)別[9],但能在控制器設(shè)計中使用更為精確的電磁鐵模型。

    對式(7)進(jìn)行等價變形,可得

    (12)

    構(gòu)建如下的非負(fù)能量函數(shù)

    (13)

    其中Kp為正定矩陣。

    對式(13)求導(dǎo),可得

    (14)

    將式(12)代入式(14),有

    (15)

    如果Funb是已知的,構(gòu)造如下反饋控制器

    (16)

    式中,Kd為正定矩陣。

    將式(16)代入式(15),化簡后可得

    (17)

    由于式(16)所給出的控制律是在Funb已知的假設(shè)下得到的,但對于實(shí)際轉(zhuǎn)子往往難以得到δ和ε的準(zhǔn)確數(shù)值,因而需要通過擾動觀測器對Funb進(jìn)行估計。

    2.2 擾動觀測和估計

    為了估計Funb的各個分量,現(xiàn)在以其第一個分量為例說明本文所提出的擾動觀測器的設(shè)計方法。

    由式(8)得左側(cè)x軸方向下的轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程為

    (18)

    (19)

    在式(19)的基礎(chǔ)上將擾動力產(chǎn)生的加速度w1擴(kuò)張為新的狀態(tài)量x3,并通過構(gòu)建擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)對系統(tǒng)狀態(tài)量進(jìn)行觀測[10]。ESO的基本結(jié)構(gòu)如圖2所示

    圖2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖

    其中u為觀測器的輸入信號,y為系統(tǒng)的輸出信號,z1、z2和z3分別為狀態(tài)量x1、x2和x3的觀測值。設(shè)置觀測器為如下線性形式

    (20)

    式中,b為輸入增益,β01為位移反饋增益,β02為速度反饋增益,β03為擾動反饋增益。

    當(dāng)系統(tǒng)中的耦合關(guān)系模型比較準(zhǔn)確且擾動有限時,為了降低觀測器需要估計的總擾動范圍,進(jìn)而平滑輸出曲線并降低對噪聲的敏感[11],可將u取為如下形式

    (21)

    通過類似方法在其他坐標(biāo)系方向分別設(shè)置上述狀態(tài)觀測器,可得

    (22)

    將式(22)代入式(10),有

    (23)

    即得到了反饋控制器所需的Funb的觀測值。

    3 仿真驗證

    通過搭建磁軸承系統(tǒng)Matlab/Simulink模型,驗證本文所述控制器對于同頻擾動的抑制效果。磁軸承系統(tǒng)參數(shù)及給定的動、靜不平衡參數(shù)如表1所示。

    表1 系統(tǒng)參數(shù)

    在進(jìn)行對比的控制器中,兩個控制器的Kp和Kd參數(shù)保持一致,各坐標(biāo)系不同方向下的LESO參數(shù)通過帶寬概念分別進(jìn)行整定。根據(jù)控制器穩(wěn)定條件,可將Kp和Kd取為如下形式

    Kp=diag(kp1,kp2,kp3,kp4)

    Kd=diag(kd1,kd2,kd3,kd4)

    狀態(tài)反饋控制器及LESO的參數(shù)如下表所示。

    表2 控制器參數(shù)

    轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化曲線如圖3所示。

    圖3 轉(zhuǎn)速ω變化曲線

    在0 s至1 s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不斷上升,達(dá)到30000 r/min后保持勻速。

    圖4為左側(cè)x軸處LESO對于不平衡擾動加速度w1的觀測值與實(shí)際值的對比,圖中虛線為擾動加速度的觀測值,實(shí)線為擾動加速度的實(shí)際值。由圖可見,觀測器能夠快速且準(zhǔn)確地跟蹤擾動信號。

    圖4 左側(cè)x軸處w1觀測值與實(shí)際值的比較

    圖5為左、右軸承處轉(zhuǎn)子的位移波動情況對比。圖中實(shí)線為未采取擾動補(bǔ)償措施的位移波動,虛線為擾動補(bǔ)償后的位移波動。由圖可見采取擾動補(bǔ)償措施后,轉(zhuǎn)子位移波動幅值在不同轉(zhuǎn)速下均有明顯下降。

    圖5 左、右軸承處轉(zhuǎn)子位移波動對比

    為量化分析擾動補(bǔ)償對于轉(zhuǎn)子加速階段和勻速階段的擾動抑制效果,從圖中取三個不同轉(zhuǎn)速時轉(zhuǎn)子的位移波動幅值情況進(jìn)行定量分析,如表3、表4和表5所示。

    表3 干擾抑制特性比較(10000 r/min)

    表4 干擾抑制特性比較(20000 r/min)

    表5 干擾抑制特性比較(30000 r/min)

    由表3和表5可以看出,在加速初始階段以及勻速階段位移波動幅值可降低80%以上;而在轉(zhuǎn)速上加速度較快階段,如表4所示,抑制效果依然能夠維持在70%以上。

    4 結(jié) 論

    本文通過對磁軸承轉(zhuǎn)子在運(yùn)行中的空間運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行建模和分析,從系統(tǒng)能量角度設(shè)計了集中式四自由度狀態(tài)反饋控制器,并進(jìn)行了穩(wěn)定性分析;控制器以電磁力作為系統(tǒng)控制量,使其對于更為精確的非線性電磁鐵模型具有更好的適用性;通過Matlab仿真,驗證了集中式四自由度狀態(tài)反饋控制算法的可行性和LESO對于同頻擾動的觀測及補(bǔ)償效果,仿真結(jié)果表明本文所提出的組合控制器能夠在較寬的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)對轉(zhuǎn)子同頻擾動進(jìn)行觀測和主動抑制,轉(zhuǎn)子運(yùn)行精度提升顯著。

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