符號意識的梯次培養(yǎng)策略

繆玉婷

【摘 要】符號意識作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的核心素養(yǎng)之一，已成為當(dāng)下中小學(xué)教師實施課程教學(xué)的重要目標(biāo)。符號意識抽象、內(nèi)斂、可變，但卻是揭示數(shù)學(xué)規(guī)律、表征數(shù)量關(guān)系的集中體現(xiàn)。本文從感知數(shù)學(xué)符號、理解數(shù)學(xué)符號、思辨數(shù)學(xué)符號、表征數(shù)學(xué)符號四個方面，就“用字母表示數(shù)”這一課例進行分析，在教學(xué)過程中展開有梯次的符號意識培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】符號意識 梯次培養(yǎng) 貫通聯(lián)系 核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中將“符號意識”歸為學(xué)生核心素養(yǎng)之一，意味著在義務(wù)教育階段，學(xué)生不僅要能理解符號的意義，還要具備能使用數(shù)學(xué)符號來進行數(shù)學(xué)表征和推理的能力，這就要求學(xué)生在小學(xué)階段能形成一定的符號意識。

“用字母表示數(shù)”一課，是學(xué)生第一次正式學(xué)習(xí)代數(shù)的知識，是讓符號意識得以形成的最佳時機。教學(xué)中教師要將內(nèi)隱的符號意識有效外顯，使課堂變得有深度、有內(nèi)涵，真正幫助學(xué)生培養(yǎng)符號意識，學(xué)會數(shù)學(xué)的表達，體會數(shù)學(xué)語言的簡潔性和概括性，讓符號意識在學(xué)生的思維中生根發(fā)芽。

一、關(guān)聯(lián)觀察，感知數(shù)學(xué)符號

小學(xué)生對數(shù)學(xué)符號還缺乏整體認(rèn)識，對字母表示數(shù)的內(nèi)涵本質(zhì)理解不到位，尚未形成數(shù)學(xué)表達的自覺性認(rèn)知，這些都應(yīng)該在教師的教學(xué)中予以突破。

教學(xué)片段1：

師：結(jié)合擺三角形的過程，說一說你用了幾根小棒。

生：擺1個三角形用3根小棒，擺2個用了2×3=6根小棒，擺3個用了3×3=9根小棒，擺4個用了4×3=12根小棒。

師：擺10個、120個呢？

生：10×3=30根，120×3=360根。

師：這里小棒的根數(shù)和三角形的個數(shù)有什么關(guān)系？

生：小棒根數(shù)是三角形個數(shù)的3倍。

師：如果用式子表示，小棒根數(shù)=三角形個數(shù)×3。這里的三角形個數(shù)可以是幾？

生：可以是1，2，3，…。

師：是的，三角形的個數(shù)是一個會變化的、不能確定的數(shù)量。那這個變化的三角形個數(shù)，我們怎么把它表示得更簡單呢？

生：用x來表示。

師：你想到了字母，老師用字母a表示可以嗎？當(dāng)我們用a表示了三角形的個數(shù)，那小棒的根數(shù)可以怎樣表示呢？

生1：n。

生2：a×3。

師：你是怎么想到a×3的？

生：因為小棒的根數(shù)是三角形的3倍。

師：你很會觀察，想到了它們的關(guān)系。是啊，小棒的根數(shù)=三角形的個數(shù)×3，當(dāng)三角形的個數(shù)是a的時候，只要乘3就表示小棒的根數(shù)。

師：如果三角形個數(shù)用字母b表示，小棒根數(shù)怎樣表示？三角形個數(shù)是c呢？為什么三角形的個數(shù)可以用不同的字母表示，而乘3卻是固定不變的呢？

生1：因為三角形的個數(shù)不能確定，所以可以用任意一個字母表示。

生2：小棒根數(shù)總是三角形個數(shù)的3倍。

……

這樣的教學(xué)，把觀察活動關(guān)聯(lián)起來，讓學(xué)生初步感知了數(shù)學(xué)符號——教材例1的設(shè)計以規(guī)律為載體進行探索，突出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從特殊到一般、從具體到抽象的過程：先從具體的1個、2個、3個三角形需要的小棒根數(shù)入手，再到抽象出可用字母來表示三角形個數(shù)，是本節(jié)課中學(xué)生對字母符號的第一次認(rèn)知。筆者在授課時著重突出“三角形個數(shù)是個不能確定的數(shù)量”這一本質(zhì)，再用數(shù)符號來表示就會非常煩瑣，迫切需要用一種更為簡單的方式來表征，為學(xué)生從數(shù)符號飛躍到字母符號的認(rèn)識提供了理論依據(jù)和心理支撐。學(xué)習(xí)中，學(xué)生能認(rèn)識到字母也是一種數(shù)學(xué)符號，可以表征不能確定的數(shù)量，并且比用數(shù)符號表征更為方便。

二、本質(zhì)內(nèi)化，理解數(shù)學(xué)符號

認(rèn)知心理學(xué)把知識分為陳述性知識和程序性知識，這種知識的分類主要是為了研究知識的表征和知識習(xí)得的心理差異。字母表示數(shù)就具有典型的陳述性知識和程序性知識相結(jié)合的特點。所謂的陳述性知識可以理解為用字母式表示數(shù)量的這個結(jié)果;程序性知識可以理解為用字母表征數(shù)量之間內(nèi)在關(guān)系的過程，也就是教師經(jīng)常說的字母式的“雙重性”。

教學(xué)片段2：

師：同學(xué)們，這里有100根小棒，拿出1根，這個過程怎么用算式表示？

生：100-1。

師：可以求出什么？

生：還剩下99根。

師：放回去，重新拿出5根呢？

生：100-5=95根，表示剩下95根。

師：好的，下面睜大眼睛看清楚，（老師抓出一把小棒）幾根？

生：x根。

師：你怎么想到用字母表示的？

生：不知道有幾根。

師：是的，字母可以表示不確定的數(shù)量。用字母b表示可以嗎？從100根里拿出b根小棒的過程，怎樣列式呢？

生：100-b。

（教師PPT出示等式的左半邊字母式“100-b”）

師：這個算式表示從總量100根里拿出了b根的小棒這樣的關(guān)系。

師：這個式子的結(jié)果是多少呢？盒子里到底還剩幾根小棒呢？

生：c根，因為不知道有幾根。

師：嗯，你再次想到了用字母表示不確定的數(shù)，剛剛我們?yōu)槭裁从胊×3來表示小棒根數(shù)，而不是再換個字母？

生：因為小棒根數(shù)和三角形個數(shù)之間有3倍的關(guān)系。

師：是啊，我們是用它們之間的數(shù)量關(guān)系來表示的。同樣的道理，如果換一個字母表示剩余的小棒，就不能將這種關(guān)系表達出來，所以盒子里剩多少呢，還是100-b（在盒子上貼上100-b的標(biāo)簽）。所以，100-b的結(jié)果還是100-b。（PPT出示等式的右半邊“=100-b”）。

師：等號右邊這個100-b表示什么呢？

生：表示剩下了100-b根小棒。

師：那現(xiàn)在老師來考考你們（隱掉等式，指向問題中填入的答案100-b），這個100-b到底能表示幾種含義？

生：我覺得能表示兩種含義，即能表示從100根中拿出了b根小棒，又能表示剩下了100-b根小棒。

師：說得真好啊，是的，100-b既可以表示從100根中拿出b根小棒這樣的數(shù)量關(guān)系，又可以表示盒子里剩下了100-b根小棒這個數(shù)量。所以字母式既可以表示數(shù)量關(guān)系，又可以表示數(shù)量。

……

相較于感知數(shù)學(xué)符號，理解數(shù)學(xué)符號是學(xué)習(xí)中的難點。究其深層次的原因，是字母表示數(shù)的“雙重性”導(dǎo)致的——它既可以表示數(shù)量關(guān)系，又可以表示數(shù)量。學(xué)生具象化的思維根深蒂固，習(xí)慣用數(shù)來理解和解決問題，停留在算術(shù)的思維定式中，難以接受用一個含有字母的式子來表示數(shù)量。教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，設(shè)計遞進式的活動將符號意識的本質(zhì)外化出來，讓學(xué)生逐步理解用符號來表示數(shù)量關(guān)系和數(shù)量，為后續(xù)方程、函數(shù)等代數(shù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。首先，借用前面的“a×3既可表示關(guān)系又可表示小棒根數(shù)”，先種下符號思想的種子。其次，通過“究竟還剩幾根小棒”的問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，含有字母的式子，既可以表示數(shù)量關(guān)系，又可以表示數(shù)量：盒子上貼標(biāo)簽“100-b”，借視覺沖擊提升思維，揭示出100-b還可以表示數(shù)量的靜態(tài)結(jié)果;信息化手段則動態(tài)演示對等式100-b=100-b兩邊意義的不同理解，學(xué)生直觀看到內(nèi)隱的字母式“雙重性”，最后主動概括出100-b可以表示的兩種含義，實現(xiàn)將抽象的內(nèi)容具體化、內(nèi)隱的符號外顯化，“看”到了學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號的過程！

三、邏輯貫通，思辨數(shù)學(xué)符號

思辨能力，是學(xué)生眾多能力中較弱的一種學(xué)習(xí)能力，思辨首次認(rèn)知的數(shù)學(xué)符號，更是難中之難。因為字母式增加了抽象性的難度，學(xué)生很容易把“看上去很像”當(dāng)作“完全一樣”，其主要原因還是由于符號意識的建立不到位，符號要表達的數(shù)量關(guān)系模型建構(gòu)不立體，沒有貫通知識邏輯。所以筆者在新課時設(shè)計了一個易錯點的辨析，通過首印效應(yīng)建立學(xué)生正確的邏輯思維，厘清字母式的本質(zhì)。

教學(xué)片段3：

借用一個游戲環(huán)節(jié)中的素材：a+a=2a和a×a=a2兩個式子，展開思辨活動。

師：同樣是2個a，一個式子等于2a，一個等于a2，它們有什么區(qū)別呢？

生：2a是兩個a相加，a2是兩個a相乘。

師：這是從數(shù)的角度解釋了它們含義的不同和算式的不同。其實，我們還可以從形的角度，來解釋它們的不同。

師：如果我們用a表示一根小棒的長度，2a可以表示？

生：兩根小棒的長度。

師：那a2又可以用什么形狀來表示呢？

生：可以表示正方形的面積。

師：所以從圖形來看，2a表示的是一個長度，a2表示一個面的大小。你瞧，數(shù)形結(jié)合可以更直觀地比較出2a與a2的區(qū)別。

考慮到邏輯貫通的難度，本環(huán)節(jié)教學(xué)采用數(shù)形結(jié)合的形式，以形助數(shù)，更容易幫助學(xué)生直觀地辨析易錯點，讓學(xué)生真正建立符號意識并運用數(shù)的運算經(jīng)驗來理解字母式中包含的數(shù)量關(guān)系的含義。

四、整體建構(gòu)，表征數(shù)學(xué)符號

教學(xué)片段4：

（1）小華家到學(xué)校的路程是（? ? ? ）米。

（2）小軍家到小麗家的路程是（? ? ? ?）米。

（3）從家到學(xué)校，小麗比小軍要多走（? ? ? ?）米。

師：如果老師告訴你小麗家到學(xué)校的距離比小軍家到學(xué)校的距離遠300米，其實在告訴你誰比誰大300？

生：y比x大300。

師：那么，小麗家到學(xué)校的距離除了用y米表示，還可以怎么表示呢？

生：x+300。

師：那么，小軍家到學(xué)校的距離除了用x米表示，還可以怎樣表示呢？

生：y-300。

師：同樣的距離，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，可以有不同的表示方法，小小的字母真神奇呀。

朱立明老師在其研究中提出相關(guān)觀點：學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識可以從四個層次進行分析。這四個層次分別是數(shù)學(xué)符號的感知與識別、數(shù)學(xué)符號的理解與運算、數(shù)學(xué)符號的聯(lián)想與推理、數(shù)學(xué)符號的抽象與表達?？梢?，數(shù)學(xué)符號的表征是符號意識的整體建構(gòu)，是外顯的符號意識。

課中增加了拓展變式題：將小軍家到學(xué)校的距離表示成x米，小麗家到學(xué)校的距離表示成y米，利用這兩者之間的關(guān)系來表征兩個未知量之間的關(guān)系，將未知量看成已知量，平等地參與運算，這恰恰是方程中最常見的表征情況！學(xué)生在探尋x與y的關(guān)系中，用一個未知量來表示另一個未知量，為列方程解決問題設(shè)誰為x的問題做出孕伏。同時讓學(xué)生明晰，將數(shù)量關(guān)系從復(fù)雜的文字描述變?yōu)楹唵蔚淖帜甘?，這是數(shù)學(xué)符號的優(yōu)越性。

教師要立足學(xué)生的發(fā)展之本，重素養(yǎng)意識的培養(yǎng)。而符號意識的梯次培養(yǎng)，是一個長期的、漸進的過程。教師無論在公開課，還是在常態(tài)課，均應(yīng)充分關(guān)注到數(shù)學(xué)符號的感知、理解、思辨與表征四個方面，助力學(xué)生深度構(gòu)建符號意識。