脈沖渦流TR探頭解析模型的快速求解方法

張 卿，李曉光，孫加偉，孔玉瑩，朱悅銘，程婧婷，王海濤

(1.南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京 211100；2.中廣核檢測(cè)技術(shù)有限公司，江蘇 蘇州 215000)

0 引言

金屬材料如鋁、不銹鋼、碳鋼等在核電設(shè)備、石油化工設(shè)備等廣泛應(yīng)用。這些材料在使用過程中，由于惡劣現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境或電化學(xué)作用等會(huì)在材料內(nèi)部形成局部大面積腐蝕[1]，當(dāng)腐蝕達(dá)到一定程度時(shí)，可能會(huì)突然故障或爆裂，引發(fā)事故。因此，對(duì)這些材料進(jìn)行定期檢測(cè)對(duì)于保證設(shè)備的安全運(yùn)行具有重要意義。現(xiàn)有的檢測(cè)方法主要包括超聲檢測(cè)、射線檢測(cè)和渦流檢測(cè)方法等。超聲檢測(cè)可對(duì)設(shè)備表面和內(nèi)部缺陷進(jìn)行檢測(cè)，然而其需要耦合劑[2]，打磨被測(cè)件表面不光滑的部分，增加成本的同時(shí)又使檢測(cè)工序繁瑣化；對(duì)于射線檢測(cè)方法[3]，其相比超聲檢測(cè)工序更簡(jiǎn)單，無需打磨，但是依然有檢測(cè)速度慢的問題，并且檢測(cè)具有輻射風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)安全防護(hù)要求非常高，操作不便；渦流檢測(cè)操作方便，可以在不接觸被測(cè)件的條件下進(jìn)行檢測(cè)，但是由于趨膚效應(yīng)的影響，渦流集中在進(jìn)表面區(qū)域，因此該方法不適于內(nèi)部缺陷檢測(cè)，只能檢測(cè)被測(cè)件表面[4]。脈沖渦流檢測(cè)(PECT，pulsed eddy current testing)技術(shù)作為渦流檢測(cè)的新型分支，以階躍信號(hào)作為激勵(lì)，利用其頻譜寬的特點(diǎn)，對(duì)被測(cè)件表面及近表面缺陷進(jìn)行檢測(cè)，避免了傳統(tǒng)渦流檢測(cè)技術(shù)的局限[5]。因此，脈沖渦流在設(shè)備內(nèi)部缺陷的檢測(cè)中有良好的應(yīng)用前景。

近年來，脈沖渦流檢測(cè)技術(shù)越來越廣泛的被用于設(shè)備的內(nèi)部腐蝕檢測(cè)，圍繞其展開的研究也越來越多。為了更好的理解脈沖渦流的檢測(cè)機(jī)理，同時(shí)對(duì)現(xiàn)場(chǎng)設(shè)備檢測(cè)的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，研究人員一般會(huì)將實(shí)際檢測(cè)中遇到的問題進(jìn)行化簡(jiǎn)建模，并基于電磁理論分析求解模型。按照分析方法分類，脈沖渦流檢測(cè)模型可分為兩種，即“解析模型”和“數(shù)值模型”[6]。解析模型作為以閉式解為結(jié)果的模型，表征了檢測(cè)信號(hào)與檢測(cè)參數(shù)關(guān)系，在能夠?qū)崿F(xiàn)高精度且快速的計(jì)算，具有明確物理意義，因此在脈沖渦流檢測(cè)中得到了廣泛應(yīng)用。

關(guān)于脈沖渦流解析模型的研究，20世紀(jì)50年代Waidelich[7]建立了脈沖渦流模型，針對(duì)雙層導(dǎo)電材料，假設(shè)了被激勵(lì)線圈所激發(fā)的為平面電磁波，推導(dǎo)了時(shí)域解析解。然而，Mottl[8]研究表明能夠激發(fā)出平面電磁波的前提是激勵(lì)線圈足夠大或者被測(cè)件厚度無限大，因此在實(shí)際檢測(cè)中Waidelich所建立的模型具有低精度和大誤差的弊端。20世紀(jì)60年代，Dodd和Deeds[10]結(jié)合了分離變量法和麥克斯韋方程組推導(dǎo)了放置式線圈位于兩層半無限大導(dǎo)電材料平板上方的解析解。隨后，Cheng[11]針對(duì)Dodd-Deeds模型中計(jì)算繁瑣的系數(shù)矩陣提出了傳遞矩陣法；Theodoulidis[12-13]引入了截?cái)鄥^(qū)域特征函數(shù)展開法(TREE法,truncated region eigenfunction expansion)，以無窮級(jí)數(shù)代替了Dodd-Deeds模型中的積分表達(dá)式，簡(jiǎn)化了模型的求解過程，提高了計(jì)算效率。上述方法為后續(xù)脈沖渦流解析模型的研究奠定了基礎(chǔ)。

近年來，隨著脈沖渦流技術(shù)的日益廣泛應(yīng)用，需要解決的問題越來越多，對(duì)模型的多樣性及精度要求也越來越高。比如，由于陣列探頭的廣泛應(yīng)用，對(duì)其陣列單元——即激勵(lì)和接收線圈非同軸的Transmitter-Receiver陣列單元(以下簡(jiǎn)稱TR探頭)的解析分析需求迫切。Rybachuk[14]等和Yin等[15]基于極坐標(biāo)變化方法建立了關(guān)于TR探頭的二維解析模型，計(jì)算了矩形激勵(lì)線圈和圓環(huán)形截接收線圈的阻抗。隨后，Cao[16]等求解了矩形線圈作為接收線圈的模型并得到了含角度的雙重積分的線圈表達(dá)式。本課題組的Zhang[17]利用第一中值積分定理，求解了含角度雙重積分的線圈阻抗表達(dá)式，獲取了形式簡(jiǎn)單的解析解。然而，上述模型均將構(gòu)件局部大面積腐蝕缺陷等效為均勻壁厚減薄缺陷，精度較差。為提高模型建模精度，Theodoulidis求解了非鐵磁平板導(dǎo)體中含槽型缺陷[18]和通孔缺陷[19]的解析模型，分析了線圈阻抗隨缺陷深度和寬度變化的關(guān)系。本課題組的張卿[20]推導(dǎo)了鐵磁材料中含有平底盲孔試件的模型，進(jìn)一步拓寬了模型的適用范圍。然而，上述模型所用探頭為同軸式探頭。針對(duì)TR探頭，含平底盲孔構(gòu)件的解析模型還未得到研究。

基于此，本文在上述研究基礎(chǔ)上，對(duì)TR探頭檢測(cè)含平底盲孔構(gòu)件的脈沖渦流解析模型展開研究，并給出了一種快速求解該模型的方法：首先，建立含平底盲孔構(gòu)件脈沖渦流TR探頭解析模型，并分析其求解過程；然后，參考已有的TR探頭模型和含平底盲孔構(gòu)件同軸式探頭檢測(cè)模型，分別獲取線圈系數(shù)和廣義反射系數(shù)，進(jìn)而得到含平底盲孔構(gòu)件脈沖渦流TR探頭模型的解析解；最后，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上述解析模型的正確性。

1 模型求解方法分析

核電設(shè)備或石化管道中的設(shè)備通常分為很多層，考慮到石化行業(yè)中的設(shè)備每層材料不同且更為復(fù)雜，因此本文參考石化行業(yè)的帶包覆層管道，建立如圖1所示的含平底盲孔構(gòu)件脈沖渦流TR探頭解析模型。其中，第1層到第6層分別為：空氣、管道內(nèi)壁、管道外壁、外包覆絕緣層、最外保護(hù)層及空氣。在第6層中，TR探頭置于此，同時(shí)將該層分為3部分：I、I-II和II。另外，由于介質(zhì)電磁屬性在z方向?qū)傩圆煌?，平底孔?gòu)件被分為第2層和第3層兩層。其中第3層為材料及壁厚均勻構(gòu)件，第2層為包含深度(d1-d2)、半徑c的平底孔。而在第2層中，其又被平底孔劃分為兩個(gè)子區(qū)域，0≤r≤c為空氣區(qū)域，c

圖1 非同軸式激勵(lì)和接收線圈置于平底盲孔構(gòu)件上方

根據(jù)傅里葉變換，方波激勵(lì)可看作一系列諧波激勵(lì)的疊加，因此可先求解各諧波的感應(yīng)電壓，然后利用傅里葉逆變換，得到脈沖渦流的時(shí)域感應(yīng)電壓信號(hào)。根據(jù)Dodd-Deeds模型，諧波激勵(lì)下，接收線圈感應(yīng)電壓解的形式可表示為：

(1)

其中:j為虛數(shù)單位，ω為諧波的角頻率，I為諧波電流的幅值，μ0為真空磁導(dǎo)率；l1為提離，e-2αl1為提離系數(shù)；S(α)為線圈系數(shù)，R′(α)為廣義反射系數(shù)。e-2αl1、S(α)、R′(α)三者相互獨(dú)立，且S(α)僅與探頭結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，R′(α)僅與試件結(jié)構(gòu)相關(guān)，e-2αl1僅與探頭提離有關(guān)。

事實(shí)上，由于線圈系數(shù)、廣義反射系數(shù)和提離系數(shù)三者相互獨(dú)立，因此對(duì)于任意脈沖渦流檢測(cè)模型，諧波激勵(lì)下線圈的響應(yīng)均可以表示為式(1)所示的形式，且R′(α)僅與所求解模型的構(gòu)件有關(guān)、S(α)僅與探頭有關(guān)。同理，如果已經(jīng)獲取了其他模型的線圈系數(shù)和廣義反射系數(shù)，則相同探頭的線圈系數(shù)是相同的；如果相同試件的廣義反射系數(shù)也是相同的，則這些線圈系數(shù)和廣義反射系數(shù)不需要再重新計(jì)算，只要將其組合即可得到新模型的解析解。

基于上述分析，圖1所示的復(fù)雜模型可簡(jiǎn)化為圖2所示的兩種較為簡(jiǎn)單模型的組合。其中，如圖2(a)所示模型為保持探頭為同軸探頭不變，試件為含平地盲孔的試件。根據(jù)上文中的分析，圖2(a)所示模型的廣義反射系R′(α)與本文要求解的含平底盲孔構(gòu)件脈沖渦流TR探頭解析模型的廣義反射系數(shù)R′(α)相同；同樣，圖2(b)所示的為均勻減薄構(gòu)件TR探頭解析模型。由于圖2(b)所示模型和圖1所示模型的探頭結(jié)構(gòu)完全相同，則根據(jù)上述分析，圖1所示模型解析解中的線圈系數(shù)應(yīng)和圖2(b)所示模型的線圈系數(shù)一致。則通過圖2(a)和圖2(b)分別可獲取R′(α)和S(α)，將其帶入式(1)，即可求解平底盲孔構(gòu)件TR探頭檢測(cè)模型的解析解。

圖2 模型的簡(jiǎn)化

2 模型求解

根據(jù)第一章給出的思路，求解含平底盲孔構(gòu)件脈沖渦流TR探頭模型的解析解。其中，如圖2(a)所示的平底盲孔構(gòu)件同軸式探頭模型已經(jīng)在文獻(xiàn)[20]中得到了研究，因此通過文獻(xiàn)[20]可獲取廣義反射系數(shù)。同樣，如圖2(b)所示的均勻減薄構(gòu)件TR探頭解析模型已經(jīng)在文獻(xiàn)[17]中得到推導(dǎo)，因此線圈系數(shù)S(α)可通過文獻(xiàn)[17]獲取。

2.1 獲取廣義反射系數(shù)

廣義反射系數(shù)實(shí)質(zhì)上是反應(yīng)激勵(lì)線圈激發(fā)的電磁波在多層試件中傳播和衰減規(guī)律的系數(shù)。如圖3給出了電磁波在圖1所示多層結(jié)構(gòu)中的第4層到第6層的傳播過程示意圖，其中：第一次反射R6,5和第一次透射T6,5發(fā)生在第6層和第5層分界處，又因?yàn)榻橘|(zhì)厚度有限，在第5層的底面處，第一次透射波發(fā)生了多次反射和投射，同時(shí)一部分進(jìn)入第6層，因此在第6層中出現(xiàn)了第二次反射波T6,5R5,4T5,6η2、第n次反射波T6,5R(n-1)5,4R(n-2)5,6T5,6η2(n-1)…其中，η=e-β5(d4-d5)。廣義反射系數(shù)的含義為第6層中的所有反射波的幅值和相位和與入射波的比值。

圖3 電磁波在分層介質(zhì)中的傳播

文獻(xiàn)[20]已經(jīng)根據(jù)Dodd-Deeds模型和Cheng的傳遞矩陣法詳細(xì)的給出了圖2(a)所示模型的廣義反射系數(shù)推導(dǎo)過程，其求解的一般思路為：根據(jù)麥克斯韋方程組構(gòu)造圖2(a)所示模型各層的磁矢位A的表達(dá)式：

DkY1(αr)]dα

(2)

其中:k為層數(shù)，J1(αr)和Y1(αr)分別為第一類和第二類貝塞爾函數(shù)，μrk和σk分別為第k層的磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率，Ck、Bk、Dk為第k層的系數(shù)，廣義反射系數(shù)的表達(dá)式主要與系數(shù)Ck、Bk、Dk有關(guān)。

根據(jù)z方向和r方向的邊界條件求解系數(shù)Ck、Bk、Dk，并為簡(jiǎn)化求解過程，根據(jù)文獻(xiàn)[7]將其寫成矩陣形式：

(3)

最后，根據(jù)式(4)所示的傳遞矩陣中系數(shù)Ck、Bk與廣義反射系數(shù)的關(guān)系求解廣義反射系數(shù)，結(jié)果如式(5)所示:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

2.2 獲取線圈系數(shù)

線圈系數(shù)反應(yīng)的是線圈結(jié)構(gòu)對(duì)檢測(cè)結(jié)果的影響，其對(duì)于線圈設(shè)計(jì)和現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用中線圈的選擇具有重要指導(dǎo)意義。文獻(xiàn)[17]已經(jīng)推導(dǎo)了當(dāng)探頭結(jié)構(gòu)為TR探頭時(shí)，線圈系數(shù)的表達(dá)式，其一般的思路為：首先，獲取圖4所示接收線圈為單匝線圈時(shí)，線圈系數(shù)的表達(dá)式；其次，利用疊加原理得到接收線圈為矩形截面線圈時(shí)，線圈系數(shù)的表達(dá)式，此時(shí)得到的表達(dá)式中包含與線圈角度相關(guān)的積分IntR，如式(9)所示，因此不便于用于線圈設(shè)計(jì)和分析。然后，文獻(xiàn)[17]通過兩次應(yīng)用第一積分中值定理簡(jiǎn)化了式(9)，并最終得到了圖2(b)所示TR探頭的線圈系數(shù)，結(jié)果如式(10)所示。

圖4 單匝接收線圈的TR傳感器

(x[(df+cosθ)2+(sinθ)2]1/2)dxdθ

(9)

(10)

(11)

其中:J0(αr)為0階第一類貝塞爾函數(shù)；(l2-l1)為接收線圈高度，r1和r2分別表示線圈的內(nèi)、外半徑，n是線圈匝數(shù)；下標(biāo)T表示激勵(lì)線圈，R表示接收線圈。

同樣，由于圖1所示模型的探頭與圖2(b)所示模型的探頭完全相同，因此，式(10)同樣也為圖1所示模型的線圈系數(shù)。

2.3 平底盲孔構(gòu)件解析解

根據(jù)上述分析，圖1所示的含平底盲孔構(gòu)件脈沖渦流TR探頭模型的解析解可通過將TR探頭對(duì)S(α)的影響和平底盲孔構(gòu)件對(duì)廣義反射系數(shù)的影響組合得到，則平底盲孔構(gòu)件TR探頭檢測(cè)模型的解析解為：

(12)

此外，對(duì)于激勵(lì)電流為方波的情況，將通過式(9)計(jì)算得到的各諧波感應(yīng)電壓相加，并對(duì)結(jié)果作離散傅里葉逆變換，可得到脈沖渦流的時(shí)域感應(yīng)電壓信號(hào)：

(13)

其中:m表示第m個(gè)諧波，N表示采樣點(diǎn)數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

為針對(duì)基于TR探頭的平底孔構(gòu)件缺陷檢測(cè)，驗(yàn)證解析模型正確性，將其用于16 MnR平底盲孔構(gòu)件檢測(cè)并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)及各部件關(guān)系如圖5：激勵(lì)方波信號(hào)由信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生，經(jīng)由功率放大器放大后形成穩(wěn)定的激勵(lì)電流加載到探頭激勵(lì)線圈中；其次，由于變化的電流在試件中激發(fā)出渦流場(chǎng)，接收線圈即可將捕捉到的而此次長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào)，通過前置放大器后由數(shù)據(jù)采集卡轉(zhuǎn)為數(shù)字信號(hào)傳輸至計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)顯示和保存；最后，通過計(jì)算機(jī)中的算法保留與構(gòu)件有關(guān)的信號(hào)信息，繼而得到感應(yīng)電壓信號(hào)ΔU。在此實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)對(duì)象為16 MnR的平底盲孔構(gòu)件，如圖6示，構(gòu)件厚度為20 mm即(d3-d1)，其中平底盲孔深度(d2-d1)為8 mm，半徑大小如圖所示(本文僅選用r=90 mm的平底盲孔進(jìn)行解析模型驗(yàn)證)。另外，在此構(gòu)件中也包含用于參考對(duì)比的無平底孔區(qū)域，即圖6中的參考區(qū)域。在構(gòu)件平底盲孔上采用厚度40 mm的塑料板模擬絕緣層，絕緣層上方則采用厚度0.5 mm的白鐵皮模擬保護(hù)層。實(shí)驗(yàn)所用到的探頭參數(shù)如表1所示，方波激勵(lì)電流的幅度，占空比和周期分別設(shè)置為4 A，50%和1 s。

圖5 脈沖渦流檢測(cè)系統(tǒng)功能示意圖

圖6 平底盲孔構(gòu)件示意圖

mm

表2 材料參數(shù)

在與上述研究參數(shù)保持一致的前提下，借助Matlab軟件計(jì)算公式(13)所示的模型解析解。在構(gòu)件的無平底盲孔區(qū)域以及半徑為90 mm的平底盲孔區(qū)域進(jìn)行實(shí)驗(yàn)與計(jì)算得到對(duì)應(yīng)感應(yīng)電壓曲線如圖7所示。其中，TR探頭激勵(lì)線圈與接收線圈的軸心間距離D為150 mm，同時(shí)，為了突出信號(hào)間的差異，圖中以雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系進(jìn)行展示。由圖可知，感應(yīng)電壓信號(hào)經(jīng)過歸一化處理后與實(shí)驗(yàn)曲線及計(jì)算曲線基本吻合，驗(yàn)證了基于TR探頭的平底孔構(gòu)件缺陷檢測(cè)模型的正確性。

圖7 實(shí)驗(yàn)和計(jì)算感應(yīng)電壓信號(hào)比較

4 結(jié)束語

本文求解了平底盲孔構(gòu)件TR探頭檢測(cè)解析模型。以解析解的特點(diǎn)為參考依據(jù)，在對(duì)模型進(jìn)行求解時(shí)針對(duì)廣義反射系數(shù)受平底盲孔的影響及S(α)受探頭結(jié)構(gòu)的影響進(jìn)行研究，將求解過程簡(jiǎn)化。對(duì)于16MnR平底盲孔構(gòu)件，應(yīng)用上述模型通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，并將所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果與解析模型解進(jìn)行對(duì)比，所得結(jié)果基本吻合，解析模型正確性得到驗(yàn)證?；赥R探頭的平地盲孔脈沖渦流檢測(cè)解析模型，在更多脈沖渦流檢測(cè)問題上都能提供理論指導(dǎo)，極具工程意義，接下來的工作研究?jī)?nèi)容將圍繞該模型在脈沖渦流檢測(cè)中的應(yīng)用展開。