恒定法向剛度邊界條件下巖石節(jié)理剪脹特性數(shù)值模擬

吳家紅，劉 杰，宋彥彬

( 1. 紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院，浙江 紹興 312000；2. 浙江省巖石力學(xué)與地質(zhì)災(zāi)害重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 紹興 312000；3. 浙江省山體地質(zhì)災(zāi)害防治協(xié)同創(chuàng)新中心，浙江 紹興 312000 )

深部地下工程巖體中通常包含大量的節(jié)理面，節(jié)理在強(qiáng)度上較弱，在應(yīng)力作用下，巖體會沿著節(jié)理面錯動而發(fā)生剪脹行為，因此研究巖石節(jié)理剪脹特性對準(zhǔn)確評估巖體穩(wěn)定性具有重要的工程和實(shí)踐意義[1]。在深部地下工程中，巖石節(jié)理剪切破壞受圍巖的約束，其法向應(yīng)力隨著剪脹位移的增大而增大，而法向應(yīng)力的增大又約束節(jié)理剪脹的發(fā)展，因此恒定法向荷載( Constant Normal Load，CNL )邊界條件不再適用，應(yīng)采用恒定法向剛度( Constant Normal Stiffness，CNS )邊界條件[2-3]。

針對CNL邊界條件下的粗糙節(jié)理剪脹特性，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究工作，如周輝[4]等研究了CNL邊界條件下不同起伏高度的大理石規(guī)則齒形節(jié)理的剪脹效應(yīng)，提出了評價(jià)剪脹效應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式；金磊磊[5]等通過對上下盤相同抗壓強(qiáng)度和上下盤不同抗壓強(qiáng)度的人工節(jié)理試樣在CNL邊界條件下的剪切試驗(yàn)，分析了法向應(yīng)力、三維形貌特征及節(jié)理強(qiáng)度比對軟-硬節(jié)理的抗剪強(qiáng)度和剪脹角的影響；BARTON N[6]通過峰值剪切位移處的剪脹角建立了Barton剪脹模型；趙延林[7]等利用UDEC軟件建立了隨機(jī)形貌巖石節(jié)理剪切模型，通過對剪脹數(shù)值曲線的分析，提出了同時考慮粗糙度和法向應(yīng)力的非線性剪脹本構(gòu)模型；肖維民[8]等開展了不同法向應(yīng)力下充填節(jié)理的直剪試驗(yàn)，建立了薄層充填巖石節(jié)理峰值剪脹角隨充填度呈指數(shù)變化的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式。對于CNS邊界條件，GU X F[9]等發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)面磨損與結(jié)構(gòu)面粗糙度和法向邊界條件有關(guān)；崔國建[2]等開展了CNL和CNS邊界條件下的剪切試驗(yàn)，分析了邊界條件和粗糙度對結(jié)構(gòu)面峰值剪脹位移的影響；韓觀勝[10]開展了不同法向剛度下的剪切試驗(yàn)，研究了法向剛度對節(jié)理剪脹位移的影響，研究發(fā)現(xiàn)法向剛度越大，其剪脹位移越??；尹乾[1]等研究了CNS邊界條件下初始法向應(yīng)力和粗糙度系數(shù)對巖石節(jié)理剪脹位移的影響，研究表明剪脹位移隨著粗糙度的增大而增大，隨著初始法向應(yīng)力的增大而減小。上述研究主要以室內(nèi)試驗(yàn)為主，表明CNS邊界條件下，巖石節(jié)理剪脹位移具有強(qiáng)烈的非線性特征。在數(shù)值模擬方面，SHRIVASTAVA A K[11]等利用UDEC軟件開展了CNL和CNS邊界條件下的剪切試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果非常吻合；WANG X[12]等通過PFC軟件研究了加載方向及法向應(yīng)力對完整及節(jié)理煤巖剪切各向異性和剪脹變形的影響；PACKULAK T[13]利用UDEC軟件研究了CNL及CNS邊界條件下剪脹對巖石節(jié)理屈服后剪切特性的影響。上述的數(shù)值模擬手段主要采用離散元數(shù)值模擬方法，為筆者順利開展CNS邊界條件下巖石節(jié)理剪脹特性數(shù)值模擬提供了重要參考。

迄今為止，關(guān)于巖石節(jié)理CNS邊界條件下剪脹特性的研究成果較少，且對剪脹本構(gòu)模型的研究鮮有報(bào)道。此外，數(shù)值模擬可考慮室內(nèi)試驗(yàn)無法考慮的因素，在時間、費(fèi)用、復(fù)雜程度和重復(fù)度上具有顯著優(yōu)勢[7]。為此，本文利用UDEC軟件，開展CNS邊界條件下隨機(jī)形貌巖石節(jié)理剪脹效應(yīng)的數(shù)值模擬研究，旨在建立適用于CNS邊界條件下的巖石節(jié)理非線性剪脹本構(gòu)模型。

1 隨機(jī)形貌巖石節(jié)理剖面構(gòu)建

采用Hurst指數(shù)獨(dú)立分割法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)形貌巖石節(jié)理模擬，具體實(shí)現(xiàn)過程[14]為

( 1 ) 設(shè)初始剖面為一直線；

( 2 ) 用一隨機(jī)點(diǎn)P分割該直線；

( 3 ) 在點(diǎn)P兩側(cè)，用0.5 mm等分距等分直線；

( 4 ) 在Y方向上，分割點(diǎn)兩側(cè)各等分點(diǎn)相對于前一等分點(diǎn)的偏移為P(x)，則

式中，M為振幅相關(guān)系數(shù)；B為正態(tài)分布隨機(jī)變量，其均值為0，方差為1；x為等分點(diǎn)至P點(diǎn)的距離；H為Hurst指數(shù)。

采用表1中的節(jié)理剖面參數(shù)，利用MATLAB語言編寫計(jì)算程序構(gòu)建5種不同粗糙度的節(jié)理剖面( 圖1 )，粗糙度系數(shù)JRC根據(jù)TSE R[15]等提出的JRC與均方根的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算。

表1 隨機(jī)形貌巖石節(jié)理剖面參數(shù)Table 1 Rock joints profile parameters with random morphology

圖1 不同JRC節(jié)理剖面Fig. 1 Joints profiles with different JRCs

2 隨機(jī)形貌巖石節(jié)理剪脹特性的數(shù)值試驗(yàn)

2.1 數(shù)值模型

為研究CNS邊界條件下粗糙巖石節(jié)理的剪脹特性，建立如圖2所示的CNS邊界條件下巖石粗糙節(jié)理剪切計(jì)算模型，模型由彈簧塊、上部巖塊和下部巖塊組成，節(jié)理選用圖1中的5種不同粗糙度節(jié)理，采用UDEC自帶的fish語言將粗糙節(jié)理導(dǎo)入數(shù)值模型中。節(jié)理本構(gòu)模型選用連續(xù)屈服( Continuously-Yielding，CY )微段節(jié)理模型[16]，該模型與庫侖摩擦線性模型和Barton-Bandis模型相比更為真實(shí)，考慮了在物理試驗(yàn)中觀察到的非線性行為、剪切過程中節(jié)理的損傷、剪脹角隨塑性剪切位移的增加而減小等情況。巖石材料參數(shù)和CY微段節(jié)理模型的細(xì)觀參數(shù)見表2( 計(jì)算參數(shù)參考MASIVARS D[17]的研究成果 )。為研究5種不同的法向剛度對巖石節(jié)理剪脹的影響，彈簧塊所對應(yīng)的法向剛度nk取值分別為2，4，6，8，10 GPa/m，其剛度大小主要由彈簧塊的體積模量和剪切模量決定，具體參數(shù)見表3。為研究5種初始法向應(yīng)力對巖石節(jié)理剪脹的影響，模型垂直方向施加初始內(nèi)應(yīng)力分別為2，4，6，8，10 MPa。彈簧塊左右邊界水平位移固定，上部邊界垂直位移固定，上部巖塊左右邊界水平位移固定，下部巖塊下邊界垂直位移固定，左邊界水平方向施加0.001 m/s的剪切速率。

圖2 CNS邊界條件下巖石粗糙節(jié)理剪切計(jì)算模型Fig. 2 Shear calculation model of rock rough joint under CNS boundary condition

表2 巖石及CY 微段節(jié)理模型計(jì)算參數(shù)Table 2 Calculation parameters of rock and CY microsegment joints model

表3 彈簧塊材料參數(shù)Table 3 Material parameters of spring blocks

2.2 試驗(yàn)方案

為減少試驗(yàn)次數(shù)，采用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，試驗(yàn)選取JRC、初始法向應(yīng)力σn0、法向剛度nk共3種不同因素，記為影響因素i( 取值1～3 )，每個因素設(shè)立5個水平，設(shè)計(jì)得到3因素5水平正交試驗(yàn)方案，見表4。

表4 正交試驗(yàn)方案Table 4 Orthogonal test scheme

2.3 試驗(yàn)?zāi)芰︱?yàn)證

CNS邊界條件下，法向應(yīng)力增量與剪脹位移增量呈線性關(guān)系，其比值為法向剛度。為驗(yàn)證法向剛度在剪切過程中是否保持恒定，以初始法向應(yīng)力2 MPa的試樣為例，繪制了剪脹位移與法向應(yīng)力的關(guān)系曲線，如圖3所示。由圖3可知，法向應(yīng)力隨剪脹位移變化，兩者通過線性函數(shù)較好地?cái)M合，其斜率與截距分別近似等于設(shè)定的法向剛度與初始法向應(yīng)力，決定系數(shù)R2=0.999 5～0.999 7。以上結(jié)果表明，該模型能較好地實(shí)現(xiàn)研究所需的CNS邊界條件。

圖3 CNS邊界條件下法向應(yīng)力與剪脹位移關(guān)系曲線Fig. 3 Relation curves between normal stress and dilation displacement under CNS boundary conditions

2.4 試驗(yàn)結(jié)果

圖4為CNS邊界條件下巖石節(jié)理剪切位移與剪脹位移關(guān)系曲線。由圖4可知，巖石節(jié)理剪切初始階段，節(jié)理在法向應(yīng)力作用下閉合壓密及節(jié)理面兩側(cè)試樣的彈性壓縮變形而經(jīng)歷了剪縮階段；隨后，由于各微段節(jié)理的爬坡效應(yīng)，剪脹位移迅速增加；隨著剪切的發(fā)展，由于初始應(yīng)力和法向剛度的抑制作用，節(jié)理面的凸起體發(fā)生剪切破壞，部分節(jié)理剪脹位移增長速率逐漸減小，剪脹位移開始趨于平緩；另有部分節(jié)理的剪脹位移緩慢下降而呈現(xiàn)軟化特征，這是由于該部分節(jié)理承受的法向應(yīng)力更大，凸起體剪切破壞更加嚴(yán)重。

圖4 不同粗糙度節(jié)理剪切位移與剪脹位移關(guān)系曲線Fig. 4 Relation curves between shear displacement and shear dilation displacement of different roughness joints

3 巖石節(jié)理剪脹本構(gòu)模型

3.1 剪脹的數(shù)學(xué)表達(dá)

圖4中節(jié)理剪脹位移增長階段的變化趨勢符合自然負(fù)指數(shù)增長方程：

式中，ξ為剪脹位移；ξult為最大剪脹位移；cR為剪脹收斂速率；sδ為剪切位移；＊sδ為剪脹位移為0時的剪切位移。

該方程只考慮了剪脹位移從0到最大值的剪脹階段，而未考慮巖石節(jié)理的初始剪縮階段。當(dāng)δs趨于時，ξ趨于0；當(dāng)δs趨于無窮大時，ξ趨于ξult。由于該方程僅描述剪脹響應(yīng)的快速啟動階段、平穩(wěn)階 段 和 收 斂 階 段，其 有 效 階 段 是 從δs=δs＊到δs=δs1(δs1為在ξ= 0.95ξult時的取值 )。參數(shù)ξult和Rc取值與邊界條件和節(jié)理幾何形貌有關(guān)，而位移參數(shù)δs＊取值取決于巖石節(jié)理初始剪縮階段的終止。為便于分析，對初始法向應(yīng)力σn0和法向剛度kn進(jìn)行量綱歸一化處理的公式為式( 3 )和( 4 )，最終擬合結(jié)果見表5。

表5 方程擬合參數(shù)及決定系數(shù)Table 5 Equation fitting parameters and determination coefficient

3.2 極差分析

將表5中的最大剪脹位移ξult和剪脹收斂速率cR作為試驗(yàn)指標(biāo)，按照每列在同一水平下求和并計(jì)算其平均值，分別記為AIi和BIi，其中A代表最大剪脹位移，B代表剪脹收斂速率，I( 取值1～5 )表示影響因素i的5種不同水平。計(jì)算出各影響因素的平均值極差，得到最大剪脹位移和剪脹收斂速率影響因素的極差分析結(jié)果，見表6。

表6 試驗(yàn)結(jié)果的極差分析Table 6 Range analysis of test results

由表6可知，在CNS邊界條件下，各因素對最大剪脹位移ξult影響程度從大到小依次為節(jié)理的粗糙度系數(shù)、初始法向應(yīng)力、法向剛度；各因素對剪脹收斂速率 cR影響程度從大到小依次為法向剛度、初始法向應(yīng)力、粗糙度系數(shù)。

為便于研究各因素對最大剪脹位移和剪脹收斂速率的影響，以各因素為水平坐標(biāo)，巖石節(jié)理最大剪脹位移ξult和剪脹收斂速率 cR為縱坐標(biāo)，繪制圖5和6。

圖5 最大剪脹位移變化趨勢Fig. 5 Variation trend of maximum dilation displacement

由圖5可知，隨著JRC的增大，由于巖石節(jié)理最大起伏度不斷增大導(dǎo)致節(jié)理最大剪脹位移不斷增加；隨著初始法向應(yīng)力的增大，巖石節(jié)理表面剪切損傷增加導(dǎo)致節(jié)理最大剪脹位移不斷減?。挥捎诜ㄏ騽偠鹊脑龃?，剪切過程中法向應(yīng)力增大，節(jié)理表面損傷變大，最大剪脹位移整體呈逐漸減小的趨勢。由圖6可知，JRC=8.914時，巖石節(jié)理剪脹收斂速率最大；隨著初始法向應(yīng)力和法向剛度的增大，巖石節(jié)理剪脹收斂速率不斷增大。

圖6 剪脹收斂速率變化趨勢Fig. 6 Variation trend of dilation convergence rate

3.3 最大剪脹位移量化分析

最大剪脹位移的存在是由于巖石節(jié)理表面凸起體尺寸有限，應(yīng)力作用下產(chǎn)生不同程度的剪切磨蝕，從而削弱了巖石節(jié)理的剪脹效應(yīng)。理想狀態(tài)下，對于重復(fù)規(guī)則鋸齒節(jié)理，在法向應(yīng)力為0的條件下，預(yù)期剪脹位移從0增至2倍的鋸齒高度，并按照鋸齒的形狀周期振蕩，這是由于重復(fù)鋸齒上下表面在不同的剪切位置能完美匹配。在法向應(yīng)力為非0作用下，鋸齒尖端會受到損傷，損傷大小取決于材料強(qiáng)度和法向應(yīng)力大小，從而削弱巖石節(jié)理剪脹。由上述分析可假設(shè)最大剪脹位移取決于最大起伏高度ah( 節(jié)理剖面線長度范圍內(nèi)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的垂直距離 )和應(yīng)力條件( 由法向剛度和初始法向應(yīng)力決定 )。理論上，在法向應(yīng)力為0時，最大剪脹位移ξult等于最大起伏高度ah，當(dāng)法向應(yīng)力增加到某一程度時，粗糙節(jié)理面被完全破壞，最大剪脹位移接近于0，剪脹效應(yīng)消失。

以ξultah為應(yīng)變量，初始法向應(yīng)力和法向剛度為自變量，整理計(jì)算表5中的數(shù)據(jù)得到表7。

表7 kN ， Nσ ，ah 與ξult ah參數(shù)匯總Table 7 Parameter summary of kN ， Nσ ，ah andξult ah

續(xù) 表

由表7可知，當(dāng)法向剛度相同時，隨著初始法向應(yīng)力的增加，巖石節(jié)理的最大剪脹位移與最大起伏高度比值ξultah逐漸減小，且ξultah與Nσ間的關(guān)系滿足式( 5 )。將表7中的數(shù)據(jù)按照式( 5 )進(jìn)行曲線擬合，擬合結(jié)果如圖7所示，擬合所得參數(shù)見表8。

表8 不同法向剛度下最大剪脹位移擬合參數(shù)Table 8 Fitting parameters of maximum dilation displacement under different normal stiffness

式中，A，B為擬合參數(shù)。

分析表7中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)初始法向應(yīng)力相同時，隨著法向剛度的增大，巖石節(jié)理最大剪脹位移與最大起伏高度比值ξultha逐漸減小。將表7中的數(shù)據(jù)按照式( 6 )進(jìn)行曲線擬合，擬合結(jié)果如圖8所示，擬合所得參數(shù)見表9。

表9 不同初始法向應(yīng)力下最大剪脹位移擬合參數(shù)Table 9 Fitting parameters of maximum dilation displacement under different initial normal stresses

圖8 不同初始法向應(yīng)力 kN -ξult ha 散點(diǎn)圖及其擬合曲線Fig. 8 kN -ξult ha scatter plots and their fitting curves under different initial normal stresses

式中，C，D為擬合參數(shù)。

結(jié)合式( 5 )和( 6 )，同時考慮初始法向應(yīng)力和法向剛度對巖石節(jié)理剪脹的影響，ξultah可表示為

式中，a，b，c為最大剪脹位移擬合參數(shù)。

采用式( 7 )對表7中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合所得參數(shù)見表10，圖9為擬合得到的最大剪脹位移曲面。

表10 最大剪脹位移擬合參數(shù)Table 10 Fitting parameters of maximum dilation displacement

圖9 最大剪脹位移擬合曲面Fig. 9 Fitting surface of maximum dilation displacement

3.4 剪脹收斂速率量化分析

剪脹位移增長速率與凸起體傾角有關(guān)，傾角越大，增長速率越快。而剪脹收斂速率反映了剪脹位移趨于最大值的快慢程度。圖10為剪脹收斂速率大小相同但剪脹位移增長速率不同的2條剪脹曲線，剪脹位移越大的曲線，其剪脹位移增長速率越大；但在相同的剪切位移條件下，所對應(yīng)的剪脹位移與各自最大剪脹位移的百分比相同。因此，只采用凸起體傾角描述 cR欠妥，cR的大小不僅與凸起體傾角有關(guān)，還與最大剪脹位移有關(guān)。圖11為一個理想的規(guī)則鋸齒節(jié)理，將式( 2 )兩邊進(jìn)行求導(dǎo)得到

圖10 cR 的含義Fig. 10 Meaning ofcR

圖11 規(guī)則鋸齒節(jié)理Fig. 11 Regular sawtooth joint

當(dāng)該鋸齒在零法向應(yīng)力下，剛發(fā)生剪脹時，則

結(jié)合式( 8 )與( 9 )，可以得到

為了討論凸起體傾角與最大剪脹位移對收斂速率Rc的影響，結(jié)合式( 10 )提出一個新變量taniave表征Rc，其中iave為凸起體平均傾角，計(jì)算公式為

式中，N為節(jié)理離散點(diǎn)數(shù)目；Δx為采樣間距；iy為第i個點(diǎn)的高度坐標(biāo)。

當(dāng)ξult增加時，Rc逐漸減小；當(dāng)ξult趨于0時，相當(dāng)于剪脹位移從0到0，Rc趨于無窮大，意味著未發(fā)生剪脹或剪脹位移瞬間達(dá)到最大。當(dāng)iave增加時，巖石節(jié)理越粗糙，Rc也隨之增加，剪脹速率越大，達(dá)到最大剪脹位移所需的剪切位移減??；當(dāng)iave趨于0時，ξult也趨于0，iave表征的Rc無意義。表11為不同法向剛度條件下Rc與iave的參數(shù)匯總，將表中的taniave和Rc進(jìn)行曲線擬合，如圖12所示。

表11 不同法向剛度下 Rc 與 iave參數(shù)匯總Table 11 Parameters summary of Rc andtan iave under different normal stiffness

表11 不同法向剛度下 Rc 與 iave參數(shù)匯總Table 11 Parameters summary of Rc andtan iave under different normal stiffness

k iave /( ° ) 1 N ξ - i cR /mm-1 tan ult ave 0.25 5.671 0.249 0.374 0.25 8.379 0.562 0.536 0.25 10.973 0.511 0.529 0.25 13.665 0.334 0.397 0.25 16.851 0.286 0.385 0.50 5.671 0.366 0.473 0.50 8.379 0.367 0.469 0.50 10.973 0.327 0.419 0.50 13.665 0.473 0.519 0.50 16.851 0.440 0.487 0.75 5.671 0.487 0.527 0.75 8.379 0.592 0.573 0.75 10.973 0.493 0.532 0.75 13.665 0.330 0.471 0.75 16.851 0.273 0.417 1.00 5.671 0.347 0.508 1.00 8.379 0.352 0.524 1.00 10.973 0.634 0.628 1.00 13.665 0.487 0.569 1.00 16.851 0.448 0.543 1.25 5.671 0.499 0.574 1.25 8.379 0.582 0.623 1.25 10.973 0.476 0.561 1.25 13.665 0.320 0.485 1.25 16.851 0.526 0.605

圖12 ia v e - Rc 散點(diǎn)圖及擬合曲線Fig. 12 ia v e- Rc scatter plot and its fitting curve

式中，k，d，e，f為巖石節(jié)理剪脹收斂速率擬合參數(shù)。

用式( 13 )對表11中的數(shù)據(jù)進(jìn)行曲面擬合，擬合參數(shù)見表12，圖13為擬合得到的巖石節(jié)理剪脹收斂速率曲面。

表12 巖石節(jié)理剪脹收斂速率擬合參數(shù)Table 12 Fitting parameters of convergence rate of shear dilatancy of rock joints

圖13 巖石節(jié)理剪脹收斂速率擬合曲面Fig. 13 Fitting surface of dilation convergence rate of rock joints

3.5 巖石節(jié)理剪脹模型

綜上可知，CNS條件下巖石節(jié)理剪脹的本構(gòu)模型可表示為

其中，

該剪脹模型的量綱是一致的。圖14為采用式( 14 )得到的理論曲線與數(shù)值試驗(yàn)曲線的對比，可以看出剪脹理論曲線與數(shù)值曲線能較好地吻合。

圖14 剪脹理論曲線與數(shù)值試驗(yàn)曲線對比Fig. 14 Comparison between theoretical dilation curves and numerical test curves

此外，剪脹角可以表示為

4 結(jié) 論

( 1 ) CNS邊界條件下巖石節(jié)理剪脹段的剪脹位移呈負(fù)指數(shù)增長，提出了包含最大剪脹位移、剪脹收斂速度和發(fā)生剪脹位移為0時的剪切位移的負(fù)指數(shù)增長剪脹模型。

( 2 ) CNS邊界條件下巖石節(jié)理的最大剪脹位移隨著巖石節(jié)理最大起伏高度的增大而增大；隨著初始法向應(yīng)力和法向剛度的增大而減?。粠r石節(jié)理剪脹收斂速率隨著初始法向應(yīng)力和法向剛度的增大而增大。

( 3 ) 提出的CNS邊界條件下巖石節(jié)理的剪脹模型同時考慮了節(jié)理的最大起伏高度、凸起體傾角、法向剛度和初始法向應(yīng)力的影響。通過剪脹理論曲線和數(shù)值試驗(yàn)曲線的對比，表明該模型具有較好的普適性。

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根據(jù)大壩壩坡穩(wěn)定分析計(jì)算結(jié)果表6，死水位及正常水位穩(wěn)定滲流工況上下游坡抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)均大于1，說明壩坡尚未失穩(wěn)，與工程運(yùn)行實(shí)際相符；正常水位降落工況上游坡抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)小于1，說明該工況壩坡失穩(wěn)，同時滑弧位置與工程實(shí)際病害相符。

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