反哈密頓矩陣的特征值反問題

胡姍姍，李思思，羅佳杰

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

特征值反問題與矩陣特征值問題相反，需要由特征值和特征向量來確定矩陣的元素。特征值反問題被廣泛應(yīng)用于許多研究領(lǐng)域，如結(jié)構(gòu)動力學(xué)[1～4],極點配置[5,6]等。關(guān)于矩陣的特征值反問題可以在文獻(xiàn)[7]中找到。反哈密頓矩陣的特征值反問題有許多重要的應(yīng)用，并有許多計算其特征值、不變子空間和舒爾形式的算法。本文利用廣義奇異值分解研究反哈密頓矩陣的特征值反問題的可解性條件和通解表示。

本文主要解決以下兩個問題：

HX=XΛ

(1)

對矩陣對進(jìn)行廣義奇異值分解，給出了最佳逼近問題有解H的充要條件。當(dāng)集合SE非空時，證明了最佳逼近問題存在唯一解，并給出了唯一解的顯示表達(dá)式。

1 特征值反問題

為了解決特征值反問題，給出下面的引理

引理2[9]令S1=diag(α1,…,αs)∈s×s,S2=diag(β1,….βs)∈s×s且滿足g×s,則

當(dāng)且僅當(dāng)

(2)

引理3 假設(shè)S1=diag(α1,…,αs)∈s×s,S2=diag(β1,…,βs)∈s×s且滿足s×s,則

(3)

當(dāng)且僅當(dāng)

由于fij=-fji,容易得到

由上式的矩陣形式,可以得到結(jié)論。

假設(shè)H∈H2n×2n,由引理1,H可以表示為

(4)

其中E，F(xiàn)，G∈n×n可以被確定。令αi=Re(λi),βi=Im(λi),yi=Re(xi),zi=Im(xi),i=1,3,…，2l-1.

(5)

(6)

方程(1)可改寫為

(7)

設(shè)矩陣

(8)

由(4)和(8),方程(7)可以寫成

(9)

(10)

其中M∈p×p是非奇異矩陣,n×n

1>α1≥α2≥…≥αs>0,0<β1≤β2≤…≤βs<1,αi+βi=1(i=1,…,s),

令

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

E13,F12,G23是任意矩陣,F11,F22,G33是任意反對稱矩陣。

如果令

則有下面各式成立

E11=J11,E12S1+F12S2=J12,F13=J13,E21=J21,E22S1+F22S2=J22,F23=J23,

由上面各式之間的關(guān)系可得,可解條件(12)以及關(guān)系式(13)～(15)。

2 最佳逼近問題

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

其中F12,G23,F22分別由式(22)(23)(24)表示。