運用數(shù)學(xué)實驗提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的案例研究

王錦熙

摘 要：本文利用具體的教學(xué)案例說明運用數(shù)學(xué)實驗落實學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實驗;數(shù)學(xué)抽象;邏輯推理;數(shù)學(xué)建模;數(shù)據(jù)分析

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A ??文章編號：1008-0333（2022）06-0057-03

2017年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》（2020年修訂）提出在高中階段，要在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算這六方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).如何在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中幫助學(xué)生提升這些方面的學(xué)科核心素養(yǎng)，是廣大高中數(shù)學(xué)教師一直面臨的問題，也是一直在積極思索、期待解決的問題.教師引領(lǐng)學(xué)生有效開展數(shù)學(xué)實驗，通過學(xué)生動手實驗操作、利用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)實驗，可以提升高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效果，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 運用數(shù)學(xué)實驗提升數(shù)學(xué)抽象能力學(xué)生剛步入高中，就要進入函數(shù)部分的學(xué)習(xí)，而對于函數(shù)概念和函數(shù)性質(zhì)的理解，許多學(xué)生都會遇到不同程度的困難.這其實就是學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力還需要提升.數(shù)學(xué)抽象能力的提升沒有一步到位的方法，我們可以利用數(shù)學(xué)實驗幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)抽象思維的能力，促進學(xué)生對于函數(shù)概念和函數(shù)性質(zhì)的理解和掌握.

比如，在《函數(shù)的單調(diào)性》這節(jié)課中，其中一道典型例題是：證明函數(shù)y=x+1x在（1，+SymboleB@上是增函數(shù).教師在按照定義法證明了該函數(shù)的單調(diào)性之后，可以借助數(shù)學(xué)軟件GeoGebra在課堂上畫出y=x+1x的函數(shù)圖象，讓學(xué)生清晰、直觀地看出函數(shù)y=x+1x在（-SymboleB@，-1）、（1，+SymboleB@）上是增函數(shù)，在（-1，0）、（0，1）上是減函數(shù).

學(xué)生在學(xué)習(xí)雙曲線的時候會感覺到抽象，學(xué)習(xí)過程中有些吃力.教師可以借助動手操作的數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生經(jīng)歷動手畫出雙曲線，加深對雙曲線概念的理解.可以這樣設(shè)計該數(shù)學(xué)實驗的具體操作步驟：

準備好細繩、鐵環(huán)、筆、白紙，同桌的兩位同學(xué)相互配合.

（1）準備一長一短兩根細繩，將兩繩其中一端打結(jié);并將兩根細繩均穿入鐵環(huán);

（2）在紙上取兩定點F1、F2，并將兩繩的另一端點分別固定在這兩點;

（3）把筆尖放在鐵環(huán)處，拉緊細繩，緩緩移動筆尖，隨著兩繩拉開或閉攏畫出一條軌跡;

（4）交換兩繩端點的位置，依照上述步驟畫出另一條軌跡.

學(xué)生在移動筆尖，親自動手畫出雙曲線的過程中體會雙曲線的定義.教師還可以指導(dǎo)學(xué)生移動F1、F2的位置，動手實驗畫出相應(yīng)的軌跡，體會定義中0<2a<|F1F2|這個條件的限制.

2 運用數(shù)學(xué)實驗提升邏輯推理的能力

通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，可以提升學(xué)生的邏輯推理能力，掌握邏輯推理的形式和方法，可以有邏輯有條理地分析問題、解決問題.在教學(xué)中，可以通過具體的數(shù)學(xué)實驗，由特殊到一般，讓學(xué)生思考、總結(jié)出一般化的邏輯規(guī)律.

在研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象時，從函數(shù)圖象的角度出發(fā)，討論參數(shù)變化時對函圖象的影響，探究圖象變換的實質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律.這里以探究參數(shù)ω（ω>0）對y=sin（ωx）的圖象的影響為例進行說明.

（1）當ω=2時，探究y=sinx圖象和y=sin2x圖象間的關(guān)系.

問題1：從整體上看，y=sinx與y=sin2x圖象有什么區(qū)別和聯(lián)系？

問題2：從特殊點分析（如x=π2，π，3π2，2π），y=sinx與y=sin2x圖象有什么區(qū)別和聯(lián)系？

問題3：點P（x0 ，y0）在函數(shù)y=sinx圖象上，則P1（12x0，y0）在函數(shù)y=sin2x圖象上嗎？

（2）當ω=12 時探索y=sinx圖象和y=sin12x圖象間的關(guān)系.

問題1：從整體上看，y=sinx與y=sin12 x圖象有什么區(qū)別和聯(lián)系？

問題2：從特殊點分析（如x=π2，π，3π2，2π），y=sinx與y=sin12 x圖象有什么區(qū)別和聯(lián)系？

問題3：點P（x0 ，y0）在函數(shù)y=sinx圖象上，則P1（2x0，y0）在函數(shù)y=sin12 x圖象上嗎？

根據(jù)函數(shù)圖象，充分考慮問題的難易梯度，逐步引領(lǐng)學(xué)生進行探究和思考，通過預(yù)設(shè)的問題激發(fā)學(xué)生積極思考，提升學(xué)生的邏輯思維能力.利用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra可以動態(tài)分析任意點的變化規(guī)律，進而對所有點進行分析，提升學(xué)生對三角函數(shù)伸縮變換的理解.通過數(shù)學(xué)實驗進行具體點的分析后，再進行嚴格的邏輯證明，從特殊到一般，提升學(xué)生的邏輯推理能力.

3 運用數(shù)學(xué)實驗提升直觀想象能力

直觀想象能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中一直在慢慢培養(yǎng)的能力.高中學(xué)生需要掌握利用幾何圖形刻畫問題，利用幾何圖形來幫助解決問題.學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來分析、解決問題，這時候就需要教師和學(xué)生進行數(shù)學(xué)實驗，畫出幾何圖形，將抽象問題直觀化.

比如，已知曲線y=4-x2與直線y=x+a有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.解決本題，我們需要利用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出圓心在原點、半徑為2的上半圓和斜率為1的直線的圖象，通過平移直線y=x+a 的位置，分析出當直線過點（2，0）時，a取得最小值-2;而當直線y=x+a與圓心在原點、半徑為2的上半圓相切時，a取到最大值，再利用圓心到直線得距離就等于半徑，計算出a的最大值為22.

4 運用數(shù)學(xué)實驗提升數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)建模是指學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中能夠發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)角度去思考和分析問題，并把現(xiàn)實問題表達為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的方法去解決問題.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力？教師帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，通過完整的數(shù)學(xué)實驗過程，讓學(xué)生感知發(fā)現(xiàn)和提出問題、建立和求解模型、檢驗和改進模型，分析和解決問題.

這里以生活中的非常常見的實例來展開數(shù)學(xué)建模的教學(xué).例如，某位教師通過在網(wǎng)絡(luò)購物平臺進行手機品牌和性能的對比之后，計劃購買某品牌價格為2980元的一款手機.如果選擇某銀行信用卡分期付款，等額本息還款方式，按照12期分期還款，每期月利率為0.6%，也可以選擇一次性付款和利用信用卡分期付款，請幫忙給該教師合理的建議.

要解決上述問題，首先教師需要引導(dǎo)學(xué)生提前了解何為等額本息還款.第二步，2980元按照12期分期還款，每期月利率為0.6%，那么每月利息為2980×0.6%=17.88元，每月需還本金2980/12=248.33元，每月需還款金額為17.88+248.33=266.21元.12期總共還款金額為266.21×12=3194.52元.第三步，結(jié)合計算結(jié)果，如果近期經(jīng)濟狀況比較寬裕，推薦一次性付款方式，不需要額外支出利息214.52元.如果近期經(jīng)濟狀況緊張，推薦信用卡分期付款方式，可以減輕短期的資金壓力.

5 運用數(shù)學(xué)實驗提升數(shù)據(jù)分析能力

數(shù)據(jù)分析的能力就是要能夠在現(xiàn)實的生產(chǎn)和生活中收集和整理數(shù)據(jù)，并加以理解，利用數(shù)學(xué)方法分析處理數(shù)據(jù)，得到相關(guān)結(jié)論，最終運用到生產(chǎn)和生活中去.數(shù)據(jù)分析能力是現(xiàn)在大數(shù)據(jù)時代的重要能力，也是科學(xué)研究、科學(xué)技術(shù)、工程建設(shè)新等生產(chǎn)和生活各個方面都可能需要的能力.2017年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》把數(shù)據(jù)分析作為高中數(shù)學(xué)六大學(xué)科核心素養(yǎng)之一，也充分說明了數(shù)據(jù)分析能力培養(yǎng)的重要性.如何在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力？這里介紹一個利用數(shù)學(xué)實驗提升數(shù)據(jù)分析能力的案例來進行說明.

在學(xué)習(xí)《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》這部分知識時，教師可以好好利用這個模塊來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，特別是帶領(lǐng)學(xué)生利用身邊的學(xué)習(xí)和生活中的實例進行數(shù)據(jù)分析處理.例如，在大多數(shù)人的觀念中，都有一個看法就是一般數(shù)學(xué)成績好的學(xué)生，物理也不錯.那么事實上，這個看法對不對呢？一個高中學(xué)生的物理成績多大程度上可以由數(shù)學(xué)成績解釋呢？第一步，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生收集和整理某次考試20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績.得到如下表的數(shù)據(jù).

第二步，利用Microsoft Office 的Excel表格畫出散點圖，見左下圖.從圖中可以看出學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績近似線性相關(guān).

第三步，添加趨勢線，選擇線性趨勢線，并勾選顯示公式和顯示R平方值，得到右上圖.從圖中可以看出，并求得物理成績與數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程為y=0.8822x-29.181，物理成績與數(shù)學(xué)成績正相關(guān)，數(shù)學(xué)成績提高一分，物理成績可能提高0.8822分.物理成績大約70.56%可以由數(shù)學(xué)成績解釋.散點圖中有一個點（109，45）離得較遠，通過查驗，數(shù)據(jù)并沒有錯誤.出現(xiàn)這種情況的原因可能是該次考試的偶然情況，也可能是該學(xué)生雖然數(shù)學(xué)掌握較好，但在物理學(xué)習(xí)上有待提高.

在實際教學(xué)的過程中，數(shù)學(xué)教師需要充分挖掘教材，有效利用學(xué)生學(xué)習(xí)和生活中的實例，有效開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué).通過數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，改進課堂教學(xué)效果，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻：

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[3] 任志鴻.高中優(yōu)秀教案數(shù)學(xué)必修4新課標人教A版[M].海口：南方出版社，2007.

[責(zé)任編輯：李 璟]