魯棒近似時(shí)間最優(yōu)的EMA位置伺服策略研究

張瑤,趙東標(biāo),付文強(qiáng)

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,南京 210016)

逐年增加的航空航天任務(wù)需求,以及任務(wù)的多樣性,對(duì)控制系統(tǒng)提出了更高的要求。而EMA伺服系統(tǒng)作為飛行控制系統(tǒng)的末端執(zhí)行器的一種,往往直接操縱各種姿態(tài)控制部件,是飛行控制系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的基礎(chǔ),因此對(duì)EMA伺服系統(tǒng)各方面的研究至關(guān)重要[1-3]。

EMA的動(dòng)力源一般為各類(lèi)電機(jī),為了提升EMA性能指標(biāo),國(guó)內(nèi)外的學(xué)者們采用了多種方法,提高電機(jī)作動(dòng)性能:將模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于軌跡跟蹤[4]、結(jié)合滑模觀測(cè)器以及自適應(yīng)滑?？刂破鬟M(jìn)行電流和速度控制[5]、采用雙環(huán)自抗擾控制器構(gòu)建高動(dòng)態(tài)伺服系統(tǒng)[6]、結(jié)合內(nèi)模原理改進(jìn)預(yù)測(cè)電流控制方法[7]等。

針對(duì)EMA位置作動(dòng)的高動(dòng)態(tài)需求,有別于典型PTOC控制律,提出了一種結(jié)合速度環(huán)的近似時(shí)間最優(yōu)位置控制策略,克服了典型PTOC控制律無(wú)法直接對(duì)轉(zhuǎn)速進(jìn)行控制的缺點(diǎn)[8-9]。利用1階LADRC設(shè)計(jì)速度環(huán),構(gòu)造2階ESO對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)進(jìn)觀測(cè)和前饋補(bǔ)償,將速度環(huán)等效為1階慣性環(huán)節(jié)。同時(shí)考慮到速度環(huán)中輸出限幅導(dǎo)致的非線性,結(jié)合2階ESO觀測(cè)到的外部擾動(dòng),設(shè)計(jì)了不對(duì)稱(chēng)的切換區(qū),對(duì)控制切換區(qū)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整。通過(guò)構(gòu)造跟蹤微分器對(duì)輸入控制指令進(jìn)行濾波和微分,利用速度前饋提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

1 機(jī)電伺服系統(tǒng)模型建立

機(jī)電伺服系統(tǒng)如圖1所示,該EMA本體由一臺(tái)PMSM通過(guò)離合器與導(dǎo)程2 mm的滾柱絲杠連接[10],通過(guò)絲杠副推動(dòng)推桿輸出直線運(yùn)動(dòng)?？刂品桨赣?部分組成:跟蹤微分器(TD),PTOC控制器,LADRC控制器以及電流控制器。

圖1 EMA伺服控制系統(tǒng)框圖

在d-q軸坐標(biāo)系下,電磁轉(zhuǎn)矩Te和負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL分別為:

Te=1.5pn(ψr+(Ld-Lq)id)iq

(1)

TL=Te+d(t)

(2)

式中:pn為永磁同步電機(jī)的極對(duì)數(shù);Ld和Lq分別是d軸和q軸電感;id和iq分別d和q軸電流;ψr代表轉(zhuǎn)子磁通量;d(t)代表系統(tǒng)中不確定性擾動(dòng)。

2 1階LADRC速度環(huán)設(shè)計(jì)

當(dāng)電流環(huán)帶寬遠(yuǎn)高于速度環(huán)時(shí),機(jī)電伺服系統(tǒng)的速度環(huán)可以等效為1階系統(tǒng),因此設(shè)計(jì)了一個(gè)2階線性ESO對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè),當(dāng)觀測(cè)器增益經(jīng)過(guò)合適的整定,擾動(dòng)觀測(cè)值為

(3)

利用簡(jiǎn)單的比例(P)控制器,對(duì)其進(jìn)行控制[11],即

u0=kp(r-ωr)

(4)

式中:r是速度指令;kp=ωc等于速度環(huán)的閉環(huán)控制帶寬。將速度環(huán)設(shè)計(jì)為1階慣性環(huán)節(jié),即

(5)

3 近似時(shí)間最優(yōu)控制位置環(huán)設(shè)計(jì)

考慮速度環(huán)是否工作在線性狀態(tài)下,下面提出了兩種PTOC控制律。它們都以PTOC控制律的輸出作為速度控制的輸入信號(hào),避免了速度和位置控制律之間的切換,降低了控制算法的復(fù)雜性,同時(shí)也減弱了控制律切換時(shí)導(dǎo)致的控制量不連續(xù)的情況。

3.1 速度環(huán)線性工作狀態(tài)時(shí)位置環(huán)控制律設(shè)計(jì)

建立速度環(huán)模型,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)形式可以表示為

(6)

相應(yīng)的連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)為[12]:

(7)

u=-ωmsign(Γ(x1,x2,a))

(8)

(9)

式中:a代表系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù);x1和x2分別代表電機(jī)的位移和速度;u代表速度控制器的輸入?yún)⒖贾?位置控制器的輸出);ωm取值是電機(jī)的額定轉(zhuǎn)速，也是速度的限幅值。

文獻(xiàn)[12]方法針對(duì)這類(lèi)時(shí)間最優(yōu)問(wèn)題設(shè)計(jì)了最小切換區(qū),以滿足魯棒性和快速性的要求,對(duì)于階躍類(lèi)型指令獲得了較好的效果。接收到不斷變化的指令時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)在狀態(tài)平面上隨著指令的變化左右平移,可能導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)不停穿越控制軌線,引發(fā)控制信號(hào)的Bang-Bang切換,帶來(lái)抖振等不良影響,同時(shí)線性控制區(qū)與非線性控制區(qū)的切換也導(dǎo)致了控制信號(hào)的不連續(xù),對(duì)高動(dòng)態(tài)的機(jī)電伺服系統(tǒng)帶來(lái)不可忽視的影響,如圖2所示。

圖2 變化指令跟蹤時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)反復(fù)跨越控制軌線

為了避免控制信號(hào)的Bang-Bang切換,保證最優(yōu)控制區(qū)和線性區(qū)間的控制信號(hào)連續(xù)性,可以將系統(tǒng)狀態(tài)x2分離出來(lái)[13-14]。由于無(wú)法通過(guò)最優(yōu)控制軌線求得x2關(guān)于x1的解析解,這里通過(guò)查表插值或者二分求解逼近的方法通過(guò)狀態(tài)x1計(jì)算狀態(tài)x2,重新設(shè)計(jì)切換區(qū)控制律,下面以x2<0的情況為例。

首先離散系統(tǒng)狀態(tài)x1,求解對(duì)應(yīng)控制軌線上狀態(tài)點(diǎn)的值x2。設(shè)計(jì)如下控制律:

(10)

(11)

式中:kp和kd為線性控制區(qū)的PD控制器參數(shù);Γr(e)是通過(guò)狀態(tài)x1計(jì)算狀態(tài)得到x2的函數(shù);y是線性控制區(qū)的寬度;U為待定量。為了使控制信號(hào)連續(xù),約束如下:

(12)

3.2 速度環(huán)飽和非線性時(shí)位置環(huán)控制律設(shè)計(jì)

(13)

當(dāng)伺服系統(tǒng)外部負(fù)載擾動(dòng)變化過(guò)大,以及加減速能力受限時(shí),速度環(huán)將進(jìn)入非線性工作狀態(tài),無(wú)法準(zhǔn)確跟蹤時(shí)間最優(yōu)控制軌線運(yùn)行,最終導(dǎo)致超調(diào),降低伺服系統(tǒng)的跟蹤性能。通過(guò)增大次優(yōu)切換區(qū)的方法,可以提高伺服系統(tǒng)面對(duì)擾動(dòng)的魯棒性,但會(huì)犧牲系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。針對(duì)上述問(wèn)題,提出了一種結(jié)合ESO的改進(jìn)近似時(shí)間最優(yōu)位置控制算法。

(14)

理想形式為以下2階積分串聯(lián)型:

(15)

當(dāng)umax≤ωm,umin≥-ωm,即輸出控制量不受速度限幅約束時(shí),推導(dǎo)得任意初始狀態(tài)下使電機(jī)以最短時(shí)間返回原點(diǎn)的控制律為:

(16)

Γ(x1,x2)=x1+

(17)

3.3 非對(duì)稱(chēng)切換區(qū)和線性區(qū)參數(shù)設(shè)計(jì)

本節(jié)以速度環(huán)飽和非線性時(shí)的PTOC控制律為例,設(shè)計(jì)切換區(qū)和線性區(qū)的參數(shù)。由上節(jié)所述,因?yàn)閿_動(dòng)的存在,伺服系統(tǒng)的最大控制量不對(duì)稱(chēng),因此對(duì),文獻(xiàn)[13]控制律進(jìn)行改進(jìn)如下:

(18)

設(shè)總擾動(dòng)為零時(shí)u=|umax|=|umin|,選定線性區(qū)寬度為y,折扣系數(shù)為η,線性控制區(qū)閉環(huán)極點(diǎn)阻尼比為ξ。解得:

(19)

值得說(shuō)明的是,當(dāng)umax≥ωm,umin≤-ωm時(shí),近似時(shí)間最優(yōu)控制器輸出將受到限幅,此時(shí)可以適當(dāng)增大線性區(qū)y的大小。

(20)

合適的線性區(qū)參數(shù)有助于提高穩(wěn)態(tài)性能和控制精度。線性區(qū)內(nèi)系統(tǒng)切換為PD控制,為了提高伺服系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性,減小超調(diào),應(yīng)仔細(xì)的選擇適當(dāng)?shù)淖枘岜取?/p>

(21)

對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(22)

3.4 穩(wěn)定性分析

圖3 PTOS控制框圖

上述PTOC控制律的漸近穩(wěn)定性可以通過(guò)Workman[15]的工作中提出的幾條定理推導(dǎo)得到。

推論1 結(jié)合式(3),式(18),滿足以下條件時(shí),上述PTOC控制律是全局穩(wěn)定的:

(23)

(24)

(25)

當(dāng)主要擾動(dòng)帶寬低于觀測(cè)器帶寬ωo的一半時(shí),上述改進(jìn)PTOC控制律可以獲得更高的魯棒折扣系數(shù),進(jìn)而獲得更高的加減速能力,或是保證更多的參數(shù)余量。

4 仿真對(duì)比驗(yàn)證

通過(guò)MATLAB2015b的Simulink模塊對(duì)提出的PTOC控制策略進(jìn)行仿真驗(yàn)證。速度環(huán)線性工作狀態(tài)時(shí),速度環(huán)LADRC仿真參數(shù)設(shè)置為ωo=300,a=100,本文PTOC仿真參數(shù)kp和kd分別為1793和6,U=68,y=0.3 rad,ωm=314 rad/s,電流環(huán)仿真參數(shù)ωc=3 000。PD控制無(wú)超調(diào)時(shí)kd=7,其余仿真參數(shù)與PTOC仿真參數(shù)相同。

如圖4和圖5所示,給定幅值4 mm,3 Hz正弦信號(hào)跟蹤測(cè)試中,相近線性區(qū)參數(shù)情況下,改進(jìn)PTOC與PD控制具有相似的性能,優(yōu)于典型的PTOC[12],同時(shí)上述切換區(qū)設(shè)計(jì),有效避免了控制信號(hào)的Bang-Bang切換,保證了控制信號(hào)的二次連續(xù),提升了伺服系統(tǒng)的平穩(wěn)性。

圖4 幅值4 mm,頻率3 Hz正弦信號(hào)跟蹤對(duì)比

圖5 正弦信號(hào)跟蹤過(guò)程中的控制量輸出對(duì)比

當(dāng)速度環(huán)處于非線性工作狀態(tài)時(shí),LADRC仿真參數(shù)設(shè)置為ωo=300,a=100,改進(jìn)PTOC仿真參數(shù)kp和kd分別為300和3,b=50,imax=150,η=0.8,ωm=314 rad/s,電流環(huán)仿真參數(shù)ωc=3 000。PD控制無(wú)超調(diào)時(shí),仿真參數(shù)kp和kd分別為64和1.6。

如圖6和圖7所示,存在負(fù)載時(shí),PD控制出現(xiàn)超調(diào) (表1)。面對(duì)不同負(fù)載,改進(jìn)PTOC控制律有效地控制了伺服系統(tǒng)的加減速過(guò)程,避免了超調(diào),獲得了更好的動(dòng)態(tài)特性。

圖6 10 Nm負(fù)載時(shí)20 mm階躍響應(yīng)對(duì)比

圖7 負(fù)載分別為10 Nm,20 Nm和30 Nm時(shí)階躍響應(yīng)對(duì)比

表1 10 Nm負(fù)載時(shí)20 mm階躍響應(yīng)對(duì)比

5 mm幅值正弦激勵(lì)下的EMA伺服系統(tǒng)頻率響應(yīng)如圖8所示,閉環(huán)帶寬約為4.5 Hz。在低頻段(5 Hz以?xún)?nèi)),改進(jìn)PTOC控制律具有更低的相位滯后和更小的幅值衰減;在中頻段(5～10 Hz),受到輸出飽和的影響,兩種控制律具有相似的幅頻和相頻特性。

圖8 幅值5 mm時(shí)改進(jìn)PTOC與PD控制器伯德圖對(duì)比

5 結(jié)論

1) 較典型PTOC,結(jié)合速度環(huán)動(dòng)態(tài)特性提出的改進(jìn)PTOC控制律具有控制信號(hào)平滑連續(xù),結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。

2) 不對(duì)稱(chēng)切換區(qū)與線性區(qū)設(shè)計(jì),使得改進(jìn)PTOC控制律具有更強(qiáng)的負(fù)載擾動(dòng)抑制能力,保證快速性的同時(shí)降低超調(diào)量。

改進(jìn)PTOC控制律充分利用了伺服系統(tǒng)的加減速能力,增強(qiáng)了伺服性能,使其能夠滿足機(jī)電伺服系統(tǒng)的高性能要求。