調(diào)和分析方法在股票市場周期波動研究中的應(yīng)用

王瑋彬

（三明學院 經(jīng)濟與管理學院，福建 三明 365004）

西方國家對經(jīng)濟周期的研究已經(jīng)持續(xù)了近160年，期間不乏具有里程碑意義的經(jīng)典理論成果。1862年，Juglar首先提出了平均長度8～11年的市場經(jīng)濟周期理論（Juglar周期）[1]25-42；20世紀初，Kitchin和Kuznets先后分別發(fā)現(xiàn)了平均長度約3.5年的庫存周轉(zhuǎn)周期（Kitchin周期）[2]10-16，以及平均長度約20年的建筑周期（不動產(chǎn)周期或Kuznets周期）[3]453-457。上述三種理論歷經(jīng)多年的論證與完善，在宏觀經(jīng)濟實踐中已得到大量實證，持續(xù)衍生出諸多應(yīng)用創(chuàng)新。馬家喜[4]89-91分析論證了中國市場經(jīng)濟波動中存在典型的Juglar周期現(xiàn)象；Grinin[5]138-187基于Juglar周期建立因子模型實證分析了當時的全球經(jīng)濟危機；徐志向和張敏[6]64-75分析了改革開放前后中國經(jīng)濟周期的轉(zhuǎn)變，發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟周期的演變機制主要體現(xiàn)為政治周期、經(jīng)濟機制內(nèi)部調(diào)節(jié)周期以及創(chuàng)新周期“三位一體”的時空轉(zhuǎn)換；隋新玉和王云清[7]129-133基于股市周期和宏觀經(jīng)濟周期波動趨勢的實證分析,發(fā)現(xiàn)我國股市周期和宏觀經(jīng)濟周期之間存在部分同步部分背離的關(guān)系。聶麗等[8]132-141分析總結(jié)了新興市場經(jīng)濟周期的特征事實與產(chǎn)生機制，認為新興市場經(jīng)濟周期對世界經(jīng)濟周期將產(chǎn)生更加顯著的影響。

時間序列調(diào)和分析是現(xiàn)代分析數(shù)學領(lǐng)域的核心技術(shù)，其中傅里葉分析（Fourier analysis）可以通過時域-頻域變換，對具有簡諧波動特征的時間序列數(shù)據(jù)進行頻譜共振分析[9],已被有效應(yīng)用于經(jīng)濟領(lǐng)域的周期性規(guī)律分析。閆中曉和賈永飛[10]13-16通過譜分析技術(shù)驗證了科技投入和產(chǎn)出增長速度與中國經(jīng)濟增長速度之間的領(lǐng)先滯后關(guān)系；鄔瓊[11]3-6利用譜分析方法對我國經(jīng)濟增速數(shù)據(jù)進行研究，認為我國當前正進入新一輪庫存周期；李慶晗[12]72-75基于譜分析方法對中國宏觀經(jīng)濟波動與股票市場的周期聯(lián)動效應(yīng)進行研究，發(fā)現(xiàn)宏觀經(jīng)濟周期對股票市場指數(shù)變化具有長期范圍內(nèi)的滯后影響。

本文即通過經(jīng)濟周期理論與時間序列信號分析技術(shù)的結(jié)合，應(yīng)用調(diào)和分析方法去構(gòu)建經(jīng)濟周期多因子模型，對全球股票市場的價格時間序列數(shù)據(jù)進行因子函數(shù)回歸擬合，實證檢驗了宏觀經(jīng)濟周期對股票市場的影響。

一、股票市場周期波動規(guī)律的調(diào)和分析實證

以上證指數(shù)每月最后一個交易日的收盤價序列為例，考察A股市場的周期性波動規(guī)律。

（一）對數(shù)同比序列計算

上證指數(shù)1990年12月至2021年8月的月度收盤價時間序列見圖1，通過以下公式對其進行平穩(wěn)化處理，得到原始數(shù)據(jù)的對數(shù)同比序列：

圖1 上證指數(shù)月度收盤價時間序列

其中，Xn是上證指數(shù)月度收盤價時間序列，Xn-12是上一年度同月收盤價序列。Yn是取對數(shù)同比后的新序列，具有圍繞中心值周期性波動的趨勢，見圖2。

圖2 上證指數(shù)月度收盤價對數(shù)同比序列

（二）快速傅里葉變換頻譜分析

通過以下公式，對上證指數(shù)對數(shù)同比序列進行快速傅里葉變換 （Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT），得到頻譜：

其中，Yn是上證指數(shù)對數(shù)同比序列，k表示頻譜圖中的任意頻率，N是時間序列Yn中的數(shù)據(jù)點個數(shù)表示把函數(shù)f(n)按照 n=1～N進行累加求和。F(k)是Yn進行FFT變換后的頻譜，見圖3，其中橫軸表示的是“頻率/年-1”，縱軸表示振幅。

圖3 上證指數(shù)同比序列頻譜圖

對照前述經(jīng)濟周期理論中的Kitchin周期（約 3.5 年）、Juglar周期（約 8～11 年）、Kuznets周期（約15～20年）的長度范圍，分別在頻譜的f=0.285Hz（T=3.5 年）、f=0.115Hz(T=8.7 年)、f=0.061Hz（T=16.3年）處發(fā)現(xiàn)共振峰，即上證指數(shù)同比序列的波動包含以上三種頻率的周期成分。經(jīng)典周期理論對周期長度的預(yù)測并不是精確值，相當于一個給定范圍內(nèi)的模糊信號，因此我們用具有高斯分布的帶寬濾波代替單一頻率的線譜濾波，對FFT頻譜進行信號共振分析。

根據(jù)以上頻譜分析結(jié)果，近似取Kitchin周期長度T=40個月、Juglar周期長度T=100個月、Kuznets周期長度T=200個月，并按以下高斯濾波公式（取濾波帶寬為1）代入三種經(jīng)典周期的不同長度T，對上證指數(shù)頻譜圖分別進行高斯濾波，過濾隨機高頻噪聲：

其中，x是頻率因變量，GT(x)是中心頻率取時的高斯核，IT(x)和 FT(x)分別為輸入頻譜圖和高斯濾波后的輸出頻譜圖，符號“*”表示卷積操作。

三種經(jīng)濟周期的高斯濾波結(jié)果見圖4～6，其中橫軸表示的是“頻率/年-1”，縱軸表示振幅。可見均能夠在頻率與各自周期長度相匹配的頻譜位置，觀察到單一共振峰，即證實了Kitchin周期、Juglar周期、Kuznets周期引起的簡諧振蕩在上證指數(shù)價格時間序列中同時存在，是上證指數(shù)價格波動規(guī)律的重要組成部分。

圖4 Kitchin周期的高斯濾波結(jié)果（T=40個月）

圖5 Juglar周期的高斯濾波結(jié)果（T=100個月）

圖6 Kuznets周期的高斯濾波結(jié)果（T=200個月）

（三）全球資本市場實證分析

通過選取中國滬深300指數(shù)、美國標普500指數(shù)、德國DAX指數(shù)、法國CAC40指數(shù)等作為調(diào)和分析對象，在全球資本市場對上述結(jié)論進行驗證。同樣把以上四個指數(shù)每月最后一個交易日的收盤價作為輸入時間序列，按照公式（1）轉(zhuǎn)化成對數(shù)同比序列，通過公式（2）進行快速傅里葉變換得到各自的頻譜；根據(jù)公式（3）分別選取 Kitchin周期長度T=40個月、Juglar周期長度T=100個月、Kuznets周期長度T=200個月，對中國滬深300指數(shù)、美國標普500指數(shù)、德國DAX指數(shù)、法國CAC40指數(shù)等四個指數(shù)的頻譜進行高斯濾波，并得到各自濾波后的頻譜。相關(guān)頻譜及三周期的高斯濾波結(jié)果見圖7～10，各圖中從上往下依次為FFT頻譜圖和T=40個月、100個月、200個月的高斯濾波結(jié)果。

可以觀察到，四大指數(shù)頻譜均在周期長度為40個月、100個月、200個月對應(yīng)的頻率處出現(xiàn)了幅度較大的共振峰，與上證指數(shù)的頻譜分析結(jié)果一致。

圖7 滬深300頻譜及三周期高斯濾波結(jié)果

圖8 標普500頻譜及三周期高斯濾波結(jié)果

圖9 德國DAX頻譜及三周期高斯濾波結(jié)果

圖10 法國CAC40頻譜及三周期高斯濾波結(jié)果

相似結(jié)論也可在債券市場及大宗商品市場觀測到，即全球主要國家資本市場的價格波動在相同頻率處發(fā)生了共振，Kitchin周期、Juglar周期和Kuznets周期引起的簡諧振蕩是全球資本市場波動共有的特征分量。因此，經(jīng)典經(jīng)濟周期理論可以解釋資本市場價格波動的部分原因，三種周期共同構(gòu)成了資本市場周期性波動的普適規(guī)律。

二、資本市場經(jīng)濟周期多因子模型的構(gòu)建——以納斯達克指數(shù)為例

（一）經(jīng)濟周期多因子模型的回歸擬合分析

以美國標普500指數(shù)的價格對數(shù)同比序列為例，按照以下回歸方程建立經(jīng)濟周期多因子模型，并對所有系數(shù)進行多元回歸擬合：

其中，Y 為擬合因變量，X1，X2，X3分別是周期長度為40個月、100個月、200個月的三種周期因子，即圖4～6對應(yīng)的高斯濾波結(jié)果經(jīng)過FFT逆變換后得到的周期因子序列。公式（4）中a、b、c、d為回歸系數(shù)，其中a為常數(shù)趨勢項，ε為殘差項，b、c、d 為復(fù)數(shù)周期因子系數(shù)，bX1、cX2、dX3分別為三種周期的簡諧振動項，即擬合因變量Y在三個周期因子上的分量。

標普500指數(shù)經(jīng)高斯濾波后的周期多因子模型回歸擬合結(jié)果見圖11，與對數(shù)同比序列的低頻波動趨勢基本一致。公式（4）中的趨勢項a和三個周期因子變量的回歸系數(shù)b、c、d分別為：a=0.002， b=1.489，c=1.771，d=2.261。 該回歸分析擬合優(yōu)度的判定系數(shù)R2=0.602，p值為1.17×10-55，即擬合變量為顯著有效變量，經(jīng)濟周期多因子模型的回歸擬合結(jié)果可以解釋標普500指數(shù)的部分波動規(guī)律，同時該指數(shù)的波動信號仍存在一定的隨機高頻噪聲 （因為高頻噪聲在回歸擬合前已被高斯濾波算法過濾）。

圖11 標普500指數(shù)的周期多因子模型回歸擬合結(jié)果

選取全球股票市場具有區(qū)域代表性的股票指數(shù)時間序列數(shù)據(jù)，應(yīng)用公式（4）的經(jīng)濟周期三因子模型分別進行高斯濾波后的回歸分析，得到結(jié)果見表1?？梢园l(fā)現(xiàn)，除我國的上證指數(shù)和恒生指數(shù)回歸擬合優(yōu)度在0.4～0.5之間外，其他數(shù)據(jù)的擬合擾度基本均在0.5以上。另外，所有數(shù)據(jù)回歸方程的殘差項均通過了平穩(wěn)性檢驗。

表1 經(jīng)濟周期多因子模型回歸系數(shù)與擬合擾度數(shù)值表

因此，可以認為三種經(jīng)濟周期的復(fù)合作用對股票市場形成了顯著影響，且公式（4）中的多因子模型可以解釋股票市場的部分波動規(guī)律。

（二）經(jīng)濟周期多因子模型的回歸預(yù)測分析

按照公式（4）確定所有回歸系數(shù)，對標普500指數(shù)建立了周期多因子模型后，即可通過以下公式，進行標普500指數(shù)對數(shù)同比序列的未來波動趨勢的預(yù)測分析：

圖12 標普500指數(shù)的周期多因子模型回歸預(yù)測結(jié)果

（三）預(yù)測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)的比較

選取納斯達克指數(shù)1997年1月至2011年12月的月收盤價格時間序列，運用周期多因子模型對公式（4）進行回歸擬合，基于擬合結(jié)果對2012年1月至2021年8月的樣本外數(shù)據(jù)進行預(yù)測，并與同時間區(qū)間內(nèi)的真實數(shù)據(jù)進行比較，見圖13。與2012年1月至2021年8月的納斯達克指數(shù)實際數(shù)據(jù)相比，周期多因子模型的預(yù)測結(jié)果顯示出基本一致的總體波動趨勢，即該方法能夠用于預(yù)判股票市場的部分周期性波動規(guī)律。

圖13 基于周期多因子模型的納斯達克指數(shù)預(yù)測結(jié)果與真實數(shù)據(jù)比較

三、周期多因子模型應(yīng)用——股票市場經(jīng)濟周期規(guī)律的歷史演化

構(gòu)建股票市場周期多因子模型，不僅能對其周期性波動規(guī)律進行預(yù)測，還可用于演示與分析資本市場經(jīng)濟周期規(guī)律的歷史演化過程。在公式（5）中，經(jīng)過FFT逆變換得到的周期因子都是復(fù)數(shù)值，每一個因子值均包含對應(yīng)經(jīng)濟周期在當前時間點的相位信息和幅度信息，假設(shè)復(fù)數(shù)因子值X=p+qi,則周期因子相位信息和幅度信息的計算方法如下：

其中，A為周期因子的幅度值，α為周期因子的相位值，分別由周期因子值X的復(fù)數(shù)模與復(fù)數(shù)相位角表示。

以歷史最悠久的資本市場價格指數(shù)——美國道瓊斯工業(yè)指數(shù)為例，輸入其1900年1月至2021年5月間的歷史數(shù)據(jù)，設(shè)定觀察窗口為20年的滾動樣本區(qū)間，連續(xù)構(gòu)建周期因子模型進行滾動預(yù)測，得到三種經(jīng)濟周期在1920年4月至2021年8月的預(yù)測因子序列每一組周期因子值均由過去3至243個月的歷史數(shù)據(jù)，按照公式（4）和公式（5）建立因子回歸模型并進行外推預(yù)測獲得。

周期因子的相位信息可用于表示對應(yīng)經(jīng)濟周期規(guī)律的當前運行狀態(tài)，其取值在[-π，π]之間周期性變化。按照公式（6），對上述周期因子值序列進行相位信息計算，可以獲得美國道瓊斯工業(yè)指數(shù)在1920年4月至2021年8月間，對應(yīng)三種經(jīng)濟周期的相位信息序列,其歷史演化過程見圖14～16。

圖14 Kitchin周期相位的歷史演化過程

圖15 Juglar周期相位的歷史演化過程

圖16 Kuznets周期相位的歷史演化過程

（一）經(jīng)濟周期相位的歷史演化

可以看出，相位信息序列的連續(xù)性可以直觀反映對應(yīng)經(jīng)濟周期規(guī)律的運行穩(wěn)定性以及對應(yīng)周期因子的時間有效性。在三種經(jīng)濟周期規(guī)律中，Kitchin周期在過去近100年間運行得最為連續(xù)平穩(wěn)，幾乎沒有發(fā)生相位畸變，證明了商品供求關(guān)系引起的庫存周轉(zhuǎn)周期是資本市場穩(wěn)定存在的客觀規(guī)律，其有效性幾乎不受世界大戰(zhàn)、技術(shù)革命、政策變動、經(jīng)濟危機等因素的影響。Juglar周期與Kuznets周期在20世紀七八十年代出現(xiàn)了顯著的相位畸變，可能與美國經(jīng)濟危機、信息技術(shù)革命、經(jīng)濟全球化等因素有關(guān)，其中Kuznets周期較Juglar周期信號失真更嚴重，因子有效性更弱，影響因素也更多。

（二）經(jīng)濟周期幅度的歷史演化

類似于周期因子的相位信息，其幅度信息也可以反映經(jīng)濟周期規(guī)律對資本市場的影響能力。同樣按照公式（6），對上述周期因子值序列進行幅度信息計算，可以獲得美國道瓊斯工業(yè)指數(shù)在1920年4月至2021年8月間，對應(yīng)三種經(jīng)濟周期的幅度信息序列,其歷史演化過程見圖17～19。

圖17 Kitchin周期幅度的歷史演化過程

圖18 Juglar周期幅度的歷史演化過程

圖19 Kuznets周期幅度的歷史演化過程

可以看出，幅度信息序列的大小與連續(xù)性有助于判斷相應(yīng)的經(jīng)濟周期規(guī)律對資本市場影響能力的變化。三種經(jīng)濟周期的幅度信號在美國大蕭條時期至二戰(zhàn)后經(jīng)濟完全復(fù)蘇前，均出現(xiàn)了連續(xù)衰減，并在20世紀60年代后經(jīng)歷了較長時間的逐漸恢復(fù)過程，證明了經(jīng)濟周期規(guī)律對資本市場影響能力普遍因經(jīng)濟危機、世界大戰(zhàn)等因素而被削弱。同時，Kitchin周期、Juglar周期與Kuznets周期在不同歷史時期的幅度值大小順序不同，即三種經(jīng)濟周期規(guī)律的影響能力相當，對資本市場的長期作用都無法忽視，因此構(gòu)建周期因子模型必須同時考慮三種經(jīng)濟周期規(guī)律的信號疊加。

四、總結(jié)

本文通過宏觀經(jīng)濟周期理論與時間序列調(diào)和分析方法的結(jié)合，構(gòu)建了經(jīng)濟周期多因子模型，對全球股票市場周期性波動規(guī)律進行了實證分析和建模預(yù)測。通過快速傅里葉變換（FFT），我們把經(jīng)過對數(shù)同比化處理的資本市場價格時間序列從時域變換到頻域進行頻譜分析，并基于經(jīng)典經(jīng)濟周期理論對應(yīng)的三種周期性規(guī)律，進行高斯濾波與全球資本市場的共振信號提取，驗證了三種經(jīng)濟周期引起的簡諧波動是全球股票市場共有的普適現(xiàn)象。我們構(gòu)建了經(jīng)濟周期多因子模型對全球股票市場價格波動的歷史數(shù)據(jù)進行回歸擬合，驗證了宏觀經(jīng)濟周期對股票市場具有顯著影響并獲取了擬合參數(shù)。我們通過經(jīng)濟周期多因子模型對股票市場未來波動趨勢進行回歸預(yù)測，并把樣本外預(yù)測結(jié)果與真實數(shù)據(jù)進行比較，證實該模型能夠?qū)崿F(xiàn)對股票市場價格波動趨勢的部分預(yù)測。

此外，本文應(yīng)用周期多因子模型對美國道瓊斯工業(yè)指數(shù)過去近100年的歷史數(shù)據(jù)進行樣本區(qū)間滾動預(yù)測分析，追溯演示了資本市場經(jīng)濟周期規(guī)律的歷史演化過程。通過計算預(yù)期因子序列分別對三種周期因子的相位信息和幅度信息進行歷史回溯，比較分析了相應(yīng)的經(jīng)濟周期規(guī)律在不同歷史時期的穩(wěn)定性差異以及對資本市場的影響能力，發(fā)現(xiàn)Kitchin周期在過去近100年間表現(xiàn)出最佳的長期穩(wěn)定性，其周期性規(guī)律和因子有效性幾乎不受世界大戰(zhàn)、技術(shù)革命、經(jīng)濟危機等重大歷史事件的影響。三種經(jīng)濟周期規(guī)律對資本市場的長期影響能力相當，都受經(jīng)濟危機、世界大戰(zhàn)等因素制約，在不同歷史時期呈現(xiàn)差異化影響水平，共同構(gòu)成了資本市場周期性價格波動的驅(qū)動力。本文的方法和結(jié)論有助于深化對資本市場價格波動機制以及宏觀經(jīng)濟周期理論的理解，為資本市場周期性金融風險的監(jiān)管防控提供參考依據(jù)和分析工具。