隔震結(jié)構(gòu)復(fù)振型分解反應(yīng)譜方法研究

楊 奎， 譚 平， 陳華霆， 李曉磊

(1. 廣州大學(xué) 廣東省地震工程與應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510405；2. 廣州大學(xué) 工程抗震減震與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510405)

隔震結(jié)構(gòu)一般由上部結(jié)構(gòu)和隔震系統(tǒng)組成，由于兩者阻尼特性不同，形成了典型的非比例阻尼體系。非比例阻尼特性對(duì)隔震結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)是不可忽略的[1-2]。對(duì)于隔震結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，按照我國(guó)GB 50011—2010《建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》可采用基于水平向減震系數(shù)的分部設(shè)計(jì)方法，其地震作用計(jì)算采用強(qiáng)迫解耦的傳統(tǒng)反應(yīng)譜方法[3]，但沒(méi)有充分考慮非經(jīng)典阻尼的影響。由于強(qiáng)迫解耦法缺乏理論依據(jù)，所以很多科研人員致力于復(fù)模態(tài)的研究[4-6]。

Chen等[7]提出了有效的非經(jīng)典阻尼體系荷載Ritz向量生成算法，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率。為了降低計(jì)算規(guī)模，僅考慮低階振型參與計(jì)算，同時(shí)考慮高階振型影響，陳華霆等[8]提出了復(fù)振型加速度方法。上述研究成果為復(fù)振型疊加方法向工程應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。Igusa等[9-10]在復(fù)模態(tài)理論的框架下，假定地震動(dòng)為平穩(wěn)白噪聲過(guò)程，給出了各自的組合規(guī)則，但其振型相關(guān)系數(shù)較為復(fù)雜。周錫元等[11]利用復(fù)平面圍道積分理論推導(dǎo)出了解析形式的振型位移-位移、速度-位移和速度-速度的相關(guān)系數(shù)，提出了簡(jiǎn)便的復(fù)振型完全平方組合(complex complete quadratic combination，CCQC)組合規(guī)則。之后，Yu等[12-13]又將CCQC方法推廣到了多維、多點(diǎn)地震輸入的情況，Liu等[14]進(jìn)一步在多點(diǎn)地震輸入的反應(yīng)譜方法中考慮了等效地震荷載中阻尼的影響，Chen等[15]基于模態(tài)擴(kuò)展方法在CCQC中引入了截?cái)嗟母唠A振型貢獻(xiàn)。由于復(fù)模態(tài)分析中，所要求解特征值問(wèn)題的規(guī)模是系統(tǒng)自由度的兩倍，限制了復(fù)振型疊加方法的應(yīng)用。因此當(dāng)前相關(guān)科研人員主要從事對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化和擴(kuò)展應(yīng)用上，本文將在上述研究的基礎(chǔ)上重點(diǎn)討論阻尼矩陣構(gòu)造對(duì)隔震結(jié)構(gòu)復(fù)振型分解反應(yīng)譜法的影響。

非比例阻尼矩陣的構(gòu)造是復(fù)振型分解反應(yīng)譜法實(shí)施的基礎(chǔ)，對(duì)其開(kāi)展相關(guān)研究是非常必要的。本文以隔震結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，分別以瑞利阻尼、振型疊加阻尼系數(shù)和阻尼比換算阻尼系數(shù)3種方法，根據(jù)隔震結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，按照剛度矩陣的集裝方式來(lái)組裝形成4種不同的整體非比例阻尼矩陣。采用兩種不同的天然波反應(yīng)譜，以反應(yīng)譜CCQC和反應(yīng)譜完全平方組合(complete quadratic combination，CQC)分析不同阻尼矩陣形成方式對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響以及隔震層等效周期、等效阻尼比、地震動(dòng)特性對(duì)CQC和CCQC方法計(jì)算精度的影響，最后基于分析結(jié)果以設(shè)計(jì)反應(yīng)譜CQC和設(shè)計(jì)反應(yīng)譜CCQC研究隔震層不同等效周期和等效阻尼比對(duì)隔震結(jié)構(gòu)的樓層位移和樓層剪力誤差影響。

1 隔震結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖可簡(jiǎn)化，如圖1所示。圖1中：mb,kb為隔震層的質(zhì)量和等效剛度；m1～mn為上部結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量；k1～kn為上部結(jié)構(gòu)各層的剛度；x1～xn為各層相對(duì)地面的位移。

圖1 隔震體系模型示意圖

針對(duì)圖1隔震結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)示意圖，以各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)地面作為運(yùn)動(dòng)變量。該體系在地震作用下的運(yùn)動(dòng)方程可表達(dá)為

(1)

由于隔震層與上結(jié)構(gòu)材料不同，兩者的阻尼有明顯差異，所以在其運(yùn)動(dòng)方程在振型空間展開(kāi)具有耦合項(xiàng)，如式(2)所示。

式(1)中x在無(wú)阻尼空間Φ展開(kāi)，即x=Φq，則式(1)可由振型運(yùn)動(dòng)方程表示

(2)

2 隔震結(jié)構(gòu)反應(yīng)譜CCQC法理論

為對(duì)式(1)中隔震結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行解耦，需要利用Foss變換[16]將其轉(zhuǎn)化為2n個(gè)一階微分方程，即

(3)

矩陣A和B為對(duì)稱非正定矩陣，利用式(4)可求得結(jié)構(gòu)的特征值和特征向量

(λA+B)ψ=0

(4)

(5)

式中， Re(·)和Im(·)分別為取復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。

本文利用復(fù)振型疊加方法，位移向量x可展開(kāi)為

(6)

(7)

在工程實(shí)踐中，通常關(guān)心的反應(yīng)量有層位移、層間位移以及剪力、彎矩等，這些反應(yīng)量是與位移相關(guān)的，故任意地震反應(yīng)量R(t)=νTx(t)，ν為響應(yīng)轉(zhuǎn)換向量，與結(jié)構(gòu)的幾何、物理屬性有關(guān)。利用式(6)，R(t)可進(jìn)一步表示為

(8)

式中：αi=νTρi；βi=νTφi。

(9)

式中，Vi與Di分別為第i階振型對(duì)應(yīng)的速度譜值和位移譜值，為了使用的方便，通常速度譜由偽速度譜代替；ρvv,ij、ρvd,ij和ρdd,ij分別為振型速度-速度、速度-位移和位移-位移的振型相關(guān)系數(shù)，具有以下表達(dá)形式

(r=ωi/ωj)

(10)

(11)

(12)

式(7)即在一維地震作用下CCQC的表達(dá)形式，在引入相應(yīng)的假定后可以將其進(jìn)一步推廣到多維、多點(diǎn)地震激勵(lì)作用的情況。不過(guò)上述是基于線性系統(tǒng)推導(dǎo)而來(lái)，對(duì)于隔震結(jié)構(gòu)需要提供隔震支座等效剛度，可以通過(guò)迭代確定。迭代步驟可詳見(jiàn)文獻(xiàn)[19]，如圖2所示。一般初始迭代位移在設(shè)防地震、罕遇地震作用下分別取100%、250%剪應(yīng)變對(duì)應(yīng)的位移值。

圖2 支座等效剛度、阻尼比的迭代方法

3 阻尼矩陣構(gòu)造影響分析

針對(duì)第1章隔震結(jié)構(gòu)模型，為方便生成非比例阻尼矩陣，將隔震層和上部結(jié)構(gòu)看作兩個(gè)子結(jié)構(gòu)。

3.1 分區(qū)瑞利阻尼方法

隔震層

cb=αbmb+βbkb

(13)

上部結(jié)構(gòu)

Cs=αsMs+βsKs

(14)

式中：Ms、Ks分別為上部子結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度矩陣；αb、βb、αs、βs分別為隔震系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)的瑞利阻尼比系數(shù)和上部子結(jié)構(gòu)的瑞利阻尼比系數(shù)，由下式確定

(15)

(16)

ωi與ωj為對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)有顯著影響的最高和最低頻率。ξs、ξb分別為上部結(jié)構(gòu)和隔震層的阻尼比。

此時(shí)隔震結(jié)構(gòu)的整體非比例阻尼矩陣為

(17)

式中，cr為分區(qū)Rayleigh阻尼[20]，可得

cr=βs(-k1,0,…,0)

(18)

3.2 阻尼系數(shù)方法

圖1隔震結(jié)構(gòu)為剪切型模型，上部結(jié)構(gòu)阻尼可以取與剛度成比例，通過(guò)各層的阻尼比、剛度，求得各樓層的阻尼系數(shù)

(19)

然后按照剛度矩陣組集的方式來(lái)組裝整體的阻尼矩陣。求得整體阻尼如下式

3.3 瑞利-阻尼系數(shù)方法

對(duì)于隔震層上部結(jié)構(gòu)可以采用瑞利阻尼形成阻尼矩陣，而對(duì)于隔震層或隔震支座則通過(guò)式(19)阻尼比換算成阻尼系數(shù)，然后按照剛度矩陣組集的方式來(lái)組裝整體的阻尼矩陣。

對(duì)隔震層，通過(guò)支座的等效阻尼比、等效剛度，求得阻尼系數(shù)

(20)

對(duì)于上部結(jié)構(gòu)可按瑞利阻尼假定形成阻尼矩陣，即

Cs=αsMs+βsKs

(21)

式中：Ms、Ks分別為上部子結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度矩陣；αi、βi分別為相應(yīng)的質(zhì)量和剛度比例系數(shù)，由下式確定

(22)

式中：ωm與ωn為整體結(jié)構(gòu)中對(duì)應(yīng)于上部結(jié)構(gòu)第m、第n階自振頻率；ξm、ξn為相應(yīng)振型阻尼比。

然后按照直接集裝兩個(gè)子結(jié)構(gòu)方式來(lái)組裝整體的非比例阻尼矩陣。如式(23)所示。

(23)

3.4 振型疊加-阻尼系數(shù)方法

對(duì)隔震層，通過(guò)支座的等效阻尼比、等效剛度，求得阻尼系數(shù)

(24)

由于結(jié)構(gòu)的各階振型的阻尼比呈現(xiàn)非線性分布，因此對(duì)上部結(jié)構(gòu)可采用Clough提出另外一種阻尼模型

(25)

式中：Ms為上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；ωi、φi、Mi分別為自振頻率、無(wú)阻尼振型和振型質(zhì)量。同樣按照直接集裝兩個(gè)子結(jié)構(gòu)方式來(lái)組裝整體的非比利阻尼矩陣。

以10層剪切模型為研究對(duì)象，取剛度質(zhì)量比k/m=1 767 s-2，所有振型的阻尼比為0.05。通過(guò)在結(jié)構(gòu)底部更換不同參數(shù)的隔震層進(jìn)行討論分析。

隔震層等效周期取為3 s。眾所周知，隔震結(jié)構(gòu)第一階振型阻尼比主要由隔震層阻尼控制，高階振型阻尼比主要由上部結(jié)構(gòu)阻尼控制。由圖3可知，當(dāng)隔震層阻尼比大于0.05時(shí)，分區(qū)瑞利阻尼方法對(duì)隔震結(jié)構(gòu)第一階振型阻尼比的反映不夠合理，遠(yuǎn)小于隔震層等效阻尼比；瑞利-阻尼系數(shù)方法給出的第一階振型阻尼比稍大于隔震層等效阻尼比，但隨著隔震層阻尼比的增大，兩者越來(lái)越接近，特別需要指出的是，對(duì)于其他階振型阻尼比，這方法給出的數(shù)值明顯偏大，隨著振型階數(shù)的增大，阻尼比增大的程度也不斷加劇；振型疊加-阻尼系數(shù)方法和阻尼系數(shù)方法相對(duì)比較合理，兩者也非常接近，區(qū)別主要在于高階振型阻尼比，后者較大。

圖3 不同阻尼矩陣形成方式隨隔震層等效阻尼比變化對(duì)振型阻尼比的影響

不同阻尼矩陣形成方式隨隔震層等效周期Tb的變化對(duì)隔震結(jié)構(gòu)振型阻尼比ξn的影響，如圖4所示。圖4中標(biāo)注了前4階振型阻尼比變化曲線，其他曲線為第五～第十階振型阻尼比變化曲線。隨著隔震層等效周期Tb的增大，第一階振型阻尼比將趨近隔震層等效阻尼比。同時(shí)，其他階振型阻尼比也將越來(lái)越靠近上部結(jié)構(gòu)阻尼比。對(duì)于這兩點(diǎn)規(guī)律，分區(qū)瑞利阻尼方法和瑞利-阻尼系數(shù)方法都沒(méi)有很好地表達(dá)出來(lái)(見(jiàn)圖4)。相對(duì)而言，振型疊加-阻尼系數(shù)方法和阻尼系數(shù)方法計(jì)算出的振型阻尼比隨隔震層等效周期的變化趨勢(shì)更為合理。

圖4 不同阻尼矩陣形成方式隨隔震層等效周期變化對(duì)振型阻尼比的影響

綜上所述，阻尼系數(shù)法和振型疊加-阻尼系數(shù)方法構(gòu)造的隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，無(wú)論是隔震層的阻尼變化，還是剛度變化，都能夠反應(yīng)出隔震結(jié)構(gòu)特性規(guī)律。然而分區(qū)瑞利阻尼的會(huì)對(duì)隔震一階振型進(jìn)行抑制，對(duì)高階振型由會(huì)產(chǎn)生過(guò)阻尼現(xiàn)象，因此建議隔震結(jié)構(gòu)采用振型疊加-阻尼系數(shù)和阻尼系數(shù)方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的構(gòu)造。

4 結(jié)構(gòu)算例分析

以一典型的10層框架剪切模型為研究對(duì)象，層質(zhì)量m與層剛度k均勻分布，取剛度質(zhì)量比k/m=1 767 s-2使得結(jié)構(gòu)基本周期為1 s，所有振型的阻尼比為0.05。在結(jié)構(gòu)底層增加隔震層，如圖5所示。

圖5 隔震結(jié)構(gòu)分析模型

4.1 基于近、遠(yuǎn)地震波反應(yīng)譜分析

為了得到阻尼矩陣形成方式對(duì)反應(yīng)譜CQC與反應(yīng)譜CCQC兩種方式計(jì)算方式的影響，避免由于反應(yīng)譜計(jì)算(速度反應(yīng)譜估計(jì)、阻尼修正系數(shù))引起的影響，從而采用天然波的反應(yīng)譜比較系統(tǒng)的研究阻尼矩陣形成方法、隔震層等效阻尼比、等效剛度、地震動(dòng)特性對(duì)兩種方法精度的影響。在這方式中，地震動(dòng)記錄選取ATC-63推薦的28組近場(chǎng)地震和22組遠(yuǎn)場(chǎng)地震，其中把每組地震動(dòng)加速度峰值最大的分量調(diào)至0.4g。

兩組地震作用下采用不同阻尼矩陣形成方法上部結(jié)構(gòu)底部剪力隨隔震層等效阻尼比的變化曲線，如圖6、圖7所示。每幅圖中，隔震層等效周期為3 s，“TimeHistory”表示基于時(shí)程分析的所有地震動(dòng)作用下最大基底剪力的平均值Vb，“CQC”表示對(duì)每一條地震動(dòng)反應(yīng)譜進(jìn)行強(qiáng)迫解耦的CQC組合后取平均，“CCQC”表示對(duì)每一條地震動(dòng)反應(yīng)譜進(jìn)行強(qiáng)迫解耦的CCQC組合后取平均。此外，所有的基底剪力通過(guò)阻尼系數(shù)方法求得的隔震層等效阻尼比為0時(shí)的基底剪力進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

由圖6、圖7可知，在隔震層阻尼比小于0.05時(shí)，“TimeHistory”、“CQC”和“CCQC”計(jì)算出的基底剪力重合時(shí)，說(shuō)明隔震層阻尼的非比例影響可以忽略，這時(shí)可以采用任意一種阻尼矩陣構(gòu)造方法。當(dāng)隔震結(jié)構(gòu)阻尼大于0.05時(shí)，4種阻尼構(gòu)造方式結(jié)構(gòu)分區(qū)瑞利阻尼方法得到結(jié)果與其他3種方法差別最大，沒(méi)有反映出非比例阻尼的影響。除數(shù)值大小有差別外，瑞利-阻尼系數(shù)方法、振型疊加-阻尼系數(shù)方法、阻尼系數(shù)方法得到的基底剪力隨隔震層阻尼的變化趨勢(shì)基本一致。隔震結(jié)構(gòu)基底剪力與構(gòu)件內(nèi)力大小息息相關(guān)，隔震結(jié)構(gòu)阻尼比一般在0.1～0.3，在此范圍內(nèi)阻尼系數(shù)方法反映出的結(jié)構(gòu)基底較大。由此可知，進(jìn)行隔震結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，并且結(jié)構(gòu)阻尼比大于0.05時(shí)，優(yōu)先選用阻尼系數(shù)方法較為合理。

圖6 近場(chǎng)地震作用下阻尼矩陣形成方式對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

圖7 遠(yuǎn)場(chǎng)地震作用下阻尼矩陣形成方式對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

通過(guò)上述研究發(fā)現(xiàn)阻尼系數(shù)方法更適合用于隔震結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣構(gòu)造，在此基礎(chǔ)上為探究?jī)煞N方法的計(jì)算精度，在后面的計(jì)算中統(tǒng)一采用阻尼系數(shù)方法來(lái)形成阻尼矩陣。取隔震層等效周期為3 s，下標(biāo)“rsm”表示反應(yīng)譜方法CQC或CCQC，“thm”表示時(shí)程分析方法。對(duì)于每一條地震動(dòng)按照CQC、CCQC和時(shí)程分析方法分別計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)，然后以時(shí)程分析結(jié)果為基準(zhǔn)得到CQC和CCQC的相對(duì)誤差，最后將所有地震動(dòng)作用下的計(jì)算誤差進(jìn)行平均示于圖中。圖8～圖11中，同一種方法的計(jì)算結(jié)果用同一種線型表示，每一種方法包含若干條曲線，對(duì)應(yīng)各個(gè)樓層的地震響應(yīng)計(jì)算誤差。

圖8 近場(chǎng)地震作用下CQC與CCQC對(duì)比

兩組地震作用下，CQC與CCQC的計(jì)算精度隨隔震層等效阻尼比的變化如圖8、圖9所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，對(duì)于上部樓層位移，當(dāng)結(jié)構(gòu)隔震層阻尼比ξb,eq在0.05以內(nèi)時(shí)，兩種方法精度相當(dāng)，可以選擇任意一種。然而隔震結(jié)構(gòu)阻尼比一般在0.1～0.3，從圖8、圖9中可以發(fā)現(xiàn)在此區(qū)間范圍，CQC預(yù)測(cè)結(jié)果稍偏?。粚?duì)于層間剪力，CQC預(yù)測(cè)結(jié)果偏小較多，此時(shí)不能選擇CQC方法。若將計(jì)算精度控制在±10%以內(nèi)的話，CQC的適用范圍依然在0.05以內(nèi)，即非隔震結(jié)構(gòu)。此外，可以發(fā)現(xiàn)近場(chǎng)地震作用下的CQC計(jì)算誤差顯著大于遠(yuǎn)場(chǎng)地震作用。這是因?yàn)榻鼒?chǎng)地震相對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)地震強(qiáng)度更大，并且具有脈沖效應(yīng)，進(jìn)一步說(shuō)明CQC方法對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)、近場(chǎng)地震作用比較敏感，采用此方法前，應(yīng)對(duì)地震波的選取更加謹(jǐn)慎。而CCQC方法無(wú)論在遠(yuǎn)場(chǎng)還是近場(chǎng)地震下，誤差波動(dòng)小且預(yù)測(cè)精度較好。

圖9 遠(yuǎn)場(chǎng)地震作用下CQC與CCQC對(duì)比

取隔震層等效阻尼比為20%，兩組地震作用下，CQC與CCQC的計(jì)算精度隨隔震層等效周期的變化如圖10、圖11所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，對(duì)于樓層位移，隨著隔震層有效周期的增大，CQC與CCQC的計(jì)算精度得以提高，CCQC預(yù)測(cè)值始終比CQC稍大；對(duì)于樓層剪力，隨著隔震層有效周期的增大，CQC的計(jì)算誤差也越來(lái)越大，近場(chǎng)地震作用下更為顯著。結(jié)合上述，可以發(fā)現(xiàn)CQC反應(yīng)譜方法會(huì)嚴(yán)重低估隔震結(jié)構(gòu)的樓層剪力，從而會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)產(chǎn)生重大影響，而近場(chǎng)地震作用下，CQC方法預(yù)測(cè)誤差會(huì)加大，因此建議在對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行隔震設(shè)計(jì)時(shí)，考慮采用CCQC方法。在使用CQC方法時(shí)不僅需要考慮結(jié)構(gòu)的阻尼比范圍，還需要同時(shí)進(jìn)行近、遠(yuǎn)場(chǎng)地震作用分析，以便確定安全設(shè)計(jì)方案。

圖10 近場(chǎng)地震作用下CQC與CCQC對(duì)比

圖11 遠(yuǎn)場(chǎng)地震作用下CQC與CCQC對(duì)比

4.2 設(shè)計(jì)反應(yīng)譜分析

對(duì)于隔震結(jié)構(gòu)第一階振型阻尼比遠(yuǎn)大于5%，而高階振型阻尼比又有可能小于5%。阻尼比為2%、5%、10%、20%、30%時(shí)規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜與人工加速度平均反應(yīng)譜的對(duì)比，如圖12所示。圖12中相同阻尼比的規(guī)范譜和設(shè)計(jì)反應(yīng)譜采用相同的線型和顏色。由圖12可知，隨著阻尼比的增大，設(shè)計(jì)反應(yīng)譜與人工加速度平均反應(yīng)譜的差別越來(lái)越大，而且人工加速度平均反應(yīng)譜值在整個(gè)周期段普遍偏小。可以預(yù)測(cè)隔震層阻尼比越大，基于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的反應(yīng)譜方法計(jì)算結(jié)果將越大于時(shí)程分析結(jié)果。這是由人工加速度時(shí)程不能兼容多阻尼比目標(biāo)譜導(dǎo)致的，因此本文人工波生成采用隔震層阻尼比修正的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜為目標(biāo)譜。

圖12 不同阻尼比規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜與人工加速度平均反應(yīng)譜

在工程實(shí)踐中，不論是CQC方法還是CCQC方法都需要基于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜進(jìn)行峰值響應(yīng)組合，因此分析此種情況下的CQC與CCQC方法的特性更具有實(shí)用意義。為與時(shí)程分析結(jié)果對(duì)比，以設(shè)計(jì)反應(yīng)譜為目標(biāo)譜，采用時(shí)域內(nèi)余弦調(diào)幅的方法生成30條人工加速度時(shí)程的反應(yīng)譜以及與設(shè)計(jì)反應(yīng)譜對(duì)比，如圖13所示。

圖13 30條人工波反應(yīng)譜及其平均值與規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜間的對(duì)比

采用3種方法進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析，即反應(yīng)譜方法CQC、CCQC和時(shí)程分析方法。CQC(code spectra)、CCQC(code spectra)分別表示在基于強(qiáng)迫解耦的CQC組合和CCQC組合中采用設(shè)計(jì)反應(yīng)譜；需要指出的是，CCQC(code spectra)中，速度反應(yīng)譜由(偽加速度)設(shè)計(jì)反應(yīng)譜轉(zhuǎn)換成的偽速度反應(yīng)譜近似，對(duì)于阻尼比的譜值由抗震規(guī)范提供的阻尼修正系數(shù)來(lái)調(diào)整。CCQC(synthetic acc spectra) 表示CCQC組合中采用由30條人工加速度時(shí)程計(jì)算出的平均位移反應(yīng)譜和速度反應(yīng)譜。上述3種反應(yīng)譜方法求得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)以下標(biāo)“rsm”表示，下標(biāo)“thm”表示時(shí)程分析得出的平均結(jié)構(gòu)響應(yīng)。所有計(jì)算出的結(jié)果，以時(shí)程分析結(jié)果為基準(zhǔn)，進(jìn)行對(duì)比，分析不同計(jì)算方法的精度。圖14、圖15中，同一種方法的計(jì)算結(jié)果用同一種線型表示，每一種方法包含若干條曲線，對(duì)應(yīng)各個(gè)樓層的地震響應(yīng)。

圖14 隔震層等效阻尼比對(duì)CQC與CCQC計(jì)算精度的影響

圖15 隔震層等效周期對(duì)CQC與CCQC計(jì)算精度的影響

首先，假定隔震層等效周期Tb,eq=3 s，研究隔震層等效阻尼比ξb,eq對(duì)CQC與CCQC計(jì)算精度的影響，如圖14所示。圖14(a)為3種反應(yīng)譜方法樓層位移誤差，CCQC(synthetic acc spectra)精度最高，CQC(code spectra)與CCQC(code spectra)結(jié)果非常接近，但隨著隔震層等效阻尼比的增大，計(jì)算結(jié)果越來(lái)越大。因此，在常用的隔震層等效阻尼比在0.1～0.3內(nèi)，采用基于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的CQC或CCQC方法預(yù)測(cè)的樓層位移(包括隔震層位移)稍偏于保守。而對(duì)于樓層剪力、樓層傾覆彎矩CQC(code spectra)與CCQC(code spectra)差別非常顯著，同樣在ξb,eq在0.1～0.3內(nèi)，所有樓層CCQC(code spectra)的精度在-10%～10% (負(fù)號(hào)表示小于時(shí)程結(jié)果)，CQC(code spectra)在-1%～-40%內(nèi)，而且其各個(gè)樓層計(jì)算誤差較為分散，樓層位置越高誤差越大。圖中實(shí)線為CCQC(synthetic acc spectra)，是用真實(shí)的反應(yīng)譜值進(jìn)行組合，但樓層剪力和樓層傾覆彎矩比時(shí)程結(jié)果稍小，在10%以內(nèi)。綜合上述所言，當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼在0.05以內(nèi)， CQC和CCQC反應(yīng)譜方法預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)都偏小，此時(shí)建議采用CCQC(synthetic acc spectra)，較為精準(zhǔn)。當(dāng)隔震結(jié)構(gòu)等效阻尼比處于0.1～0.3時(shí)，采用CCQC反應(yīng)譜方法最為保守，符合我國(guó)的設(shè)計(jì)思想。

假定隔震層等效阻尼比ξb,eq=20%，研究隔震層等效周期Tb,eq對(duì)CQC與CCQC計(jì)算精度的影響，如圖15所示。當(dāng)隔震層等效周期小于1 s時(shí)，對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的振型阻尼比均在5%以下，而此時(shí)人工加速度平均反應(yīng)譜在周期0～1 s段大于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜值，從而導(dǎo)致在隔震層等效周期小于1 s的區(qū)域內(nèi)，時(shí)程結(jié)果大于基于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的CQC、CCQC計(jì)算結(jié)果。由于上部結(jié)構(gòu)基本周期為1 s，通常隔震之后的基本周期遠(yuǎn)大于1 s。因此，本文主要關(guān)注隔震層等效周期大于1 s的情況。對(duì)樓層位移，基于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的CQC與CCQC方法非常接近，同時(shí)隨著隔震層等效周期的增大，計(jì)算結(jié)果也不斷增大，如圖15(a)所示。而對(duì)于樓層剪力和傾覆彎矩在2～4 s，基于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的CQC與CCQC方法差別較大，從圖15可知，基于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的CCQC方法計(jì)算結(jié)果均大于時(shí)程分析結(jié)果，而基于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的CQC方法計(jì)算結(jié)果明顯偏小，特別是較高樓層位置，而且隨著隔震層等效周期的增大，這種偏小的程度進(jìn)一步加劇。此外，對(duì)于紅色曲線表示的基于人工加速度平均反應(yīng)譜的CCQC方法，其計(jì)算出的樓層剪力比時(shí)程結(jié)果稍小，但隔震層等效周期對(duì)其影響不大。因此當(dāng)隔震結(jié)構(gòu)周期處于2 s以上時(shí)，建議采用CCQC方法。

5 結(jié) 論

本文通過(guò)4種不同構(gòu)造方式形成整體非比例阻尼矩陣，并在此基礎(chǔ)上分析了一些參數(shù)對(duì)復(fù)振型分解反應(yīng)譜方法的計(jì)算影響，現(xiàn)得出結(jié)論如下：

(1) 分區(qū)瑞利阻尼不能合理反映隔震結(jié)構(gòu)一階振型阻尼比，并且隨著隔震層等效阻尼比和周期變化，分區(qū)瑞利阻尼不能體現(xiàn)非比例阻尼特性對(duì)上部結(jié)構(gòu)底部剪力影響。阻尼系數(shù)方法得到響應(yīng)較其他方法大，所以在實(shí)際應(yīng)用中，建議阻尼矩陣采用阻尼系數(shù)方法或振型疊加方法進(jìn)行組裝。

(2) 近場(chǎng)地震作用下，隔震層阻尼在20%內(nèi)時(shí)，CCQC和CQC方法精度相當(dāng)。但對(duì)于樓層剪力，CCQC比較平穩(wěn)，且精度在10%內(nèi)；CQC方法隨等效阻尼比變大而逐漸偏小，誤差在10%～70%，可以看出隔震層阻尼容易引起上部結(jié)構(gòu)響應(yīng)放大，CQC方法不能反映出這一特點(diǎn)。

(3) 基于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的CQC方法在常用的隔震層等效阻尼比0.1～0.3、等效周期2～4 s內(nèi)，上部樓層剪力、樓層傾覆彎矩偏低，特別是頂層剪力偏小20%～30%；基于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的CCQC方法進(jìn)行隔震設(shè)計(jì)較CQC方法安全。

(4) CQC方法計(jì)算誤差的大小除了與隔震層等效阻尼比有關(guān)外，還受地震動(dòng)特性、隔震層等效周期、計(jì)算中采用的阻尼矩陣形式等因素影響。因此，規(guī)定一個(gè)具體的隔震層等效阻尼比作為CQC方法的適用性判別指標(biāo)是不恰當(dāng)?shù)摹６鳦CQC方法更具一般性。