基于五點中心差分算法求波動方程的解

張 琪

(山西職業(yè)技術(shù)學院 基礎(chǔ)教學部，太原 030006)

波動方程是重要的一類偏微分方程，它是自然界中物質(zhì)波動現(xiàn)象的數(shù)量刻畫，如聲波、水波、光波、電磁波、沖擊波等[1]。波動方程的求解大致分2類，其一為求方程的精確解，揭示波傳播中某點的性質(zhì)與運動狀態(tài)。鄭明等[2]采用第二類Chebyshev小波方法對波動方程進行數(shù)值求解并獲得較好的精度，為Haar小波的數(shù)值求解提供解題思路。但是由于測量存在誤差，導致波動方程的精確解不能完整地反映實際問題[3]。因此，波動方程的研究轉(zhuǎn)向了另一個方向，即求方程的近似解(數(shù)值解)，只要方程的近似解滿足實際問題的精度要求，數(shù)值解就賦予了現(xiàn)實的意義。許小勇等[4]利用移位的第一類Chebyshev多項式建立求解費巨擘守恒條件下的波動方程數(shù)值解的方法，提高方程組轉(zhuǎn)化求解的精度。提高波動方程數(shù)值求解的精度是方程求解的目標，在數(shù)值求解方法中有三點中心差分法、譜方法、有限元法等[5]。本文在經(jīng)典的三點中心差分基礎(chǔ)上選用五點中心差分法，提高數(shù)值求解的精度，精度對于位置變量由二階提高到四階，該算法格式清晰，易迭代、易推廣、易理解。

1 三點中心差分法與五點中心差分法概述

1.1 三點中心差分法基本思想

三點中心差分法的基本思想是將求解區(qū)域網(wǎng)格化，在網(wǎng)格節(jié)點處，用有限個網(wǎng)格節(jié)點的函數(shù)值代替求解區(qū)域內(nèi)解函數(shù)的值，然后在網(wǎng)格節(jié)點上用差分方程的解近似代替微分方程的解，直接求解得出基本方程和相應的定解條件的近似解。

1)三點中心差分方程原理

建立差分方程原理：利用有限差分法離散波動方程，方法多種多樣而且對于同一方程可以建立不同的差分方法，同一方法可用于不同的方程。

設波動方程為：

(1)

式中：0≤x，y≤1；a為t時刻的傳播速度；u(x，y，t)為在t時刻空間位置(x，y)點的位移；τ為時間步長；h為空間步長。網(wǎng)格點記為(xj，yk，tn)，其中xj=jh，yk=kh，tn=nτ，k，j=0，1，…，N，h=1/N，n≥0。

在建立之前要用到泰勒展開式，f(x)在x0處展開時的表達式為：

(2)

2)三點中心差分算法推導過程

導數(shù)的差分近似可以通過式(2)來計算。

(3)

(4)

由式(2)和式(3)得：

(5)

(6)

(7)

(8)

由式(7)和式(8)得：

(9)

(10)

(11)

(12)

由式(11)和式(12)得：

(13)

(14)

(15)

則結(jié)合式(14)和式(15)得：

(16)

綜合式(6)和式(10)、式(16)得

(17)

取時間步長Δt=τ，空間步長Δx=Δy=h，則式(17)變?yōu)椋?/p>

(18)

式(18)即為三點中心差分方程的顯格式。

1.2 五點中心差分算法的推導過程

(19)

式中c1，c2，c3，c4，c5待定，將式(19)右端各項在x=jΔx處泰勒展開得：

ο(Δx6)。

(20)

ο(Δy6)。

(21)

(22)

(23)

由式(22)和式(23)得：

(24)

(25)

結(jié)合式(15)和式(25)得：

(26)

結(jié)合式(20)、式(21)和式(26)得：

(27)

取時間步長Δt=τ，空間步長Δx=Δy=h，則式(27)變?yōu)椋?/p>

(28)

式(28)則為五點中心差分方程的顯示格式。

2 五點中心差分算法分析

2.1 初始條件離散

因為該顯示差分格式的時間層是3層的，換句話說每個時間步推進都需要知道前2個時間步的值[12]。

下面計算第1個時間步的值：

在式(28)中令n=0，則有

(29)

(30)

(31)

ν(xj，yk)τ。

(32)

2.2 波動方程數(shù)值算法步驟

2.3 五點中心差分與三點中心差分算法比較分析

在求解雙曲型微分方程時，通常先將方程離散化，在每一分割點處用鄰近點的函數(shù)值替代函數(shù)的導數(shù)，把求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程問題，即通過有限差分法進行方程求解。求解過程差分節(jié)點數(shù)選取越多，近似解的精度越高。

1)三點中心差分法顯示格式：

2)五點中心差分法顯示格式：

3 結(jié)論

本文采用泰勒展開的方法構(gòu)造五點中心差分法算法格式并得出初始條件的離散，目的在于提高波動方程的數(shù)值解精度，精度由位置變量的二階提高到四階，時間變量的精度保持不變。該算法具有格式簡單、計算速度快等優(yōu)點，是有一種有效且有廣泛應用前景的方法。