極值點偏移的處理策略

東莞市第二高級中學(xué)(523129)章銳陽

導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題在高考以及各類模擬考試題中頻繁出現(xiàn).其中以比較雙變量與某一常數(shù)或含參數(shù)式子的形式最為常見,對學(xué)生邏輯推理的能力要求較高.下面通過例題解析說明極值點偏移問題的處理策略.

1 高考真題分析

本題實質(zhì)上是函數(shù)極值點偏移問題,在高考和各類高考模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)這類試題設(shè)問新穎多變,有時難度較大,綜合性較強(qiáng),能比較好考查學(xué)生的邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程思想等,往往作為壓軸題出現(xiàn).其基本的解題思路是將多元變量問題消元成統(tǒng)一變量,再構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.

2 極值點偏移問題

2.1 含義

所謂極值點偏移問題,是指對于單極值函數(shù),由函數(shù)極值點左右的增減速度不同,使得函數(shù)圖像沒有對稱性.若函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值,且函數(shù)y=f(x)與直線y=b交于A(x1,b),B(x2,b)兩點,則AB的中點為而往往.

2.2 圖形特征

圖1:極值點左偏移

圖2:極值點右偏移

2.3 一般題設(shè)形式

此類問題在近幾年高考及各種模考中,作為熱點以壓軸題的形式給出,很多學(xué)生對待此類問題經(jīng)常是束手無策.而且此類問題變化多樣,有些題型是不含參數(shù)的,而更多的題型又是含有參數(shù)的.不含參數(shù)的如何解決? 含參數(shù)的又該如何解決,參數(shù)如何來處理? 是否有更方便的方法來解決? 其實,處理的手段有很多,方法也就有很多,我們從幾個典型問題來逐一探索!

3 例題解析

3.1 不含參數(shù)的極值點偏移問題

例1已知函數(shù)f(x)=xe-x(x ∈R),如果x1/=x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2＞2.

證法一f′(x)=(1-x)e-x,易得f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,x →-∞時,f(x)→-∞,f(0)= 0,x →+∞時,f(x)→0,函數(shù)f(x)在x= 1 處取得極大值f(1),且,如圖3所示.

圖3

以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式,方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達(dá)到消元的目的,方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元,將兩個舊的變元都換成新變元來表示,從而達(dá)到消元的目的.

3.2 含參數(shù)的極值點偏移問題

問題解決是數(shù)學(xué)思維的重要呈現(xiàn)形式,那么如何解決問題? 這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.如果將極值點偏移問題作為題型,那么至少有兩種解決問題的方案(構(gòu)造比較函數(shù)和構(gòu)造對稱函數(shù)).這種訓(xùn)練雖然可以提高形式推導(dǎo)能力,但不能做到真正的理解與深入的獨立思考,我們應(yīng)該關(guān)注解題教學(xué)所培養(yǎng)的數(shù)學(xué)理解能力與問題思考能力.讓學(xué)生不再簡單模仿或是變式訓(xùn)練,而是邏輯思維與直覺思維共同作用的良好體驗.