談數(shù)學(xué)解題檢驗(yàn)

孫 康 徐小花 李麗榮

(北京市日壇中學(xué) 100020)

檢驗(yàn)是數(shù)學(xué)解題的良好習(xí)慣，可以提升解題準(zhǔn)確率.在日常教學(xué)中，常有教師會(huì)有這樣的疑問(wèn)：“講過(guò)的題目類型，為什么學(xué)生還是會(huì)出現(xiàn)五花八門(mén)的錯(cuò)誤呢？”所謂“五花八門(mén)的錯(cuò)誤”，即在解題過(guò)程的各個(gè)環(huán)節(jié)都有學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤.缺乏檢驗(yàn)意識(shí)是導(dǎo)致出現(xiàn)問(wèn)題的重要原因.筆者將檢驗(yàn)拆分為檢查、完善、說(shuō)理三個(gè)層面，談一談數(shù)學(xué)檢驗(yàn)在解題中的重要性.

1 公式、法則墊基石——檢驗(yàn)即檢查

明晰解題思路對(duì)解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題很重要，另外，對(duì)解題過(guò)程中基本公式法則的掌握也不可忽視.所謂萬(wàn)丈高樓平地起，公式、法則就好似樓體的鋼筋，是解題過(guò)程的重要紐帶.

例1

已知求函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)區(qū)間.

此題為求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，而此學(xué)生在求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤(圖1)，這就導(dǎo)致接下來(lái)的分類討論求單調(diào)性都會(huì)因此失分.

圖1

數(shù)學(xué)公式、法則、運(yùn)算看似簡(jiǎn)單、基礎(chǔ)、易理解，但是它在解題過(guò)程中扮演的角色卻是無(wú)法忽視的，所謂千里之堤毀于蟻穴正是如此.這是計(jì)算錯(cuò)誤，類似的錯(cuò)誤還有公式記錯(cuò)，比如解決三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)輔助角公式記錯(cuò)、求導(dǎo)時(shí)求導(dǎo)法則記錯(cuò)，等等.上述問(wèn)題表面看是學(xué)生在操作層面上的問(wèn)題，但本質(zhì)上是學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力不足造成的.公式、法則是思維活動(dòng)的依據(jù)，在解題過(guò)程中一定要反復(fù)確認(rèn)這些環(huán)節(jié)是否準(zhǔn)確，以便支撐后續(xù)的步驟.我們教育學(xué)生要培養(yǎng)好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，實(shí)際上，愛(ài)思考問(wèn)題、不死記結(jié)論，用數(shù)學(xué)的思維理解問(wèn)題、解決問(wèn)題是最應(yīng)該培養(yǎng)的.

2 前提、轉(zhuǎn)換重等價(jià)——檢驗(yàn)即完善

解題即演繹推理，演繹推理的邏輯形式要求解題者的思維保持嚴(yán)密性、一貫性，注重解題的每一步變形嚴(yán)謹(jǐn)、等價(jià)，這樣才會(huì)得到正確的結(jié)論.

例2

設(shè)函數(shù)

f

(

x

)=[

ax

-(4

a

+1)

x

+3]e.若曲線

y

=

f

(

x

)在點(diǎn)(1,

f

(1))處的切線與

x

軸平行，求

a

.多數(shù)學(xué)生在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)沒(méi)有得滿分(圖2)，原因在于只利用“與

x

軸平行”獲取到切線斜率為0的信息，再利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，而沒(méi)有考慮到所求直線是否與

x

軸平行.此錯(cuò)誤的原因在于“兩直線斜率相等”和“兩直線平行”不是互為充要條件，這就需要檢驗(yàn)，將其變?yōu)槌湟?，完善解題過(guò)程.針對(duì)此錯(cuò)誤，對(duì)學(xué)生進(jìn)行隨訪，沒(méi)進(jìn)行檢驗(yàn)的學(xué)生大部分是學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)缺失，之前解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題通常都是等價(jià)轉(zhuǎn)換，很少涉及題干條件和使用條件不等價(jià)的情況，所以沒(méi)有形成檢驗(yàn)的習(xí)慣.

圖2

類似的題目還有諸如函數(shù)極值的逆用問(wèn)題，已知函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值，求參數(shù)的取值.此類題多數(shù)存在多解情況，多數(shù)學(xué)生的錯(cuò)誤在于求解完之后就認(rèn)為求出來(lái)的解即為最終所求.其實(shí)無(wú)論此題是否多解，最后求解完成都需要再進(jìn)行檢驗(yàn)，而且必不可少，原因在于過(guò)程中用到了“已知在某點(diǎn)處取得極值，則該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0”，并不是題干條件的等價(jià)轉(zhuǎn)換，即非充要條件，因而求解出來(lái)的結(jié)果未必準(zhǔn)確，必須要檢驗(yàn)，即使只得到一組解，也需要說(shuō)明結(jié)果的充要性.通過(guò)了解，學(xué)生可以理解函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值是導(dǎo)數(shù)值在這點(diǎn)處為零的充分不必要條件，但是放在具體問(wèn)題中就不會(huì)靈活運(yùn)用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)了.

等價(jià)轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中的作用往往體現(xiàn)在化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化陌生為熟悉，并且通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化的結(jié)果是不需要檢驗(yàn)的.但在數(shù)學(xué)解題中，有很多情形不易、不宜，甚至是不可能進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化(比如解超越方程、解超越不等式、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式等)，這時(shí)只有退而求其次，可以考慮用先不等價(jià)轉(zhuǎn)化后檢驗(yàn)的手段來(lái)解題，常見(jiàn)的方法有“先必要后充分”和“先充分后必要”.例2用的就是先必要后充分.

3 結(jié)果、事實(shí)需合情——檢驗(yàn)即說(shuō)理

關(guān)注了過(guò)程中的公式、法則、運(yùn)算，也保證了等價(jià)轉(zhuǎn)換，就會(huì)得出正確的結(jié)論嗎？也不盡然，還有一類問(wèn)題就隱藏在最后的答案中.

例3

已知函數(shù)

f

(

x

)=

a

e-1-ln

x

+ln

a

，當(dāng)

a

=e時(shí)，求曲線

y

=

f

(

x

)在點(diǎn)(1,

f

(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

此題求三角形面積，最后所得結(jié)果應(yīng)該是一個(gè)正數(shù).很多學(xué)生在解決這個(gè)題目的時(shí)候都出現(xiàn)了這樣的錯(cuò)誤(圖3)，通過(guò)詢問(wèn)出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生的想法，了解到大部分學(xué)生忽略了這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，只想著直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積一定與橫、縱坐標(biāo)有關(guān)，所以求完橫、縱坐標(biāo)就利用公式求解了，沒(méi)再多考慮.

圖3

這個(gè)問(wèn)題的解題失誤在于解答出結(jié)果之后沒(méi)有考慮其合理性，圖形面積一定是一個(gè)正數(shù)，若算出一個(gè)負(fù)數(shù)，那么就說(shuō)明結(jié)果不合理，違背了事實(shí).類似的題目還有諸如立體幾何中的存在性問(wèn)題，如在某條線段上是否存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)和幾何體某已知點(diǎn)構(gòu)成的動(dòng)直線與某平面平行，解法并不困難，通常需要引入未知數(shù)

λ

設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，借助線面平行的判定定理進(jìn)行求解即可，但有的學(xué)生求出的

λ

超出了[0,1]范圍，也不再處理，那么此解就是不合理的答案，需要檢驗(yàn)前面過(guò)程的細(xì)節(jié).故檢驗(yàn)即說(shuō)理.

在分析講解試題的課堂中，我們經(jīng)常能夠看到這樣的情形：師生思維活動(dòng)的邏輯順序是由題目序號(hào)所決定的，講完第(1)問(wèn)，再解第(2)問(wèn)，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題中研究對(duì)象的整體性質(zhì)的研究，缺乏對(duì)已知的各種條件的邏輯分析，為了讓學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的思維理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，就需要教師在課上引導(dǎo)學(xué)生按照數(shù)學(xué)的思維方法去理解問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題.

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)檢驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的載體.學(xué)生沒(méi)有檢驗(yàn)習(xí)慣的根源在于沒(méi)有形成檢驗(yàn)的意識(shí)以及缺乏檢驗(yàn)的方法、策略.檢驗(yàn)意識(shí)及方法的培養(yǎng)需要潛移默化、持之以恒，需要教師循循善誘和循序漸進(jìn).針對(duì)上述三個(gè)層面導(dǎo)致的數(shù)學(xué)檢驗(yàn)盲區(qū)，我們?cè)诮虒W(xué)中要有的放矢地加強(qiáng)檢驗(yàn)意識(shí)的培養(yǎng)及方法的滲透，從解題的腳手架——公式、法則到步步轉(zhuǎn)化的等價(jià)性的重視，最后關(guān)注結(jié)果的合理性，三個(gè)節(jié)點(diǎn)為數(shù)學(xué)解題的準(zhǔn)確性提供有力支撐，同時(shí)也是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo).數(shù)學(xué)教育要落腳到學(xué)科核心素養(yǎng)，而核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn)包括要求通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠?qū)W會(huì)有邏輯地思考問(wèn)題，數(shù)學(xué)檢驗(yàn)意識(shí)的培養(yǎng)即為有邏輯起點(diǎn)和終點(diǎn)的具體體現(xiàn)，故應(yīng)倍加重視.

只有當(dāng)檢驗(yàn)意識(shí)成為學(xué)生內(nèi)在的自發(fā)需求時(shí)，檢驗(yàn)才能真正地為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)保駕護(hù)航.教師要把檢驗(yàn)這一環(huán)節(jié)重視起來(lái)，并持之以恒地訓(xùn)練與培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成自覺(jué)檢驗(yàn)的好習(xí)慣，既有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也有利于學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的提高，有利于學(xué)生的終身發(fā)展.