《空間向量及其運(yùn)算》（第1課時）教學(xué)設(shè)計(jì)

陳坤美

摘 要：本節(jié)課主要類比平面向量學(xué)習(xí)空間向量的概念和線性運(yùn)算，主要包括七個教學(xué)環(huán)節(jié).通過創(chuàng)設(shè)問題情境、設(shè)置問題串引導(dǎo)學(xué)生參與探究活動;借助立體幾何圖形幫助學(xué)生分析和理解概念;注重滲透類比、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

關(guān)鍵詞：空間向量;教學(xué)設(shè)計(jì);類比思想

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）06-0020-04

1 內(nèi)容解析

《空間向量及其運(yùn)算》是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（選擇性必修）》第一冊（以下簡稱“教科書”）第一章《空間向量與立體幾何》的第一節(jié)內(nèi)容，包括“空間向量及其線性運(yùn)算”和“空間向量的數(shù)量積運(yùn)算”兩小節(jié)內(nèi)容，其中第1課時“空間向量及其線性運(yùn)算”要學(xué)習(xí)的核心知識有：空間向量的概念;零向量、單位向量、相等向量、相反向量、共線向量、共面向量;空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算.這些核心知識是后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量基本定理、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示、應(yīng)用空間向量解決立體幾何圖形位置關(guān)系與度量關(guān)系的基石.

本節(jié)課的重點(diǎn)是：空間向量及其相關(guān)概念，空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算.

本節(jié)課的難點(diǎn)是：空間向量加法結(jié)合律的證明，用向量方法解決立體幾何問題.

2 學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，學(xué)生已在人教A版必修第二冊中學(xué)習(xí)了《平面向量及其應(yīng)用》和《立體幾何初步》內(nèi)容.熟悉了平面向量的基本研究思路與框架即“實(shí)際背景→基本概念→向量運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積）→向量基本定理及坐標(biāo)表示→向量的應(yīng)用”，這也是研究和學(xué)習(xí)空間向量的基本路線.

3 教學(xué)目標(biāo)

（1）了解空間向量的實(shí)際背景;理解空間向量及相關(guān)概念;掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算.

（2）經(jīng)歷由平面向量的概念、運(yùn)算推廣到空間向量的過程;通過空間向量加法結(jié)合律的證明體會維數(shù)增加對向量推廣帶來的變化;在證明空間四點(diǎn)共面的過程中明析立體幾何中向量方法的“三步曲”：用空間向量表示立體幾何圖形→向量運(yùn)算→對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行幾何解釋.

（3）在借助幾何圖形解釋空間向量相關(guān)概念中進(jìn)一步發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想方法;結(jié)合空間向量的概念、運(yùn)算與運(yùn)算律證明四點(diǎn)共面的過程中提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力;從平面向量推廣得到空間向量、空間向量問題轉(zhuǎn)化為平面向量問題的過程中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，領(lǐng)悟類比、特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸等思想.

4 教學(xué)策略

本節(jié)課采用創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)置問題鏈引導(dǎo)學(xué)生類比平面向量層層深入學(xué)習(xí)空間向量的概念、線性運(yùn)算、運(yùn)算律和位置關(guān)系等內(nèi)容.學(xué)生通過自主探究、生生交流、師生互動等教學(xué)活動參與學(xué)習(xí)過程，突破學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)和疑點(diǎn).利用幾何畫板、PPT等教學(xué)軟件繪制圖形、平移圖形、展示圖片，借助幾何直觀圖形幫助學(xué)生分析和理解概念.

5 教學(xué)過程

5.1 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題1 圖1是靜止在水平地面上重達(dá)20噸的集裝箱，對其進(jìn)行受力分析并判斷這些力是否在一個平面上.

生：受到的力有重力和支持力，這兩個力在同一平面.

師：現(xiàn)用塔吊將集裝箱轉(zhuǎn)運(yùn)（如圖2），此時集裝箱可能受到的力有哪些？

生：重力、四條繩子的拉力、風(fēng)力等.

追問：這些力都在同一個平面上嗎？

師：請同學(xué)們閱讀本章的章前言，再結(jié)合章頭圖仔細(xì)閱讀本節(jié)的節(jié)前言.

師：通過閱讀我們知道無論是研究滑翔運(yùn)動還是塔吊物體都需要利用空間向量，其實(shí)在解決很多現(xiàn)實(shí)問題的過程中都需要利用到空間向量如對橋梁、建筑的鋼架等的研究.本節(jié)課我們主要類比平面向量學(xué)習(xí)空間向量的概念以及線性運(yùn)算（板書課題）.

【設(shè)計(jì)意圖】從現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)，引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的空間向量，學(xué)生能從中體會平面向量推廣到空間向量的必要性.同時，引導(dǎo)學(xué)生閱讀章前言與節(jié)前言，明確本章以及本節(jié)的主要研究問題，成為整體內(nèi)容的“先行組織者”.

5.2 類比平面，獲取概念

問題2 在必修教科書中是如何定義和表示平面向量的？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平面向量的定義、表示法等概念，填寫表1“平面”列，學(xué)生再獨(dú)立類比完成“空間”列的填寫，最后師生共同總結(jié)空間向量的相關(guān)概念.

問題3 根據(jù)向量大小或方向的不同，可以分類得到哪些特殊向量？

師生活動：教師與學(xué)生一起回顧平面中學(xué)習(xí)過的特殊向量并填寫表2“平面”列，學(xué)生類比填寫“空間”列.觀察發(fā)現(xiàn)相等向量和相反向量都是特殊的平行向量.最后，強(qiáng)調(diào)在空間中我們?nèi)砸?guī)定：零向量與任意向量平行.

問題4 空間中兩條直線的位置關(guān)系有哪些？

生：共面（相交、平行）和異面.

追問：在圖3中直線AD與直線AD與BB1異面嗎？

師生活動：師生共同明確空間中的向量是自由的，且由相等向量的定義知我們研究的向量與起點(diǎn)無關(guān)，于是能將向量進(jìn)行平移.由練習(xí)2知AA1與BB1相等，從而教師通過幾何畫板演示BB1平移到AA1的過程，這樣AD與BB1就成為同一平面內(nèi)的兩個向量即兩者不是異面關(guān)系.

探究1 任意兩個空間向量a、b都可以通過平移成為同一平面內(nèi)的兩個向量嗎？

師生活動：師生結(jié)合教科書“圖1.1-3”畫圖分析，同時利用幾何畫板做向量平移過程的動態(tài)演示.說明其中的依據(jù)和本質(zhì)是“兩條相交直線確定一個平面，故起點(diǎn)重合的兩個不共線向量可以確定一個平面”.

【設(shè)計(jì)意圖】立足立體幾何知識，為學(xué)生學(xué)習(xí)空間向量找到知識生長點(diǎn);利用信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)師生更深入的交流互動，課堂內(nèi)容更加生動直觀.

5.3 類比運(yùn)算，證運(yùn)算律

師：在學(xué)習(xí)了平面向量的概念之后，我們類比數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)了它的線性運(yùn)算，現(xiàn)在又知道空間向量的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算，那能否把平面向量的線性運(yùn)算推廣到空間呢？

師生活動：結(jié)合教科書中“圖1.1-4”和“圖1.1-5”對空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行直觀理解.

問題5 平面向量加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算滿足的運(yùn)算律有哪些？

生：平面向量的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，數(shù)乘運(yùn)算滿足結(jié)合律和分配律.

追問1：這些運(yùn)算律對空間向量成立嗎？

探究2 如何證明空間向量加法的結(jié)合律？這與證明平面向量的結(jié)合律有何不同？

師生活動：師生共同回顧平面向量加法結(jié)合律的證明（如圖4）.

因?yàn)?/p>

AD=

AB+BD=AB+（BC+CD）=a+（b+c）;

AD=

Ac+cD=（AB+BC）+CD=（a+b）+c）;

所以a+b+c=a+b+c.

對于空間向量，若三個向量在同一平面則轉(zhuǎn)化為平面情形用圖4證明;若三個向量不在同一平面則類比平面畫出圖5來證明，同時結(jié)合圖5歸納總結(jié)得到以下結(jié)論：

（1）首尾相接的若干向量之和等于第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)所表示的向量.

（2）當(dāng)首尾相接的若干向量圍成一個封閉圖形時，它們的和為零向量.

（3）兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.

【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)平面向量加法結(jié)合律的證明為空間中的證明給予一定的啟發(fā).由于維數(shù)的增加，三個向量可能在同一個平面也可能不在，因此要分類討論進(jìn)行證明，畫圖分析能幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn).

5.4 交流互動，共探關(guān)系

5.4.1 空間向量共線的充要條件

探究3 任意兩個空間向量a（a≠0）與b，a∥b的充要條件是什么？

問題6 a與λa有什么位置關(guān)系？

問題7 若b=λa，a與b有什么位置關(guān)系？

問題8 平面中，向量a（a≠0）與b共線的充要條件是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】基于向量數(shù)乘的定義和平面向量共線的充要條件，設(shè)置三個問題引導(dǎo)學(xué)生得到兩個空間向量共線的充要條件.

師：我們知道兩點(diǎn)可以確定一條直線，且兩點(diǎn)構(gòu)成的有向線段可以表示向量，圖6、圖7所示是由A、B兩點(diǎn)確定的同一條直線l，思考

AB與BA有什么關(guān)系？

生：它們互為相反向量、共線（平行）向量.

師：也就是說它們的主要差異是方向相反，那方向相反對直線l有什么影響？

生：這說明直線l有兩個方向.

師：總結(jié)得非常好！實(shí)際上，我們將AB、BA都稱為直線l的方向向量.一般地，在直線l上任取非零向量a（如圖8），我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.

師：如圖9，O為方向向量a的起點(diǎn)，P為直線l上的任意一點(diǎn)，結(jié)合向量共線的充要條件你能得到什么？

生：存在實(shí)數(shù)λ，使OP=λa.

師生總結(jié)：直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量決定.

【設(shè)計(jì)意圖】在師生的一問一答和交流互動中有序推進(jìn)課堂，緊扣直線的定義將向量知識串聯(lián)，學(xué)生在參與分析、回答、解決問題的過程中實(shí)現(xiàn)對知識的深化理解.同時，注重符號語言、向量語言、圖形語言三種語言的互補(bǔ)和轉(zhuǎn)化.5.4.2 空間向量共面的充要條件

師：在前面練習(xí)1中，部分同學(xué)找出的三個向量從圖中看似乎是不在同一平面，但老師告訴大家它們實(shí)際是在同一平面的，現(xiàn)在就作出合理的解釋.

師：任意兩個空間向量總是共面，三個向量可能共面也可能不共面，那么什么情況下三個向量共面呢？

探究4 對于任意兩個不共線的空間向量

a，b，向量p與向量a，b共面的充要條件是什么？

問題9 當(dāng)向量p與向量a，b共面時，它們之間有怎樣的關(guān)系？（提示學(xué)生結(jié)合平面向量基本定理思考）

生：存在唯一的一對實(shí)數(shù)x，y，使p=xa+yb.

5.5 反思回顧，自主總結(jié)

（1）這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？與平面向量相關(guān)概念有何聯(lián)系與區(qū)別？

（2）空間向量的線性運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律？如何證明加法的結(jié)合律？

（3）空間向量共線、共面的充要條件分別是什么？

（4）用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”是什么？

（5）本節(jié)課主要涉及了哪幾種數(shù)學(xué)思想？

【設(shè)計(jì)意圖】圍繞本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)、

思想方法進(jìn)行總結(jié)反思，促進(jìn)學(xué)生把握本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu).5.6 布置作業(yè)，達(dá)標(biāo)檢測

（1）教科書第5頁練習(xí)2、4、5.

【設(shè)計(jì)意圖】考查空間向量的線性運(yùn)算.

（2）下列命題中不正確命題的序號為

①若空間向量a、b滿足|a|=|b|，則a=b.

②兩個空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同.

③向量AB與BA的長度相等.

④如果a∥b，b∥c，則a∥c.

【設(shè)計(jì)意圖】辨析空間向量的相關(guān)概念.

（3）設(shè)e1、e2是空間中兩個不共線的向量，已知

AB=2e1+te2，CB=e1+3e12，CD

=2e1-e2，且A、B、D三點(diǎn)共線，求t的值.

【設(shè)計(jì)意圖】考查空間向量共線的充要條件及其運(yùn)算.

（4）證明：空間中P，A，B，C，四點(diǎn)共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x，y，z），使得對空間中任意一點(diǎn)O都有OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）.

【設(shè)計(jì)意圖】此題是對練習(xí)4的變式訓(xùn)練，加深學(xué)生對空間向量共面的理解，滿足部分學(xué)生想多學(xué)一點(diǎn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需求.

參考文獻(xiàn)：

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[3] 劉長明.基于核心素養(yǎng)的“空間向量與立體幾何”教材設(shè)計(jì)與教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（31）：6-9.

[責(zé)任編輯：李 璟]