內(nèi)容綜合 思維進(jìn)階 方法貫通
——“直線與圓的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)

錢建芬

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 215228)

1 問題提出

大多數(shù)教師在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課習(xí)慣于習(xí)題講評，而缺少對某一主題、某一個(gè)單元進(jìn)行知識(shí)整體架構(gòu)，更不用提在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生觸類旁通地進(jìn)行復(fù)習(xí).教師根深蒂固的想法就是要多講幾道例題，總認(rèn)為“題目講了，學(xué)生就懂了；學(xué)生能做了，也就學(xué)會(huì)了”.殊不知，即便是教師講過的例題，有相當(dāng)多的學(xué)生在新的情境里再次碰到類似的問題時(shí)還是不會(huì)分析、不會(huì)思考、不會(huì)作答.究其原因，是我們的復(fù)習(xí)課把知識(shí)點(diǎn)割裂開來進(jìn)行回顧，本質(zhì)上還是新授課的“濃縮版”，不僅僅是教學(xué)內(nèi)容在“炒冷飯”，解題技能和思維能力也得不到進(jìn)階.這種低效的復(fù)習(xí)課進(jìn)一步把學(xué)生的思維固化了，把學(xué)習(xí)內(nèi)容割裂了，不利于學(xué)生必備品格和關(guān)鍵能力的進(jìn)一步發(fā)展，直接影響數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升.一堂優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)該體現(xiàn)“學(xué)習(xí)內(nèi)容要綜合，技能訓(xùn)練要貫通，思維品質(zhì)要進(jìn)階”三大基本特征.應(yīng)讓學(xué)生通過對知識(shí)的溫習(xí)、回顧，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，啟發(fā)深刻的思維活動(dòng)，厘清一類問題的基本解決方法，讓學(xué)生在變式訓(xùn)練中獲取新知識(shí)、新方法、新技能，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到“講一題、得一法，會(huì)一類、通一片”的學(xué)習(xí)效果.所以，要上好一堂數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，不但考驗(yàn)著教師的學(xué)科素養(yǎng)和教學(xué)技藝，也“拷問”著我們的教育思想和教學(xué)主張.

下面以“直線與圓的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課為例，呈現(xiàn)設(shè)計(jì)思路，供讀者參考.

2 內(nèi)容分析及教學(xué)目標(biāo)

“直線與圓”是《圓》這一章的重要內(nèi)容，包括直線和圓的位置關(guān)系、切線的概念、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓、切線長定理及其應(yīng)用等.這部分內(nèi)容比較典型地體現(xiàn)了圖形的位置關(guān)系與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，蘊(yùn)涵著數(shù)形結(jié)合的思想，一直是各省市中考命題的熱點(diǎn).一是題型多樣，有填空題、選擇題和解答題等；二是內(nèi)容綜合，常常與三角形、四邊形等結(jié)合在一起，可謂多變；三是方法靈活，時(shí)常還會(huì)與圖形相似、全等知識(shí)綜合運(yùn)用，可謂靈活.因此，在復(fù)習(xí)“直線與圓”的內(nèi)容時(shí)，既要關(guān)注結(jié)論的理解與應(yīng)用，更要讓學(xué)生感受其中的思想方法并能夠運(yùn)用這些結(jié)論進(jìn)行邏輯推理解決有關(guān)問題，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

教學(xué)目標(biāo)

(1)回憶直線與圓的三種位置關(guān)系，鞏固掌握三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形等概念.復(fù)習(xí)“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的方法，能作三角形的內(nèi)切圓.

(2)在處理直線與圓的位置關(guān)系這一類問題時(shí)，要想方設(shè)法將問題轉(zhuǎn)移到直角三角形中來討論，將直線與圓的位置關(guān)系引發(fā)的問題與直角三角形的有關(guān)知識(shí)構(gòu)建關(guān)聯(lián).重點(diǎn)復(fù)習(xí)垂徑定理和切線長定理在新情境中的應(yīng)用.

(3)了解復(fù)雜問題無非是一組簡單問題的組合，在分析復(fù)雜問題的時(shí)候，掌握將之分解為簡單問題的思考方法，提高在新情境中發(fā)現(xiàn)“老問題”的能力.

3 教學(xué)過程

以2011年江蘇省連云港市數(shù)學(xué)中考卷第26題為線索，設(shè)計(jì)“直線與圓的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課的“四問題五環(huán)節(jié)”，幫助學(xué)生回憶知識(shí)、反芻經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展技能，促進(jìn)思維品質(zhì)進(jìn)階.

原題呈現(xiàn)(2011年連云港中考數(shù)學(xué)卷第26題)：已知∠AOB=60°，半徑為3 cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng)，與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C.

圖1

3.1 導(dǎo)入

教師不急于指導(dǎo)學(xué)生解題，而是從直線與圓關(guān)系的本原問題上組織學(xué)生討論，幫助學(xué)生回憶知識(shí)，拋出第一個(gè)問題.

問題1如圖2，已知∠AOB=60°，半徑為 3 cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng)，與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C.當(dāng)點(diǎn)P到邊OB的距離滿足什么條件時(shí)，邊OB與⊙P相離、相切、相交？

圖2 圖3

功能分析 明晰直線與圓的三種位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表達(dá).

教學(xué)示范 學(xué)生在理解圓心到直線的距離d與圓的半徑r的數(shù)量關(guān)系可以確定直線與圓的位置關(guān)系后，教師進(jìn)行追問.

追問1 ⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng)，什么量改變，什么量不變？

追問2 圓心P點(diǎn)到邊OB的距離如何表示？指導(dǎo)學(xué)生通過作圖來表達(dá).

追問3 如圖3，邊OB與⊙P相切時(shí)，還能得到什么結(jié)論？

學(xué)生通過動(dòng)手作圖，可以直觀感受到直線與圓的三種位置關(guān)系所對應(yīng)的三個(gè)數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生逆向思考問題.

3.2 展開

教師在學(xué)生厘清直線與圓位置關(guān)系判斷法則后設(shè)計(jì)第二個(gè)問題，讓⊙P與OB,OA,AB三邊都相切，在△OAB,△PEF之間展開討論.

圖4

(1)請找出圖中相等的線段、相等的角；

(2)還能得到哪些重要結(jié)論？

(3)當(dāng)點(diǎn)M在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，你能求出∠EPF的度數(shù)嗎？

(4)當(dāng)點(diǎn)M在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，你能求出∠EPF的度數(shù)嗎？

功能分析 將直線與圓關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的基于三角形問題的研究，幫助學(xué)生反芻切線長定理，加深對三角形內(nèi)切圓的內(nèi)涵的理解，促進(jìn)對知識(shí)的全面掌握并靈活運(yùn)用.

教學(xué)示范 學(xué)生的認(rèn)識(shí)是螺旋上升的過程，在問題一圖形的基礎(chǔ)上，增加一條切線，當(dāng)邊OB與⊙P相切時(shí)，連結(jié)PC,CD，就構(gòu)成了切線長定理基本圖形，自然復(fù)習(xí)了內(nèi)切圓、內(nèi)心及切線長定理的性質(zhì).這里的(1)(2)小題是停留在知識(shí)層面，(3)(4)小題助推學(xué)生深度學(xué)習(xí).

教師首先鼓勵(lì)學(xué)生通過小組交流、討論的方式，讓學(xué)生尋找問題的突破口.其次通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”，點(diǎn)P是△OAB內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∠EPF的度數(shù)只與∠AOB的度數(shù)有關(guān).

3.3 延伸

問題進(jìn)一步進(jìn)階，⊙P繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)，此時(shí)與邊OA仍然相切，但與邊OB相交，在新的情境中提出第三個(gè)問題，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

問題3如圖5，⊙P與邊OB相交，當(dāng)⊙P與邊OB相交于點(diǎn)E,F，且C,P,F在一直線上，D是OC的中點(diǎn)，連結(jié)ED.

圖5

探究1 線段ED與⊙P的位置關(guān)系.

探究2 弦EF的長度.

功能分析 有關(guān)切線的問題通常有兩類：一是已知直線與圓的交點(diǎn)，經(jīng)常“連半徑，證垂直”；二是未知直線與圓的交點(diǎn)，經(jīng)?！白鞔怪?，證半徑”.在求圓中弦的長度時(shí)，還是要構(gòu)造直角三角形，以便利用垂徑定理來處理.進(jìn)一步讓學(xué)生看明白，要解決直線與圓位置關(guān)系帶來的問題可以轉(zhuǎn)化到三角形里來討論.

教學(xué)示范 在本題中，⊙P在運(yùn)動(dòng)，圖形發(fā)生改變，這樣新的問題也隨之產(chǎn)生.設(shè)計(jì)的第一個(gè)探究活動(dòng)是幫助學(xué)生建立如何證明一條直線是圓的切線；設(shè)計(jì)的第二個(gè)探究活動(dòng)是幫助學(xué)生進(jìn)一步理解求圓中弦長的方法，即構(gòu)造弦心距、半徑以及半弦組成的直角三角形.

3.4 深化

問題進(jìn)一步深化，難度繼續(xù)提高，啟發(fā)學(xué)生思考和討論與圓相交的邊OB和圓心P點(diǎn)之間的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)線段OC的長度有幾種可能，促進(jìn)思維品質(zhì)的進(jìn)階.

功能分析 因?yàn)榻鉀Q這個(gè)問題將涉及到圓中弦長的計(jì)算，所以需要用分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想來解.教師積極引導(dǎo)學(xué)生將設(shè)問變成自己大腦中的心智“圖形”，再將心智“圖形”呈現(xiàn)出來，啟發(fā)學(xué)生通過作圖來幫助思考，尋求解決問題的方法，最終把線段OC的長算出來.學(xué)生通過觀察與思考，發(fā)現(xiàn)圓心P的位置有三種情況.在排除圖8這種情況外，還是要構(gòu)建直角三角形PMN,PME(PMF)和NCO等，回到三角形中利用垂徑定理解決問題.

教學(xué)示范 教師可以請學(xué)生把自己的心智“圖形”大膽地畫在黑板上，對出現(xiàn)的問題進(jìn)行點(diǎn)撥，同時(shí)進(jìn)一步讓學(xué)生感受到題目、圖形在變，不變的是我們分析問題的方法.通過討論、交流，借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，發(fā)現(xiàn)本題中的點(diǎn)P作圖分為三種：當(dāng)圓心P在OB的右邊，當(dāng)圓心P在OB的左邊，當(dāng)圓心P在OB上，如圖6～8.因?yàn)閳D8中的圓心P在線段OB上，EF就是直徑，已知直徑等于6 cm，所以此情況排除.那么要計(jì)算的線段OC，只有圖6和圖7兩種情況.

圖6 圖7 圖8

追問1 本題中，我們?nèi)绾卫靡阎獥l件求EF的長？

追問2 本題中，我們?nèi)绾卫镁€段OC的特殊性？

3.5 歸結(jié)

4 教學(xué)設(shè)計(jì)說明

一道例題分解為四個(gè)問題呈現(xiàn)，各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之間有梯度，學(xué)習(xí)內(nèi)容逐步綜合，思維深度不斷進(jìn)階，但是處理問題的方法(技能)是貫通的，就是要構(gòu)作直角三角形，將直線與圓的位置問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，實(shí)質(zhì)上也是直角三角形知識(shí)在新的情境中應(yīng)用的復(fù)習(xí)，前后知識(shí)也能在這里交融、重構(gòu)及提升.

(1)中考復(fù)習(xí)要夯實(shí)基礎(chǔ)，抓住一個(gè)“基”字，追求一個(gè)“效”字

初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，必須扎扎實(shí)實(shí)地夯實(shí)基礎(chǔ)，使每個(gè)學(xué)生對初中數(shù)學(xué)知識(shí)都能達(dá)到“理解”和“掌握”的要求；設(shè)置“問題1”就是復(fù)習(xí)直線與圓的三種位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，學(xué)生分析出只要作出過點(diǎn)P到邊OB的距離，然后與半徑比較大小.在這個(gè)過程中，在應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)能做到熟練、正確和迅速，完成知識(shí)思維導(dǎo)圖，注意知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這樣在解題時(shí)，就能由題目所提供的信息，從記憶系統(tǒng)中檢索出有關(guān)信息，選出最佳組合，尋找解題途徑、優(yōu)化解題過程.

(2)中考復(fù)習(xí)要喚醒思維，抓住一個(gè)“說”字，追求一個(gè)“通”字

中考復(fù)習(xí)不是新授課，不能把知識(shí)簡單地再現(xiàn)出來，而要讓學(xué)生參與到具體問題解決中來，回憶知識(shí)，反芻經(jīng)驗(yàn)，提高技能，促進(jìn)思維進(jìn)階.所以，教師要設(shè)計(jì)富有思維質(zhì)量，且能引發(fā)深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生在親身經(jīng)歷問題的探索過程中，來喚醒思維，增長數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在“問題二”中設(shè)置開放性問題，讓學(xué)生經(jīng)歷作圖復(fù)習(xí)課的關(guān)鍵就是要學(xué)生能表達(dá)出解決問題的方法，在否定、肯定、批判和質(zhì)疑的思辨中學(xué)會(huì)思考.所謂“會(huì)思考”就是學(xué)生在解決具有新情境問題的過程中，能自己“悟”出方法，明晰思路，在新情境中抽象出“老問題”的模型，將新舊問題串聯(lián)起來，尋覓解決問題的一般方法，做到“懂一題，通一類”，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力.

(3)中考復(fù)習(xí)要拓寬思路，抓住一個(gè)“變”字，追求一個(gè)“新”字

變式訓(xùn)練在本質(zhì)不變的基礎(chǔ)上變換問法，不僅能使問題解決所需的數(shù)學(xué)知識(shí)增加，而且能促成學(xué)生“換位思考”，產(chǎn)生積極聯(lián)想.高質(zhì)量的變式訓(xùn)練才能夠挖掘?qū)W生的潛能，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的敏捷性，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角觀察問題、提升學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析問題的能力，從而拓寬學(xué)生的思路，將各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)通過問題解決聯(lián)系起來.通過變式訓(xùn)練幫助學(xué)生構(gòu)建深層次的知識(shí)體系.但是，該體系的構(gòu)建不是一朝一夕的事情，要在教學(xué)中循序漸進(jìn)，逐步堆棧，螺旋提升.同時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生勇于鉆研的精神和創(chuàng)新能力.

5 結(jié)語

“雙減”不是降低對教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，反而是對教與學(xué)提出了更高的要求，需要教師轉(zhuǎn)變教育觀念，改善課堂教學(xué)方法，優(yōu)化技能訓(xùn)練方式，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率.一堂優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的核心價(jià)值體現(xiàn)在“內(nèi)容的綜合、方法的貫通和思維的進(jìn)階”上.教師應(yīng)理解學(xué)生和教材，厘清數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，建構(gòu)知識(shí)間的鏈接，精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng).在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)以高質(zhì)量的問題為驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)參與，想方設(shè)法啟迪學(xué)生深刻的思維活動(dòng)，在濃郁的數(shù)學(xué)味中構(gòu)建高效數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂.