微重力下成一定夾角平板間的表面張力驅(qū)動流動的研究1)

陳上通 吳 笛 王 佳 段 俐 康 琦,

* (中國科學(xué)院力學(xué)研究所微重力實驗室,北京 100190)

? (中國科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院,北京 100049)

引言

表面張力驅(qū)動流,在此定義為由表面張力引起的附加壓力驅(qū)動的自發(fā)界面流,是航天器貯箱內(nèi)液體行為的重要組成部分.為了在微重力環(huán)境下下高效地管理液體,有必要深入研究表面張力問題.

Washburn[1]首次提出了毛細管內(nèi)液體爬升的運動方程.他們證實該過程可以用毛細驅(qū)動壓力、黏滯阻力和重力之間的平衡來描述,推導(dǎo)出了著名的Lucus-Washburn 方程.Concus 和Finn[2]探索了具有內(nèi)角的容器中的液體平衡界面,并提出了著名的Concus-Finn 條件.Levine 等[3]考慮了表面張力驅(qū)動壓力、黏滯阻力和對流損失,推導(dǎo)出了圓管內(nèi)液體爬升高度的二階微分方程.Stange 等[4]提出了一個更全面的圓管內(nèi)液體爬升模型,它補充考慮了彎液面的重定位過程、動態(tài)接觸角和泊肅葉流動的啟動過程.Jiang 等[5]在1979 年改進了動態(tài)接觸的計算方法并被廣泛接受.Dreyer 等[6]探究了平行平板之間的表面張力驅(qū)動流動并得到了液體爬升高度方程.Weislogel 和Lichter[7]獲得了液體沿尖內(nèi)角處的流動方程,并擴展到由不同潤濕性形成的尖內(nèi)角處[8]和圓內(nèi)角處[9].Yue 和Wang[10]采用數(shù)值方法研究了三維自由表面的動力學(xué)問題.Higuera 等[11]研究了潤濕液體在兩個垂直板之間形成一個小角度的狹窄間隙中的流動過程.Wolf 等[12]提出了一種基Lattice-Boltzmann 方法、通過考慮流體和固壁之間長程相互作用的影響來模擬平行平板之間的液體爬升.Bolleddula 等[13]提出了一種新的沿不同截面形狀尖內(nèi)角處流動的解析解,并探討了實驗?zāi)Ｐ蛶缀涡螤畹挠绊?魏月興等[14]研究了內(nèi)角處表面張力驅(qū)動流動理論并將其應(yīng)用到板式貯箱的結(jié)構(gòu)設(shè)計上.李永等[15-17]利用落塔試驗和數(shù)值模擬探究了板式貯箱的流體管理性能,得到了豐富的微重力試驗數(shù)據(jù).Reyssat[18]探究了平板和圓弧板之間形成的液橋界面形貌特征,建立的模型可以準確預(yù)測液橋外形.Wu 等[19]研究了彎曲尖內(nèi)角處的流動過程,通過修正尖內(nèi)角曲率半徑帶來的影響,得到了流動距離與曲率半徑的關(guān)系.Romain 等[20]研究了軸對稱幾何模型中的表面張力驅(qū)動流動.Chen 等[21]利用毛細驅(qū)動流動理論對貯箱內(nèi)PMD 結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化,并開展了落塔實驗和基于VOF 法的仿真分析,檢驗了其性能.Cheng 等[22]研究了變直徑圓管中的流動問題.Chen等[23]研究了微重力下橢圓管內(nèi)的表面張力驅(qū)動流動,并提出了兩段式的流動新模型.

本文探究了微重力環(huán)境下成一定角度平板間的表面張力驅(qū)動流,考慮了動態(tài)接觸角、對流壓力損失、黏滯阻力和液池內(nèi)彎曲自由面的影響,并利用基于VOF 方法的數(shù)值模擬進行驗證.此外,微分方程可變換成由作用在板間控制體上一系列合力的方程,通過同時考慮兩個主要作用力,將整個爬升過程分成三個階段.

1 理論推導(dǎo)

研究模型如圖1 所示,包含圓柱形液池和自上方插入液池一定深度的平板模型,液池內(nèi)壁和平板外壁均有防爬擋板,選擇直角坐標系來分析該問題.初始液面為水平面,z 向原點位于水平面上.液體爬升高度為h,液體爬升平均速度為.平板水平截面如圖2 所示.平板左端的距離是2a,右端的距離是2c,板的寬度是b.平板上特定位置與和x 軸間的距離是d.液池內(nèi)彎曲界面的曲率半徑是用防爬擋板之間的距離i 與液池內(nèi)氣液界面中心線和平板模型對稱線之間的距離j 計算.為了計算i 與j 的值,平板之間的梯形入口等效成半徑為re的圓形入口,半徑re為理論分析的基本假設(shè)是

圖1 研究模型正向剖視圖Fig.1 Front view of the model

圖2 平板模型的水平截面Fig.2 Horizontal cross section of the plates

(1)氣液界面上的剪切力忽略不計;

(2)流動過程是恒溫的;

(3)流動是充分發(fā)展的泊肅葉流;

(4)流體是牛頓流體,不可壓縮且均質(zhì);

(5)液體與壁面之間無滑移.

平板上特定位置與和x 軸間的距離為

流動是充分發(fā)展的泊肅葉流,液體僅具有z 向速度分量u,流動邊界條件為

u 為關(guān)于x,y,t 的函數(shù),t 為時間.可以認為板間區(qū)域由x 向上的無數(shù)個dx 分段組成,在每個dx 分段內(nèi)u 為關(guān)于y,t 的函數(shù),與x 無關(guān).結(jié)合式(2)并根據(jù)N-S 方程可得每個dx 分段內(nèi)速度場分布為

結(jié)合平板間流量公式

式中 Ω 代表板間水平截面全域.可將式(3)轉(zhuǎn)化為

N-S 方程z 向分量去除零項后為

式中 ρ 為密度,ν 為液體運動學(xué)黏性系數(shù).對該式在板間水平截面上對x 和y 進行積分,得到

將式(7)對z 從z=0 到z=h 進行積分,可以得到

采用與文獻[14]相似的處理方法,可以得到板間頂端凹液面的壓力為

式中 p0為液面附近大氣壓,σ 為表面張力,αd和 αs分別為動態(tài)接觸角和靜態(tài)接觸角.對于完全潤濕的液體,即靜態(tài)接觸角為0°,其動態(tài)接觸角有一經(jīng)驗公式

式中μ 為動力學(xué)黏性系數(shù).該計算模型受到了廣泛運用和驗證,文獻[4,6,20]均采用該計算模型.

為了計算板間入口處的作用力,在等效圓形入口附近建立半徑為re的半球形控制體2,如圖3所示.

圖3 板間入口處的等效半球形控制體Fig.3 Equivalent circular entrance and the control volume around the inlet

式中 pR為液池內(nèi)彎曲界面引起的附加壓力,為

液池中自由面的曲率半徑Rc的近似表達式為

在板間入口處的作用力沿z 向分力為

經(jīng)半球面R=re進入控制體2 的流量z 向分量為

經(jīng)板間入口流出控制體2 的流量z 向分量為

經(jīng)半球面R=re進入控制體2 的加速度流z 向分量為

經(jīng)入口處流出控制體2 的加速度流z 向分量為

因此,半球形控制體2 內(nèi)的整體加速度的近似表達式為

他的腳離我的頭只有幾英寸遠，我理應(yīng)去安慰他，我本應(yīng)該主動去安慰他才對，因為我從小就是受這種教育長大的。相反，我覺得那樣做很惡心?？雌饋砟敲磸妷训娜?，不應(yīng)該表現(xiàn)得這么脆弱。為什么他不能像其余人一樣悄悄地哭呢？

結(jié)合式(11)～ 式(18)及控制體2 上的動量方程,可以求得板間入口處的作用力z 向分量為

將式(1)、式(5)、式(9)、式(10)和式(20)代入式(8),可以得到液體爬升高度h 的二階微分方程

該二階微分方程可利用四階Runge-Kutta 法并結(jié)合初始條件 h(t=0)=h˙(t=0)=0 求解.

2 數(shù)值模擬

本文建立的三維計算模型如圖4(a)所示.由于液池內(nèi)氣液界面彎曲造成的影響很小,為了建模的方便,選擇邊長為140 mm 的方形液池來代替理論分析中的圓柱形液池,并在理論計算中使用79 mm的等效半徑,該簡化所造成的影響可以忽略不計,模型的總高度為120 mm.建立的網(wǎng)格模型如圖4(b)所示,網(wǎng)格總數(shù)約為100 萬,在所有壁面附近建立邊界層網(wǎng)格,首層邊界層的高度約為0.1 mm,相鄰兩層網(wǎng)格膨脹比為1.2.由于計算模型簡單,網(wǎng)格質(zhì)量好,調(diào)整邊界層網(wǎng)格后進行第二次仿真,兩次結(jié)果差異很小,驗證了網(wǎng)格對仿真結(jié)果的無關(guān)性.同時為了減小仿真可能產(chǎn)生的隨機誤差,取兩次結(jié)果的平均值作為最終結(jié)果.

圖4 仿真模型Fig.4 Numerical model

本文使用KF-96 系列硅油開展研究工作,該系列型號硅油以其運動學(xué)黏性系數(shù)作為標號,比如2 號硅油(SF 2)、5 號硅油(SF 5)和10 號硅油(SF 10),他們的物性參數(shù)如表1 所示.本文選擇層流作為流動模式,壓力-速度耦合方程由SIMPLIC 算法進行數(shù)值求解,壓力空間離散式方程選用“Body Force Weighted”算法求解,梯度空間離散化方程選擇“Least Square Cell”算法求解,動量空間離散化方程使用二階迎風(fēng)格式求解,松弛因子采用默認設(shè)置,當方程迭代余量減少到10-6時,計算被認為收斂.在計算過程中,Courant 數(shù)(Co)大部分時候小于1,這表明計算過程非常穩(wěn)定.Co 對于瞬態(tài)流動很重要.對于一維網(wǎng)格,它的定義為

表1 硅油物性參數(shù)(25 °C)Table 1 Liquid properties (25 °C)

式中,u 代表流速,Δx 代表網(wǎng)格尺寸,Δ t 代表時間步長.

板間流動的仿真?zhèn)纫晥D如圖5 所示,黃色曲面代表氣液界面.在t=0 s 時,液體全部位于液池底部,氣液界面為一平面.仿真開始后,液體快速向上爬升并在板間形成一彎曲液面.液體與平板的接觸線不是直線,如圖6 所示.因此,為了計算液體爬升高度,選擇接觸線的兩端點H1,H3和最高點H2,將其平均值(H1+H2+H3)/3 視為液體爬升高度h.

圖5 仿真結(jié)果側(cè)視圖.液體為10 號硅油,a=2 mm,b=14 mm,c=5 mmFig.5 Front view of the numerical model as the liquid is SF 10 and a=2 mm,b=14 mm,c=5 mm

圖6 板上液相分布,紅色部分代表液體Fig.6 Liquid distribution in a plate and the red part represents liquid

理論和仿真爬升高度的對比如圖7 所示.本文使用了6 種尺寸的平板模型.圖中實線代表理論結(jié)果,方塊代表仿真結(jié)果,并用不同顏色代表不同型號硅油的爬升數(shù)據(jù).黑色代表2 號硅油的數(shù)據(jù),紅色代表5 號硅油的數(shù)據(jù),藍色代表10 號硅油的數(shù)據(jù).由于模型高度的限制,對于2 號硅油,取其2 s 內(nèi)的爬升數(shù)據(jù);對于5 號硅油,取其4 s 內(nèi)的爬升數(shù)據(jù);對于10 號硅油,取其6 s 內(nèi)的爬升數(shù)據(jù).本文忽略了板間液面從一開始的平面到彎曲平衡界面的發(fā)展過程.此外,對于爬升高度的測量方法也將帶來一定誤差.總體來看,數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果吻合良好.對比圖8(a)和圖8(b),或者圖8(c)和圖8(d)可以看出,相同黏性的硅油,在較寬間距板間的爬升速度比較小間距板間的慢,平板之間的距離越寬,板間流速越慢.從理論分析中可知,表面張力的增加有助于增加毛細驅(qū)動壓力,加快液體流速,而液體黏性的增加會減小流速.

圖7 液體爬升高度隨時間變化Fig.7 Liquid climbing height h vs.time t

3 機理分析

為了進一步分析,可以將式(14)轉(zhuǎn)化成作用在控制體1 上合力的方程,如下

式中各力的含義為

(1)板間毛細驅(qū)動壓力

(2)液池內(nèi)慣性力

(3)板間入口對流壓力損失

(4)板間黏滯阻力

(5)板間慣性力

(6)液池內(nèi)黏滯阻力

(7)液池內(nèi)附加壓力

不同工況下各力發(fā)展情況如圖8 所示,橫坐標是時間t,縱坐標是力F.深紅色、綠色、淡藍色、深藍色和洋紅色實線分別代表平板間毛細驅(qū)動壓力Fcp、液池中的慣性力Fir、板間入口處的對流壓力損失Fpl、兩塊平板上的黏滯阻力Ffp和液池內(nèi)的附加壓力Fcr,黑色虛線代表平板間的慣性力Fip.毛細驅(qū)動壓力從最大值開始變化,迅速減小至最小值后又開始緩慢增加,該變化是由于動態(tài)接觸角的變化.從上述四圖中可以看出,無論是高Oh數(shù)(Oh=還是低Oh數(shù)工況,液池內(nèi)慣性力、板間入口壓力損失和板上黏滯阻力均先后發(fā)揮了主要作用,這點與橢圓管和同心圓管內(nèi)的流動特征大不相同.液池內(nèi)慣性力從最大值開始變化,迅速減小,直至被對流壓力損失超越;入口處對流壓力損失從0 開始變化,迅速增加到最大值后開始緩慢減小.最終在某一時刻,板上黏滯阻力超越入口壓力損失發(fā)揮主要作用.因此,板間的表面張力驅(qū)動流動均可以劃分成三個階段.在第一階段中,令毛細驅(qū)動壓力等于液池內(nèi)慣性力,可以得到

圖8 各力隨時間變化情況Fig.8 Forces’ development vs time

該方程的初始條件為 h˙(t=0)=0 .結(jié)合初始條件可求得第一階段的爬升高度為

為了計算第二階段的速度方程,令毛細驅(qū)動壓力等于入口處壓力損失,可以得到

令第一、第二階段的速度方程相等,可以求出劃分這兩個階段的時刻t1

結(jié)合第二階段的初始條件h1(t1),可得到第二階段爬升高度為

為了計算第三階段的速度方程,令毛細驅(qū)動壓力等于板上黏滯阻力,可以得到

令第二、第三階段的速度方程相等,可以求出劃分這兩個階段的時刻t2為

結(jié)合第三階段的初始條件h2(t2),可得第三階段的爬升高度為

不同工況的計算參數(shù)如表2 所示,利用Oh 數(shù)區(qū)分不同工況.

相比于高Oh 數(shù)工況,低Oh 數(shù)工況下第二階段持續(xù)時間更長.對比圖8(a)和圖8(b),或者圖8(c)和圖8(d),均可看出在低Oh 數(shù)時入口對流壓力損失發(fā)揮主要作用的時間更長,這意味著第二階段持續(xù)時間更長.例如,在第四個仿真工況中,其流動Oh 數(shù)為0.004 50,第二階段持續(xù)0.647 s;而在第六個仿真工況中,其流動Oh 數(shù)為0.022 1,第二階段僅持續(xù)0.039 s,遠小于低Oh 數(shù)工況下的持續(xù)時間.楔形平板間的表面張力驅(qū)動流可以分成三個階段,如圖9(a)所示,x 軸是時間t,y 軸是液體爬升高度h,藍線代表爬升高度與時間的關(guān)系,圖中標注了三個階段的范圍.第一階段中爬升曲線為拋物線型,液體爬升高度與t2成正比;第二階段中爬升曲線為直線型,液體爬升高度與t 成正比;第三階段液體爬升高度與t1/2成正比.理論和仿真爬升高度的對比如圖9(b)所示,其中黑色實現(xiàn)代表理論結(jié)果,方塊代表仿真結(jié)果,劃分不同流動階段的時刻t1和t2均標注在圖中,為了更直觀地觀察爬升高度的變化規(guī)律,建立了一條從時刻t1開始的虛直線.仿真結(jié)果和理論結(jié)果吻合良好,爬升高度的變化規(guī)律也與理論分析一致,充分驗證了理論分析的正確性.

4 結(jié)論

本文通過理論分析,推導(dǎo)出了微重力環(huán)境下成一定夾角平板間表面張力驅(qū)動流爬升高度的二階微分方程,并利用基于VOF 方法的數(shù)值模擬開展了驗證工作.本文采用了6 種研究模型和3 種型號硅油,理論結(jié)果與仿真結(jié)果吻合良好.

本文通過進一步的理論分析,還發(fā)現(xiàn)同時考慮兩個主要作用力,可將平板間的表面張力驅(qū)動流動分為三個階段,在這三個階段中液體爬升高度h 分別與t2,t 和t1/2成正比.在第一階段,液池中的慣性力和毛細驅(qū)動壓力發(fā)揮主要作用.但是液池中的慣性力迅速減小,流動進入第二階段,由對流壓力損失和毛細驅(qū)動壓力發(fā)揮主要作用.并且,在高Oh 數(shù)情況下,第二階段的持續(xù)時間很短暫.第三階段時由板上黏滯阻力和毛細驅(qū)動壓力發(fā)揮主要作用.相較于第三階段,第一、第二階段持續(xù)時間都很短暫,整個流動過程以第三階段為主.本章研究結(jié)果可為板式貯箱中導(dǎo)流板和蓄液葉片等的設(shè)計和空間流體管理提供理論依據(jù).