中國中學數(shù)學建模研究的歷程與論題及其啟示

汪飛飛，張維忠

中國中學數(shù)學建模研究的歷程與論題及其啟示

汪飛飛，張維忠

（浙江師范大學 教師教育學院，浙江 金華 321004）

數(shù)學建模是數(shù)學教育研究的熱點之一．中國中學數(shù)學建模研究大致經(jīng)歷了緩慢起步、迅速發(fā)展、深化穩(wěn)定3個階段，在數(shù)學建模的內(nèi)涵與價值、數(shù)學建模教學、學生數(shù)學建模素養(yǎng)評價與培育、學生數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展的影響因素等方面取得了豐碩的研究成果．未來中國中學數(shù)學建模研究，在內(nèi)容上應當保持均衡化態(tài)勢，既要關注數(shù)學建模的本體研究，也要注重人的數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展研究；在方法上需要克服經(jīng)驗化傾向，愈加重視數(shù)學建模的理論研究、實踐研究與實證研究的融合，在視角上亟待突破狹隘化局限，可以嘗試從社會文化視角探究數(shù)學建模教學的社會性問題．

數(shù)學建模；歷程；論題；啟示

數(shù)學建模是一個過程，它應用數(shù)學對現(xiàn)實世界的現(xiàn)象進行表達、分析、預測或進行其它方式的深入研究[1]．隨著核心素養(yǎng)的提出與課程改革的深化，數(shù)學建模進入中國各級各類學校課堂已然成為一種潮流．相應地，數(shù)學建模研究也頗受關注．有鑒于此，研究者擬梳理中國中學數(shù)學建模研究的歷程，總結現(xiàn)有數(shù)學建模研究取得的成果，并對未來數(shù)學建模研究提供一定的啟示．

1 中國中學數(shù)學建模研究的歷程

中國對中學數(shù)學建模問題的研究，從課程論、教學論、學習論等視角廣泛展開．研究成果形式多樣，不僅有學術專著和相關教材，還有大量的學術論文和碩博士學位論文．截止到2020年12月，以數(shù)學建模為關鍵詞，在中國知網(wǎng)數(shù)據(jù)平臺上檢索符合初等教育或中等教育的文獻共783篇，其中CSSCI或北大核心期刊論文78篇，碩博士學位論文309篇．從文獻產(chǎn)出量和關注的論題角度，可以將中國中學數(shù)學建模研究的歷程大致劃分為3個階段．

1.1 緩慢起步階段（1993—2000年）

中國中學數(shù)學建模研究在起步階段進展相當緩慢，具體表現(xiàn)為：論文產(chǎn)出較少，年均發(fā)表量僅為3.875篇．從年度發(fā)表量來看，最高值為9篇，有好幾個年份發(fā)表量僅為1篇；從碩博士學位論文來看，還未出現(xiàn)研究者對數(shù)學建模進行系統(tǒng)研究；從著作來看，關于數(shù)學建模競賽的輔導資料如雨后春筍般地出版，但是中學數(shù)學建模專著出版較少．

從時間來看，中國對中學數(shù)學建模問題的研究最早始于1993年．首篇公開發(fā)表的以數(shù)學建模為題的論文是楊守謙的“數(shù)學建模與中學數(shù)學教學”，刊載于《數(shù)學通報》1993年第6期．此后進展較為緩慢，8年間僅發(fā)表了31篇論文．直至1997年，北京數(shù)學會等5部門從應試教育向素質教育轉變的教育改革角度出發(fā)，批復了“中學數(shù)學知識應用競賽”，這種區(qū)域化的數(shù)學知識應用競賽可以說是數(shù)學建模競賽的雛形，才引起學界對數(shù)學建模的關注與研究．當時，中國主要是在實踐層面組織和推廣數(shù)學知識應用競賽，在理論層面，出版了一些數(shù)學建模競賽輔導資料，如北京市教育局教材編審部組織編寫的《數(shù)學知識應用（初中課外活動教材）》、上海市中學生數(shù)學知識應用競賽委員會編寫的《中學數(shù)學知識應用精編》等．隨著中學生數(shù)學知識應用競賽的深入開展及其對中學數(shù)學教育改革的推動作用，中國開始將數(shù)學建模視作一種教學實驗，開發(fā)數(shù)學建模校本課程并進行實踐探索．與此同時，不同研究者開始從數(shù)學建模的內(nèi)容和意義、數(shù)學建模教學等論題探討中學數(shù)學建模問題，中學數(shù)學建模研究的專著和編著開始涌現(xiàn)，例如，張思明從數(shù)學建模校本課程實施中積累實踐經(jīng)驗而著成的《中學數(shù)學建模教學的實踐與探索》、葉其孝主編的《中學數(shù)學建?！返认嗬^出版．另外，有關中學數(shù)學建模研究的學術論文開始刊登于《數(shù)學通報》《中學數(shù)學》等專業(yè)期刊．

總體看來，這一時段數(shù)學建模研究尚處于緩慢起步階段．研究主要在實踐層面展開，對數(shù)學建模的內(nèi)涵和價值有了初步認識．

1.2 迅速發(fā)展階段（2001—2010年）

21世紀伊始，中國數(shù)學教育面臨新一輪課程改革，中學數(shù)學建模研究在2001年迅速升溫．這一階段論文發(fā)表量大增，年均達25.4篇．2002年和2009年是論文發(fā)表的高峰年，分別達31篇和36篇．該階段不僅有碩博士學位論文的出現(xiàn)，還有其它相關編著的出版量也在增多，涉及到數(shù)學建模的諸多論題．

這一階段的研究除繼續(xù)關注數(shù)學建模的內(nèi)涵和價值外，主要著力于對數(shù)學建模活動實施的探討，同時對中學數(shù)學建模教學策略和學生數(shù)學應用意識培養(yǎng)的研究不斷增加．2001年，徐稼紅編著的《中學數(shù)學應用與建?！?，主要介紹了符合中學生心理認知的社會經(jīng)濟模型、估算擬合模型、優(yōu)化模型、概率統(tǒng)計模型以及幾何應用模型．次年，卜月華等人主編的《中學數(shù)學建模教與學》，從實踐經(jīng)驗的角度對數(shù)學建模作了系統(tǒng)地歸納、整理和總結．在數(shù)學建模多年實踐探索的基礎上，在姜伯駒、李大潛、丁石孫、葉其孝等數(shù)學家的廣泛認可與大力推行下，數(shù)學建模開始以課程要求的形式寫入課程標準．2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》將“發(fā)展學生的數(shù)學應用意識”作為課程理念之一，將“數(shù)學建?！绷袨檎n程內(nèi)容，要求在高中階段至少為學生安排一次完整的數(shù)學建模活動．因此，數(shù)學建模成為數(shù)學教育研究的一個熱點話題．為適應新課標要求，七市高中選修教材編寫委員會編著的《數(shù)學應用與建模（上）（下）》試驗本選修教材得以出版．之后，作為數(shù)學教育研究的新生力量，碩博士研究生開始加入數(shù)學建模研究的行列，關于中學數(shù)學建模研究的學位論文不斷增多，主要圍繞數(shù)學建模教學、數(shù)學應用意識培養(yǎng)等論題展開．另外，中國中學數(shù)學建模研究隊伍不斷壯大，作者群體趨于多樣化，高等院校、中等?？茖W校、科研院所、中小學等單位的研究者對數(shù)學建模均有不同程度的關注．值得一提的是，張思明及其團隊為中國中學數(shù)學建模研究做出了重要貢獻．2009年，申煒和鄭玉飛合著的《張思明：中學數(shù)學建模的拓荒者》一書出版，該書通過生活史的研究方法，闡述了特級教師張思明的專業(yè)發(fā)展與數(shù)學建模之間的關系．這一階段，關于數(shù)學建模研究的專著相對較少．

總體看來，這是中國中學數(shù)學建模研究的一個高峰時段，多元研究方法介入且成果頗豐．此階段在中學數(shù)學建模內(nèi)涵、價值研究上繼續(xù)向前推進，同時數(shù)學建模教學和數(shù)學建模能力培養(yǎng)研究也得到一定的發(fā)展．

1.3 深化穩(wěn)定階段（2011—2020年）

2011年，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在修訂過程中，明確提出模型思想，將原來的“雙基”擴充為“四基”，新增的基本思想和基本活動經(jīng)驗一定程度上與數(shù)學建模不無關系．數(shù)學建模研究經(jīng)過上一階段的迅速發(fā)展而進入深化穩(wěn)定階段，此階段論文發(fā)表量年均為50.8篇．尤其是2018年頒布的《高中數(shù)學課程標準（2017年版）》將數(shù)學建模作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)及高中數(shù)學課程內(nèi)容主線之一．之后，指向學生數(shù)學建模素養(yǎng)的課程建設、教材編寫和教學變革問題得到進一步探討．有很多中學數(shù)學課程標準和教材研究的著作關注數(shù)學建模問題，同時還有數(shù)學建模研究專著和譯著出版．

對數(shù)學建模內(nèi)涵的認識仍然是持續(xù)研究的問題，研究者強調(diào)對數(shù)學建模的過程性理解．這一階段，對學生數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)、評價研究驟增，同時，數(shù)學建模過程中的教師問題也受到較多關注．中學數(shù)學建模研究成果不斷涌現(xiàn)，2017年，由梁貫成等人編譯的《數(shù)學建模教學與評估指南》一書出版，該書不僅包含豐富的案例，還為數(shù)學建模教學提供了完整的評價方法．書中的主要觀點有：“數(shù)學建模是一個過程；數(shù)學建模具有重要的育人價值；從學前到大學開展數(shù)學建模是可行的；數(shù)學建模的教學是有規(guī)律的，數(shù)學建模的評價是可行的；積累資源是建模實施的重要保證．”[1]2018年，高等教育出版社出版了張思明主編的《從課程標準到課堂教學：中學數(shù)學建模與探究》，該書詳細論述了中學開展數(shù)學建模和數(shù)學探究活動的理論與意義，并提供了數(shù)學建模和數(shù)學探究教學的素材與案例[2]．諸多著作的問世，為中國中學數(shù)學建模研究奠定了堅實基礎．2019年6月，“京師數(shù)學建模教育中心”在北京師范大學成立，為中國數(shù)學建模研究搭建了堅實的學術交流平臺．此外，據(jù)中國知網(wǎng)數(shù)據(jù)顯示，關于數(shù)學建模研究的期刊論文和碩博士學位論文的數(shù)量也逐年遞增，特別地，2019年和2020年各有2篇博士學位論文圍繞學生數(shù)學建模能力培養(yǎng)與發(fā)展問題展開系統(tǒng)研究，中學數(shù)學建模研究進入深化穩(wěn)定階段．從研究內(nèi)容、研究方法和研究視角來看，中學數(shù)學建模研究的內(nèi)容更加廣泛，有對數(shù)學建模教學策略的經(jīng)驗性總結，也有對學生數(shù)學建模素養(yǎng)培育與評價的探討；研究的方法更加科學，由先前對數(shù)學建模的內(nèi)涵及價值的演繹性思辨向現(xiàn)在對學生數(shù)學建模素養(yǎng)現(xiàn)狀的實證性調(diào)查過渡；研究的視角更加多元，既有從課程視角探究高中數(shù)學教科書中數(shù)學建模內(nèi)容的呈現(xiàn)問題，也有從教學視角研究數(shù)學建模實踐中的教師問題，還有從心理學視角研究學生數(shù)學建模的認知問題．

這一階段的中學數(shù)學建模研究總體上表現(xiàn)出平穩(wěn)的發(fā)展態(tài)勢，數(shù)學建模的理論研究和實證研究齊頭并進．數(shù)學建模的理論研究有深化和拓展；數(shù)學建模的實證研究呈現(xiàn)出論題多樣化、方法多元化、視角微觀化的新趨向．

2 中國中學數(shù)學建模研究的論題

通過梳理中國中學數(shù)學建模研究成果可以發(fā)現(xiàn)，學界在數(shù)學建模的內(nèi)涵與價值、數(shù)學建模教學、學生數(shù)學建模素養(yǎng)評價與培育、學生數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展的影響因素等論題上取得了較大的進展．

2.1 數(shù)學建模的內(nèi)涵與價值研究

其一，數(shù)學建模的內(nèi)涵厘定．對數(shù)學建模內(nèi)涵的認識主要有兩種，二者雖各有側重，但具有內(nèi)在關聯(lián)性．一種是偏向于手段，把數(shù)學建模看作一種實踐活動，突出數(shù)學建模的過程性．“數(shù)學建模是一個從‘現(xiàn)實情境’轉化為‘數(shù)學問題’，再將結果帶回到‘現(xiàn)實情境’進行檢驗和調(diào)整，使得模型不斷優(yōu)化，最終得以更好地解決現(xiàn)實問題的過程”[3]，這個過程并非僅僅是從“現(xiàn)實情境”轉化為“數(shù)學模型”的單向的、線性過程，而是建立真實世界與數(shù)學世界之間可逆的聯(lián)系[4]，需要不斷地從數(shù)學世界返回真實世界中檢驗結果、完善模型．另一種是偏向于目的，將數(shù)學建模視作一種能力或素養(yǎng)，指向人的發(fā)展．數(shù)學建模是一種生活技能[1]，本質上是應用能力，即在實際情境中用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學的語言描述問題，用數(shù)學的思維、方法、思想解決問題的能力[5]．這一觀點與新版高中數(shù)學課程標準對數(shù)學建模內(nèi)涵的描述相吻合．綜上，數(shù)學模型是一種工具，數(shù)學建模是一個過程，這個過程就是運用數(shù)學模型在真實世界與數(shù)學世界之間進行抽象性、創(chuàng)造性的迭代過程，從而形成人的數(shù)學建模能力或發(fā)展人的數(shù)學建模素養(yǎng)．

其二，數(shù)學建模的價值澄明．雖然學者對數(shù)學核心素養(yǎng)要素的認識不盡相同，但將數(shù)學建模作為數(shù)學核心素養(yǎng)之一已成共識．數(shù)學建模將成為未來社會中，每個個體都需要擁有的最基本的數(shù)學素養(yǎng)．對數(shù)學建模價值的認識概括起來有3個方面．一是數(shù)學建模的社會價值．世紀之交，就有學者從21世紀的社會特征出發(fā)，認為數(shù)學建模對未來公民的數(shù)學素質培養(yǎng)具有重要作用[6]．二是數(shù)學建模的教育價值．新世紀伊始，有學者從學生發(fā)展角度論述了數(shù)學建模的教育價值，認為“數(shù)學建模為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力搭建了一個有效的操作平臺，數(shù)學建模有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學觀念、科學態(tài)度和合作精神，以及認真求實、崇尚真理、追求完美、講求效率、聯(lián)系實際的學習態(tài)度和習慣”[7]．三是數(shù)學建模的學科價值．數(shù)學建模最大的特征是具有學科屬性，體現(xiàn)了數(shù)學的廣泛應用性．數(shù)學建模是“數(shù)學成為人類文化的重要組成部分的關鍵，將促進數(shù)學科學的發(fā)展和各門科學的綜合”[8]．

2.2 數(shù)學建模教學研究

數(shù)學建模教學研究成果最多，反映出研究者對數(shù)學建模教學的高度關注，主要圍繞數(shù)學建模教學方式、數(shù)學建模教學原則、數(shù)學建模認知、數(shù)學建模教學策略等問題展開．

其一，對數(shù)學建模教學方式的探討．概括起來，中學數(shù)學建模教學有3種方式：一是融入式，指在日常的數(shù)學課堂教學中，結合相關內(nèi)容融入數(shù)學建模思想；二是活動式，指以數(shù)學建模為主題，單獨在課外開展數(shù)學建模活動；三是課程式，指與其它數(shù)學課程內(nèi)容一樣，單獨開設數(shù)學建模課程．應注意到，前兩種教學方式較多，第三種教學方式尚處探索階段，如張思明的著作《理解數(shù)學：中學數(shù)學建模課程的實踐案例與探索》[2]詳細介紹了北京市部分中學實施數(shù)學建模課程的全過程，以及推廣的“雙課堂”數(shù)學建模教學模式．新版高中數(shù)學課程標準將“數(shù)學建?！倍ㄎ粸檎n程內(nèi)容的主線之一，課程式將成為中學數(shù)學建模教學的重要形式．

其二，對數(shù)學建模教學原則的探討．這一方面鮮有學者單獨論述，主要散見于一些數(shù)學建模教學案例中，一般通過“觀點+案例”方式論述數(shù)學建模的教學原則，主要有主體性原則、目的性原則、關聯(lián)性原則、層次性原則．主體性原則是指數(shù)學建模教學過程中教師應尊重學生的認知差異，給予學生自主權，充分調(diào)動學生積極性，讓每一個學生主動提出自己的建模方案．目的性原則是指數(shù)學建模教學中必須以提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力及應用所學知識解決實際問題的能力為目標．關聯(lián)性原則是指數(shù)學建模教學中解決實際問題所涉及的知識、思想、方法應與數(shù)學課程內(nèi)容有緊密聯(lián)系．層次性原則是指數(shù)學建模教學中教師應以數(shù)學本質的理解為前提，以學生認知為重心，最終將數(shù)學、學生與教學過程有機統(tǒng)一．

其三，對數(shù)學建模認知的探討．數(shù)學建模認知研究是數(shù)學建模教學的基礎性研究．從心理學視角探討學生數(shù)學建模的認知規(guī)律，有助于數(shù)學建模教學研究的進一步豐富與完善，以李明振為代表的研究者們進行了如下3個方面的探索：一是從“是什么”入手，建立了數(shù)學建模的一般認知過程模型[9]，并揭示了不同水平的高中學生數(shù)學建模的認知特點與差異[10]；二是從“為什么”入手，探討了學生數(shù)學建模認知差異的影響因素，發(fā)現(xiàn)“高中學生的自我監(jiān)控水平、創(chuàng)造力水平、數(shù)理認知結構、數(shù)學建模情感、創(chuàng)造性傾向、認知方式及數(shù)學建模信念均與其數(shù)學建模學業(yè)成就存在顯著相關性”[11]；三是從“如何做”入手，思考了提升學生數(shù)學建模水平的教學策略，主要有“精擬建模問題、聚焦建模方法、強化建模策略、注重圖式教學、活化教學方式”等[12]．以上系列研究成果為數(shù)學建模教學的有效實施提供了認知理論基礎，后來集結出版成《數(shù)學建模認知研究》一書，喻平在該書序言中提到：“這是國內(nèi)第一本從認知心理角度研究數(shù)學建模的專著，可以說是填補了這一研究領域的空白．”[13]

其四，對數(shù)學建模教學策略的探討．無論是數(shù)學建模教學理論研究的深化，還是數(shù)學建模教學實踐的變革，數(shù)學建模教學策略具有重要的實踐價值．這一方面主要基于4種視角進行探討．一是主體視角，有從學生視角指出數(shù)學建模教學要“準確把握學生數(shù)學建模的起點、精心組織學生數(shù)學建模的過程、優(yōu)化促進學生數(shù)學建模的應用”[14]，也有從教師視角指出“數(shù)學建模教學應先提高教師數(shù)學建模能力及數(shù)學建模教學能力”[15]．不管是學生視角還是教師視角，其根本指向在于落實數(shù)學建模教學的有效性．二是案例開發(fā)視角，諸多研究基于對數(shù)學教科書中實習作業(yè)的改編、生活中短跑運動員步幅的思考以及數(shù)學歷史名題的探索等案例闡述數(shù)學建模教學之道，意在為數(shù)學建模教學提供現(xiàn)實的、可行的、易理解的素材．三是過程視角，數(shù)學建模是一種過程，有研究就“如何選擇或構建合適的數(shù)學建模任務、如何對學生可能的建模策略進行預測、如何在課堂教學中組織數(shù)學建模活動”等環(huán)節(jié)進行策略分析[16]．四是技術視角，隨著信息技術與數(shù)學教育的深度融合，國外學者從理論與實踐的角度開展了數(shù)字工具支持下的數(shù)學建模研究[17]引起中國學者的關注，借助現(xiàn)代信息技術等工具為數(shù)學建模教學注入了新的活力．

2.3 學生數(shù)學建模素養(yǎng)培育與評價研究

發(fā)展學生數(shù)學建模素養(yǎng)是當前數(shù)學教育教學改革的重要工作，學生數(shù)學建模素養(yǎng)的評價、現(xiàn)狀及培育等論題引發(fā)研究者的思考．

其一，對學生數(shù)學建模素養(yǎng)評價標準的探討．在數(shù)學建模素養(yǎng)的課程轉化過程中，評價標準指引著課程的設計與教學的實施．這一方面主要是引介國外數(shù)學建模素養(yǎng)的評價標準，并進行案例分析．具體看來，評價標準有3種．一是側重形成性評價，強調(diào)學生在“建模循環(huán)”過程中的行為表現(xiàn)，一般是對一種目標明確的現(xiàn)實問題的建模，注重學生“通過迭代不斷逼近最優(yōu)模型的過程，包括問題、規(guī)劃、計算、解釋、驗證和報告6個環(huán)節(jié)”[18]．二是側重終結性評價，強調(diào)學生對現(xiàn)實情境的認識以及如何從現(xiàn)實情境中生成數(shù)學模型，將評價的重點放在對模型現(xiàn)實意義的解釋上，一般是對一些目標模糊的現(xiàn)實問題的建模．在具體評價時，將數(shù)學建模能力所涉及的行為細化為“理解和簡化問題”“處理問題并發(fā)展模型”“對問題的解答結果做出解釋”“經(jīng)驗與驗證”等子能力，再對各子能力進行賦值評價[19]．三是兼顧數(shù)學建模的過程與結果[20]，從“過程—結果”的視角評價學生數(shù)學建模的整體表現(xiàn)，采用一種反思的、漸進的評分方式，對學生個體或群體表現(xiàn)出的數(shù)學建模能力進行評估[21]，這種融合過程性與結果性的評價取向受到越來越多研究者的認可．

其二，對學生數(shù)學建模素養(yǎng)現(xiàn)狀的調(diào)查．已有研究側重終結性評價，一般通過問卷和紙筆測驗對學生數(shù)學建模素養(yǎng)進行評價，所得研究結果不盡相同甚至相悖．有研究發(fā)現(xiàn)：學生數(shù)學建模能力基本不受其數(shù)學學業(yè)成績的影響，數(shù)學學業(yè)成績不理想的學生同樣可能具有較高水平的數(shù)學建模能力[22]，也有研究認為“數(shù)理成績優(yōu)秀的學生，其數(shù)學建模能力也相對較強”[23]．其實，傳統(tǒng)的問卷調(diào)查或紙筆測驗只能考查事實性的知識或標準化的判斷，不能反映學生在真實情境中運用已有知識解決問題的能力以及完成任務的過程表現(xiàn)，而表現(xiàn)性評價更能對學生的學習和教師的教學帶來積極的影響[24]．“表現(xiàn)性評價更適合檢測高認知的、體現(xiàn)復雜性思維的任務，且更有可能促進像數(shù)學建模這樣的能力獲得”[25]，然而這方面的研究較少．

其三，對學生數(shù)學建模素養(yǎng)培育的探討．這一方面，既有從理論思辨視角探討學生數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)策略，也有基于現(xiàn)狀調(diào)查后對學生數(shù)學建模素養(yǎng)培養(yǎng)提出建議，概括起來，主要從學生內(nèi)部和外部兩方面進行探討．學生內(nèi)部方面，有研究認為“中學數(shù)學建?；顒右Y合學生的年齡特點、知識結構和智力水平，以及與日常教學的教材內(nèi)容分層次開展，數(shù)學建模能力培養(yǎng)也要注重階段性”[26]．學生外部方面，有研究認為創(chuàng)設具體的、熟悉的生活情境非常重要，也有學者持不同看法，如蔡金法等人認為“數(shù)學建模并不一定要在學生熟悉的情境中進行，但提供熟悉的情境能夠讓學生更容易將數(shù)學與現(xiàn)實問題建立聯(lián)系”[9]．

2.4 學生數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展的影響因素研究

隨著數(shù)學建模素養(yǎng)的提出與落實，研究者圍繞數(shù)學課程標準與教科書、教師、學生及考試等開展了學生數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展的影響因素研究．

其一，課程標準與教科書．作為期望的課程，數(shù)學課程標準與教科書直接影響著數(shù)學建模素養(yǎng)的落實．不管是從數(shù)學課程標準的國際比較來看，還是從國內(nèi)數(shù)學課程標準中數(shù)學建模內(nèi)涵的變遷[27]以及不同版本數(shù)學教科書的比較[28]來看，可以得出這樣的結論：在中國，數(shù)學建模正式寫入課程標準的時間相對較晚，且課程標準中對數(shù)學建模的要求不甚明晰，這也就導致了數(shù)學教科書在一定程度上弱化了數(shù)學建模內(nèi)容的呈現(xiàn)．

其二，教師．教師在數(shù)學建模教學和發(fā)展學生數(shù)學建模素養(yǎng)過程中起著至關重要的作用，是實施課程中的關鍵角色．但從一些調(diào)查研究的結果來看，教師對數(shù)學建模的認識和教師數(shù)學建模素養(yǎng)存在諸多問題．如實驗版高中數(shù)學課程標準頒布不久，有研究對高中數(shù)學建模課程實施中有關教師方面的問題進行分析，發(fā)現(xiàn)“數(shù)學建模課程師資隊伍不足，教師數(shù)學建模知識結構欠缺，教師對數(shù)學建模的情感態(tài)度價值觀迷失”等問題[29]．時隔十年，在新版高中數(shù)學課程標準頒布之際，有研究發(fā)現(xiàn)“數(shù)學建?；顒幽壳叭匀粵]有引起教師的關注，在實施過程中往往落空，而且多數(shù)教師認為數(shù)學建?；顒雍蛯?shù)學建模活動的評價相對不那么重要”[30]．

其三，學生．作為數(shù)學建模活動的主體，學生是獲得課程研究最為關注的對象．然而，學生對數(shù)學建模的認識及其數(shù)學建模能力也存在問題．有研究認為動機態(tài)度、知識經(jīng)驗、認知過程、元認知是影響學生數(shù)學建模能力的4個因素[31]，還有研究認為數(shù)學建模子能力的專項訓練和真實數(shù)學建模任務的教學對高中生數(shù)學建模能力的發(fā)展存在顯著的短期效應，數(shù)學建模教學干預對高中生數(shù)學建模能力自我效能感具有顯著的促進作用[32]．這些研究為提升學生的數(shù)學建模能力提供了一定的啟示．

其四，考試．任何教育改革或課程改革，最終都將回到考試問題上．目前，高考對數(shù)學建模的考查主要以選擇題的方式呈現(xiàn)，題量占比較少，更多的是強調(diào)運用顯性的數(shù)學模型思想來解決數(shù)學問題，如函數(shù)模型、線性規(guī)劃模型、數(shù)列模型，幾乎沒有給學生提供建立數(shù)學模型的機會[33]．數(shù)學建模的循環(huán)過程難以落實于兼具標準化和選拔性的中高考試卷中，使得數(shù)學建模的理念與實際相悖．目前，為落實數(shù)學建模素養(yǎng)，諸多研究者從理論層面展開探討，如有研究認為，中高考命題應由“考試大綱的指導”轉變?yōu)椤罢n程標準的指導”，題目不僅要與課程標準關聯(lián)，還要具有真實而多元的測試情境[34]．基于核心素養(yǎng)的考試改革前景令人期待．

從課程概念的連續(xù)性來看，影響學生數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展的因素是多方面的．正視當前數(shù)學教育的育人目標，不僅應從學生學習結果的視角審視“培養(yǎng)什么樣的人”的目標問題，還應從學生學習過程的視角探尋“培養(yǎng)這樣的人”的實現(xiàn)問題，即核心素養(yǎng)的課程轉化問題．所謂核心素養(yǎng)的課程轉化是指“將具有價值的抽象概念，依據(jù)教師教學和學生學習的原則，逐步規(guī)劃成具體、可行的課程，以供教師有效教學、學生有效學習的過程”[35]．這就需要結合預期課程、實施課程、獲得課程展開連續(xù)性研究，從中發(fā)現(xiàn)影響數(shù)學建模課程實施與學生數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展的深層原因．

3 中學數(shù)學建模研究的啟示

縱觀中國中學數(shù)學建模研究，取得的成果是毋庸置疑的．但當前新課標、新教材、新課堂對數(shù)學建模提出了新的要求，數(shù)學建模研究任重道遠．未來中國中學數(shù)學建模研究，至少在研究內(nèi)容、研究方法和研究視角3個方面還有待進一步“深耕細耘”．

（1）將數(shù)學建模的本體研究與人的數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展研究相結合．

從研究內(nèi)容來看，中國中學數(shù)學建模研究的內(nèi)容較為失衡，主要表現(xiàn)為：數(shù)學建模的本體研究方面，內(nèi)涵與教育價值的研究多，外延與落實邏輯的研究少；數(shù)學建模教學研究方面，教學策略的研究多，數(shù)學建模教學的性質、方式、模式、原則等學理分析少；數(shù)學建模素養(yǎng)的評價與培育方面，學生層面的現(xiàn)狀調(diào)查和培育策略多，對教師數(shù)學建模素養(yǎng)的研究少，終結性評價研究多，過程性評價研究少；影響學生數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展的因素方面，獲得課程層面的研究多，期望課程和實施課程層面的研究少．未來中國中學數(shù)學建模研究在內(nèi)容上應當保持均衡化態(tài)勢，既要關注數(shù)學建模的本體研究，也要注重人的數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展研究．

明確數(shù)學建模的要義是數(shù)學建模研究的基礎．不難看出，數(shù)學建模與數(shù)學模型、數(shù)學應用、（合作）問題解決、數(shù)學實驗等概念較為相近，甚至有研究將數(shù)學建模等同于數(shù)學模型、數(shù)學應用或問題解決．未來，在數(shù)學建模本體研究方面，數(shù)學建模的要義、相關概念之間的異同、數(shù)學建模素養(yǎng)的落實邏輯、數(shù)學建模的教育價值等問題有待深入分析．例如，數(shù)學建模與數(shù)學模型之間的區(qū)別在于，建模（modeling）是模型（model）的動名詞，《不列顛百科全書》將modeling解釋為“塑造藝術”，塑造是一種添加性工藝，這與“建模循環(huán)”是一致的．因此，數(shù)學建模也具有藝術的特點[1]，可以將數(shù)學建模視作數(shù)學的塑造藝術．其實，無論是從心理學角度研究數(shù)學建模過程中的學生認知特點，還是從教育學角度研究數(shù)學建模思想的教學滲透及學生數(shù)學建模能力的提升，都未深入到數(shù)學建模素養(yǎng)層面．數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法建構模型，從而解決問題的一種指向人的發(fā)展的素養(yǎng)．與日常教學相比，學生在數(shù)學建模過程中那些“令人失望者”“保持者”“令人驚喜者”的行為表現(xiàn)及其內(nèi)在因素問題亟待關注，從而有目的性地培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)．此外，教師數(shù)學建模素養(yǎng)的表現(xiàn)問題也值得關注．教師是課程改革與教學實踐的重要指導者，對教師數(shù)學建模素養(yǎng)進行探究[36]，主要包括教師對模型與建模本質及功能、模型與建模的內(nèi)容知識、數(shù)學建模的課程知識、數(shù)學建模的教學知識等的理解，將有利于數(shù)學建模素養(yǎng)的落地和數(shù)學建模教學的推進．

（2）重視數(shù)學建模的理論研究、實踐研究與實證研究的融合．

從研究方法來看，中學數(shù)學建模研究的方法較為經(jīng)驗，主要表現(xiàn)為：更多地偏向于實踐性的經(jīng)驗總結和演繹性的理論思辨，如對數(shù)學建模教學策略和學生數(shù)學建模素養(yǎng)培育的探討；真正具有科學性、學理性、實證性的研究少，如學生數(shù)學建模素養(yǎng)的表現(xiàn)研究，大多采用問卷和測試等傳統(tǒng)調(diào)查方法，鮮有研究采用課堂觀察、視頻圖像分析、聚焦式訪談、路徑分析等方法．未來中國中學數(shù)學建模研究在方法上需要克服經(jīng)驗化傾向，愈加重視數(shù)學建模的理論研究、實踐研究與實證研究的融合．

在教育研究中研究方法尤為重要，按照布列欽卡對教育學的認識，中國學者將教育研究方法分為理論研究、實證研究和實踐研究[37]．作為數(shù)學教育研究的一個領域，數(shù)學建模的實踐性要求數(shù)學建模研究應在本體研究的基礎上，注重數(shù)學建模素養(yǎng)的實證研究，以順應中國教育研究的實證轉向．在期望課程方面，可以采用內(nèi)容分析法和個案比較法研究中國數(shù)學課程標準與數(shù)學教科書中數(shù)學建模素養(yǎng)的體現(xiàn)問題；在實施課程方面，可以綜合采用聚焦式訪談法和視頻圖像分析法研究數(shù)學建模教學中的學生表現(xiàn)問題，以及采用課堂觀察和專家論證的方法建構與析取教師數(shù)學建模素養(yǎng)的構成要素問題；在獲得課程方面，可以采用問卷調(diào)查法和實驗法研究數(shù)學建模素養(yǎng)與性別、學業(yè)成就等變量的關系問題．當然，研究方法的選用只是為了研究的順利展開，各種研究方法之間也并無不可逾越的鴻溝，比如，對數(shù)學建模教學策略的實踐研究經(jīng)過學理分析就可以轉化為理論研究，再經(jīng)過實驗、調(diào)查等方法的驗證就可以轉化為實證研究．此外，研究方法沒有優(yōu)劣之分，只有適切與否．比如，學生數(shù)學建模素養(yǎng)的評價需要注重表現(xiàn)性與生成性，基于知識學習的“知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新”3種形態(tài)[38]，在“期望課程—實施課程—獲得課程”這一環(huán)環(huán)相扣的鏈環(huán)中展開．

（3）嘗試從社會文化視角探究數(shù)學建模教學的社會性．

從研究視角來看，中國中學數(shù)學建模研究的視角較為狹隘，主要表現(xiàn)為：局限于從教學論視角探究數(shù)學建模的教學和學生數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)問題；從課程論視角分析數(shù)學建模素養(yǎng)在課程標準和教科書中的體現(xiàn)，以及從認識論視角探討教師或學生對數(shù)學建模知識與數(shù)學建模課程與教學知識的認識相對較少．未來中國中學數(shù)學建模研究在視角上可以嘗試從跨學科視角，如社會文化視角研究數(shù)學建模教學的社會屬性及學生數(shù)學建模素養(yǎng)的表現(xiàn)與發(fā)展問題．

數(shù)學教育作為一個跨學科領域，理應以跨學科視角進行研究，例如，從社會文化視角研究數(shù)學建模教學的社會性．社會性是教學的根本屬性[39]，數(shù)學建模教學是一種浸染在社會情境中的集體性活動，數(shù)學模型的建構也是在社會活動中完成的．過去一味強調(diào)數(shù)學模型的構造或許是數(shù)學建模教學難以深化的重要原因，相較于數(shù)學模型的構造來說，數(shù)學建模最為關鍵的環(huán)節(jié)是將真實問題轉化為數(shù)學問題．從教學的社會性來看，詮釋學生數(shù)學建模的過程化表現(xiàn)是未來數(shù)學建模教學研究的應然方向．從社會文化視角分析數(shù)學建模教學中，學生理解情境、提出假設、識別變量、建立模型、論證方案等環(huán)節(jié)的表現(xiàn)與問題，探討數(shù)學建模中學生話語互動呈現(xiàn)的特征，以及這些特征是如何促進學生完成數(shù)學建模任務的．同時，課程是教學社會性的內(nèi)隱表達，課程與教學的社會互動關系決定著教師對課程的解讀和學生對課程的理解．例如，數(shù)學教科書中呈現(xiàn)的真實性問題，需要經(jīng)過教師和學生的改造或意義添加后，才可以轉化成數(shù)學建模問題，這就需要從社會文化視角探討教師和學生使用教科書的過程，教師對課程內(nèi)容的選擇與加工為學生提供了很好的數(shù)學建模學習機會．

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Progress, Topics and Enlightenments of Mathematical Modeling Research in Chinese Middle Schools

WANG Fei-fei, ZHANG Wei-zhong

(College of Teacher Education, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China)

In recent years, mathematical modeling has become one of the hot topics in the study of mathematics education in China. Mathematical modeling research in Chinese middle schools has roughly gone through three stages: slow start, rapid development, and deepening stability. Much progress has been made in the connotation and value of mathematical modeling, the teaching of mathematical modeling, the evaluation and cultivation of students' mathematical modeling literacy, and the influencing factors of the development of students' mathematical modeling literacy. In the future, the research on mathematical modeling in Chinese middle schools should maintain a balanced situation in terms of content. It is necessary to pay attention not only to the research on the ontology of mathematical modeling, but also to the research on the development of people’s mathematical modeling literacy; in terms of methods, it is necessary to overcome the tendency of experience and pay more and more attention to the integration of theoretical research, practical research into the empirical research of mathematical modeling. The research of mathematical modeling needs to break through the narrow limitation in perspective, and researchers should try to explore the social problems of mathematical modeling teaching from the perspective of social culture.

mathematical modeling; progress; topics; enlightenments

2021–10–22

全國教育科學“十三五”規(guī)劃教育部重點課題——指向深度理解的問題鏈教學研究（DHA200318）

汪飛飛（1992—），男，安徽合肥人，博士生，主要從事數(shù)學課程與教學論研究．

G421

A

1004–9894（2022）02–0063–06

汪飛飛，張維忠．中國中學數(shù)學建模研究的歷程與論題及其啟示[J]．數(shù)學教育學報，2022，31（2）：63-68．

[責任編校：陳漢君、張楠]