晶體學(xué)實驗
——2020年國際物理奧林匹克競賽實驗試題解答

惠王偉 宋 峰

(南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院 300071)

2020年國際物理奧林匹克競賽實驗試題為“晶體學(xué)”，試題分為四個部分，A部分主要研究一維晶體衍射的最基本規(guī)律，B部分研究二維晶體的相關(guān)參數(shù)，C部分研究晶體中的晶胞對稱性，D部分研究相位問題。本文在大賽提供的參考答案基礎(chǔ)上對本題進行了重新解答。

A部分：從狹縫到晶體(5.0分)

A.1(0.3分)

題目中提供了散射矢量q表達式

所以q?ki

題目中也給出了光強I取決于光衍射角θ的公式[原文中為公式(4)，本文中重新編號為(A3)]

式中，I0是θ=0 時的光強，N是光柵狹縫數(shù)。

在θ很小時，

將(A2)代入(A4),可得I(θ)表達式為：

A.2(0.2分)

對于光柵常量為a的衍射光柵，光柵衍射方程為

將(A7)代入(A2)，可以得到第h個衍射極大的散射矢量表達式為：

A.3(0.2分)

利用式(A8)，可以推出：q1是1級衍射極大的散射矢量。

A.4(1.0分)

利用題目中提供的實驗器材，搭建實驗裝置，利用激光器照射樣品，分析觀察屏上的衍射光斑。由于衍射角θ可認(rèn)為其遠小于1(題給條件)，利用A9和A10可以得到：

其中SN為0 級衍射極大到N級衍射極大的距離，L為樣品DG 到觀察屏的距離。利用公式A10和A11，通過測量SN和L可以得到：

A.5(1.5分)

利用A.1得到的公式A5可以推出：

I的極大值取決于h，通過測量兩個不同的衍射極大值(如第1級和第2級)可以得到：

其中I(1)和I(2)為第1級和第2級衍射極大的光強，通過實驗測得，將其測量值帶入A13，可以求出a/b,結(jié)果如下：

A.6(0.7分)

題目中提供了結(jié)構(gòu)因子的表達式：

通過題目中給出的圖1 可以直接得到ρ(x)的表達式：

將ρ(x)代入結(jié)構(gòu)因子的表達式中可以得到：

式中p=a/b，強度為0 的極大h滿足：h=±pm，m∈N

A.7(0.7分)

采用A.6同樣的方法可以得到圖1中晶胞B的ρ(x)的表達式:

同樣可以得到晶胞B的結(jié)構(gòu)因子FB(h)：

強度為0的極大h滿足：h=±pm，m∈N

A.8(0.4分)

用同樣的光照射圖1 中的兩個光柵，利用公式A16和A18可以得到光強之比為：

圖1 一維晶體的晶胞，黑色區(qū)域為不透光的區(qū)域

A部分評述

A 部分主要研究的是一維晶體衍射的最基本規(guī)律。本題通過觀察衍射光柵的衍射現(xiàn)象，研究一維晶體的相關(guān)參數(shù)。題中涉及的實驗操作并不復(fù)雜，但有較多的公式推導(dǎo)和計算，且后面題目中經(jīng)常要用到前面題目的結(jié)果，如果前面題目出現(xiàn)錯誤就會導(dǎo)致后面題目推導(dǎo)結(jié)果錯誤。所以在解題過程中，一定要認(rèn)真仔細，掌握題目中給出公式、定義和提醒性信息。

B部分：二維晶體(5.0分)

B.1(1.0分)

通過分析二維晶體結(jié)構(gòu)(題目中提供圖2)可以得到和的長度為：

圖2 以 和 作為格矢的二維晶體，這些點表示晶體中原子的位置

q1和q2的夾角為β=α

B.2(0.5分)

根據(jù)公式A14和A16可知，如果透光區(qū)和非透光區(qū)互換，除中心衍射斑點(h=0，k=0)外的衍射結(jié)構(gòu)因子的模相等，所以可以推出二維晶體A結(jié)構(gòu)因子為：

晶體D的結(jié)構(gòu)因子可以通過晶體A變換得來，將晶體A的結(jié)構(gòu)因子表達式乘以就可得到。

B.3(0.6分)

題目要求分析樣品衍射圖，通過實驗確定樣品的晶格周期，這需要利用與A.4相同實驗光路，觀察樣品衍射圖，可以觀察到類似圖4的衍射圖樣，通過測量衍射圖中斑點距離可以求出衍射矢量和晶體周期，求得樣品的晶體周期為：

B.4(0.4分)

通過觀察樣品的衍射圖樣，通過觀察衍射斑點的缺失、斑點強度及B.3中求得的晶體周期，可以判斷出UC1-UC4對應(yīng)的晶體結(jié)構(gòu)為：

B.5(0.8分)

要想確定不透光區(qū)域的邊長b，可以采用A.5類似的方法，利用樣品UC1的實驗結(jié)果，可以得到：b=10μm。

B.6(1.2分)

題目要求通過實驗確定每個樣品的參數(shù)a1,a2和角α(圖2)，首先搭建實驗裝置，觀察樣品UC5、UC6、UC7的衍射圖樣?？梢钥吹経C5衍射圖樣是矩形排布，UC6 和UC7 為平行四邊形排布，如圖3所示。測量并計算可以得到每個樣品的參數(shù)a1,a2和角α為：

圖3 樣品UC6、UC7衍射圖樣

B部分評述

B部分主要研究的是二維晶體的相關(guān)參數(shù)。實驗采用與A.4 相同的實驗方案，觀察不同樣品的衍射圖樣。通過分析衍射圖樣，測量二維衍射斑點的距離等參數(shù)，可以確定多種未知樣品的晶體參數(shù)，以及與題目給出的晶胞的對應(yīng)關(guān)系。

C部分：晶體的對稱性(5.0分)

C.1(0.3分)

根據(jù)題目中給出的旋轉(zhuǎn)對稱性的定義和二維晶體衍射圖樣(題目已給出，圖4)，可以較容易地判斷出旋轉(zhuǎn)中心：h=0，k=0 。旋轉(zhuǎn)對稱階m=1,2,4。所有對稱軸在圖4中都已經(jīng)標(biāo)注出。

圖4 對稱軸標(biāo)注圖

C.2(0.2分)

題目要求寫出圖4中繪制的每個鏡像對稱軸的直線方程，對稱軸是一條直線，它可以表示為直線方程：c1?qx+c2?qy=d，圖4中鏡像對稱軸的方程為：

C.3(0.4分)

通過分析衍射圖樣(圖4)可得，每個旋轉(zhuǎn)對稱強度I(qx,qy)滿足的方程：

每個鏡像對稱強度I(qx,qy)滿足的方程：

C.4(0.2分)

因為ρ(x)∈R(題目中給出)，結(jié)構(gòu)因子有如下關(guān)系：

這里的F*是F的復(fù)共軛，由C12可以推出：

對應(yīng)的對稱性為C2。

C.5(0.4分)

為了用晶體1的結(jié)構(gòu)因子表示其他晶體的結(jié)構(gòu)因子，可以先假設(shè)晶體1的結(jié)構(gòu)因子為：

根據(jù)對稱性，晶體2通過晶體1對x=0 軸做變換可以得到，ρ2(x，y)=ρ(-x，y)，晶體2的結(jié)構(gòu)因子為：

晶體3 通過晶體1 對x=y軸做變換可以得到，ρ3(x，y)=ρ(y，x)，晶體3的結(jié)構(gòu)因子為：

晶體4 通過晶體1 平移可以得到，假設(shè)平移矢量為(x1，y1)，ρ4(x'，y')=ρ(x+x1，y+y1)，晶體4的結(jié)構(gòu)因子為：

C.6(0.5分)

n，cosθ，θ，m可能的值如表1所示：

表1 n，cos θ，θ，m 的取值

所以所有可能的旋轉(zhuǎn)對稱有：C1,C2,C3,C4,C6。

C.7(0.9分)

具有晶胞K、L、M、N、P、Q、R、S、T的晶體的對稱性示意圖如圖6所示，旋轉(zhuǎn)對稱性在圖中已經(jīng)標(biāo)注。

圖5 對稱旋轉(zhuǎn)示意圖

圖6 晶胞的對稱性示意圖

C.8(0.8分)

樣品PG1、2、5、8對應(yīng)于圖6晶胞K、L、M、N，要想確定對應(yīng)關(guān)系，需要通過實驗分析其衍射圖樣。表2 為觀察到的樣品PG1、2、5、8 的衍射圖樣對稱性，表中“+”表示樣品具有相應(yīng)的對稱性。對于樣品PG1，理論上存在對稱軸qx=0，但實際的衍射圖樣可能觀察不到。

表2 樣品PG1、2、5、8 的衍射圖樣對稱性

PG1 因為具有qy=0 軸對稱性，根據(jù)圖6 判斷其對應(yīng)L，PG2 不具有上述對稱性，所以對應(yīng)于M，PG5具有兩條對稱軸，所以其對應(yīng)于N，所有樣品與晶胞的對應(yīng)關(guān)系為：

C.9(1.0分)

樣品PG3、4、6、7、9對應(yīng)于圖6晶胞P、Q、R、S、T。要想確定對應(yīng)關(guān)系，需要通過實驗分析其衍射圖樣。表3 為觀察到的樣品PG3、4、6、7、9 的衍射圖樣對稱性，表中“+”表示樣品具有相應(yīng)的對稱性。

表3 樣品PG3、4、6、7、9的衍射圖樣對稱性

PG4 和PG6 的衍射圖樣具有C4對稱性(如晶胞R,T)，而其他的都不具有。在這組樣品中，對稱性不足以匹配晶胞和衍射圖樣。我們需要使用加法定則，并理解晶胞S和T的缺失。

對于S晶胞，將不透光元素進行標(biāo)記，如圖6所示。元素1 的結(jié)構(gòu)因子用F(h,k) 表示，利用C.5 的解題方法可以得到其他元素結(jié)構(gòu)因子的表達式為：

S晶胞的結(jié)構(gòu)因子為上面之和，對于h=0 的衍射斑點有：

對于h=0 時，衍射斑點會在k為奇數(shù)時缺失，同樣可以推出k=0 時，衍射斑點會在h為奇數(shù)時缺失。衍射圖樣具有這種特性的只有PG6 和PG9,因為PG6對應(yīng)晶胞R或T，所以PG9對應(yīng)S。

對晶胞T采用同樣的方法，可以得到元素結(jié)構(gòu)因子的表達式為：

對于h=0的衍射斑點有：

對于h=0時，衍射斑點會在k為奇數(shù)時缺失，同樣可以推出k=0 時，衍射斑點會在h為奇數(shù)時缺失。PG6衍射圖樣具有這樣的特性，所以PG6對應(yīng)T,所以PG4 對應(yīng)R。PG3 衍射圖樣具有對稱軸，其對應(yīng)于P，PG7對應(yīng)Q。

C.10(0.3分)

要想判斷樣品UC8是不是晶體，需要通過實驗觀察UC8的衍射圖樣，判斷其衍射圖樣具有的對稱性。通過實驗發(fā)現(xiàn)UC8具有C5對稱，而根據(jù)C.6的結(jié)果，晶體所有可能的旋轉(zhuǎn)對稱有：C1,C2,C3,C4,C6，所以UC8不可能是晶體。

C部分評述

C部分主要研究的是晶體中的晶胞對稱性。本題主要研究鏡像對稱和旋轉(zhuǎn)對稱，其中C.1～C.7 為衍射圖樣和晶體結(jié)構(gòu)對稱性分析和公式推導(dǎo)，并不涉及實驗操作，解題過程中要利用題目中給出的對稱性和結(jié)構(gòu)因子的定義。C.8～C.10 是通過實驗觀察樣品的衍射圖樣，通過分析衍射圖樣的對稱性，確定樣品對應(yīng)的晶胞類型，解題過程中要利用晶胞的對稱性導(dǎo)致的相互對稱和系統(tǒng)性缺失以及加法定則。

D部分：相位問題(5.0分)

D.1(1.0分)

題目要求用強度I0的入射光照射晶體MR0 或MR2，求出0級衍射斑點的強度，因為0級衍射斑點的強度E與透光面積成正比，而光強I為場強的平方，可以得到下面兩個公式：

其中Ntransparent和Nall分別為透光方塊數(shù)和總的方塊數(shù)。MR0 和MR2 透光方塊數(shù)分別為5 和7，利用公式D2可以求出0級衍射斑點的強度分別為：

D.2(2.0分)

為了確定MR1的晶胞結(jié)構(gòu)，需要通過實驗測量MR1衍射斑點強度I(h,k),|h|≤2,|k|≤2，測量結(jié)果如圖7所示，

圖7 MR1衍射斑點強度

通過逆傅里葉變換可以得到：

因為ρ(χ,γ)是實數(shù)，所以只計算實部就足夠了。

通過D6計算可以得到晶胞的振幅透射率如圖8所示，透射率較小的地方為不透光區(qū)域，透射率較大的地方為透光區(qū)域，根據(jù)圖8可以判斷MR1的晶胞應(yīng)為X。

圖8 MR1透射率

圖9 X晶胞

D.3(2.0分)

題目要求確定MR2的晶胞結(jié)構(gòu)，解題時可以利用D.2同樣的方法，可以得到MR2的衍射斑點強度和透射率，如圖10和圖11所示。

圖10 MR2衍射斑點強度

圖11 MR2透射率

題目中提示MR2 相比于MR0，只是兩個不透明的方格變成透明的方格，通過與MRO對比，可以發(fā)現(xiàn)MR2 在(0，2)和(3，0)兩個位置變成透光，所以MR2的結(jié)構(gòu)如圖12所示。

圖12 MR2晶胞結(jié)構(gòu)

D部分評述

D 部分主要研究的是相位問題。本題主要是利用已知的結(jié)構(gòu)的MR0 晶胞，確定未知晶胞的結(jié)構(gòu)。解題過程中，需要通過實驗測量衍射斑點的強度分布，然后將其轉(zhuǎn)化為透射率分布，并通過與已知晶胞結(jié)構(gòu)對比就可以確定MR1和MR2的結(jié)構(gòu)。

本次試題利用晶體的周期性，通過衍射的方法研究晶體結(jié)構(gòu)。試題通過研究晶胞的參數(shù)、晶胞的對稱性和相位，從而確定晶體的結(jié)構(gòu)。試題有很多的理論分析和公式推導(dǎo)，試題題量大，考察的內(nèi)容和知識點很全面，具有一定難度。