代數(shù)方程中符號的演變史

徐品方

方程的基本要素是已知量和未知量，這些已知量、未知量都是用符號來表示的，而這些符號的形成卻經(jīng)歷了一個長期、復(fù)雜的歷史過程.下面我們就來看看祖先們是怎樣用符號來表示代數(shù)式、代數(shù)方程，描述解方程的過程的.

古巴比倫人曾在泥板書中用楔形文字與符號，描述了用配方法解一元二次方程的過程.公元前1650年，古埃及阿默斯（Ahmes，古埃及抄寫員）在《萊茵德紙草書》中寫下了一串如圖1所示的符號.圖1相當(dāng)于一次方程 xè（?）+ + +1?（?）=37.1

這是最早用象形文字來表示代數(shù)方程的，雖然可用，但很繁雜.圖2是《萊茵德紙草書》中的一個方程問題.2

該題翻譯出來是：“一個量加上它的，等于19，求這個量.”原書中的解法很繁瑣，因為埃及的分?jǐn)?shù)，除之外全部都是“單分?jǐn)?shù)”（即分子是1的分?jǐn)?shù)），沒有出現(xiàn)這樣的分?jǐn)?shù).原書的答案是16++（下面簡寫成16），是用試位法解出的，即先設(shè)一個答案x1=7，于是 x1+= 8，再在兩邊同時乘上 ，右端是19.因此，正確答案是 x1=16=16 .當(dāng)然，該題用現(xiàn)代解法很簡單，相當(dāng)于解一次方程x+=8，其解為 x =16.丟番圖

1700年前，古希臘代數(shù)鼻祖丟番圖（Diophantus，約246～330年）曾經(jīng)創(chuàng)設(shè)了一套數(shù)學(xué)符號，這是近世符號代數(shù)的開端.但因丟番圖的手稿早已失傳，后人傳抄的手稿又不統(tǒng)一，我們很難確知他用的是什么符號.在留傳下來的一本不全的《算術(shù)》里，我們看到他第一次用符號S表示未知數(shù).此外，丟番圖還創(chuàng)造了未知數(shù)冪的符號.例如他用sα表示 x ，用 ssβˉ表示2x，用 sss 表示3x;將代數(shù)式x2+2x+3表示為Δy sβˉ ;把x6-5x4- x2-3x-2寫成 kyk Δy↑Δy s βˉ，其中Δy ，ky 分別表示x2，x3， 為數(shù)單位元素符號，↑為減號;把代數(shù)方程式630x2+73x =6寫成，這里Δy 為x2，λ為630，s 為x，or為73，為等號，為6.丟番圖創(chuàng)造的這一套符號，雖然有許多缺陷，但是對代數(shù)方程的發(fā)展起到了很大的作用.

大約在公元3世紀(jì)，表示已知數(shù)與未知數(shù)的符號開始“萌芽”.古希臘數(shù)學(xué)家基奧芬特（約公元3世紀(jì)）用 s′表 x，用表示 x2，把方程（x2+8x）-（5x2+1）=x 表示為，這里=1， =8， ↑為減號，=5， τ為等號，而表明數(shù)1沒有未知數(shù).

公元7世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多曾用字頭表示x，表示y.例如，他把ox2+10x-8寫成 ，這里ba 是平方數(shù)，py 是常數(shù)項，表示-8.有時他用字頭表示未知數(shù)，如方程3x2+10x-8= x2+1，他將其寫成.另有資料說，他又用、表示 ox2+10x-8=x2+ox+1.這里ya 表示x，V表x 的二次，o 為系數(shù)，故yaVo 表示ox2.

成書于公元前1世紀(jì)的《九章算術(shù)》中就記有方程，相當(dāng)于今天的方程組，書中用不同位置的算籌表示未知數(shù)及其次數(shù)，只需用算籌擺出方程的系數(shù)即可得出方程的解.這種解法類似于現(xiàn)今的矩陣運算，其不足是沒有創(chuàng)立明確的符號.但是，《九章算術(shù)》的方程術(shù)采用分離系數(shù)法，將算籌排列在特定的位置表示特定的未知數(shù)，顯然這是一種沒有未知數(shù)符號的表達形式，但已表明我國古代已有用符號表示未知數(shù)的思想，這為后來“天元術(shù)”的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ).后來，我國古代數(shù)學(xué)家把布列一元方程的方法叫做“天元術(shù)”，并且將其發(fā)展成解一元高次方程的方法.在“天元術(shù)”中，未知數(shù)被稱為“天元”，記作“元”，相當(dāng)于在列方程解應(yīng)用題的步驟中“設(shè)元”;常數(shù)被叫做“太極”，簡記“太”.“天元”這一名稱首次出現(xiàn)于南宋數(shù)學(xué)大師秦九韶的《數(shù)書九章》（1247年）中，后來金元另一位數(shù)學(xué)大師李冶（1192～1279年）對此作了很大的改進.人們將依題意列成的代數(shù)式稱為“天元式”，相當(dāng)于代數(shù)式.

我國古代用算籌自上而下列成方陣來表示代數(shù)式或方程.南宋秦九韶引入了一元高次方程的一般解法，除了用位置表示未知數(shù)及其次數(shù)外，還用“實”表負(fù)常數(shù)項，用“方”表示一次項系數(shù)，用“隔”表示最高項系數(shù)，用“廉”表示其余系數(shù).李冶在其數(shù)學(xué)著作中，在籌旁注上“元”或“太”字，分別用來表示一次項或常數(shù)項.例如，他把代數(shù)式2x2-5x +4記作

這里，前者注有“太”字的項表示常數(shù)4，而表示-5x.李冶在《益古演段》的第23問里，把方程25x2+280x-6905=0記為

這里也標(biāo)出了常數(shù)項“太”和一次項“元”，顯然，這是一種半符號代數(shù).

古人常把代數(shù)式系數(shù)的每一項用一個文字作記號，如常數(shù)項用“人”表示，含未知數(shù)一次項以上各項系數(shù)分別用“天”“上”“高”“層”“壘”“漢”“霄”“明”“仙”等符號表示，最高次項為9次;常數(shù)項以下為負(fù)數(shù)次冪，最低為負(fù)9次，分別用“地”“下”“低”“減”“落”“逝”“泉”“暗”“鬼”等符號表示.圖3中這19個字分別標(biāo)注在籌旁，此籌式相當(dāng)于代數(shù)式a9x9+a8x8+…+a1x +c +b1x +b2x-2+…+b8x-8+b9x-9.

李冶將這些前人的記號簡化為一個“太”或“元”，依升冪或降冪排列規(guī)律就可知其方程.李冶的這一套記號，成為宋朝以后我國古數(shù)學(xué)寶庫里的“稀世之珍”，廣為流傳.

“變量”又稱“變數(shù)”，首次出現(xiàn)在數(shù)學(xué)翻譯家李善蘭（1811～1882年）、英國偉烈亞力（Alexander Wylie，1815～1887年）合譯的《代微積拾級》的書中.他們用甲、乙、丙、丁等天干和子、丑、寅、卯等十二地支以及天、地、人、物等26個字表示英文26個小寫字母a，b， c，……和x，y，z，……符號，并且還各加上口旁，如呷、……來代替大寫字母A，B，C，…用角、亢、氏、序……二十八宿名稱代替希臘字母.

后來，李善蘭逐步引入西方符號，采用“中西合流”的方式表示代數(shù)式和方程，如《代數(shù)備旨》（1896年）內(nèi)一個習(xí)題的兩個根式 和 ，他將其譯成直式：

又如，在《代形合參》（1893年）內(nèi)的一個習(xí)題的橢圓方程25y2+16x2=400，他將其譯成直式：

今天看來，這種“中西結(jié)合”的符號十分繁雜，讓人覺得很別扭.直到20世紀(jì)初，我們的代數(shù)符號才與世界接軌，與今天的符號一樣，并且被改為橫排，沿用至今.

繼希臘、印度和中國之后，在代數(shù)符號的發(fā)展史上，歐洲人立下了汗馬功勞.意大利的斐波那契在1202年用文字表方程：duo census et decem radi? ces equantur demariis 30表示2x2+10x=30.

15世紀(jì)阿拉伯人蓋拉薩迪用表示x2+10x=56.德國人謬?yán)眨↗.Miller，1436～1476年，筆名雷格蒙塔努斯）在1473年曾用表示40x2+120x=800.

1484年，法國數(shù)學(xué)家許凱在數(shù)學(xué)著作《三部曲》里，用128、105和1208分別表示代數(shù)式12x3、10x5和120x8，首開指數(shù)冪與代數(shù)式的先河.他還用 表示8x2+12x2=20x2.

1494年，意大利修道士帕喬利在著作《集成》里，曾用字頭co（來自Cosa“事物”）代表未知數(shù)x，字頭ce 代表x2，cu代表x3……

在歐洲，不同時期的方程又有不同的表示.例如1514年，德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾（M.Stifel，1487～1567年）將方程x3+5x=12記為（這里Ω表示 x3，s2e 表示5x，表示“相等”即等號）.德國人路多爾夫在1525年曾用表示x2=12x-36.1535年，奧地利人施雷勃爾用30se，-2pri，-56N 表示多項式30x2-2x-56.1537年荷蘭人赫克（V.Hoec- ka）用表示4x2-51x -30=45

1545年，意大利卡爾達諾（G.Cardano）用 表示x3+5x=12（其中 Cubus 表示立方，P 表示加號“+”，Positio 表示未知數(shù)x，表示等號）.

1552年，意大利人格利蓋用表示現(xiàn)代方程 x4-4x2=4x2.其中小正方形“口”（中國古代缺字早用此記號）表示x2，0m 表示減號，“-”表等號.

1550年，德國人申貝爾用表示4x2+3x=217.這里未知數(shù)符號“Pri”表示 x2，ra 表示 x，217N 中的“N”表常數(shù)項.

1559年，法國數(shù)學(xué)家比奧特用表示x3-6x2+4x+9=24.他用六面體圖形“”來表示x3（前面“1”為系數(shù)），“M”是減號，四邊形“?”表示x2，P 為加號，“ρ”表示x，“τ”表示等號.

1572年，意大利的邦別利創(chuàng)用或表示 x6+8x3=20.

1557年，英國人雷科德創(chuàng)用表示14x2-15x =71x.這里用“”表示 x2，“”表示x.

1572年，德國人萊布尼茨仿照邦別利，用表示x3+5x=12.有趣的是，同一方程“x3+5x=12”.法國人韋達在1591年將其記為 ，而英國人哈里奧特1631年出版的書中則用aaa+5a=12表示 x3+5x =12.顯然，他的記號比較接近現(xiàn)代通用的方程符號了，但前后卻經(jīng)歷了100多年.韋達《論方程的檢查與訂正》中的一頁

1577年，法國人戈塞林用67QP8LM12CM18QQM35表示多項式67x2+8x-12x3-18x4-35，同時用1LP2qM20aequaliasuntlLP30表示方程x+2y-20=x+30.這里，他用“Q”表示x2，“QQ”表示x4，“L”表示x，“C”表示x3，“q”表示第二個未知數(shù)y.“P”“M”分別表示加、減號.

1585年，生于比利時的荷蘭人斯蒂文用+12①+48表示x3=-2x2+12x+48.

1615年，他又用 Acubus + Bplano 3 in A，ae? quarl Z solido 2表示x2+3B2x=2Z3.

1608年，德國人克拉維斯用表示3x+4y=29770.這里“”表示x，表示y.

1629年，法國人吉拉爾用表示 x3=12x -18.隨著時間的推移，代數(shù)方程的符號日趨簡潔，逐漸發(fā)展成現(xiàn)代方程中的符號.

1631年，英國人奧特雷德用 z± ： zq -AE =A 表示 z ± =A .

1634年，法國人厄里崗（P.Herigone）用154a～71a2+14a3～a42/2120表示154a-71a2+14a3-a4=120.

1637年，法國人笛卡兒用x3-9xx+26x-表示 x3-9x2+26x-4=0.從此開始用x，y，z 等拉丁字母表示未知數(shù)了.

1693年，英國人沃利斯用 x4+bx3-cxx +dx +e =0表示 x4+bx3-cx2+dx +e =0，此后就發(fā)展為現(xiàn)代的代數(shù)方程符號了.從1484年開始至1637年，前后歷經(jīng)了153年，方程中的各種符號才最終形成.

當(dāng)然，對代數(shù)方程貢獻最大的是韋達和笛卡兒（R. Descartes，1596～1650年）.1591年韋達首創(chuàng)用元音（又叫母音）A，E，I，O，U，Y（a，e，i，o，u，y）表示未知數(shù)，用輔音（又叫子音）B，C，D，G，…（b，c，d，g，…）表示常數(shù).在名著《論方程的檢查與訂正》中就記載有他的方程，用1C+30Q-44N，a quatur1560表示方程 x3+30x2-44x =1560.在1637年，笛卡兒用字母表中前面的一些字母 a，b，c，……表示已知數(shù)，用末尾的一些字母 x，y， z，……表示未知數(shù).笛卡兒的方程已十分接近現(xiàn)代方程的形式，但未使用等號.笛卡兒的這一改革，跨出了劃時代的一步，該用法成了當(dāng)今方程中通用的方法.

當(dāng)然，韋達、笛卡兒都是用字母表示方程中的正數(shù).后來，荷蘭數(shù)學(xué)家赫德（J.Hudde，1633？～1704年）在1657年，首先用相同的字母（或符號）表示方程的正負(fù)系數(shù).最后法國數(shù)學(xué)家厄里崗（P.Herigone，17世紀(jì)）又改進了韋達的符號，用a2表示a.a，用a3代表a.a.a 等，方程符號就更加完美.從此用文字縮寫式表示代數(shù)式的方法逐漸被廢棄.

經(jīng)歷了三千多個春秋，現(xiàn)在通用的字母表示方程、解方程的方法終于“誕生”了，人們真正有了打開未知世界大門的一把金鑰匙，正式告別了用文字（或縮寫）表示方程的歷史.方程中符號的演變促進了初等代數(shù)的發(fā)展，使代數(shù)成為可與幾何媲美的一個龐大的分支.

——摘自《數(shù)學(xué)符號史》