一些特殊子群是TI-子群或次正規(guī)子群的有限群

劉 琳，盧家寬，張博儒，易 倩

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541006)

近幾年來,眾多學(xué)者研究了自中心化子群滿足特定性質(zhì)的有限群,并得到了一系列的結(jié)論.郭秀云等[1]舉例說明了TI-子群不一定是次正規(guī)子群,次正規(guī)子群不一定是TI-子群，并且刻畫了每個(gè)子群是次正規(guī)子群或TI-子群的有限群.Mahmoud Hassanzadeh[2]推廣研究了所有非交換子群是TI-子群或次正規(guī)子群的有限群.

SUN Y等[3]研究了所有非交換自中心化子群是TI-子群或次正規(guī)子群的有限群的結(jié)構(gòu)以及所有非循環(huán)自中心化子群是TI-子群或次正規(guī)子群的有限群的結(jié)構(gòu),且已知非亞循環(huán)群必為非循環(huán)群,所以本文將子群的范圍縮小,從非亞循環(huán)子群是TI-子群或次正規(guī)子群以及非p-冪零子群是TI-子群或次正規(guī)子群的角度來研究有限群的結(jié)構(gòu).

本文考慮的群都是有限群,使用的符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的.

1 預(yù)備知識(shí)

為了方便讀者閱讀,本節(jié)列舉一些本文將要用到的定義及引理.

定義1[1]設(shè)G是有限群,H≤G.若對(duì)任意g∈G有H∩Hg=1或H,則稱H為G的TI-子群.

定義2[3]設(shè)G是有限群,H≤G.若CG(H)≤H,則稱H是G的自中心化子群.顯然,若H是G的自中心化子群,則對(duì)任意的K≤G滿足H

引理1[2]設(shè)G是群,H≤G.若K是H的自中心化子群,則K1=〈K,CG(K)〉是G的自中心化子群,且

(1)K1∩H=K;

(2)NG(K1)∩H≤NH(K).

引理2[4]Frobenius群的所有Frobenius補(bǔ)共軛.

引理3[4]設(shè)G是關(guān)于子群H的Frobenius群,而N是G的Frobenius核.若LG,則L≤N或N

引理4[4]設(shè)G是關(guān)于子群H的Frobenius群,而K是G的Frobenius核,則

(1)K冪零;

(2)若p>2,則H的Sylowp-子群循環(huán);若p=2,則H的Sylowp-子群循環(huán)或?yàn)閺V義四元數(shù)群.

引理5[4]設(shè)G是非冪零群,而G的每個(gè)真子群是冪零群,則G可解.

引理6[5]設(shè)G是群,則下述結(jié)論等價(jià):

(1)G是冪零群;

(2)若H

(3)G的每個(gè)極大子群MG(這時(shí)|G:M|是素?cái)?shù));

(4)G的每個(gè)Sylow子群都是正規(guī)的,因而G是它的諸Sylow子群的直積.

引理7[5]設(shè)G是非循環(huán)p-群,則下述結(jié)論等價(jià)：

(1)G是廣義四元數(shù)2-群;

(2)G的每個(gè)交換子群均循環(huán);

(3)G只有一個(gè)p階子群.

引理8[5]設(shè)G是p-群,且G的每個(gè)交換正規(guī)子群均循環(huán),則

(1)若p>2,則G循環(huán);

(2)若p=2,則G有循環(huán)極大子群.

引理9[6]設(shè)G的每個(gè)真子群均是p-冪零群,但G非p-冪零,則G的每個(gè)真子群是冪零群.

引理10 設(shè)G的每個(gè)非p-冪零子群自中心化子群是TI-子群或次正規(guī)子群.若H≤G,則H的每個(gè)非p-冪零自中心化子群是TI-子群或次正規(guī)子群.

證明令K是H的非p-冪零自中心化子群,則K1=〈K,CG(K)〉是G的自中心化子群.因?yàn)镵1非p-冪零,所以根據(jù)假設(shè)可知K1??G或K1是G的TI-子群.

若K1??G,則KK1??G,從而K??G,因此K??H.

若K1是G的TI-子群,則對(duì)任意的g∈G有K1∩K1g=1或K1.于是對(duì)任意的h∈H有K1∩K1h=1或K1,由引理1可知K1∩H=K.若K1∩K1g=1,則

從而K是H的TI-子群.

故H的每個(gè)非p-冪零自中心化子群是TI-子群或次正規(guī)子群.

2 主要結(jié)論

定理1 假設(shè)G的每個(gè)非亞循環(huán)子群是TI-子群或次正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)G的每個(gè)非亞循環(huán)子群皆次正規(guī)于G.

證明定理的充分性顯然成立,因此我們只需證明定理的必要性成立.

設(shè)R是G的任一非亞循環(huán)子群.若R??G,則結(jié)論成立.下面考慮R是G的非次正規(guī)子群的情況.選取R是G的極大非次正規(guī)且非亞循環(huán)子群,即?H≤G,若R

假設(shè)R

(1)假設(shè)R不是G的極大子群.令M是滿足R

(i)若m=1,則N=Zp為p階循環(huán)群.由N/C-定理可知R?G/N=NG(N)/CG(N)Aut(N)=Zp-1,從而R循環(huán),矛盾.

(ii)若m>1,則N非循環(huán).令K≠1是R的任一極大子群.顯然NK也是Frobenius群.若NK亞循環(huán),則NK存在一個(gè)循環(huán)正規(guī)子群L使得NK/L循環(huán).因?yàn)镹K是Frobenius群,所以L≤N或N

若NK非正規(guī)于G,則NK非次正規(guī)于G,從而NK=NG(NK).因此NK是G的TI-子群.因?yàn)?g∈G有(NK)∩(NK)g=(NK)∩(NKg)≥N≠1,與NK非正規(guī)于G矛盾.故(NK)?G.

因?yàn)楦鶕?jù)子群的模律有K=(N∩R)K=NK∩R?R,所以由引理6知R冪零,從而R=P1×P2×…×PS,其中Pi∈Sylpi(H),i=1,2,,,s.

若R循環(huán),則與R亞循環(huán)矛盾,從而R非循環(huán).由引理4可知R必為廣義四元數(shù)2-群Q2n與奇數(shù)階循環(huán)群的直積A,即R=Q2n×A.由引理7可知Q2n的每個(gè)交換子群均循環(huán),所以再根據(jù)引理8可知Q2n有一個(gè)循環(huán)極大子群B,從而|Q2n:B|=2且B?Q2n.故B×A是R=Q2n×A的循環(huán)正規(guī)子群.又因?yàn)锽×A是R=Q2n×A的極大子群,所以R/(B×A)是素?cái)?shù)階循環(huán)群,這與R為非亞循環(huán)矛盾.

綜上,滿足假設(shè)的R不存在,故G的每個(gè)非亞循環(huán)子群皆次正規(guī)于G.

定理2 假設(shè)G的每個(gè)非亞循環(huán)子群是TI-子群或次正規(guī)子群,則G可解.

證明如果結(jié)論不成立,設(shè)G為極小階反例且H≤G,則由引理10及G的極小性知H是可解的.若G的每個(gè)極大子群亞循環(huán),則G可解,矛盾,從而存在G的極大子群是非亞循環(huán)的.不妨設(shè)M為G的非亞循環(huán)極大子群.若M?G,則G/M為素?cái)?shù)階循環(huán)群,從而G/M可解.又因?yàn)镸可解,所以G可解,矛盾,故MG,因此M是G的非次正規(guī)子群,從而M是G的TI-子群.由M的極大性及MG知M=NG(M),所以G是關(guān)于子群M的Frobenius群.令N為G的Frobenius核,則由引理4知N冪零,從而N可解.又因?yàn)镚/N?M,所以G/N可解,從而G可解,矛盾.故G可解.

注意3 群S4僅有兩個(gè)非亞循環(huán)子群S4和A4且A4正規(guī)于S4,則S4的所有非亞循環(huán)群是TI-子群或次正規(guī)子群.這個(gè)例子是為了證明滿足定理2的群不一定是超可解群.

定理4 假設(shè)G的每個(gè)非亞循環(huán)子群是TI-子群或次正規(guī)子群,則G必有正規(guī)的Sylow子群.

注意5 當(dāng)G的每個(gè)非亞循環(huán)子群是TI-子群或次正規(guī)子群時(shí),G可解,但G中不一定會(huì)存在一個(gè)正規(guī)的Sylow子群,如S4.S4中有且僅有兩個(gè)非亞循環(huán)子群S4和A4,且S4和A4皆正規(guī)于S4,但是S4的Sylow子群不是正規(guī)的.

定理6 假設(shè)G的每個(gè)自中心化子群是TI-子群或次正規(guī)子群或p-冪零子群,則G的每個(gè)子群是次正規(guī)子群或p-可解子群.

證明設(shè)H是G的任一非p-可解子群.若H??G,則結(jié)論成立.下面考慮H是G的非次正規(guī)子群的情況.令H是G的極大非次正規(guī)且非p-可解子群.

假設(shè)CG(H)H,則H

假設(shè)H

令K≠1是H的任一極大子群,則NK是G的極大子群.假設(shè)NK是p-冪零群,那么K是p-冪零的,從而由引理9知H的真子群冪零,再由引理5推出H可解,矛盾.因此NK是非p-冪零群.若NKG,則NK非次正規(guī)于G,從而NK=NG(NK).于是由假設(shè)知NK是G的TI-子群.又因?yàn)?g∈G有(NK)∩(NK)g=(NK)∩(NKg)≥N≠1,這與NKG矛盾,所以NK?G.因?yàn)楦鶕?jù)子群的模律有K=(N∩H)K=NK∩H?H,所以由引理6知H冪零,這與H為非p-可解矛盾.

綜上,滿足假設(shè)的H不存在,故G的每個(gè)子群是次正規(guī)子群或p-可解子群.

定理7 假設(shè)G的每個(gè)自中心化子群是TI-子群或p-冪零子群,則G的每個(gè)自中心化子群是正規(guī)子群或p-可解子群.

證明假設(shè)H是G的任一非p-可解自中心化子群.若HG,則結(jié)論成立.下面考慮H是G的非正規(guī)子群的情況.令H是G的極大非正規(guī)且非p-可解子群.

令N滿足H

綜上,滿足假設(shè)的H不存在,故G的每個(gè)自中心化子群是正規(guī)子群或p-可解子群.

3 小結(jié)

通過研究非亞循環(huán)子群是TI-子群或次正規(guī)子群的有限群,得到子群皆次正規(guī)于有限群以及群的可解性.又通過研究非p-冪零子群是TI-子群或次正規(guī)子群的有限群,得到有限群子群的性質(zhì)以及群的p-可解性.因?yàn)榉莵喗粨Q群必為非亞循環(huán)群,所以研究非亞循環(huán)群也為之后研究非亞交換群提供了基礎(chǔ).