經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模 發(fā)展高階思維
——以“用一元二次方程解決問(wèn)題(1)”為例*

胡永強(qiáng)

(江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 215151)

1 問(wèn)題提出

高階思維是指完成復(fù)雜任務(wù)、解決劣構(gòu)問(wèn)題的一種重要能力和心理特征，是21世紀(jì)的一種高級(jí)綜合能力.高階思維是核心素養(yǎng)的重要組成部分，是個(gè)體適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵能力.但是由于高階思維指向布魯姆教育目標(biāo)分類中的分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造這三個(gè)高層次目標(biāo)，所以它無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的知識(shí)傳授來(lái)培養(yǎng)，而是需要在開(kāi)放性問(wèn)題情境中與他人進(jìn)行探索性對(duì)話和建構(gòu)式互動(dòng)提高.可見(jiàn)高階思維很重要，各學(xué)科都應(yīng)當(dāng)努力培養(yǎng)，但是鑒于高階思維的特征，現(xiàn)實(shí)教學(xué)中培養(yǎng)高階思維又存在諸多困難.

數(shù)學(xué)高階思維是高階思維的重要組成部分，包括數(shù)學(xué)批判性思維、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維、數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力四個(gè)維度及其下轄的“尋找真相、開(kāi)放思想”等十六個(gè)因子，如圖1所示.總體來(lái)說(shuō)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中有目的地對(duì)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)過(guò)程、結(jié)果等作出自我分析、判斷、推理、解釋、調(diào)整的品質(zhì)；在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造想象并運(yùn)用思維揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，產(chǎn)生新穎獨(dú)特的思維成果的過(guò)程；對(duì)自身數(shù)學(xué)認(rèn)知進(jìn)行計(jì)劃、實(shí)施、監(jiān)控、調(diào)節(jié)的過(guò)程；綜合運(yùn)用掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決新的問(wèn)題情境的能力都屬于數(shù)學(xué)高階思維的范疇.

圖1

數(shù)學(xué)建模是通過(guò)建立模型的方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，包括“現(xiàn)實(shí)原型—實(shí)際模型—數(shù)學(xué)模型—模型求解—檢驗(yàn)解釋”等環(huán)節(jié).受學(xué)力所限，初中階段的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題可分為三類：現(xiàn)實(shí)原型、實(shí)際模型、數(shù)學(xué)形式.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生有目的地對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題加以分析、簡(jiǎn)化、假設(shè)，抽象建立數(shù)學(xué)模型，再對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后代入現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)、調(diào)整，如此不斷循環(huán)，直到解決問(wèn)題為止.

不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)高階思維聯(lián)系緊密.數(shù)學(xué)建模激發(fā)數(shù)學(xué)高階思維，數(shù)學(xué)高階思維促進(jìn)數(shù)學(xué)建模順利完成，二者相輔相成.

近期，筆者開(kāi)設(shè)了一節(jié)“用一元二次方程解決問(wèn)題(1)”的研討課，嘗試在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中發(fā)展學(xué)生高階思維.下面談一談相關(guān)實(shí)踐與思考.

2 教學(xué)分析

2.1 教材分析

本課是蘇科版初中數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第1章第4節(jié)用一元二次方程解決問(wèn)題的起始課，包括“等周矩形面積”和“平均增長(zhǎng)率”兩個(gè)問(wèn)題.教材將“矩形面積”放在首要位置既遵循了數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史發(fā)展順序，又遵循了學(xué)生的認(rèn)知心理順序.眾所周知，數(shù)學(xué)中的二次問(wèn)題起源于圖形的面積計(jì)算，“矩形面積問(wèn)題”起點(diǎn)較低、內(nèi)涵豐富、對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展作用較大；其次，這樣的設(shè)計(jì)遵循了學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)該問(wèn)題學(xué)習(xí)總結(jié)出用一元二次方程數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的一般方法與步驟，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力，提升數(shù)學(xué)高階思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力.基于以上分析，筆者決定本課組織學(xué)生深入探究“矩形面積問(wèn)題”.

2.2 學(xué)情分析

授課班級(jí)來(lái)自地級(jí)市一所普通初中，共有48名學(xué)生，他們數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，有著良好的數(shù)學(xué)探究習(xí)慣.在本課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握一元二次方程的相關(guān)概念和解法以及用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟等知識(shí)與技能.

2.3 教學(xué)理解

本課內(nèi)容具有豐富的教學(xué)價(jià)值.首先，本課是該小節(jié)的起始課，學(xué)生通過(guò)對(duì)本課內(nèi)容的研究，總結(jié)提煉出用一元二次方程解決問(wèn)題的一般思路、方法和步驟等內(nèi)容，對(duì)后面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)起到奠基作用；其次，用一元二次方程解決矩形面積問(wèn)題的過(guò)程中蘊(yùn)含了抽象、符號(hào)化、求解、檢驗(yàn)等數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力提升起到促進(jìn)作用；再次，對(duì)相關(guān)內(nèi)容的深入追問(wèn)與辨析對(duì)發(fā)展學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)造性思維、元認(rèn)知能力及問(wèn)題解決能力等數(shù)學(xué)高階思維起到推動(dòng)作用.本節(jié)課的主要教學(xué)脈絡(luò)確定為引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷審題、列代數(shù)式、找等量關(guān)系、列方程、解方程、檢驗(yàn)解釋等數(shù)學(xué)建模環(huán)節(jié)，在此過(guò)程中感悟模型思想，發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維.

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 溫故知新

課前布置學(xué)生對(duì)本章前面3小節(jié)內(nèi)容進(jìn)行回顧和梳理，繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，上課伊始展示幾位同學(xué)的作品(略)，結(jié)合作品簡(jiǎn)要回顧前面所學(xué)內(nèi)容.

教學(xué)意圖

布置前置性知識(shí)梳理作業(yè)的目的是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)和方法的自主回顧和重組能力，幫助學(xué)生積累反思性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)習(xí)新知識(shí)調(diào)取研究經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的系統(tǒng)化能力、求知欲、元認(rèn)知體驗(yàn)等數(shù)學(xué)高階思維.

3.2 模型初探

問(wèn)題1

2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年.為了紀(jì)念建黨100周年，某校打算建一個(gè)周長(zhǎng)為100 m的矩形展館以向?qū)W生展示黨的百年光輝歷程.問(wèn)：(1)該矩形展館的面積能否是 600 m？(2)該矩形展館的面積能否是700 m？請(qǐng)說(shuō)明理由.

教師引導(dǎo)學(xué)生先回顧用一元一次方程解決問(wèn)題的一般步驟，再畫出矩形示意圖，并結(jié)合圖形及條件列出表示矩形長(zhǎng)和寬的代數(shù)式，進(jìn)而根據(jù)矩形面積公式列方程、解方程、檢驗(yàn)作答，最后總結(jié)出用一元二次方程解決問(wèn)題的一般步驟.

教學(xué)意圖

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷引入未知數(shù)，結(jié)合周長(zhǎng)列出矩形的長(zhǎng)和寬的代數(shù)式，再根據(jù)矩形面積公式建立方程解決問(wèn)題等環(huán)節(jié)，體會(huì)數(shù)學(xué)建模過(guò)程；用方程根的判別式小于0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，說(shuō)明無(wú)法圍成面積為700 m的道理.培養(yǎng)學(xué)生分析能力、系統(tǒng)化能力等數(shù)學(xué)批判性思維及表達(dá)清晰性、答案正確性等數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力.此外，將教材中用鐵絲圍矩形的情境改編為紀(jì)念建黨100周年建矩形展館的情境，在現(xiàn)實(shí)情境中融入黨史知識(shí)，滲透思想教育.

追問(wèn)1：同學(xué)們，你能結(jié)合問(wèn)題1提出一個(gè)新問(wèn)題嗎？

學(xué)生提出“圍成矩形的最大面積是多少？”教師組織學(xué)生思考這個(gè)問(wèn)題，有學(xué)生指出用“列舉法”和“配方法”解決.

追問(wèn)2：還有其他方法嗎？

有學(xué)生回答：可以用假設(shè)法來(lái)做.易知矩形的長(zhǎng)加寬為50 m，所以可設(shè)矩形的長(zhǎng)為(25+

x

)m，寬為(25-

x

)m，面積為(25+

x

)(25-

x

)=(625-

x

)m，顯然，當(dāng)

x

=0時(shí)，矩形面積最大，為 625 m.教師表?yè)P(yáng)學(xué)生的方法，并指出這種方法與公元前1700年古巴比倫人的方法一致，此法名叫“和差術(shù)”，在沒(méi)有符號(hào)代數(shù)的年代，兩河流域的先民們都是用“和差術(shù)”這種方法模型解決此類問(wèn)題的.

教學(xué)意圖

問(wèn)題1是一個(gè)蘊(yùn)含豐富數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法的歷史名題.在解決前兩個(gè)問(wèn)題之后，設(shè)計(jì)追問(wèn)1，趁熱打鐵，將學(xué)生的思維引向更深處.當(dāng)學(xué)生提出用“列舉法”和“配方法”解決該問(wèn)題之后，設(shè)計(jì)追問(wèn)2，給學(xué)生提供思考和創(chuàng)新的舞臺(tái)，使學(xué)生想到了“和差術(shù)”這種解決等周問(wèn)題的方法模型.兩次追問(wèn)，在培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題能力的同時(shí)，促使學(xué)生對(duì)“和差術(shù)”這一方法模型的理解更加深刻，思維變得靈活和新穎，發(fā)展了數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維.當(dāng)教師點(diǎn)明這種方法與古代數(shù)學(xué)家的方法一致時(shí)，學(xué)生感受到了成功的喜悅，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)求知欲.

3.3 模型變式

問(wèn)題2

如圖2，用長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，即矩形

ABCD

，已知墻長(zhǎng)16 m，能否圍成面積為108 m的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)？如果能，求出

AB

的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

教師引導(dǎo)學(xué)生先思考問(wèn)題2與問(wèn)題1的異同之處，再讓學(xué)生獨(dú)立思考、完成解答.隨后展示設(shè)

AB

=

x

m和設(shè)

AD

=

x

m兩種解法，組織學(xué)生比較、交流二者的優(yōu)缺點(diǎn).

追問(wèn)1：你還能提出一個(gè)新的問(wèn)題嗎？

學(xué)生提出“圍成的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)的最大面積是多少？”學(xué)生大都采用配方法求最大值.

追問(wèn)2：能否使用“和差術(shù)”求最大值？

思考交流片刻后有學(xué)生回答可以使用“和差術(shù)”求最大值.做法如下：如圖3，設(shè)

AD

=

x

m，則

AB

=(30-2

x

)m，作線段

AB

的垂直平分線

EF

，垂足為點(diǎn)

F

，交

DC

于點(diǎn)

E

，則

AF

=(15-

x

)m，

S

矩形=2

S

矩形，所以當(dāng)

S

矩形最大時(shí)，

S

矩形就最大.矩形

AFED

的長(zhǎng)與寬之和為15 m，設(shè)m，所以當(dāng)

a

=0時(shí)，

S

矩形最大為m，則

S

矩形最大為m.此時(shí)

AB

= 15 m<16 m，

AD

=7.5 m，符合題意.

圖3

追問(wèn)3：你是怎樣想到的？

學(xué)生：?jiǎn)栴}1中的長(zhǎng)加寬是定值，可以使用“和差術(shù)”，本題中的半條長(zhǎng)加寬也是定值，因此想到作長(zhǎng)的垂直平分線將其轉(zhuǎn)化為問(wèn)題1的類型解決.

追問(wèn)4：?jiǎn)栴}1與問(wèn)題2有何異同之處？

學(xué)生在獨(dú)立思考和小組交流后回答，相同點(diǎn)是：它們都是固定長(zhǎng)度下的面積問(wèn)題；不同點(diǎn)是：一個(gè)獨(dú)立圍成矩形，另一個(gè)借了一條線再圍成矩形.教師點(diǎn)明這兩個(gè)用固定長(zhǎng)度的線圍矩形問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的“等周問(wèn)題”之一，還可以圍成其他形狀的圖形，課后再研究.

教學(xué)意圖

教學(xué)中先展示兩種設(shè)未知數(shù)的解法，對(duì)兩種解法對(duì)比分析，發(fā)展學(xué)生批判性思維.添加輔助線將問(wèn)題2轉(zhuǎn)化為問(wèn)題1，使用“和差術(shù)”這一方法模型求出面積最大值，提升了認(rèn)知成熟度，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維中的靈活性.追問(wèn)3較好地發(fā)展了學(xué)生的策略合理性、表達(dá)清晰性等數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力.追問(wèn)4提升學(xué)生系統(tǒng)化能力及元認(rèn)知體驗(yàn)等數(shù)學(xué)高階思維，最后對(duì)“等周問(wèn)題”加以拓展，將課堂延伸到課外.

問(wèn)題3

在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上，若

AB

上有一個(gè)2 m寬的小門，即圖4中的

EF

.問(wèn)：能否圍成面積為110 m的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)？如果能，求出該養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖4

師生共同分析問(wèn)題3與問(wèn)題2的區(qū)別和聯(lián)系，再討論2 m寬小門對(duì)表示矩形長(zhǎng)和寬的影響，最后完成解題過(guò)程.

教學(xué)意圖

該問(wèn)題的目的是引導(dǎo)學(xué)生探究如何用字母正確表示出矩形的長(zhǎng)和寬.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)教師不要急于給出正確答案，而是把機(jī)會(huì)留給學(xué)生，讓學(xué)生深入思考、相互交流、加以辯論，較好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)批判性思維及策略合理性、表達(dá)清晰性、答案正確性等數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力.

3.4 小結(jié)與練習(xí)(略)

4 教學(xué)思考

4.1 設(shè)計(jì)深度合宜問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)批判性思維

數(shù)學(xué)高階思維是高層次認(rèn)知過(guò)程中心智活動(dòng)的綜合性能力.高層次認(rèn)知過(guò)程需要深度合宜的問(wèn)題加以驅(qū)動(dòng)和助力.教師要根據(jù)內(nèi)容及學(xué)情設(shè)計(jì)深度合宜的問(wèn)題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)批判性思維.如問(wèn)題1中對(duì)無(wú)法圍成面積為700 m的矩形的解釋促進(jìn)學(xué)生尋找真相、增強(qiáng)分析能力；引導(dǎo)學(xué)生圍繞問(wèn)題1提出新的問(wèn)題并使用不同的方法解答，激發(fā)了學(xué)生的開(kāi)放思想、求知欲；對(duì)使用“和差術(shù)”解決等周矩形問(wèn)題的總結(jié)、應(yīng)用及拓展，增強(qiáng)了學(xué)生的批判性思維的自信心、認(rèn)知成熟度及系統(tǒng)化能力；對(duì)問(wèn)題2兩種設(shè)未知數(shù)方法及問(wèn)題3的兩種表示結(jié)果的討論過(guò)程充滿了辨析、質(zhì)疑.教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)在原有問(wèn)題基礎(chǔ)之上根據(jù)課堂生成情況，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考、質(zhì)疑、討論、總結(jié)，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)批判性思維的發(fā)展.

4.2 不斷進(jìn)行課堂追問(wèn)，激發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維

對(duì)于課堂教學(xué)中的關(guān)鍵問(wèn)題，在恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)時(shí)機(jī)之下，教師需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行不斷追問(wèn)，以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生與發(fā)展.如在問(wèn)題1解決之后隨即追問(wèn)學(xué)生“請(qǐng)你再提出一個(gè)新問(wèn)題.”“還有其他方法嗎？”第一個(gè)追問(wèn)激發(fā)學(xué)生提出“等周問(wèn)題”這一重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題，第二個(gè)追問(wèn)促使學(xué)生想到運(yùn)用“和差術(shù)”這一方法模型巧妙解決問(wèn)題.問(wèn)題的提出自然流暢，問(wèn)題的解決新穎靈活.在學(xué)生使用配方法解決問(wèn)題2中求矩形最大面積后追問(wèn)學(xué)生“能否使用和差術(shù)求最大值？”促使學(xué)生想出通過(guò)作線段AB的垂直平分線，將其轉(zhuǎn)化為上一問(wèn)題，從而迎刃而解.通過(guò)教師的追問(wèn)讓學(xué)生再次體會(huì)到靈活性、新穎性的創(chuàng)造性思維給自己解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所帶來(lái)的成就感與滿足感，體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的同時(shí)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)力.整節(jié)課都十分注重追問(wèn)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生思考，在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的同時(shí)，利用追問(wèn)培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力及數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維.

4.3 圍繞數(shù)學(xué)建模過(guò)程，提升數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的活動(dòng)，數(shù)學(xué)建模能力的提升正成為全世界數(shù)學(xué)教育的一個(gè)中心目標(biāo).學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要教師精心組織和引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題中的抽象、符號(hào)化、求解、檢驗(yàn)等環(huán)節(jié)，也即引模、建模、解模、驗(yàn)?zāi)５染唧w建模環(huán)節(jié)(圖5)，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

圖5

數(shù)學(xué)高階思維的四個(gè)組成要素是一個(gè)有機(jī)整體.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力既是數(shù)學(xué)高階思維運(yùn)轉(zhuǎn)的出發(fā)點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)高階思維發(fā)展的歸宿；數(shù)學(xué)批判性思維和數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維是發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維的兩大動(dòng)力系統(tǒng)，二者相互融合，共同推動(dòng)數(shù)學(xué)高階思維不斷向前發(fā)展；數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力是數(shù)學(xué)高階思維的中樞系統(tǒng)，指揮和調(diào)控整個(gè)數(shù)學(xué)高階思維在正確軌道上運(yùn)行.

如圖6所示，數(shù)學(xué)建模是發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維的“心臟”.數(shù)學(xué)建模的每個(gè)環(huán)節(jié)都不同程度地 促進(jìn)了數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展.引模環(huán)節(jié)需要對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行分析、對(duì)比、辨識(shí)，促進(jìn)分析能力、尋找真相、求知欲等高階思維的發(fā)展；建模環(huán)節(jié)需要對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象、符號(hào)化，促進(jìn)表達(dá)清晰性、策略合理性等高階思維的發(fā)展；解模環(huán)節(jié)需要正確解出數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)認(rèn)知成熟度、流暢性、清晰表達(dá)等高階思維的發(fā)展；驗(yàn)?zāi)－h(huán)節(jié)需要將所求結(jié)果代入現(xiàn)實(shí)問(wèn)題加以檢驗(yàn)、反思、調(diào)整，促進(jìn)批判性思維及元認(rèn)知能力等高階思維的發(fā)展.由此可見(jiàn)，整個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程都促進(jìn)了數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展.

圖6