基于偽辛空間的（m，0，0，1）型子空間的子空間碼構(gòu)造

高 有，高晉如

（中國民航大學理學院，天津300300）

隨著人類對通信網(wǎng)絡(luò)需求的增加，通信領(lǐng)域的發(fā)展也越來越快，傳統(tǒng)的通信模式已無法滿足人們?nèi)找嬖鲩L的社會通信需求，因此新的理論和技術(shù)不斷產(chǎn)生。傳統(tǒng)的隨機線性網(wǎng)絡(luò)編碼是網(wǎng)絡(luò)中傳播信息的有力工具，但易受各種來源導(dǎo)致的錯誤影響，當利用接收到的分組隨機線性組合推導(dǎo)出所發(fā)送的消息時，即使一個錯誤分組中的單個錯誤也可能使整個傳輸變得無用。因此，隨機線性網(wǎng)絡(luò)編碼的差錯控制非常關(guān)鍵，近年來也受到越來越多的關(guān)注。子空間碼作為網(wǎng)絡(luò)編碼中的一個重要組成部分[1-2]，具有一定的檢錯與糾錯能力，與傳統(tǒng)糾錯碼的區(qū)別是子空間碼將每個子空間看作一個碼字，定義一個子空間距離，子空間距離的大小可以用來衡量該子空間碼的檢錯與糾錯能力。

目前，國內(nèi)外學者對于子空間碼的研究已有很多優(yōu)秀成果。Koetter 等[3]提出了線性算子信道模型與Reed-Solomon-like 碼，并給出了關(guān)于子空間碼的第一組詳述結(jié)果，打開了研究子空間碼的大門；此外，他們計算得到了子空間碼的Sphere-Packing 界、Gilbert 界及常維碼的Singleton 界，這些性能界雖然比較寬泛但具有廣泛的適用性。Xia 等[4]研究并計算得到了常維碼的部分上下界，給出了目前為止一類最優(yōu)的上界，并證明了常維碼達到一類上界的充分必要條件，在此基礎(chǔ)之上發(fā)現(xiàn)了一類最優(yōu)常維碼。近幾年，關(guān)于常維碼的研究仍在繼續(xù)，文獻[5-10]基于有限域上不同幾何空間（仿射空間、奇異線性空間、酉空間、辛空間）的子空間的幾何性質(zhì)構(gòu)造常維碼，研究解決了子空間碼的一些性能界。目前，國內(nèi)外并沒有基于偽辛空間的子空間構(gòu)造子空間碼及研究所構(gòu)造的子空間碼的碼字個數(shù)上下界的相關(guān)研究成果，因此，基于偽辛空間的（m，0，0，1）型子空間構(gòu)造子空間碼，并利用偽辛空間的相關(guān)幾何性質(zhì)研究并計算所構(gòu)造的子空間碼的球填充界、Singleton 界、Gilbert-Varshamov 界 和Wang-Xing-Safavi-Naini 界，對于網(wǎng)絡(luò)編碼中常維數(shù)子空間碼的理論研究具有一定的意義。

1 偽辛空間及其計數(shù)定理

偽辛空間的基本概念及相關(guān)計數(shù)定理[11]如下。

設(shè)Fq是一個有限域，含有q 個元素，其中q 是一個素數(shù)的冪。設(shè)S 是Fq上n×n 的非奇異非交錯對稱矩陣，若Fq上n×n 的矩陣T 滿足TSTT=S，則稱T 關(guān)于S 是偽辛的。這些滿足條件的T 關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個群，稱為Fq上關(guān)于S 的偽辛群，記作PSn（Fq，S）。

定理1設(shè)S 是Fq上n×n 的非奇異非交錯對稱矩陣，若n=2v+1 為奇數(shù)，v∈N，則S 合同于S1=若n=2v+2 為偶數(shù)，則S 合同于S2=

Fq上關(guān)于S1和S2偽辛群記作PS2v+1（Fq，S1）和PS2v+2（Fq，S2），簡記為PS2v+1（Fq）和PS2v+2（Fq），合記作PS2v+δ（Fq），其中δ=1，2。

定義1設(shè)P 是一個（m，2s + τ，s，ε）型子空間（τ =0，1，2；ε=0，1），滿足條件：①PSδPT合同于L（m，2s+τ，s）；②ε=0 時，e2v+1?P；ε=1 時，e2v+1∈P（ei表示第i 個位置的單位向量）。

定理2偽辛空間中，（m，2s+τ，s，ε）型子空間存在的充要條件是

式中：當δ =1 時，n0=0；當δ =2 時，（τ，s）=（0，0）對應(yīng)n0= m，（τ，ε）=（0，1）對應(yīng)n0= 0，其他情況對應(yīng)n0=2（v+1）-m。

對于一個（m，2s+τ，s，ε）型子空間，其中含有（m1，2s1+ τ1，s1，ε1）型子空間的數(shù)目記作N（m1，2s1+ τ1，s1，ε1；m；2s+τ，s，ε；2v+δ）。

定理3在偽辛空間中，存在（m，2s+τ，s，ε）型子空間，則

式中n1=m1，m1，m-m1+2s1，2（m-m1+2s1）分別對應(yīng)（τ，τ1）=（0，0），（2，0），（2，1），（2，2）。

式中n2= 0，0，m - m1+ 2s1分別對應(yīng)（τ，τ1）=（0，0），（2，0），（2，2）。

2 子空間碼的構(gòu)造及其界的計算

2.1 子空間碼的構(gòu)造

取C?M（m，0，0，1；2n + 2），C 中共含有M 個（m，0，0，1）型子空間，將C 中任一子空間記作一個碼字，則碼字個數(shù)為M，取C 的任意兩個碼字U 和V，定義

從而定義集合C 的最小距離為

d（C）=min{d（U，V）|U≠V，U，V∈C}則稱C 是一個（2n+2，M，d，（m，0，0，1））q碼。記Aq（2n+2，d，（m，0，0，1））表示子空間碼C 所含有的最大碼字個數(shù)。由定義可知，d 是偶數(shù)，所以只需考慮d=2α（α∈N）。

2.2 子空間碼的界

定義2以M（m，0，0，1；2n + 2）中的一個子空間V 為中心，以t 為半徑的球S（V，（m，0，0，1），t）定義為：M（m，0，0，1；2n+2）中與V 的距離滿足d（U，V）≤2t 的所有（m，0，0，1）型子空間的集合。

定理4S（V，（m，0，0，1），t）中所含有的（m，0，0，1）型子空間的個數(shù)與V 的選取無關(guān)，且

式中：V∈M（m，0，0，1；2n + 2）是偽辛空間中一個固定的（m，0，0，1）型子空間；Nq（2n+2，（m，0，0，1），（m，0，0，1），（m - i，0，0，0））表示M（m，0，0，1；2n + 2）中滿足V∩W∈M（m-i，0，0，0；2n+2）的（m，0，0，1）型子空間W 的個數(shù)；Nq（2n+2，（m，0，0，1），（m，0，0，1），（m-i，0，0，1））表示M（m，0，0，1；2n+2）中滿足V∩W∈M（m - i，0，0，1；2n + 2）的（m，0，0，1）型子空間W 的個數(shù)。

證明設(shè)V∈M（m，0，0，1；2n+2）是偽辛空間中的一個固定的（m，0，0，1）型子空間，Nq（2n+2，（m，0，0，1），（j，0，0，1），（s，0，0，1））表示M（j，0，0，1；2n+ 2）中滿足V∩W∈M（s，0，0，1；2n + 2）的（j，0，0，1）型子空間W 的個數(shù)。V∩W 為（s，0，0，1）型子空間有N（s，0，0，1；m，0，0，1；2n+2）=種可能，當（s，0，0，1）型子空間確定以后，該子空間可以擴充為一個（j，0，0，1）型子空間，一共有種擴充方法，所以

則

設(shè)V∈M（m，0，0，1；2n+2）是偽辛空間中一個固定的（m，0，0，1）型子空間，Nq（2n + 2，（m，0，0，1），（j，0，0，1），（s，0，0，0））表示M（j，0，0，1；2n + 2）中滿足V∩W∈M（s，0，0，0；2n+2）的（j，0，0，1）型子空間W的個數(shù)。V∩W 為（s，0，0，0）型子空間有N（s，0，0，0；m，0，0，1；2n+2）=種可能，當（s，0，0，0）型子空間確定以后，該子空間可以擴充為一個（j，0，0，1）型子空間，一共有種擴充方法，所以

則

由式（1）知，Nq（2n + 2，（m，0，0，1），（m，0，0，1），（m-i，0，0，0））與Nq（2n+ 2，（m，0，0，1），（m，0，0，1），（m-i，0，0，1））是滿足與確定的（m，0，0，1）型子空間V的距離為2i 的（m，0，0，1）型子空間的個數(shù)，因此

顯然，S（V，（m，0，0，1），t）的數(shù)量與子空間V 的選擇無關(guān)。

定理5（球填充界）設(shè)t=[（α-1）/2]，則

設(shè)C 是（m，0，0，1）型子空間的集合，V∈C，W′是偽辛空間的任一（2n+1）維子空間。定義

C′={V′|V′=Hm-1（V∩W′），V∈C}，

式中Hm-1（V∩W′）表示若V∩W′是一個（m-1，0，0，1）型子空間，則用V∩W′替換V，否則用V 的一個（m-1，0，0，1）型子空間替換。

引理1設(shè)C?M（m，0，0，1；2n+2）是一個（2n+2，M，d，（m，0，0，1）q碼，其中d ＞2，則上面定義的C′是一個（2n+1，M，d′，（m- 1，0，0，1））q碼，其中d′≥d-2。

證明設(shè)U 和V 是子空間碼C 中的兩個不同碼字，根據(jù)C′定義對應(yīng)得到U′ = Hm-1（U∩W′），V′ =Hm-1（V∩W′）。顯然，U′?U，V′?V。

由于d（U，V）= 2m - 2dim（U ∩V）≥d，則2dim（U′∩V′）≤2dim（U∩V）≤2m-d。

又由式（1）得

d（U′，V′）=dim（U′）+dim（V′）-2dim（U′∩V′）=

2（m-1）-2dim（U′∩V′）≥

2（m-1）-（2m-d）=d-2

因為d ＞2，則d′=d（U′，V′）≥d-2 ＞0，即U′與V′是兩個不同的碼字，所以碼C 與碼C′具有相同的碼字個數(shù)。

定理6（Singleton 界）

定理7（Gilbert-Varshamov 界）

證明設(shè)C 是一個（2n+2，M，2α，（m，0，0，1））q碼，假設(shè)該碼的碼字個數(shù)達到了碼C 含有的最大碼字個數(shù)，即M=Aq（2n+2，2α，（m，0，0，1））。則對任意V∈C，由于碼C 已經(jīng)達到了最大碼字個數(shù)，則在M（m，0，0，1；2n+2）中，不存在（m，0，0，1）型子空間U，使得d（U，V）≥2α。否則將U 加到碼C 中，得到一個碼字個數(shù)為M+1 的碼，與碼C 已經(jīng)達到最大碼字個數(shù)矛盾。所以，對?V∈C，有M·|S（V，（m，0，0，1），α-1）|≥N（m，0，0，1；2n+2）。

因此，M≥N（m，0，0，1；2n+2）/|S（V，（m，0，0，1），α-1）|，其中

定理8（Wang-Xing-Safavi-Naini 界）

3 結(jié)語

利用偽辛空間的（m，0，0，1）型子空間構(gòu)造子空間碼，計算了所構(gòu)造的子空間碼的球填充界、Sing-leton界、Gilbert-Varshamov 界及Wang-Xing-Safavi-Naini界，豐富了有限域上典型群的幾何學知識，對網(wǎng)絡(luò)編碼中子空間碼的理論研究有重大意義。