數(shù)學概念的精致化教學
——談高中導數(shù)教學的幾點思考*

江海華 吳琳琳

(江蘇省太倉市明德高級中學 215400)

導數(shù)是進一步學習數(shù)學和其他自然學科的基礎，是研究現(xiàn)代科學技術必不可少的工具，但是建立在“無限逼近”的過程之中的導數(shù)概念，與初等數(shù)學所涉及的一系列思想方法有著本質(zhì)的區(qū)別.這難免給一線教師造成很大的壓力，甚至有將導數(shù)“驅(qū)逐”出高中數(shù)學課本的呼聲.需要強調(diào)的是，導數(shù)和微積分的發(fā)展經(jīng)歷了漫長的過程，這是一門早就被論證過的科學理論.不可否認這一新理論在創(chuàng)世初期，清晰和嚴格的推理方法逐漸被“直觀”和“本能”所代替，但是這種看似模糊、站不住腳的新方法帶來的神奇效果卻在實際應用中發(fā)揮了巨大的威力.眾多的歷史事實也表明，在探尋這一新方法嚴密的理論依據(jù)的過程中，數(shù)學經(jīng)歷了一段前所未有的高速發(fā)展.因此我們必須看到，對導數(shù)概念的深入學習能夠促進學生全面認識數(shù)學的價值，使學生對變量數(shù)學(特別是非線性關系)的一般研究思想和方法有新的感悟，進一步發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，感受數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的一般規(guī)律，深刻體會導數(shù)的工具屬性是人類的理性思維和方法在研究實際問題中取得的偉大勝利，這有非常重要的指導和啟發(fā)意義.同時，在這一曲折的追求真理的過程中出現(xiàn)的一系列新思想、新方法及名人軼事都是實現(xiàn)“數(shù)學育人”的絕佳素材.

為進一步促進學生對導數(shù)本質(zhì)及工具屬性的認識，筆者將從以下幾個方面，談談高中數(shù)學中導數(shù)教學的幾點思考：

1 高中數(shù)學研究導數(shù)的必要性與必然性

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，函數(shù)模型可以幫助我們解決許多實際問題，而實際應用中充斥著大量最優(yōu)化的相關問題，研究函數(shù)的單調(diào)性成為必然.一方面，盡管在必修一中已經(jīng)學習了函數(shù)單調(diào)性的定義，但是通過定義法去判別及確定某函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是極為困難的，這必然引導著人們?nèi)ふ腋悠毡榈姆椒?另一方面，隨著物理學家研究問題的逐步深入，往往需要數(shù)學家提供更精確的模型信息，如變化率等.華羅庚先生提到：“數(shù)無形時少直覺，形無數(shù)時難入微.”這就為借助函數(shù)圖象，利用代數(shù)的手段精細化地研究函數(shù)的基本性質(zhì)提供了可能.在導數(shù)教學過程中，教師應時刻秉持如何精細化研究函數(shù)這一整體目標，切不可因某些細枝末節(jié)的問題弱化了學生感受導數(shù)工具屬性的情感體驗.“不謀全局者不足謀一域”，導數(shù)教學站位要高，導數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性要在課堂教學中著重體現(xiàn).如果學生在這方面的認識是蒼白的，在以后獨立面對具體的函數(shù)模型時必然會陷入模糊和不知所措的困境.因此，在導數(shù)教學的過程中，教師要以豐富的具體實例向?qū)W生展示研究問題的基本思路和方法，在比較與反思中強調(diào)導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中不可代替的工具屬性.

2 導數(shù)教學過程中幾個關鍵概念的理解與處理建議

從某種程度上說，高中數(shù)學中的導數(shù)教學確實存在著某些不可避免的“先天不足”，要克服這種“先天不足”必然要談到導數(shù)教學的“度”怎么把握.而這個“度”很大程度就依賴于學生對無限逼近與“量變到質(zhì)變”“近似與明確”的哲學原理的理解深度與層次.若只將導數(shù)(求導)作為一種規(guī)則步驟去反復操練，則并沒有突出導數(shù)的核心作用.

2.1 無窮小量與函數(shù)連續(xù)

2.2 導數(shù)(求導)概念教學的處理建議

教材中通過氣溫曲線圖研究氣溫“陡增”的數(shù)學意義入手，引入了“平均變化率”這一數(shù)學概念，筆者認為鋪墊還不夠平穩(wěn).盡管學生了解平均變化率的計算方法，但是對于教材中為什么要研究這一概念卻不知所云.不妨深究一下在課堂教學中如何引導學生發(fā)現(xiàn)：量化曲線“陡峭”方法的淵源，可提出如下問題串，讓學生思考：

問題1通過觀察直線的圖象，我們可以很清晰地知道直線的傾斜程度，一般我們用直線的哪個代數(shù)量來刻畫呢？這個代數(shù)量是怎么計算的？

設計意圖讓學生發(fā)現(xiàn)直線的斜率這一代數(shù)量可以用來刻畫直線的傾斜程度(變化趨勢)，明確直線斜率的求法(差商的形式).

問題2給出一個一般的曲線y=f(x)的圖象(這時可以用教材中的氣溫曲線圖)，它不再是直線形態(tài)，若以(x0,f(x0))為一個基準點，你能否作出一條直線來輔助判別曲線y=f(x)的圖象在某點x=x0處的變化趨勢？這條直線的斜率如何計算？

問題3你所作的這條直線總能判別該曲線y=f(x)的圖象在該點x=x0處的變化規(guī)律嗎？為什么？如果不能，原因是什么？該如何改進呢？

設計意圖通過作不同的割線并計算其斜率，引導學生發(fā)現(xiàn)并不是所有的答案都和曲線y=f(x)圖象直觀上看到的一致.這種差異性為學生發(fā)現(xiàn)不是所有的割線都滿足條件做好了鋪墊，割線到切線的提出呼之欲出，這是在解釋“局部的以直代曲”的必要性.

圖1 圖2

問題4從代數(shù)角度如何區(qū)別在曲線上點(x0,f(x0))左右兩端作割線？這時自變量的增量Δx→0如何理解？

設計意圖得到Δx可正也可負的結論，當Δx取負值時，另一個點在(x0,f(x0))的左側，當Δx取正值時，另一個點在(x0,f(x0))的右側.而自變量的增量Δx→0就相當于另一個點無限靠近點(x0,f(x0))，理解這種趨向過程是包含點(x0,f(x0))兩側的，但是又不是同一個點.進一步強調(diào)趨向于0的Δx不是一個確定的常數(shù)，而是一個要多小有多小的變量.

問題5(如果學生回答問題4時出現(xiàn)問題)通過作圖軟件，將曲線y=f(x)在某點x=x0處的圖象放大很多倍，引導學生從直觀發(fā)現(xiàn)“局部以直代曲”的合理性(圖2)，并提問：這一過程如何用代數(shù)的手段去刻畫，這是在引導學生發(fā)現(xiàn)讓自變量的增量Δx→0的必要性.

設計意圖讓學生發(fā)現(xiàn)差商的極限其實就是曲線y=f(x)在某點x=x0處的切線斜率，但是此時學生不知道如何計算.究其原因，還是不理解自變量的增量Δx→0意味著什么.這里教師可以通過物理中的瞬時速度加以解釋.

問題8如何理解函數(shù)y=|x|在x=0處不可導？

設計意圖一方面給學生講清楚，并不是與函數(shù)圖象有且只有一個交點的直線就是該函數(shù)的切線.另一方面，若函數(shù)在定義域內(nèi)的某一點不可導，從幾何上看有什么特征(函數(shù)圖象在該點處是“尖”的，或者說不光滑)？從代數(shù)上看又該如何衡量(差商在不同的趨向下不唯一)？

在上述問題串的探究過程中，從“形”與“數(shù)”兩個方面逐步深入地解釋了導數(shù)(求導)形式所體現(xiàn)的數(shù)學本質(zhì)：局部“以直代曲”的合理性與可操作性.

2.3 原函數(shù)f(x)與導函數(shù)f′(x)的關系與聯(lián)系

通過原函數(shù)f(x)，可以求出曲線y=f(x)在x處的高度.我們還可以通過研究曲線在動點P(x,f(x))處的斜率，因為這也是一個確定的常數(shù)，于是可將其視作是x的一個新函數(shù)，記作f′(x).這就和由變量x的任何值得到f(x)的情形一樣：f(x)是曲線y=f(x)在點x的高度，f′(x)是曲線y=f(x)在點x的斜率.當x的值發(fā)生改變時，可以通過f′(x)的值來描述曲線y=f(x)的變化規(guī)律.若一個點有正的導數(shù)，即f′(x)>0，就表示該點曲線上升(y增加)，反之亦然.特別地，若f′(x)=0，就表示曲線在x處是水平方向.特別需要指出的是，將y=f(x)上下平移得到一個新函數(shù)，并不會讓新函數(shù)在x處的變化規(guī)律發(fā)生改變.換句話說，f′(x)只是刻畫函數(shù)變化規(guī)律的代數(shù)量，它的大小與函數(shù)值f(x)的大小并沒有直接的關系，而這一點是學生理解極大值與極小值沒有必要聯(lián)系(不能判斷極大值、極小值誰大誰小)的基礎.教師在教學過程中，要通過大量的函數(shù)圖象實例向?qū)W生展示這一基本事實，在一系列正反例辨析中達到對該概念的深入理解.

2.4 函數(shù)極值概念的處理建議

按照教材編排的順序看，先研究的是函數(shù)的極大極小值，再研究函數(shù)的最大最小值.這種設計符合研究函數(shù)的自然流程，但是從知識發(fā)生發(fā)展的角度來說，我們應該先提出如何尋找函數(shù)最大最小值的問題，而極大極小值只是一個“過渡性、階梯性”的概念，講清楚極值在求函數(shù)最值中扮演的“輔助”屬性，是我們研究極值的邏輯起點.在實際教學過程中，我們可以設計如下的問題串.

問題1假設函數(shù)f(x)是定義在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)(通俗地說，該函數(shù)圖象可以一筆畫)，你們不妨親自動手畫一畫，然后根據(jù)你所畫的圖象，判斷：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上是否必有最大最小值？

問題2這堂課主要是利用導數(shù)工具來研究函數(shù)的性質(zhì)，請根據(jù)導數(shù)的定義判斷你畫的函數(shù)的圖象是否符合f(x)是定義在閉區(qū)間[a,b]上的可導函數(shù)？如果不是，請你再另舉一個滿足條件的例子.

問題3標出函數(shù)圖象中的最低點和最高點，談談你的發(fā)現(xiàn).

問題4(引導學生總結出兩種情形：最值點不在兩端點處取到，最值點在兩端點處取到)若最值點不在兩端點處取到，函數(shù)圖象在該點處有何特征？(總結出此時f′(x0)=0)此時函數(shù)f(x)在x=x0處兩側具有怎么的變化規(guī)律？

問題5若f′(x0)=0，則函數(shù)f(x)一定在x=x0處取到最大值或最小值嗎？若不是，請舉一個反例加以說明.特別給出以下兩個例子來說明滿足f′(x0)=0的點(x0,f(x0))不一定是函數(shù)的最值點，然后給出函數(shù)極值點的定義.

圖3 圖4

問題6通過上述分析，請你給出求一個可導函數(shù)在某閉區(qū)間上的最值的方法.

最值是函數(shù)的一個非常重要的特征(前提得有)，大量的生活實例中都需要尋找某函數(shù)模型的最優(yōu)解(很大一部分就屬于最值問題).通過上述一系列的探究活動，學生可以清晰地看到：連續(xù)的可導函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上必存在最大、最小值，最值要么在端點處取到，要么不在兩端點處取到.若最值點不在兩端點處取到，函數(shù)圖象在該點處呈水平狀態(tài)，即f′(x0)=0.反之，若f′(x0)=0，則函數(shù)f(x)不一定在x=x0處取到最大值或最小值.在大量的正反實例辨析中，筆者相信，學生可以真正明白：一般地，研究函數(shù)的最值要先研究函數(shù)的極值，極值在求函數(shù)最值中扮演著“輔助”角色.

2.5 函數(shù)的二階導數(shù)

雖然導數(shù)f′(x)能夠刻畫曲線y=f(x)的“陡峭程度”，但是卻無法分辨曲線的彎曲程度.那我們追求的所謂精細化研究函數(shù)的形態(tài)又該如何體現(xiàn)呢？如圖5.

圖5

從圖象上看，盡管函數(shù)圖象在原點兩側均是呈上升狀態(tài)，但是能明顯發(fā)現(xiàn)，這兩種上升狀態(tài)(曲線的彎曲形態(tài))是不同的，那又該用什么代數(shù)量來刻畫這個不同點呢(這是研究二階導數(shù)的原因之一)？二階導數(shù)在數(shù)學分析中是一個非常重要的概念，因為f″(x)表示f′(x)的變化率，給出了曲線彎曲程度的代數(shù)表示方法.引導學生探究：先在曲線y=f(x)的圖象上任取一點x，作出在x處的切線，隨著自變量x逐漸變大，切線的傾斜程度越來越大，這一發(fā)現(xiàn)如何用代數(shù)量來表示？(f′(x)表示在x處的切線斜率，即f′(x)越來越大)如果繼續(xù)用導數(shù)的觀點看，等價于導函數(shù)f′(x)的導數(shù)大于0，反之亦然.導函數(shù)f′(x)的導數(shù)在數(shù)學中稱為函數(shù)f(x)的二階導數(shù)，記為f″(x).如果f″(x)在一個區(qū)間是正的，那么f′(x)的變化率是正的.一個函數(shù)的變化率是正的是指函數(shù)值隨x的增加而增加.因此，f″(x)>0是指當x增加時斜率f′(x)增加，于是在f′(x)是正的地方函數(shù)變陡峭，而在f′(x)是負的地方函數(shù)變平緩，此時就說曲線是下凸的，如圖6.同理，如果f″(x)<0，那么曲線y=f(x)是向上凹的，如圖7.要得到這一結論，不可操之過急，建議多用幾個常見的函數(shù)模型圖象來加以說明和辨析，強化幾何直觀和代數(shù)刻畫的聯(lián)系.

圖6 圖7

雖然在高中階段函數(shù)f(x)的二階導數(shù)不是必學的知識點，但從精致化研究函數(shù)性質(zhì)的角度來看，這是一個繞不過去的概念，從某種程度真正反映了學生的思維層次和理解深度，必然成為考查的重點.

3 導數(shù)概念教學反思

導數(shù)問題一直是各省份高考數(shù)學中的難題，從近幾年全國卷導數(shù)大題的命題思路來看，往往是選擇我們非常熟悉的初等函數(shù)作為題干基礎，并沒有在刻意制造一個形式復雜的函數(shù)模型；盡管起點往往很低，但還是讓大部分考生感到十分吃力，各種求導、分類討論、運算技巧蜂擁而上，洋洋灑灑之后學生思路基本已經(jīng)湮沒在細枝末節(jié)的汪洋大海，對于題目的要求早已拋諸腦后.作為一線的教師，我們要深刻思考出現(xiàn)這種問題的本質(zhì)原因在哪里，是題目做得太少嗎？筆者認為，恰恰是在日常的數(shù)學教學中我們花費了過多的時間在所謂的數(shù)學技巧之上，在解決眾多“結構良好”的問題中，幾乎迷失了教學方向，讓學生錯誤地相信研究數(shù)學其實是有一套固定程序的.如果意識不到這一點，數(shù)學教學永遠是僵化低效的.我們要從高考命題的角度去洞察數(shù)學新課改的方向.學生在實戰(zhàn)中的潰不成軍要引起我們足夠的重視，改進學生的學習方式一直是數(shù)學教育改革的核心，而改進學生的學習方式在很大程度上依賴于教師的教學方式.在講授數(shù)學某些核心概念的過程中，要避免粗放的引導和“快餐式”的啟發(fā).正如章建躍先生所說[1]：在知識形成過程的“關鍵點”上要精致，在運用數(shù)學思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關節(jié)點”上要精致，在數(shù)學知識之間聯(lián)系的“聯(lián)結點”上要精致.我們有理由相信，數(shù)學概念的精致化教學是引導學生走向有深度、有廣度的數(shù)學課堂的一項有效手段.