一類二階線性微分方程的通解及應(yīng)用

郭 華 毅

(山西藥科職業(yè)學(xué)院，山西 太原 030031)

1 引 入

微分方程是數(shù)學(xué)的重要分支，研究它的解很有現(xiàn)實意義。對于二階線性微分方程

y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)

其中p(x),q(x),f(x)是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)[1]，求其通解沒有一個統(tǒng)一的方法，只是當(dāng)p(x),q(x)為常數(shù)且f(x)=0時，其方程稱為二階線性常系數(shù)齊次微分方程，有統(tǒng)一的求通解的方法；當(dāng)p(x),q(x)為常數(shù)，f(x)為幾種特殊形式時，也有求通解的方法，待定系數(shù)法；對于其他的形式，并沒有統(tǒng)一的求解方法，所以對于更一般的二階線性微分方程解的計算[2-3]，是值得研究的問題。

常數(shù)變易法是解一階線性微分方程的方法，下面用類比的方法，猜想二階線性微分方程解的特點。結(jié)合一階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)，猜想二階線性齊次微分方程解也有形如其解的形式。

y″+p(x)y′+q(x)y=0

的特解，則

將y′和y″代入方程y″+p(x)y′+q(x)y=0，整理，得m′(x)+m2(x)+p(x)m(x)+q(x)=0。

2 定理及證明

定理1 對于二階線性齊次微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=0， 若存在函數(shù)m(x)， 使得m′(x)+m2(x)+p(x)m(x)+q(x)=0成立， 則方程y″+p(x)y′+q(x)y=0的通解為

分析 對于方程y″+p(x)y′+q(x)y=0的通解問題， 只需要找到方程y″+p(x)y′+q(x)y=0的兩個線性無關(guān)的特解即可。

令y2=n(x)y1為待定函數(shù)， 且n(x)非常數(shù)是y″+p(x)y′+q(x)y=0的另一個特解， 顯然y1和y2線性無關(guān)。

求導(dǎo)，得

y2′=n′(x)y1+n(x)y1′=[n′(x)+m(x)n(x)]y1

y2″=[n″(x)y1+m′(x)n(x)+m(x)n′(x)]y1+[n′(x)+m(x)n(x)]y′

=[n″(x)y1+m′(x)n(x)+2m(x)n′(x)+m2(x)n(x)]y1

將y2′和y2″代入方程y″+p(x)y′+q(x)y=0， 整理， 得到[n″(x)+2m(x)n′(x)+p(x)n′(x)+(m′(x)+m2(x)+p(x)m(x)+q(x))]y1=0。

已知m′(x)+m2(x)+p(x)m(x)+q(x)=0且y1≠0， 故n″(x)+2m(x)n′(x)+p(x)n′(x)=0。

方程y″+p(x)y′+q(x)y=0的通解為y=c1y1+c2y2， 將上邊所求的y1和y2代入， 有

即所求的二階線性齊次微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=0的通解。

定理證畢。

定理2 對于二階線性非齊次微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)， 若存在函數(shù)m(x)， 使得m′(x)+m2(x)+p(x)m(x)+q(x)=0成立， 則方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的通解為

y′=k′(x)y1+k(x)y1′=[k′(x)+m(x)k(x)]y1
y″=[k1″(x)y1+m′(x)k(x)+m(x)k′(x)]y1+[k′(x)+m(x)k(x)]y′
=[k″(x)y1+m′(x)k(x)+2m(x)k′(x)+m2(x)k(x)]y1

將y′和y″代入方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)， 整理， 得

[k″(x)y1+2m(x)k′(x)+p(x)k′(x)+(m′(x)+m2(x)+p(x)m(x)+q(x))]y1=f(x)

將m′(x)+m2(x)+p(x)m(x)+q(x)=0代入， 得

顯然方程是關(guān)于k′(x)的一個一階線性微分方程，用常數(shù)變易法，可求得通解，得

c1,c2是任意常數(shù)。所以，有

是二階線性微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解，且該解有2個獨立的任意常數(shù)，所以該解是二階微分方程的通解。

定理證畢。

其中定理2求通解的方法，沒有按照常規(guī)二階線性非齊次微分方程求通解的定理：先求對應(yīng)齊次微分方程的通解再加非齊次的特解得到其通解，而是直接根據(jù)常數(shù)變易法的思路，直接求出一個解，再根據(jù)通解的定義，說明求出的這個解剛好又是通解。

注：定理1和定理2所有不定積分常量都選為0。

3 舉例應(yīng)用

例1 求微分方程xy″+2(1-x)y′+(x-2)y=0的通解。

分析 ①這是一個二階線性變系數(shù)微分方程，也可以看成一個歐拉方程，令x=et，就可以將原方程整理為一個二階線性常系數(shù)微分方程；

②也可以利用文獻(xiàn)[5]的定理2計算；

③下面用本文的定理2求其通解。

3 結(jié) 論

利用上面2個定理的公式求二階線性微分方程的通解，最關(guān)鍵問題是能找到函數(shù)m(x)，使得m′(x)+m2(x)+p(x)m(x)+q(x)=0成立。一般情況下，我們會結(jié)合導(dǎo)數(shù)的特點，觀察驗證，從而找到合適的m(x)，這樣也使得定理具有局限性；但二階線性微分方程并沒有一個統(tǒng)一的初等解法，利用常數(shù)變易法的思想，尋找到這樣的解法，在實際的應(yīng)用中也會給解決問題帶來一定的幫助。對微分方程解的計算，會一直探索，尋找更好的方法。