無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)受沖切承載力計(jì)算

夏成亮，史慶軒，王 震

(1.結(jié)構(gòu)工程與抗震教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(西安建筑科技大學(xué))，西安 710055；2.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055)

板柱結(jié)構(gòu)是一種以板和柱作為主要承重構(gòu)件的結(jié)構(gòu)體系，又稱(chēng)為無(wú)梁樓蓋結(jié)構(gòu)體系。該結(jié)構(gòu)具有空間布置靈活，傳力路徑明確，結(jié)構(gòu)層高較低，施工速度快等特點(diǎn)。以往的研究表明，板柱結(jié)構(gòu)具有相對(duì)較低的抗彎剛度，在節(jié)點(diǎn)區(qū)域容易發(fā)生沖切破壞。由于在沖切破壞前板柱節(jié)點(diǎn)處于復(fù)雜的三維受力狀態(tài)，剪力傳遞機(jī)制不明確，國(guó)內(nèi)外對(duì)板柱節(jié)點(diǎn)沖切破壞的機(jī)理一直沒(méi)有得出統(tǒng)一的結(jié)論，板柱節(jié)點(diǎn)的受沖切承載力計(jì)算方法大多都是基于簡(jiǎn)支板沖切試驗(yàn)提出的經(jīng)驗(yàn)公式。

為完善無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)的受沖切承載力計(jì)算方法，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量試驗(yàn)研究及理論分析。文獻(xiàn)[1]對(duì)高強(qiáng)混凝土板柱節(jié)點(diǎn)的試驗(yàn)研究表明混凝土強(qiáng)度與節(jié)點(diǎn)受沖切承載力存在非線性關(guān)系。文獻(xiàn)[2]考慮混凝土強(qiáng)度、鋼筋的銷(xiāo)栓作用影響對(duì)錐殼模型進(jìn)行修正，通過(guò)對(duì)節(jié)點(diǎn)脫離扇形體建立平衡條件，推導(dǎo)了無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)受沖切承載力計(jì)算式。文獻(xiàn)[3]通過(guò)試驗(yàn)證明沖切破壞是節(jié)點(diǎn)區(qū)塑性轉(zhuǎn)動(dòng)使臨界裂縫寬度增加導(dǎo)致，考慮截面高度，縱筋配筋率，骨料粒徑、沖跨比等影響因素，推導(dǎo)出基于臨界斜裂縫理論的無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)受沖切承載力計(jì)算式。

本文認(rèn)為板柱節(jié)點(diǎn)沖切破壞是由于板上部剪壓區(qū)混凝土受壓破壞和臨界斜裂縫區(qū)域鋼筋混凝土剪切失效共同導(dǎo)致。剪壓區(qū)是臨界斜裂縫未穿過(guò)的區(qū)域，其抗剪承載力由混凝土的抗壓強(qiáng)度提供。臨界斜裂縫區(qū)域的抗剪貢獻(xiàn)則由混凝土間的骨料咬合力以及鋼筋的銷(xiāo)栓作用提供。本文使用修正壓力場(chǎng)理論(MCFT)[4]計(jì)算無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)臨界斜裂縫區(qū)域的抗剪承載力，剪壓區(qū)混凝土的抗剪承載力則在確定的剪壓區(qū)范圍內(nèi)建立其計(jì)算表達(dá)式。通過(guò)對(duì)板柱節(jié)點(diǎn)沖切試驗(yàn)結(jié)果的驗(yàn)算,驗(yàn)證了本計(jì)算方法的正確性，為板柱節(jié)點(diǎn)受沖切承載力的計(jì)算提供理論依據(jù)。

1 沖切破壞機(jī)理及破壞模型

對(duì)以往無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)沖切試驗(yàn)的破壞面觀察發(fā)現(xiàn)，在板和柱相交的位置存在混凝土局部壓碎的情況。因此本文認(rèn)為無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)沖切破壞類(lèi)似于梁剪壓破壞，臨界斜裂縫發(fā)展到一定程度后，將被剪壓區(qū)混凝土阻斷，存在明顯的受壓區(qū)與受拉區(qū)。由于板柱節(jié)點(diǎn)沖切破壞屬于三維剪切破壞，假定沖切荷載由剪壓區(qū)未開(kāi)裂混凝土和臨界斜裂縫區(qū)域(包括斜拉區(qū)和受拉區(qū))的骨料咬合力及銷(xiāo)栓作用共同承擔(dān)。

圖1 沖切破壞模型

無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)的極限沖切承載力由受壓區(qū)的承載力垂直分量和臨界斜裂縫區(qū)域骨料咬合力組成：

Vu=Vc+Vcs

(1)

本文中剪壓區(qū)混凝土提供的抗剪承載力Vc由文獻(xiàn)[5]提出的分析方法建立計(jì)算表達(dá)式。臨界斜裂縫區(qū)域混凝土提供的抗剪承載力Vcs基于修正壓力場(chǎng)理論(MCFT)，不考慮抗彎鋼筋的銷(xiāo)栓力，通過(guò)迭代計(jì)算得到。

2 剪壓區(qū)混凝土受沖切承載力計(jì)算

參考文獻(xiàn)[5]研究梁剪切失效的方法，本文將節(jié)點(diǎn)區(qū)分割成臨界斜裂縫隔離體I和與柱面接觸的棱柱體II，不考慮柱面對(duì)直接接觸的棱柱體II的影響，分別建立隔離體平衡條件，如圖2所示，得到剪壓區(qū)高度表達(dá)式：

圖2 作用在節(jié)點(diǎn)單元上的力

(2)

式中：hs為剪壓區(qū)高度，hc為受壓區(qū)高度，h0為板有效高度，θ為臨界斜裂縫傾角。

受壓區(qū)高度由下式確定，取正根[5]：

(3)

式中：f′c為混凝土圓柱體抗壓強(qiáng)度，ρ為板受彎鋼筋配筋率。

在極限狀態(tài)下，假定受壓區(qū)混凝土壓應(yīng)力σz符合拋物線分布規(guī)律且應(yīng)變分布為倒三角形，并且壓應(yīng)力σz在混凝土受壓區(qū)最外邊緣處達(dá)到混凝土抗壓強(qiáng)度f(wàn)′c，則從受拉鋼筋中心至中性軸z處的混凝土縱向正應(yīng)力σz可按式(4)計(jì)算[6]：

(4)

在剪壓區(qū)高度hs范圍內(nèi)對(duì)混凝土壓應(yīng)力σz積分，得到剪壓區(qū)混凝土的受剪承載力Vc貢獻(xiàn)表達(dá)式：

(5)

式中c為柱截面尺寸。

3 修正壓力場(chǎng)理論(MCFT)

修正壓力場(chǎng)理論(MCFT)[4]是由加拿大學(xué)者Vecchio和Collins采用非線性混凝土本構(gòu)，通過(guò)對(duì)開(kāi)裂混凝土單元建立平衡方程和相容方程，提出的一種計(jì)算正交雙向承受薄膜應(yīng)力的鋼筋混凝土平面單元受剪承載力的方法。隨著荷載持續(xù)增大，節(jié)點(diǎn)區(qū)形成臨界斜裂縫并發(fā)展到受壓區(qū)，在裂縫處正應(yīng)力與剪應(yīng)力的共同作用下節(jié)點(diǎn)發(fā)生沖切破壞。本文在修正壓力場(chǎng)理論的基礎(chǔ)上推導(dǎo)無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)臨界斜裂縫區(qū)域的受沖切承載力。

3.1 MCFT應(yīng)變協(xié)調(diào)條件

根據(jù)修正壓力場(chǎng)理論(MCFT)[4]中鋼筋與混凝土完全黏結(jié)的假定及應(yīng)變莫爾圓理論，可得到開(kāi)裂混凝土單元的應(yīng)變協(xié)調(diào)條件：

εx=εcx=εsx

(6)

εy=εcy=εsy

(7)

εx+εy=ε1+ε2

(8)

(9)

式中：ε1、ε2分別為垂直于裂縫的平均主拉應(yīng)變和平均主壓應(yīng)變，εx、εy分別為平均橫向應(yīng)變和平均縱向應(yīng)變，εcx、εcy分別為混凝土橫向應(yīng)變和縱向應(yīng)變，εsx、εsy為分別為橫向鋼筋應(yīng)變和縱向鋼筋應(yīng)變。

3.2 MCFT平衡條件

將修正壓力場(chǎng)理論(MCFT)[4]中的鋼筋單元和開(kāi)裂混凝土單元疊加得到圖3(a)所示的開(kāi)裂鋼筋混凝土單元的應(yīng)力狀態(tài)。根據(jù)圖3(a)所示的開(kāi)裂鋼筋混凝土單元的應(yīng)力狀態(tài)和圖3(b)所示的混凝土平均應(yīng)力莫爾圓，可得到平衡條件：

圖3 開(kāi)裂鋼筋混凝土應(yīng)力狀態(tài)與混凝土平均應(yīng)力莫爾圓

τ=τcxy

(10)

σcx=σc1-τcxy/tanθ

(11)

σcy=σc1-τcxytanθ

(12)

σc2=σc1-τcxy(tanθ+cotθ)

(13)

式中：σc1、σc2分別為開(kāi)裂混凝土的主拉應(yīng)力和主壓應(yīng)力，σcx、σcy分別為混凝土在x和y方向上的平均應(yīng)力，τ為開(kāi)裂鋼筋混凝土單元的剪應(yīng)力，τcxy為開(kāi)裂混凝土單元的平均剪應(yīng)力。

修正壓力場(chǎng)理論(MCFT)[4]認(rèn)為裂縫引起的局部應(yīng)力對(duì)開(kāi)裂混凝土單元的極限承載力有重要影響。考慮裂縫之間的局部應(yīng)力可得到混凝土單元在裂縫處及裂縫間的平衡方程：

σsxcr=(σc1+τcicotθ+σsx)ρsx

(14)

σsycr=(σc1-τcitanθ+σsy)ρsy

(15)

式中：τci為裂縫表面的剪應(yīng)力，σsxcr、σsycr分別為裂縫處的橫向鋼筋和縱向鋼筋的應(yīng)力，σsx、σsy分別為裂縫間橫向鋼筋和縱向鋼筋的平均拉應(yīng)力，ρsx、ρsy分別為橫向鋼筋和縱向鋼筋的配筋率。

3.3 開(kāi)裂混凝土本構(gòu)關(guān)系

3.3.1 混凝土本構(gòu)

由于在拉-壓雙軸應(yīng)力狀態(tài)下的混凝土比標(biāo)準(zhǔn)圓柱體混凝土強(qiáng)度更低、更脆，因此修正壓力場(chǎng)理論(MCFT)[4]采用考慮混凝土軟化現(xiàn)象的混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：

(16)

(17)

受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

當(dāng)ε1≤εcr時(shí)：

σc1=Ecε1

(18)

當(dāng)ε1>εcr時(shí)：

(19)

式中：Ec為混凝土彈性模量，ε′c為混凝土峰值壓應(yīng)變，εcr為混凝土開(kāi)裂應(yīng)變，fc2max為混凝土受壓方向上的極限壓應(yīng)力。

3.3.2 鋼筋本構(gòu)

修正壓力場(chǎng)理論(MCFT)[4]假定鋼筋軸向應(yīng)力僅取決于軸向應(yīng)變參數(shù)，并假定垂直于鋼筋截面的剪應(yīng)力為零，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用理想彈塑性模型：

σsx=Esεsx≤fsy

(20)

式中：Es為板內(nèi)縱筋彈性模量，εsx為鋼筋應(yīng)變，fsy為板內(nèi)縱筋屈服強(qiáng)度。

4 無(wú)抗沖切鋼筋RC板沖切承載力計(jì)算

4.1 計(jì)算方法與步驟

修正壓力場(chǎng)理論(MCFT)[4]假定混凝土開(kāi)裂后拉應(yīng)力仍參與抗剪，由圖4所示的無(wú)抗沖切鋼筋的RC板開(kāi)裂后的內(nèi)力平衡可知，在兩條裂縫間的混凝土拉應(yīng)力達(dá)到最大值。選取臨界斜裂縫與豎向平面截取的棱柱體作為分析對(duì)象，棱柱體應(yīng)力分布與開(kāi)裂RC板相同，通過(guò)對(duì)柱面與棱柱體相互接觸的平面上的應(yīng)力積分來(lái)計(jì)算板的極限承載力。假定柱面與棱柱體相互接觸的平面上的剪應(yīng)力均勻分布，則單塊棱柱體的沖切破壞截面的剪應(yīng)力τ為：

圖4 受剪混凝土的主應(yīng)力

(21)

式中：h為板厚，Vcs1為單塊棱柱體承受的剪力。

通過(guò)建立棱柱體在水平方向上的力的平衡條件可得:

εx=(σc2cos2θ-σc1sin2θ)/(ρsxEs)

(22)

根據(jù)修正壓力場(chǎng)理論，當(dāng)板未布置抗沖切鋼筋時(shí),裂縫處的平均應(yīng)力平衡關(guān)系見(jiàn)圖5(a)，臨界斜裂縫上存在鋼筋拉應(yīng)力σsx和混凝土主拉應(yīng)力σc1；兩條裂縫間的應(yīng)力平衡關(guān)系見(jiàn)圖5(b)，存在局部剪應(yīng)力τci和局部壓應(yīng)力σci，其中局部壓應(yīng)力σci很小，可以忽略不計(jì)。在給定外力作用下，這兩組應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)該是應(yīng)力等效的。因此可得到：

圖5 計(jì)算平均應(yīng)力與裂縫處的局部應(yīng)力

σc1sinθ+ρsxσsxsinθ=ρsxσsxcrsinθ-τcicosθ

(23)

σc1cosθ=τcisinθ

(24)

由式(23)可得，未配置抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)沖切破壞時(shí)的最大主拉應(yīng)力:

σc1max=τcitanθ

(25)

對(duì)于無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)，聯(lián)立式(10)、式(12)和式(25)可得:

τ=τci

(26)

基于文獻(xiàn)[4]對(duì)混凝土裂縫截面骨料咬合力的研究，當(dāng)局部壓應(yīng)力σci很小時(shí)，可得到局部剪應(yīng)力表達(dá)式:

(27)

式中：ag為混凝土材料的最大骨料粒徑，ag通常可取為20 mm，w為鋼筋混凝土開(kāi)裂單元的平均裂縫寬度，當(dāng)不配置抗沖切鋼筋時(shí)，可由下式計(jì)算:

(28)

式中：Smx為垂直于x方向的裂縫間距，當(dāng)鋼筋混凝土板在板頂、板底布置雙層鋼筋網(wǎng)時(shí)，Smx為抗彎鋼筋在垂直方向上的間距；根據(jù)文獻(xiàn)[7]的研究，Smx可近似取0.9h0。

臨界斜裂縫傾角θ是確定沖切錐幾何形狀和沖切承載力的重要參數(shù)，文獻(xiàn)[8]通過(guò)線性擬合得到了傾角θ與抗彎鋼筋配筋特征值ρsfy/fc的相關(guān)性表達(dá)式。本文通過(guò)對(duì)以往試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)傾角θ和柱截面周長(zhǎng)與板有效厚度之比Cc/h0及ρsfy/fc顯著相關(guān)。因此，本文認(rèn)為影響節(jié)點(diǎn)臨界斜裂縫傾角θ的因素主要為Cc/h0和ρsfy/fc，假定θ由以下方程式表達(dá)：

θ=a(Cc/h0)α(ρsfy/fc)β

(29)

為了確定待定系數(shù)α和β，采用文獻(xiàn)[9]中的分析方法，分別檢驗(yàn)單一變量對(duì)臨界斜裂縫傾角θ的影響，可以得到單一變量影響系數(shù)(α和β)變化過(guò)程中對(duì)臨界斜裂縫傾角平均偏差ē的變化規(guī)律，如圖6所示。由圖可知，α和β與臨界斜裂縫傾角平均偏差ē呈明顯非線性關(guān)系，存在某一極值點(diǎn)使ē達(dá)到最小值。由分析結(jié)果確定待定系數(shù)后，可得到傾角θ的最終表達(dá)式：

圖6 樣本平均偏差-影響因數(shù)曲線

θ=32(Cc/h0)-0.12(ρsfy/fc)-0.08

(30)

將上述公式計(jì)算的傾角與試驗(yàn)值對(duì)比，本文擬合公式均值為1.09，變異系數(shù)為0.20；文獻(xiàn)[8]擬合公式均值為1.13，變異系數(shù)為0.20。通過(guò)表1中試驗(yàn)值與計(jì)算值對(duì)比可知，本文擬合的公式不受文獻(xiàn)[8]中35°上限角的限制，且對(duì)除方形柱以外的其他柱截面形狀的節(jié)點(diǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果較好。因此，本文擬合的角度計(jì)算公式能較好預(yù)測(cè)沖切斜裂縫傾角。

表1 沖切裂縫傾角試驗(yàn)值與計(jì)算值對(duì)比

由式(20)、(26)、(27)可得，無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)在x方向上的抗沖切承載力為

[2c+2(h-hs)cotθ](h-hs)

(31)

將式(5)和式(31)代入式(1)得到節(jié)點(diǎn)抗沖切承載力

[2c+2(h-hs)cotθ](h-hs)

(32)

節(jié)點(diǎn)受沖切承載力計(jì)算流程見(jiàn)圖7。

圖7 節(jié)點(diǎn)受沖切承載力計(jì)算流程

4.2 計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值對(duì)比

為驗(yàn)證本文提出的沖切承載力計(jì)算方法的準(zhǔn)確性與適用性，采用式(32)對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)中54個(gè)[1-2,8,10-21]無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)在豎向荷載作用下的抗沖切試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)算。節(jié)點(diǎn)試驗(yàn)的混凝土立方體抗壓強(qiáng)度變化范圍為27.5～124.87 MPa，柱截面尺寸變化范圍為130～520 mm, 沖跨比λ變化范圍為2.83～7.13，縱筋配筋率ρs變化范圍為0.33%～1.73%，節(jié)點(diǎn)支承方式均為板四邊簡(jiǎn)支，收集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有一定的代表性。圖8(a)為文獻(xiàn)[21]的理論公式計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值對(duì)比。圖8(b)為本文公式(32)的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值對(duì)比。由圖可知，文獻(xiàn)[21]的計(jì)算值與試驗(yàn)值比值的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)分別為0.771、0.147、0.191；本文提出的計(jì)算方法的計(jì)算值與試驗(yàn)值比值的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)分別為1.005、0.163、0.162。通過(guò)對(duì)比可知，采用本文提出的方法計(jì)算出的節(jié)點(diǎn)抗沖切承載力與試驗(yàn)值較為接近，并且具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)，表明本文提出的無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)沖切承載力計(jì)算方法較為合理。

圖8 計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比

5 結(jié) 論

1)本文通過(guò)對(duì)大量板柱節(jié)點(diǎn)沖切裂縫傾角試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總結(jié)，對(duì)影響沖切裂縫傾角的因素進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到臨界斜裂縫傾角θ和柱截面周長(zhǎng)與板有效厚度之比Cc/h0及抗彎鋼筋配筋率特征值ρsfy/fc之間的相關(guān)性表達(dá)式。通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)中沖切斜裂縫傾角的驗(yàn)算，證明該關(guān)系式能較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)的沖切斜裂縫傾角。

2)將無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)的沖切破壞模式類(lèi)比梁的剪壓破壞，結(jié)合修正壓力場(chǎng)理論(MCFT)，分析板柱節(jié)點(diǎn)剪壓區(qū)與臨界斜裂縫區(qū)域(包括斜拉區(qū)和受拉區(qū))不同的受力狀態(tài)，推導(dǎo)無(wú)抗沖切鋼筋的RC板柱節(jié)點(diǎn)的受沖切承載力計(jì)算式，分別計(jì)算剪壓區(qū)與臨界斜裂縫區(qū)域的沖切承載力貢獻(xiàn)。通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)中大量試驗(yàn)結(jié)果的驗(yàn)算，以及與文獻(xiàn)中沖切承載力計(jì)算值的比較，驗(yàn)證了本文提出的計(jì)算方法的準(zhǔn)確性及適用性。