固態(tài)單自旋量子控制研究進展

李廷偉 榮星2)? 杜江峰2)

1) (中國科學技術大學,中國科學院微觀磁共振重點實驗室和物理學院,合肥 230026)

2) (中國科學技術大學,中國科學院量子信息與量子科技創(chuàng)新研究院,合肥 230026)

1 引言

量子力學的誕生,改變了人們以往對于微觀世界的認識.量子力學提供了一種全新的視角去研究微觀的量子系統(tǒng).利用經(jīng)典體系去模擬研究量子系統(tǒng),是有局限的.更加直接、深入的研究,必須在量子體系上進行.而想要以量子系統(tǒng)為實驗平臺開展研究,關鍵在于能對微觀量子系統(tǒng)實現(xiàn)精準有效的量子控制.然而由于實際物理體系無時無刻都與環(huán)境存在相互作用,相干糾纏等量子特性極易受環(huán)境噪聲影響.因此量子態(tài)的“壽命”是有限的,一般用相干時間來衡量.理想的量子實驗平臺需要相干時間長且易于操控的系統(tǒng),固態(tài)自旋正是這樣的量子體系.固態(tài)自旋體系主要包括量子點體系和固態(tài)摻雜體系.量子點體系中電子受到三維勢阱的約束形成分立的能級結構,這與原子中的電子結構類似,所以量子點又稱為“人造原子”.門控量子點[1]是一類廣泛應用于量子計算領域的量子點,它是通過在半導體上刻蝕金屬門電極,施加電壓對電子約束形成的.門控量子點有兩種量子比特的編碼方式:一種是將單量子點中電子自旋能級編碼成自旋量子比特;另一種是利用金屬電極構造出雙量子點結構,把電子在雙量子點中的位置編碼成電荷量子比特.通過電脈沖和微波脈沖可以分別實現(xiàn)對電荷量子比特和自旋量子比特的量子控制.目前量子點中實現(xiàn)的單比特和兩比特量子邏輯門保真度分別為99.9%[2]和98%[3].磷硅體系是將31P 原子注入到28Si 襯底中形成的固態(tài)摻雜體系,31P 原子核和其上方的電子自旋構成兩比特系統(tǒng).通過激光泵浦可以對核自旋和電子自旋進行初始化[4].磷硅體系中通過微波和射頻脈沖實現(xiàn)的單比特門保真度能達到99.9%以上,利用電子自旋之間的交換作用能實現(xiàn)兩比特門,保真度達到90%[5].金剛石氮-空位(nitrogen-vacancy,NV)色心,是另一種重要的固態(tài)摻雜體系.它在室溫下有很長的相干時間,具有優(yōu)秀的能級結構,可以通過激光方便地對量子態(tài)進行極化和讀出,通過微波和射頻脈沖能實現(xiàn)普適的量子控制.這些良好的物理性質使得NV 色心成為量子物理領域的熱點.本文介紹NV色心的量子控制技術進展和在實驗研究中的應用.

2 金剛石NV 色心自旋體系

2.1 NV 色心的能級結構和光學讀出

金剛石中一個碳原子被氮原子取代,同時鄰近的一個碳原子缺失所形成的晶體缺陷(如圖1 所示),稱為氮-空位缺陷色心,即NV 色心[6—9].NV色心具有C3ν對稱性,其對稱軸沿氮原子和空位的連線方向,稱為NV 主軸.NV 色心有兩種電荷態(tài):中性的NV0和帶負電的NV—.它們的能級結構和物理性質都有很大的不同,廣泛應用于量子物理領域的是帶負電的NV—.若無特殊說明本文中的NV色心均指NV—.

圖1 金剛石中NV 色心結構圖[9]Fig.1.Schematic atomic structure of the NV center in diamond[9].

NV 色心的能級結構見圖2(a),其中基態(tài)3A2是自旋三重態(tài),可等效為S=1 的電子自旋[10,11].激發(fā)態(tài)3E 也是自旋三重態(tài),且與基態(tài)的能級差為1.945 eV,對應的吸收波長為637 nm.除此之外還存在兩個自旋單態(tài)的亞穩(wěn)態(tài)1A2和1E,它們之間的能級間隔為1.190 eV,對應的吸收波長為1042 nm.圖2(b)是NV 色心電子自旋基態(tài)的能級結構圖.當沒有外磁場時,電子自旋的|ms=±1〉能級簡并,且與|ms=0〉能級之間存在D=2870 MHz 的零場劈裂;當沿主軸方向存在外磁場時,|ms=±1〉能級發(fā)生塞曼分裂而解除簡并.塞曼劈裂大小ωe=γeB0與沿主軸方向的磁場B0成正比,γe是電子自旋的旋磁比,大小為2.8 MHz/G (1 G=10—4T).一般以基態(tài)的|ms=0〉能 級作為量子比特的|0〉態(tài),選擇|ms=±1〉能級中的一個作為量子比特的|1〉態(tài),構成NV 色心的電子自旋量子比特.由于與鄰近13C 和14N 等核自旋存在耦合,NV 色心電子自旋的基態(tài)能級會發(fā)生超精細劈裂[12].類似地選取核自旋的兩個能級作為量子比特的|0〉態(tài)和|1〉態(tài),構成核自旋量子比特.NV 色心電子自旋和一個鄰近核自旋就組成了兩比特量子系統(tǒng).

圖2 金剛石NV 色心能級結構[9] (a) NV 色心的基態(tài)、激發(fā)態(tài)和亞穩(wěn)態(tài);(b) NV 色心基態(tài)的精細結構和14N 核帶來的超精細結構Fig.2.Energy level diagram of the NV center in diamond[9]:(a) Ground state,excited state and metastable state of the NV center;(b) fine structure and hyperfine structure(caused by 14N nuclear spin) of the NV center ground state.

室溫下由于聲子作用,NV 色心可以被500—600 nm 波長的激光激發(fā),從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài).處于激發(fā)態(tài)的NV 色心有兩種路徑回到基態(tài):一種是通過自旋守恒的自發(fā)輻射回到基態(tài),同時產(chǎn)生波長637—750 nm 的熒光,稱為輻射躍遷過程;另一種是通過兩個亞穩(wěn)態(tài)能級1A2和1E 回到基態(tài),稱為系間跨越(intersystem crossing,ISC)過程[13].ISC過程自旋不守恒,并且由于亞穩(wěn)態(tài)1A2和1E 對應的吸收波長為1042 nm,躍遷時不會輻射產(chǎn)生波長637—750 nm 的熒光光子.NV 色心處于不同的自旋態(tài)時,兩種過程發(fā)生的概率不同.相比于處于|ms=0〉態(tài),NV 色心處于|ms=±1〉態(tài)時通過ISC過程從激發(fā)態(tài)回到基態(tài)的概率更大.在ISC 過程中,NV 色心從激發(fā)態(tài)3E 躍遷到自旋單態(tài)1A2,再到1E ,最后回到基態(tài)3A2.當NV 色心從自旋單態(tài)1E 躍遷到 三重態(tài) 的3A2時,落 在|ms=0〉能級和|ms=±1〉能級上的概率相當[14].NV 色心在基態(tài)和激發(fā)態(tài)往返多個周期后,|ms=±1〉能級上的布居度逐漸轉移到|ms=0〉上.當施加一束532 nm 激光時,處于|ms=0〉態(tài)的NV 色心被激發(fā)后通過輻射躍遷過程回到基態(tài)的概率更大,在637—750 nm波段產(chǎn)生的熒光光子數(shù)比處于|ms=±1〉態(tài)時更多,因此實驗上可以通過熒光強度來區(qū)分NV 色心的電子自旋狀態(tài).同時隨著時間推移|ms=±1〉能級上的布居度越來越小,最終電子自旋被極化到|ms=0〉態(tài),室溫下極化率能達到95%以上[15].這樣通過激光就實現(xiàn)了對NV 色心電子自旋的初始化和量子態(tài)讀出.

2.2 NV 色心的自旋量子控制

其中S=(Sx,Sy,Sz) 是自旋算符,θ是轉角.在NV色心體系中,一般選取|ms=0〉作為量子比特的|0〉態(tài),選取|ms=±1〉能級中的一個(以|ms=-1〉為例),作為量子比特的|1〉態(tài),用微波脈沖來實現(xiàn)對量子比特的普適控制.實驗中|ms=0〉和|ms=±1〉的共振頻率為D±ωe.外加頻率接近D-ωe的微波脈 沖可以 控制電 子自旋 在能級|ms=0〉和|ms=-1〉之間的躍遷.由于微波場幅度ω1遠小于零場劈裂D和塞曼分裂ωe,微波場下|ms=0〉和|ms=+1〉之間的躍遷可以忽略不計.因此哈密頓量寫作

其中ω0=D-ωe是量子比特的共振頻率;ω1,ωMW,?分別是微波脈沖的幅度、頻率和相位.選取旋轉坐標U=e-i2πωMWtSz,實驗中所加微波場滿足旋波近似條件ω1?ωMW,故旋轉坐標系內哈密頓量可以化簡為

該哈密頓量下的演化算符為U=e-iHrott(取自然單位制 ? =1).通過調節(jié)微波脈沖的頻率ωMW、幅度ω1、相位?和時長t,就可以實現(xiàn)Bloch 球中任意的旋轉操作R(),從而實現(xiàn)電子自旋量子比特的普適量子控制.同樣地,對于核自旋量子比特,可以用射頻脈沖實現(xiàn)普適的量子控制.對于NV 色心電子自旋和核自旋組成的兩比特量子系統(tǒng),利用電子自旋和核自旋間固有的耦合,通過微波和射頻脈沖可以實現(xiàn)的普適量子控制.

3 NV 色心體系的退相干

上面的討論中沒有考慮環(huán)境的作用,把NV 色心看作一個理想的封閉系統(tǒng).而實際上任何物理體系都不可避免地與環(huán)境發(fā)生相互作用,在環(huán)境噪聲的影響下量子態(tài)會逐漸弛豫到環(huán)境溫度下的熱平衡態(tài).NV 色心的環(huán)境噪聲主要來源于和自旋熱庫及聲子的相互作用,其弛豫過程可以唯象地看成同時發(fā)生的兩個過程[16].一個是自旋角動量縱向分量的平均值〈Sz〉從初始值逐漸演化到熱平衡態(tài)對應值的過程,稱為縱向弛豫,用縱向弛豫時間T1來表征.縱向弛豫和自旋態(tài)翻轉有關,主要來自于電子自旋與聲子之間的相互作用.而電子自旋與自旋熱庫的耦合強度遠小于其能級差,自旋熱庫對縱向弛豫過程的貢獻可以忽略不計.在室溫下金剛石中聲子激發(fā)很弱[17],NV 色心的縱向弛豫過程受到抑制,T1長達毫秒量級.另一個過程是自旋角動量的橫向分量平均值〈Sx〉和〈Sy〉逐漸衰減到零的過程,稱為橫向馳豫,用退相干時間T2和退相位時間T2*表征,二者分別對應不同的弛豫機制.橫向弛豫主要來自于NV 色心電子自旋與周圍大量電子自旋和核自旋(自旋熱庫)的相互作用.當不考慮環(huán)境噪聲時自旋量子態(tài)會在外加靜磁場的作用下繞Bloch 球中z軸以拉莫頻率ωe=γeB0進動.自旋熱庫的作用相當于在每次實驗中沿主軸方向附加一個隨機的局域磁場,從而每次實驗拉莫進動頻率有細微的不同,一定時間內積累的相位不再是定值,而是滿足一定的分布.這樣多次實驗后〈Sx〉和〈Sy〉因為平均效應發(fā)生衰減,并且隨時間積累逐漸趨于零.這個隨機的局域磁場稱為Overhauser 場,它導致的拉莫頻率偏差記為δ0.Overhauser 場中準靜態(tài)成分引起的弛豫過程,稱為退相位過程,由退相位時間描述.在退相位過程中局域磁場是準靜態(tài)的,δ0在單次實驗中保持不變,在多次實驗中滿足高斯分布.圖3(a)是實驗測得的退相位過程作用下電子自旋的自由感應衰減(free induction decay,FID)曲線,插圖是實驗測量的微波脈沖序列—拉姆齊序列(Ramsey sequence)[18].圖中紅點為實驗數(shù)據(jù)點,誤差棒為實驗統(tǒng)計標準差.黑色實線是對實驗數(shù)據(jù)的擬合結果,黑色虛線為其對應的包絡線.根據(jù)準靜態(tài)噪聲模型擬合,可以得到退相位時間=1.68(3) μs 以及對應的δ0分布,結果如圖3(b)所示.

圖3 NV 色心電子自旋的退相位過程[18] (a) 電子自旋的自由感應衰減曲線,插圖為實驗脈沖序列;(b) 準靜態(tài)噪聲 δ0 的分布 P (δ0)Fig.3.Dephasing process of the electron spin of the NV center[18]:(a) FID of the electron spin,the inset is the experimental pulse sequence;(b) probability density distribution of δ0 .

在拉姆齊序列中t=τ/2 位置插入一個 π 脈沖,則得到Hann 回波序列.施加Hann 回波序列后量子態(tài)在脈沖前半段積累的相位與后半段積累的相位相互抵消,從而消除了單次實驗中準靜態(tài)噪聲δ0帶來的影響.這時測得的相干衰減,主要來源于Overhauser 場的非準靜態(tài)部分,即每次實驗中局域磁場的動態(tài)漲落.這個退相干過程由T2表征.T2一般在百微秒到毫秒量級,遠長于=1.68 μs.這說明Overhauser 場在單次實驗中動態(tài)漲落很小,NV 色心的退相干主要來自每次實驗中準靜態(tài)噪聲δ0的差異.

要實現(xiàn)對NV 色心電子自旋的量子控制,需要施加微波脈沖.因此除了NV 色心本身的環(huán)境噪聲外,還存在操控場噪聲,主要考慮操控場強度漲落δ1帶來的噪聲.一般在量子控制的時間尺度內操控場漲落很小,因此可以將操控場噪聲δ1看作準靜態(tài)的,且通常認為δ1滿足洛倫茲分布[19].實驗上通過測量拉比振蕩衰減可以確定準靜態(tài)操控場的漲落分布.圖4(a)是實驗測得的電子自旋拉比振蕩衰減曲線,圖中綠點、黑色實線和虛線分別是實驗數(shù)據(jù)點、對實驗點的擬合和擬合曲線的包絡,插圖為實驗測量的微波脈沖序列.根據(jù)準靜態(tài)操控場噪聲模型對實驗數(shù)據(jù)擬合,得到特征時間=73(7) μs以及δ1的分布如圖4(b).

圖4 操控場噪聲下NV 色心的退相干[18] (a) 電子自旋的拉比振蕩,插圖為實驗脈沖序列;(b) 準靜態(tài)操控場噪聲δ1 的分布 P (δ1)Fig.4.Decoherence of the NV center under control field noise[18]:(a) Results of the nutation experiment for the electron spin,the inset is the experimental pulse sequence;(b) probability density distribution of δ1 .

實驗選取的NV 色心的T1在毫秒量級,T2在百微秒到毫秒量級,,分別為1.68 μs 和73 μs.從它們的相對大小可以看出,量子控制中主要噪聲來自于準靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0和操控場噪聲δ1.如果能對這兩類噪聲加以抑制,就能夠極大地延長量子態(tài)的相干時間,實現(xiàn)高精度的量子控制.

4 單自旋量子控制的應用

經(jīng)過多年的實驗研究發(fā)展,基于金剛石NV 色心體系的量子控制技術已經(jīng)相當成熟,不僅能將普適量子邏輯門保真度提高到容錯量子計算的閾值,還能對時間最優(yōu)問題和可編程量子控制進行深入的研究.同時,對于新興的研究領域比如非厄米物理,在NV 色心體系上也能實現(xiàn)普適的非厄米量子控制.本節(jié)將介紹基于NV 色心體系的量子控制研究進展和應用,包括動力學糾錯門[20]、單比特和兩比特的容錯量子邏輯門[18]、時間最優(yōu)量子控制[21]、可編程量子控制[22]和基于宇稱時間對稱哈密頓量的量子控制[23].

4.1 動力學糾錯門

早期研究中,常通過動力學解耦序列[24—28](如前文的Hann 回波序列)來延長量子態(tài)的相干時間,所能達到的相干時間極限為T1ρ[29].之后動力學解耦被用作保護量子邏輯門[15,30,31],通過量子邏輯門控制序列和動力學解耦序列的巧妙結合,在實現(xiàn)目標量子控制的同時抑制環(huán)境噪聲.但這種方法原則上要求解耦脈沖的強度無限大,而實際物理體系中操控強度總是有限的.因此有研究工作基于有限操控強度設計了抑制環(huán)境噪聲的量子邏輯門序列,即動力學糾錯門[32—36].

在各種動力學糾錯門中,研究者發(fā)現(xiàn)一類稱為SUPCODE (soft uniaxial positive control for orthogonal drift error)的脈沖序列,能夠有效抑制NV 色心中磁場漲落和自旋熱庫耦合帶來的準靜態(tài)噪聲δ0[28].SUPCODE 序列由不止一段脈沖組成,調節(jié)每段脈沖的幅度、相位和時長等參數(shù),能夠像Hann 回波序列一樣使前后脈沖中準靜態(tài)噪聲帶來的偏差相互抵消,從而抑制準靜態(tài)噪聲引起的退相干,提高量子邏輯門保真度.下面以量子邏輯門為例說明SUPCODE序列對準靜態(tài)噪聲的抑制效果[20].考慮環(huán)境噪聲強度δ0遠小于脈沖操控強度ω1,通過計算可知,對于普通方波脈沖,準靜態(tài)噪聲對量子邏輯門保真度的影響是二階的;對于由三段脈沖組成的3-piece SUPCODE 序列,準靜態(tài)噪聲對保真度的影響是四階的;而由五段脈沖組成的5-piece SUPCODE序列,能夠將準靜態(tài)環(huán)境噪聲對量子邏輯門保真度的影響抑制到六階[20].如果想抑制更高階的噪聲,則序列需要更多段的脈沖提供足夠的參數(shù)自由度來消除更多的噪聲高階項.理論上通過不斷增加SUPCODE 序列的脈沖段數(shù),可以將準靜態(tài)環(huán)境噪聲對量子邏輯門的影響抑制到任意高階.

研究者利用NV 色心體系,通過調節(jié)微波偏共振模擬準靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0,研究和驗證了SUPCO DE 序列實現(xiàn)的量子邏輯門保真度與δ0的關系[20].具體實驗過程如下:首先將NV 色心電子自旋量子比特初始化到|0〉態(tài),然后分別施加量子邏輯門為R(π)的普通方波脈沖、3-piece SUPCODE 脈沖序列和5-piece SUPCODE 脈沖序列,最后測量在不同環(huán)境噪聲δ0/ω1下的末態(tài)保真度偏差δf=1-理論計算表明,末態(tài)保真度的偏差隨δ0/ω1的階數(shù)關系(表1)與量子邏輯門保真度的階數(shù)一致,因此可以用末態(tài)保真度來衡量對應δ0噪聲下量子邏輯門保真度.

表1 不同量子邏輯門序列下末態(tài)保真度的偏差隨 δ0/ω1 的階數(shù)關系[20]Table 1.Infidelity of quantum gate for different pulses as a function of δ0/ω1 [20].

實驗中設置微波偏共振從1.5 MHz 到6 MHz.由拉姆齊脈沖實驗和拉比振蕩實驗結果,得到準靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0和操控場噪聲δ1分布的線寬分別為0.03 MHz 和0.11 MHz,均遠小于微波偏共振.因此可以認為實驗中的噪聲主要來自偏共振模擬的準靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0.測得不同脈沖序列下末態(tài)保真度偏差隨準靜態(tài)噪聲δ0變化如圖5 所示,圖中實線對應表1 中的理論計算結果,灰色虛線代表實驗數(shù)據(jù)的不確定度水平.在誤差范圍內,實驗數(shù)據(jù)與理論吻合,證明了普通方波脈沖、3-piece 和5-piece SUPCODE 脈沖序列分別將準靜態(tài)噪聲δ0對量子邏輯門保真度的影響抑制到了二階、四階和六階.

圖5 實驗驗證SUPCODE 序列在實現(xiàn)量子邏輯門時對準靜態(tài)環(huán)境噪聲的抑制效果[20]Fig.5.Experimental demonstration of the robustness of SUPCODE against the noise stemming from the quasistatic fluctuation of Overhauser field[20].

保真度是衡量量子控制準確性的一個重要指標.5-piece SUPCODE 序列實現(xiàn)的量子邏輯門的保真度很高,實驗上難以直接地精確測量,但可以通過級聯(lián)的方式間接得到.5-piece SUPCODE 序列實現(xiàn)的量子控制可以看作理想量子邏輯門演化的同時進行特征時間T1ρ的弛豫過程.由于SUPCODE 序列時間為τp=5.06 μs,遠小于弛豫時間T1ρ,兩個過程可以認為相互獨立,即量子態(tài)先進行理想量子邏輯門演化再進行相同時長的弛豫.T1ρ弛豫過程可以用退極化通道描述εD(ρi)=pI/2+(1-p)ρi,其中,為單個5-piece SUPCODE 序列的時間內T1ρ弛豫導致量子態(tài)發(fā)生錯誤的概率.級聯(lián)M個5-piece SUPCODE 序列對應量子邏輯門保真度為實驗上通過量子過程層析技術[37]確定級聯(lián)M個5-piece SUPCODE 序列在泡利基下的過程矩陣,利用過程矩陣計算得到量子邏輯門保真度如圖6.圖中M分別取0,27,54,81,108,135,黑色實線為理論給出保真度FM與M個序列總時間T=Mτp的關系,灰色區(qū)域為T1ρ的測量不確定度導致的不確定區(qū)域.可以看出,實驗結果與理論符合的很好.由此模型計算,取M=1 得到單個5-piece SUPCODE 序列實現(xiàn)的量子邏輯門保真度為0.9961(2).

圖6 級聯(lián)5-piece SUPCODE 序列實現(xiàn)的量子邏輯門保真度隨序列時長的關系[20]Fig.6.Decay of the fidelity of 5-piece SUPCODEs[20].

4.2 普適容錯量子邏輯門

和經(jīng)典計算機一樣,量子計算過程中量子比特會受到退相干噪聲、操控測量噪聲等因素影響發(fā)生錯誤.為了保障計算結果的可靠性,需要相應的糾錯手段.仿照經(jīng)典糾錯碼在編碼時引入冗余的思路,如果用多個物理的量子比特編碼成一個邏輯量子比特,利用物理比特之間的關聯(lián)來檢測并糾正錯誤,就可以將量子計算出錯的概率降到任意低,實現(xiàn)容錯量子計算.容錯量子計算的首要條件是實現(xiàn)達到容錯閾值的高保真度量子邏輯門.因為在糾錯時要對物理量子比特進行一系列操作,如果量子邏輯門的保真度低于容錯閾值,不僅達不到糾錯的目的,還可能引入額外的錯誤.動力學糾錯門能有效抑制量子邏輯門過程中的準靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0,實現(xiàn)保真度為0.9961 的單比特量子邏輯門.然而量子邏輯門的保真度不僅受限于環(huán)境噪聲δ0,還受限于操控場噪聲δ1.要實現(xiàn)更高的量子邏輯門保真度,就需要同時抑制這兩類噪聲.本節(jié)展示了單比特容錯量子邏輯門和兩比特容錯CNOT 門的設計方法和實驗結果.

圖7 以量子邏輯門R(x?,π/2) 為例展示了不同脈沖序 列對環(huán) 境噪聲δ0和操控場噪聲δ1抑制效果[18].每個子圖的下半部分為不同準靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0和操控場噪聲δ1下的量子邏輯門保真度,黑色實線為保真度0.9999 的等值線.子圖上半部分為對應脈沖序列,其中上下兩行代表各段脈沖的相位和轉過的角度.可以看出,對于普通方波脈沖(圖7(a)),僅原點附近很小的一塊區(qū)域保真度大于0.9999.這是因為普通方波脈沖對準靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0和操控場噪聲δ1并沒有特別的抑制效果,二者對于保真度的影響都是二階的.而5-piece SUPCODE 脈沖序列(圖7(b)),能夠將δ0對保真度的影響抑制到六階.因此圖中黑色實線圍成的區(qū)域沿δ0方向擴大,但在δ1方向是比圖7(a)中普通方波脈沖對應的區(qū)域還要小.這說明5-piece SUPCODE 脈沖序列雖然能很好地抑制準靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0,但受操控場噪聲δ1影響比普通方波脈沖還大.

圖7(c)展示的是一種常用的能抑制操控場噪聲δ1的量子邏輯門的脈沖序列—BB1 (broadband number 1)脈沖序列[38].BB1 脈沖序列可以將δ1對保真度的影響抑制到六階,但δ0的影響仍是二階的.圖7(c)中保真度大于0.9999 的區(qū)域沿δ1方向顯著增大,但在δ0方向的增大并不明顯,表明BB1序列對δ0的抑制并不理想.

圖7 實現(xiàn)量子邏輯門的各種脈沖序列及在噪聲影響下的保真度[18] (a) 普通方波脈沖;(b) 5-piece SUPCODE 脈沖序列;(c) BB1 脈沖序列;(d) BB1inC 脈沖序列Fig.7.Pulse sequences for quantum gate and the fidelity under noises[18]:(a) Plain pulse;(b) 5-piece SUPCODE pulse;(c) BB1 pulse;(d) BB1inC pulse.

上述幾種脈沖序列都只能抑制δ0或δ1.想要實現(xiàn)對δ0和δ1的同時抑制,需要設計新的量子邏輯門脈沖序列.一個基本的思路是,基于已有的SUP CODE 和BB1 等能單獨抑制某項噪聲的脈沖序列,將能抑制δ0的脈沖序列與能抑制δ1的脈沖序列以嵌套的方式組合[39,40].脈沖序列的嵌套,指對于一個由多段方波脈沖組成的脈沖序列Aseq,每段脈沖對應的量子操作用脈沖序列Bseq而不是普通方波脈沖來實現(xiàn),得到的新脈沖序列記為BseqinAseq.脈沖序列Bseq稱為內嵌序列,脈沖序列Aseq稱為外套序列.然而,將任意一個能抑制δ0的序列和一個能抑制δ1的序列嵌套,并不能保證新脈沖序列同時抑制δ0和δ1.比如,將5-piece SUPCODE 序列嵌套在BB1 序列中,得到的序列卻不能保留BB1 序列抑制δ1的特性,δ1對保真度的影響依然是二階的;而如果將BB1 序列嵌套在5-piece SUPCODE 序列中,新序列能同時將δ0和δ1對量子邏輯門保真度的影響抑制到四階.

研究者嘗試了多種不同外套和內嵌序列的嵌套方案,在保證同時抑制δ0和δ1的前提下,使高保真度區(qū)域盡可能大,以保證實現(xiàn)的量子邏輯門保真度盡可能高.最終選擇將BB1 序列作為內嵌序列嵌套到CORPSE 序列中,得到BB1inC 序列(圖7(d)).CORPSE 序列是一種能夠抑制δ0的量子邏輯門組合脈沖[41],δ0和δ1對其保真度的影響分別是四階和二階.與圖7(a)的普通方波序列相比.圖7(d)中BB1inC 脈沖序列對應的高保真度區(qū)域在δ0和δ1方向上都增大了很多.

實驗上通過測量量子邏輯門保真度來驗證各脈沖序列對于噪聲的抑制效果.由于待測邏輯門保真度都很高,測量時受初態(tài)制備誤差和測量誤差的影響較大.因此采用不受初態(tài)制備和測量誤差的影響的RB (randomized benchmarking)方法對高保真度進行精確測量[42].測量時先將量子比特初始化到|0〉態(tài),然后施加若干個隨機的量子門計算單元.每個量子門計算單元包括一個從泡利群中隨機選取的泡利門和從克利福德群中選取的非泡利克利福德門,計算單元中的量子邏輯門由待測的脈沖序列實現(xiàn).最后測量末態(tài)保真度.因為量子門計算單元中的泡利門和克利福德門是隨機選取的,所以需要重復多次實驗取保真度的平均值.對于由n個量子門計算單元組成的序列,當重復次數(shù)足夠多時,末態(tài)平均保真度Fˉ 與量子門計算單元個數(shù)n滿足其中d與初態(tài)制備和測量誤差有關,ε為單個量子邏輯門的平均出錯概率.實驗上通過測量末態(tài)平均保真度隨n的關系并根據(jù)上式擬合,可以得到量子邏輯門的平均出錯概率ε,則待測量子邏輯門的平均保真度為Fa=1-ε.

圖8 是用RB 方法對上面四種脈沖序列實現(xiàn)的單比特量子邏輯門保真度測量的實驗結果[18].圖中深藍色正方形、綠色三角、藍色圓形和紅色菱形分別為普通方波脈沖、5-piece SUPCODE 脈沖序列、BB1 脈沖序列和BB1inC 脈沖序列對應的實驗結果,實線為對四組實驗數(shù)據(jù)的擬合結果,擬合得到的量子邏輯門的平均出錯概率ε畫在插圖中.根據(jù)擬合結果,5-piece SUPCODE 脈沖序列實現(xiàn)的量子邏輯門平均保真度為0.99916(8),低于普通方波脈沖對應的平均保真度0.99968(6).這說明實驗中相較于環(huán)境噪聲δ0,操控場噪聲δ1占主導,而5-piece SUPCODE 脈沖序列對δ1的抑制效果不如普通方波脈沖,所以保真度更低.當施加能夠抑制δ1的BB1 脈沖序列時,量子邏輯門的平均保真度顯著提高,達到0.999945(6),這也說明了δ1噪聲是量子邏輯門出錯的主要因素.BB1inC 脈沖序列因為能同時抑制δ0和δ1,量子邏輯門的平均保真度相較于BB1 序列也有所提升,為0.999952(6),達到了容錯量子計算對保真度的閾值要求[43],代表了目前固態(tài)自旋體系單比特量子邏輯門保真度的最高水平.

圖8 單比特量子邏輯門保真度的實驗測量結果,插圖為四種脈沖序列對應的量子邏輯門的出錯概率 ε [18]Fig.8.Average fidelity of single-qubit gates,where the inset shows the average error per gates of the pulses[18].

想要實現(xiàn)普適的容錯量子控制,除了一組普適的單比特量子邏輯門外,還需要一個非平庸的兩比特量子邏輯門,實驗中選的是兩比特CNOT 門.為了提高兩比特CNOT 門的保真度達到容錯閾值,通過改進的梯度上升算法優(yōu)化組合脈沖中的參數(shù),使得在δ0和δ1影響下高保真度區(qū)域盡可能大.在確定各段脈沖的參數(shù)后,通過圖9(a)所示的量子線路圖測量連續(xù)施加N個CNOT 門,得到末態(tài)在|0,1〉上的布居度與N的關系如圖9(b),其中N取偶數(shù)[18].理想情況下布居度應該恒為1,但在δ0和δ1影響下末態(tài)布居度會隨N增大不斷衰減.而布居度的振蕩來自于實際實現(xiàn)的CNOT 門與理想CNOT 門的偏差.圖中藍色虛線是只考慮δ0和δ1分布的擬合結果,與實驗數(shù)據(jù)偏差較大.這是因為擬合使用的超精細耦合強度A和共振頻率Ω都是通過實驗測量得到的,與實際值存在一定的偏差.將偏差 δA和 δΩ作為參數(shù)重新擬合,得到紅線與實驗結果符合的很好,對應的CNOT 門平均保真度為0.9920(1),達到了容錯閾值.

圖9 測量CNOT 門保真度的量子線路圖(a)和實驗結果(b)[18]Fig.9.Quantum circuit diagram (a) and experimental result (b) for measuring the fidelity of CNOT gates[18].

4.3 時間最優(yōu)量子控制

在量子控制中不可避免地會受到各種噪聲的影響,第4.2 節(jié)展示了通過優(yōu)化組合脈沖對抗噪聲的方法能夠實現(xiàn)高精度的量子控制.從另一個角度出發(fā),如果能實現(xiàn)時間最優(yōu)控制即在最短的時間內完成量子控制,不僅能在有限的相干時間內進行更多的量子操作,還能減少量子系統(tǒng)與環(huán)境作用的時間,提高量子控制的精度.與針對性的抑制噪聲方法不同,時間最優(yōu)量子控制不需要預先知道噪聲相關的信息,能普適地提高量子邏輯門保真度.

量子領域的時間最優(yōu)控制問題,指在系統(tǒng)操控強度和哈密頓量受限的情況下,如何在最短時間內實現(xiàn)特定的量子控制.如圖10,類比于Zermelo 的導航問題[44],對于給定的目標量子操作UF,有很多條路徑使演化算符從初始時刻的U(0)=I變到U(T)=UF,每條路徑對應一個含時哈密頓量[21].而量子操控強度有限對應導航問題中的航速有限,哈密頓量受限在某個子空間意味著路徑不能任意選取.時間最優(yōu)量子控制就是從中找出時間T最短的一條路徑.經(jīng)典理論中對時間最優(yōu)控制比如最速降線問題有比較深入的研究,量子控制領域也有量子最速降線方程,通過求解量子最速降線方程即可得到相應時間最優(yōu)量子控制.然而對于兩比特系統(tǒng)乃至更高維的情況,量子最速降線方程并沒有有效的求解方法.直到2015 年有研究者提出了測地線方法[45],能對多比特系統(tǒng)的量子最速降線方程進行有效的數(shù)值求解.利用這種方法在金剛石NV色心體系上首次實現(xiàn)了兩比特時間最優(yōu)控制[46].

圖10 時間最優(yōu)控制示意圖[21]Fig.10.Schematic diagram of time optimal quantum control[21].

圖11 是利用NV 色心體系實現(xiàn)單比特最優(yōu)控制的實驗結果,紅色代表時間最優(yōu)量子控制,藍色代表利用歐拉轉動實現(xiàn)的量子控制[21].從圖11(a)可看出,對于Bloch 球中繞z軸的轉動操作,由于實驗中哈密頓量受限,歐拉轉動消耗的時間確實比時間最優(yōu)控制所消耗的時間更多.時間最優(yōu)控制和歐拉轉動實現(xiàn)量子控制的路徑可以通過圖11(b)給出的〈Sy〉和〈Sz〉隨時間的關系來展示.

圖11 時間最優(yōu)量子控制和歐拉轉動實現(xiàn)單比特操控R(,θ) 花費時間對比[21] (a) 轉角 θ 分別為 π/8 ,π/4 ,π/2和 π 時,實現(xiàn)單比特操控 R (,θ) 耗時對比;(b) 時間最優(yōu)量子控制和歐拉轉動下量子態(tài)的演化過程Fig.11.Comparison on time costs for target gate operator R(,θ)between the derived time-optimal control (TOC)and the Euler rotations[21]:(a) Comparison of experimental gate time for θ =π/8 ,π/4 ,π/2 ,and π ;(b) state evolutions during R (,θ) with TOC and Euler rotation.

對于兩比特的情況,選取受控操作U(T):當核自旋處于mI=|1〉時,電子自旋保持不變;當核自旋處于mI=|0〉時,對電子自旋做σy操作.利用選擇性脈沖實現(xiàn)U(T)所花費的時間為612.4 ns,而通過測地線方法求解量子最速降線方程,得到的時間最優(yōu)控制脈沖序列總時長為446.1 ns,比選擇性脈沖短166.3 ns.圖12(a)和圖12(b)分別展示了在mI=|1〉和mI=|0〉子空間內電子自旋初態(tài)為|0〉時量子態(tài)在時間最優(yōu)控制下的演化路徑,左圖是Bloch 球上的演化軌跡,右圖是對應子空間內電子自旋布居度隨時間的變化[21].可以看出,在mI=|1〉子空間內,電子自旋量子態(tài)沿一條曲折的路徑最終回到了初始位置;而在mI=|0〉子空間內電子自旋狀態(tài)發(fā)生了翻轉,這與預期的受控操作U(T)是一致的.為了檢驗時間最優(yōu)控制對噪聲的抑制效果,利用量子層析技術測出兩比特時間最優(yōu)控制的保真度為0.99(1),同樣達到了容錯量子計算的閾值.在NV 色心上首次實現(xiàn)的兩比特時間最優(yōu)控制,不僅驗證了多比特時間最優(yōu)控制的可行性,還提供一種提高量子邏輯門保真度的普適方法.

圖12 初態(tài)為(a) | 0,1〉 和 (b) | 0,0〉 時量子態(tài)在兩 比特時間最優(yōu)控制下的演化[21]Fig.12.State trajectories under the two-qubit controlled-U gate by TOC with initial states (a) | 0,1〉 and (b) | 0,0〉 [21].

4.4 可編程量子控制

在經(jīng)典計算機中,硬件單元和它能實現(xiàn)的操作是固定的,卻能通過軟件編程實現(xiàn)各種算法完成不同的功能,這就是可編程控制的概念.同樣地,人們希望實現(xiàn)通用量子計算機,能在不改變物理硬件的前提下通過可編程量子控制實現(xiàn)各種量子算法.然而理論上已經(jīng)證明不存在完全量子的確定性的可編程量子器件[47].對于概率性的可編程量子器件[48,49],每次量子控制的成功概率小于1,且需要通過測量并進行后選擇操作才能判斷是否成功實現(xiàn)目標量子控制.而一個大型的量子線路由很多可編程器件組成,導致整個計算成功的概率趨于零而難以實際應用.于是研究者采用與經(jīng)典計算機結合的方法,利用普適的量子線路圖,將量子算法分解成由一系列量子邏輯門,把量子操作編碼成量子邏輯門脈沖序列的時間、幅度、相位等參數(shù),通過經(jīng)典計算機輸入這些經(jīng)典參數(shù)來施加不同的量子控制以完成相應的量子算法.利用這種方法在NV 色心體系上實現(xiàn)了兩比特可編程量子處理器[22],為將來大規(guī)模的可編程量子計算打下了基礎.

任意的量子算法都可以表示成普適的量子線路圖,用一組量子邏輯門實現(xiàn).根據(jù)具體物理體系能實現(xiàn)的量子邏輯門集合,選擇合適的量子線路圖,就能將一個完整的量子算法編碼成一系列的參數(shù).對于兩比特的情況,單比特門和一個非平庸的兩比特門就可以實現(xiàn)普適的量子控制.具體而言,一個任意兩比特量子邏輯門可以分解為3 個CNOT門和15 個從集合{Rx,Rz}中選取的單比特門[50].在NV 色心體系中,實現(xiàn)兩比特操作比CNOT 門更方便.因此用Uzz門代替CNOT 門,而單比特門可以從集合{Rx,Ry,Rz}中選取,得到兩比特普適量子線路如圖13[22].任意的兩比特操作U可以作分解U=(C ?D)·V ·(A ?B),由3 個Uzz門和12 個單比特門組成,總共包含15 個可調的參數(shù).

圖13 普適可編程量子邏輯線路[22]Fig.13.Universal programmable quantum logic circuit[22].

量子線路圖中的單比特門可以用圖14 中的脈沖實現(xiàn)[22].對于電子自旋比特,一段相位為?,幅度為ω1,持續(xù)時間t=θ/ω1的微波脈沖就可以實現(xiàn)單比特量子操作R(θ,?) .由于核自旋和電子自旋的超精細耦合,核自旋狀態(tài)不同時,電子自旋的共振頻率有一定的差別,因此要求對電子自旋施加的微波脈沖幅度遠大于超精細耦合常數(shù),使得微波脈沖實現(xiàn)的量子操作與核自旋狀態(tài)無關.而對于核自旋比特,由于核自旋的相干時間比電子自旋大3 個數(shù)量級,在操控核自旋時電子自旋會發(fā)生退相干.因此實驗中采用退相干保護邏輯門的方法,施加圖14(b)所示的XY-4 序列來保護電子自旋的相干,在XY-4 序列脈沖的間隙內施加射頻脈沖,對核自旋實現(xiàn)不依賴電子自旋的單比特操作R(θ,?) .

圖14 單比特門對應的脈沖[22]Fig.14.Realization of the single-qubit gate[22].

利用普適量子線路圖,在由NV 色心構建的兩比特可編程量子處理器上,只需要修改脈沖參數(shù)就能實現(xiàn)任意的兩比特量子算法,在該平臺上演示的兩個典型量子算法:Deutsch-Jozsa 算法和Grover搜索算法,成功率都超過80%[22].

4.5 宇稱時間對稱哈密頓量的量子控制

量子力學中基本假設要求可觀測量用厄米算符表示,系統(tǒng)的哈密頓量算符也不例外.哈密頓量的厄米性保證了系統(tǒng)的本征能量為實數(shù),但是對于某些非厄米哈密頓量比如宇稱時間(PT)對稱哈密頓量,在對稱非破缺的情況下也具有實的能量本征值[51].于是人們嘗試將量子力學基本假設中的厄米性條件推廣為PT對稱條件,以此為基礎建立PT對稱量子力學.相關理論可以參考文獻[52-56].下面簡單介紹背景知識.

PT對稱哈密頓量指滿足對易關系[HP T,PT]等于0 的哈密頓量HP T.其中P,T為宇稱算符和時間反演算符,二者是四階反演群的生成元,滿足P2=T2=I,[P,T]=0.由于時間反演算符T是反線性算符,雖然哈密頓量HP T與PT算符對易,但二者并不一定具有共同本征態(tài).考慮一個簡單的兩能級PT對稱系統(tǒng)的哈密頓量:

其中r是實參數(shù),二維希爾伯特空間中P,T算符表示為

可以驗證HPT與PT算符對易.HPT的本征能量為當參數(shù)|r|＜1時,本征能量為實數(shù),哈密頓量與PT算符有共同本征態(tài),稱為PT對稱非破缺.特別地,當r=0 時,哈密頓量是厄米的,兩個本征態(tài)正交.而當哈密頓量是非厄米即r/=0 時,兩個本征態(tài)不相互正交.當參數(shù)|r|＞1 時,本征能量為虛數(shù),哈密頓量與PT算符不再有共同本征態(tài),稱為PT對稱破缺.PT對稱非破缺區(qū)域和破缺區(qū)域的交界點|r|=1 稱為奇異點.在PT對稱非破缺區(qū)域,當r從0 開始逐漸趨近于奇異點|r|=1 時,兩個實本征值大小逐漸接近,直到|r|=1處完全簡并,此時本征態(tài)也發(fā)生簡并.當|r|進一步增大,PT對稱性發(fā)生破缺,本征值變?yōu)橐粚曹椀奶摂?shù).PT對稱系統(tǒng)由于存在奇異點這一特殊的拓撲結構以及傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)中沒有的新奇物理現(xiàn)象,如非厄米系統(tǒng)的體邊對應關系[57]、非厄米趨膚效應[58]、非厄米拓撲相[59]等,引起了研究者們的廣泛關注.然而通常量子體系都是厄米的,在其中實現(xiàn)PT對稱哈密頓量并不容易.因此,早期的實驗研究主要是用經(jīng)典光學體系,通過引入耗散或者增益來模擬薛定諤方程下PT對稱哈密頓量的演化[60,61].除了光學體系,在電路[62—64]、微波[65]、力學[66]和聲學[67—69]等經(jīng)典體系中都實現(xiàn)了對PT對稱哈密頓量的模擬研究.盡管在經(jīng)典體系的模擬研究能很好地展示PT對稱哈密頓量的物理性質,但想要更深入地研究PT對稱哈密頓量尤其是奇異點附近的奇特性質,需要在實際的量子體系中真正實現(xiàn)PT對稱哈密頓量.

2019 年有研究者提出了一種在量子系統(tǒng)中實現(xiàn)PT對稱哈密頓量的普適方法,并且在金剛石NV 色心系統(tǒng)上進行了實驗驗證,首次在單自旋體系中實現(xiàn)了量子態(tài)在PT對稱哈密頓量下的演化,觀測到PT對稱破缺現(xiàn)象[23].同期在冷原子系綜體系[70]以及超導量子體系[71]中也實現(xiàn)了PT對稱哈密頓量,然而二者都是通過引入耗散實現(xiàn)PT對稱哈密頓量的.耗散會極大地破壞量子態(tài)的相干,嚴重局限了這種方式在非厄米相關領域研究中的應用.而在NV 色心體系上的實現(xiàn)方法是通過引入一個輔助比特,將PT對稱哈密頓量HP T擴展為一個厄米哈密頓量Hs,a(t),然后選取厄米系統(tǒng)的一個子空間,使子空間中量子態(tài)滿足非厄米哈密頓量的演化規(guī)律.可以證明,這種方法是普適的,從PT對稱非破缺區(qū)域到PT對稱破缺區(qū)域、乃至任意非厄米哈密頓量,從不含時到含時哈密頓量,都可以通過一個輔助比特實現(xiàn),且不會破壞量子系統(tǒng)的相干性.這對于含有多重簡并的高階奇異點,以及奇異點附近的拓撲性質和動力學性質的研究具有突破性的意義.

根據(jù)這種擴展的方法,(4)式中的非厄米哈密頓量可以擴展為兩比特的厄米哈密頓量Hs,a(t)=其中Ai(t)(i=1,2,3,4) 是展開系數(shù).為了在金剛石NV 色心實現(xiàn)該哈密頓量,選取電子自旋為系統(tǒng)比特,核自旋為輔助比特,并施加兩路選擇性的微波脈沖.通過控制兩路微波脈沖的幅度、頻率、相位來實現(xiàn)對應哈密頓量演化,最后對輔助比特沿σy本征態(tài)測量并選取的測量結果,對應電子自旋演化即為PT對稱哈密頓量HP T下的演化.圖15 為對應量子線路圖[23].

圖15 金剛石NV 色心體系中實現(xiàn)PT 對稱哈密頓量的量子線路圖[23]Fig.15.Quantum circuit of the experiment of constructing a PT symmetric Hamiltonian in a NV center[23].

圖16(a)—圖16(d)分別展示了NV 色心體系中量子態(tài)在厄米哈密頓量、PT對稱非破缺區(qū)域、奇異點處和PT對稱破缺區(qū)域的演化[23].紅色實線為理論預期,藍色圓點為實驗結果.可以看出,當系統(tǒng)哈密頓量位于PT對稱非破缺區(qū)域時,量子態(tài)以一定周期在|0〉態(tài)和|1〉態(tài)之間振蕩.隨著參數(shù)r從0 逐漸增大趨向于1,哈密頓量由厄米趨向于奇異點,振蕩的周期不斷變長.在奇異點處,量子態(tài)演化不再呈現(xiàn)周期性振蕩,而是單調衰減并最終趨向于穩(wěn)態(tài).在PT對稱性破缺區(qū)域,隨著r繼續(xù)增大,量子態(tài)衰減趨向于穩(wěn)態(tài)的速率越來越快.如果對測得的量子態(tài)演化曲線與理論計算相擬合,可以得到PT對稱哈密頓量能量本征值隨參數(shù)r的關系,與理論預言的一樣.隨著參數(shù)r的增大,能量本征值從實數(shù)逐漸趨于0,在奇異點發(fā)生簡并,再發(fā)生PT對稱破缺變?yōu)榧兲摂?shù).圖16 確實地從實驗上觀測到了PT對稱哈密頓量破缺的過程和奇異點的存在.

圖16 量子態(tài)在PT 對稱哈密頓量 H P T 下的演化[23] (a) r =0,厄米哈密頓量;(b) r =0.6,PT 對稱非破缺;(c) r =1.0,奇異點;(d) r =1.4,PT 對稱破缺時的情況Fig.16.State evolution under H P T [23].Experimental dynamics of renormalized population P0 when r =0 (a),r =0.6 (b),r =1.0 (c),and r =1.4 (d).

5 總結與展望

本文主要從實驗角度出發(fā),介紹了NV 色心體系的能級結構和量子控制原理,詳細闡述了NV 色心的退相干機制和通過抑制退相干效應來提升量子控制精度的各種方法,以及應用NV 色心量子控制技術在量子物理領域取得的研究成果.

經(jīng)過多年的實驗研究和發(fā)展,對于NV 色心體系的量子控制已經(jīng)達到相當高的精度,不僅能夠實現(xiàn)高保真度的普適容錯量子邏輯門和時間最優(yōu)量子控制,還能構建可編程的量子處理器,這都為未來實現(xiàn)室溫下大規(guī)模的可編程量子計算打下了堅實的基礎.同時,對于新興的物理領域如非厄米物理,在NV 系統(tǒng)上也可以通過擴展的方法對非厄米量子體系中新奇的物理現(xiàn)象[72]進行觀測和研究.除此之外,NV 色心對磁場、電場、溫度等物理量都十分敏感,通過精確的量子控制可以利用NV 色心作為納米尺寸的探針,對各種微小信號進行精密測量.而非厄米系統(tǒng)中的奇異點,對于參數(shù)變化具有放大作用,因此可以用于進一步提高量子精密測量的靈敏度[73,74].這種納米尺度的高靈敏量子傳感器,在生物、化學等領域有著廣泛的應用前景和巨大的潛力.