用一元二次方程解決實際問題的教學思考

胡莉

現(xiàn)實生活中，許多問題中的數(shù)量關(guān)系可以抽象為一元二次方程。因此，從深化數(shù)學模型思想、加強應(yīng)用意識的角度看，從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，求出它的根進而解決實際問題，是一元二次方程學習的主線。為了更好地體現(xiàn)這一思想，除在講解一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重從實際問題出發(fā)外，還有三個探究，讓學生建立一元二次方程模型解決實際問題。

一元二次方程是初中數(shù)學中最重要的數(shù)學模型之一，它有豐富的實際背景。通過建立一元二次方程模型解決實際問題，可以使學生更深入地體會數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，發(fā)展學生的應(yīng)用意識。開篇利用人體雕像這一典型的黃金分割問題，通過建立數(shù)學模型得到一元二次方程，由此引發(fā)學習本章內(nèi)容的需要。接著，通過制作無蓋方盒問題和邀請參賽球隊的個數(shù)問題，又得到兩個一元二次方程，然后引導(dǎo)學生從“未知數(shù)的個數(shù)”和“最高次數(shù)”兩個方面進行歸納，抽象出一元二次方程的概念及其數(shù)學符號表示（一元二次方程的一般形式）。在討論一元二次方程的解法時，又通過簡單的實際問題，引導(dǎo)學生分析其中的已知量、未知量和等量關(guān)系，建立一元二次方程，得出方程的解，并檢驗所得的結(jié)果是否符合實際，最終將問題推廣，得出具有一般意義的一元二次方程的解法。在掌握解法的基礎(chǔ)上，以探究的方式提出問題，使學生完整地經(jīng)歷“問題情境--建立模型--求解驗證”的數(shù)學活動過程。

21.3實際問題與一元二次方程

【學習目標】

能根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系正確列出一元二次方程.

通過列方程解應(yīng)用題體會一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用.

經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程，提高數(shù)學應(yīng)用意識.

【教學重點】

根據(jù)問題建立一元二元方程的數(shù)學模型并運用它解決實際問題..

【教學難點】

建立數(shù)學模型.

【課前 -? 預(yù) 學 單】

學生預(yù)學指導(dǎo)單（知識清單10-15分鐘）：

閱讀課本P19-21，回答下列問題

1、有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

分析： 第一輪傳染____ 第二輪傳染后____設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪后共有____人患了流感，第二輪后共有____人患了流感.

2、兩年前生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？

分析：甲種藥品成本的年平均下降額為??????

乙種藥品成本的年平均下降額為

【課中 -? 探 究 單】

探究主題設(shè)置（激學）

列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟？

①審題，②設(shè)出未知數(shù). ③找等量關(guān)系.?? ④列方程，??? ⑤解方程，?? ⑥答.

探究1： 有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人

列方程得? 1+x+x（x+1）=121

x2+2x-120=0

解方程，得??????? x1=-12，??????? x2=10

根據(jù)問題的實際意義，x=10

答：每輪傳染中平均一個人傳染了10個人.

以“探究”欄目的方式給出例題，在分析題意、解決問題的過程中，通過“邊空提問”提示學生思考數(shù)學結(jié)論的現(xiàn)實意義，并通過“思考”欄目進一步提出拓展性、開發(fā)性問題。解決了探究1以后，提出了兩個問題：通過對這個問題的探究，對類似的傳播問題中的數(shù)量關(guān)系有了新的認識。如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患流感？對這些問題的思考，可以加深學生對“傳播問題”的認識，感受與“增長率”相關(guān)的數(shù)學模型中的數(shù)量關(guān)系，同時還能培養(yǎng)學生用數(shù)學模型解釋現(xiàn)實問題的能力，這就是一個培養(yǎng)分析問題和解決問題能力的過程。

學生自主探究（自學）

探究2：兩年前生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？

分析：甲種藥品成本的年平均下降額為 （5000-3000）÷2=1000（元）×

乙種藥品成本的年平均下降額為 （6000-3600）÷2=1200（元）

乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是，年平均下降額（元）不等同于年平均下降率

解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為5000（1-x）元，兩年后甲種藥品成本為 5000（1-x）2元，依題意得

5000（1-x）2=3000

解方程，得

答：甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.

算一算：乙種藥品成本的年平均下降率是多少？ 比較：兩種藥品成本的年平均下降率

探究2以生產(chǎn)成本變化為問題情境，討論平均變化率的問題。這類問題在現(xiàn)實世界中也有很多原型，例如經(jīng)濟增長率、人口增長率等。本節(jié)中討論的是兩輪（即兩個時間段）的平均變化率，可以用一元二次方程作為數(shù)學模型。設(shè)平均變化率為x，則有下列關(guān)系：變化前數(shù)量×（1+x）2=變化后的數(shù)量。在探究2的問題中，涉及成本下降額和成本下降率這兩個接近而不同的概念，前者表示絕對變化量，單位是元;后者表示相對變化量，是表示比率的數(shù)字。通過這個問題，可以使學生體會分析問題時應(yīng)對變化額和變化率兩者兼顧，這樣才能全面認識一種變化情況。

小組合作學習（合學）

探究3：如圖，要設(shè)計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？

探究3的問題中，已知封面及正中央矩形的長寬比都是9：7，由此可以推出上、下，左、右邊襯寬度之比也是9：7.這一關(guān)系在解決問題中是很重要的，根據(jù)它可以合理地設(shè)未知數(shù)。方程的兩根都是正數(shù)，但它們并不都是問題的解。必須根據(jù)它們值的大小，來確定哪個更合乎實際。這種取舍更多地要考慮問題的實際意義，這是檢驗數(shù)學模型的解是否符合實際的過程。

教師指導(dǎo)學習（導(dǎo)學）

列一元二次方程解一元二次方程的一般步驟：

（1）審（2）設(shè)（3）列（4）解（5）驗——檢驗方程的解是否符合題意，將不符合題意的解舍去.（6）答

一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界中某些數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學模型。在運用一元二次方程分析、表達和解決實際問題的過程中，要注意體會建立數(shù)學模型解決實際問題的思想和方法。

課堂鞏固練習

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