考慮振動(dòng)非平衡的可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)及其傳熱1)

羅 健 王智慧

(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院,北京 100049)

引言

高溫非平衡流動(dòng)條件下的氣動(dòng)力/熱精細(xì)預(yù)測(cè)是新型近空間高超聲速飛行器研制過(guò)程中面臨的關(guān)鍵難題之一[1-4].在新的流動(dòng)物理下,經(jīng)典預(yù)測(cè)理論失效,傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)和計(jì)算手段也難以滿(mǎn)足當(dāng)前工程需求.為了解決此問(wèn)題,一方面需要發(fā)展新的實(shí)驗(yàn)技術(shù)和計(jì)算手段[5-14],另一方面也亟需分析具體流動(dòng)特征和討論主要物理機(jī)制,探索和建立新的模型理論.對(duì)非平衡流動(dòng)和傳熱機(jī)理的深入認(rèn)識(shí),也有助于發(fā)展相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)和計(jì)算方法.

一般來(lái)說(shuō),非平衡流動(dòng)模型理論的建立,需要針對(duì)主要的高溫真實(shí)氣體效應(yīng),并結(jié)合具體的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)特征.根據(jù)飛行高度和速度的差異,不同飛行器所遭遇的高溫真實(shí)氣體效應(yīng)也不同[15].當(dāng)飛行器再入或高速滑翔飛行時(shí),化學(xué)非平衡效應(yīng)占主導(dǎo)作用;當(dāng)飛行器巡航速度相對(duì)較低(馬赫數(shù)Ma=5～10)時(shí),振動(dòng)非平衡效應(yīng)更加重要,而氣體離解等化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的影響可以忽略[16].對(duì)振動(dòng)非平衡的研究,一方面聚焦于微觀層面的振動(dòng)激發(fā)速率的研究[17-21],另一方面聚焦于振動(dòng)激發(fā)對(duì)于飛行器氣動(dòng)力/熱的影響[22-24],例如,Schubert[24]研究發(fā)現(xiàn)在特定條件下振動(dòng)非平衡會(huì)使得總熱流變化14%左右.為了更加精細(xì)地模擬振動(dòng)非平衡過(guò)程,在計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(computational fluid dynamics,CFD)、直接模擬蒙特卡羅(direct simulation of Monte Carlo,DSMC)[25]等計(jì)算方法中都先后引入了精細(xì)的振動(dòng)激發(fā)模型[26-30].最近,Luo 和Wang[31]提出了振動(dòng)非平衡和化學(xué)非平衡流動(dòng)之間的比擬關(guān)系,并從理論上討論了振動(dòng)非平衡及壁面振動(dòng)能非完全適應(yīng)對(duì)駐點(diǎn)熱流預(yù)測(cè)的影響,但尚未討論駐點(diǎn)下游流場(chǎng)中的非平衡特征.

根據(jù)流場(chǎng)結(jié)構(gòu)特征的差異,飛行器不同部位的流動(dòng)可大致分為3 類(lèi):機(jī)身體前緣和翼緣駐點(diǎn)附近的強(qiáng)壓縮流動(dòng)、機(jī)身和機(jī)翼表面的強(qiáng)剪切流動(dòng)以及凸起物和縫隙等結(jié)構(gòu)處的復(fù)雜干擾流動(dòng).不同類(lèi)型流動(dòng)的動(dòng)量、能量輸運(yùn)機(jī)理存在顯著的差異,需要有針對(duì)性地建立其流動(dòng)模型,發(fā)展相應(yīng)的氣動(dòng)力/熱預(yù)測(cè)理論.如圖1 所示,駐點(diǎn)附近的強(qiáng)壓縮流動(dòng)常用圓柱或圓球繞流模型來(lái)模擬,而駐點(diǎn)下游的強(qiáng)剪切流動(dòng)則為邊界層流動(dòng)模型.駐點(diǎn)氣動(dòng)加熱是氣動(dòng)熱防護(hù)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)關(guān)注對(duì)象,駐點(diǎn)下游流動(dòng)和傳熱特征則顯著影響飛行器摩阻和加熱總量的預(yù)測(cè).由于問(wèn)題復(fù)雜性,高溫非平衡邊界層傳熱的一般性理論目前尚未建立起來(lái).事實(shí)上,即使對(duì)于另一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的剪切流動(dòng)模型-庫(kù)埃特(Couette)流動(dòng),高溫非平衡效應(yīng)下的傳熱特征也缺乏理論描述.對(duì)非平衡庫(kù)埃特流動(dòng)的研究,可以揭示強(qiáng)剪切非平衡流動(dòng)物理和傳熱特征,對(duì)最終建立非平衡邊界層流動(dòng)理論也具有重要的參考意義.另外,根據(jù)流動(dòng)主控因素的相似性,簡(jiǎn)單流動(dòng)模型中所得到的非平衡流動(dòng)判據(jù)等,也可以推廣到更復(fù)雜的流動(dòng)模型,并定性或半定量地解釋工程實(shí)際中遇到的非平衡氣動(dòng)加熱現(xiàn)象.例如,通過(guò)調(diào)整庫(kù)埃特流動(dòng)的速度和溫度邊界條件,可近似模擬駐點(diǎn)下游不同站位或不同條件下的邊界層型流動(dòng)特征[32].

圖1 高超聲速飛行器周?chē)鲌?chǎng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of the flow over a hypersonic vehicle

前人從各個(gè)角度對(duì)庫(kù)埃特流動(dòng)進(jìn)行了廣泛而深入地研究.Illingworth[33]最早在1950 年給出了量熱完全氣體可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)的理論解.Liepmann等[34-35]推導(dǎo)了化學(xué)離解平衡條件下庫(kù)埃特流動(dòng)的絕熱壁焓和恢復(fù)因子.庫(kù)埃特流動(dòng)作為最基本的剪切流動(dòng)模型也被用來(lái)研究稀薄氣體效應(yīng)和氣固相互作用等對(duì)動(dòng)量/能量輸運(yùn)的影響[36-38].最近,Abramov 和Butkovskii[39]仍然基于庫(kù)埃特流動(dòng)模型,討論了不同稀薄程度下的雷諾比擬關(guān)系;Chen 和Zhou[5]基于庫(kù)埃特流動(dòng)模型分析了高超聲速稀薄流動(dòng)中的等效輸運(yùn)系數(shù).可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)模型在保留典型強(qiáng)剪切特征的前提下,能夠極大地降低真實(shí)流動(dòng)的復(fù)雜性,有利于明晰非平衡流動(dòng)物理以及氣固相互作用的影響[40].

對(duì)于高超聲速?gòu)?qiáng)剪切流動(dòng)的氣動(dòng)力/熱預(yù)測(cè),參考溫度(焓)方法和雷諾比擬關(guān)系發(fā)揮著重要作用.通過(guò)計(jì)算參考溫度下的氣體熱物性參數(shù),可以推廣不可壓縮邊界層理論公式來(lái)近似預(yù)測(cè)可壓縮邊界層的壁面摩阻.雷諾比擬關(guān)系給出了強(qiáng)剪切流動(dòng)摩阻和熱流之間的關(guān)聯(lián),結(jié)合參考溫度方法得到的摩阻即可求得可壓縮強(qiáng)剪切流動(dòng)的壁面熱流.參考溫度方法這一概念最早由Rubesin 和Johnson[41]提出,用以估計(jì)可壓縮邊界層內(nèi)流體的平均屬性.Dorrance[42]和Eckert[43]分別給出了層流邊界層中參考溫度的理論計(jì)算公式.Young 和Janssen[44]提出了高馬赫數(shù)下的參考溫度計(jì)算式.雷諾比擬關(guān)系的發(fā)展與參考溫度方法在同一時(shí)期,Reynolds[45]最早提出了摩阻和熱流二者之間存在比擬關(guān)系的假設(shè).Van Driest[46]在1952 年證明了比擬關(guān)系在層流邊界層中確實(shí)是近似成立的;當(dāng)高溫真實(shí)氣體效應(yīng)顯著時(shí),Cohen[47]給出離解平衡氣體模型參考溫度的關(guān)聯(lián)式,并據(jù)此修正了離解平衡氣體模型的雷諾比擬關(guān)系;Debrestian 和Anderson[48]以及Ott 和Anderson[49]發(fā)現(xiàn),對(duì)于化學(xué)非平衡氣體,可以根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果引入關(guān)聯(lián)因子,通過(guò)參考溫度方法和雷諾比擬關(guān)系仍然能夠近似預(yù)測(cè)壁面摩阻和熱流.綜合來(lái)看,前人對(duì)于參考溫度和雷諾比擬關(guān)系的研究大多是基于數(shù)值計(jì)算或?qū)嶒?yàn)結(jié)果,給出后驗(yàn)性的關(guān)聯(lián)式.對(duì)于高溫真實(shí)氣體效應(yīng)的討論也多局限于參數(shù)的擬合與修正,缺乏對(duì)物理機(jī)理的深入討論.特別是,對(duì)于目前關(guān)注的振動(dòng)非平衡的強(qiáng)剪切流動(dòng),仍然缺少參考溫度和雷諾比擬關(guān)系的相關(guān)理論研究.

本文將基于庫(kù)埃特流動(dòng)模型,研究高超聲速剪切流動(dòng)中動(dòng)量和能量的輸運(yùn)規(guī)律.首先,在量熱完全氣體模型下推導(dǎo)得到了可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)的參考溫度,揭示了可壓縮性對(duì)強(qiáng)剪切流動(dòng)摩阻和熱流的影響機(jī)理.然后討論了振動(dòng)非平衡效應(yīng)對(duì)于參考溫度和雷諾比擬關(guān)系的影響,進(jìn)而給出了振動(dòng)非平衡氣體庫(kù)埃特流動(dòng)的摩阻和熱流預(yù)測(cè)理論.最后,采用DSMC 數(shù)值方法[25],對(duì)模型理論進(jìn)行了驗(yàn)證,并討論了非平衡傳熱特征.

1 研究思路與方法

1.1 流動(dòng)模型

平面庫(kù)埃特流動(dòng)是經(jīng)典的剪切流動(dòng)模型,如圖2所示.由兩個(gè)做相對(duì)平行運(yùn)動(dòng)的無(wú)限大平板驅(qū)動(dòng),在剪切應(yīng)力作用下,足夠長(zhǎng)時(shí)間后形成的一維定常流動(dòng),流動(dòng)參數(shù)只沿壁面法向(y方向)變化.設(shè)兩平板之間的間距為H,下平板為固定壁面,速度為 0,溫度為T(mén)w;上平板切向速度為U∞,溫度為T(mén)∞,約定上平板的溫度高于下平板,即T∞＞Tw.根據(jù)高超聲速飛行器的實(shí)際飛行狀態(tài),庫(kù)埃特流動(dòng)邊界條件的取值限定在一定范圍之內(nèi),上邊界速度U∞= 2～6 km/s,溫度T∞=1000 K～4000 K,下邊界溫度Tw=300 K～2000 K .由于振動(dòng)非平衡流動(dòng)過(guò)程滿(mǎn)足二體碰撞相似律[15],數(shù)值模擬與真實(shí)流動(dòng)的稀薄程度保持一致,Knudsen 數(shù)Kn=10-4～10-2,表明整體流動(dòng)處于近連續(xù)區(qū).

圖2 庫(kù)埃特流動(dòng)示意圖Fig.2 Schematic of the Couette flow

1.2 物理分析

庫(kù)埃特流動(dòng)中的能量傳遞與轉(zhuǎn)化的過(guò)程可以用模型示意圖3 說(shuō)明.對(duì)于量熱完全氣體,庫(kù)埃特流動(dòng)的傳熱過(guò)程可以分為兩部分,一部分是由上下邊界溫度差或內(nèi)能差(etr,∞-etr,w)驅(qū)動(dòng)的導(dǎo)熱過(guò)程,能量以氣體分子平轉(zhuǎn)動(dòng)能etr的形式由上邊界傳遞到下邊界;另一部分是剪切黏性耗散產(chǎn)生的熱量evis,這部分能量會(huì)同時(shí)向上下邊界傳遞.同時(shí),黏性耗散產(chǎn)生的熱量引起流場(chǎng)中溫度升高,氣體熱物性參數(shù)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化.

圖3 熱完全氣體庫(kù)埃特流動(dòng)中能量傳遞與轉(zhuǎn)化的廣義模型Fig.3 General model of the energy transfer and conversion in the Couette flow of a thermally perfect gas

圖4 中藍(lán)色實(shí)線(xiàn)展示了可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)的速度u、溫度T、黏性系數(shù) μ 的分布剖面.由于黏性系數(shù)隨溫度發(fā)生變化,速度已經(jīng)不再是線(xiàn)性分布.參考溫度方法將可壓縮流動(dòng)與某一虛擬的等溫不可壓縮流動(dòng)等效,該不可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)各物理量的分布剖面如圖4 中藍(lán)色虛線(xiàn)所示.其虛擬溫度場(chǎng)是均勻的,由于庫(kù)埃特流動(dòng)中壓強(qiáng)不變,因此虛擬密度場(chǎng)也是均勻的.流動(dòng)可壓縮性的影響被等效地歸結(jié)到參考溫度的變化上,參考溫度相較T∞變化得越多,說(shuō)明可壓縮性對(duì)流動(dòng)的影響越大.

圖4 高超聲速庫(kù)埃特流動(dòng)剖面示意圖Fig.4 Profiles of the hypersonic Couette flow

進(jìn)一步,當(dāng)流場(chǎng)中溫度升高后,高溫真實(shí)氣體效應(yīng)逐漸顯著.本文只關(guān)注振動(dòng)非平衡效應(yīng)對(duì)流動(dòng)和傳熱的影響,不考慮化學(xué)反應(yīng)過(guò)程,并假設(shè)氣體分子的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)一直處于平衡狀態(tài).當(dāng)氣體分子的振動(dòng)模態(tài)激發(fā)后,振動(dòng)能也將參與到傳熱過(guò)程中,如圖3 右半部分所示.一方面,上下邊界的振動(dòng)能之差(ev,∞-ev,w)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)能導(dǎo)熱過(guò)程;另一方面,流場(chǎng)中平轉(zhuǎn)動(dòng)能etr與振動(dòng)能ev之間還存在著能量交換,即振動(dòng)弛豫過(guò)程.一般來(lái)說(shuō),振動(dòng)能導(dǎo)熱過(guò)程與振動(dòng)弛豫過(guò)程速率的差異將導(dǎo)致流動(dòng)處于振動(dòng)非平衡狀態(tài).由于氣體分子振動(dòng)模態(tài)的激發(fā),平轉(zhuǎn)動(dòng)溫度剖面小幅度降低(如圖4(b)中紅色實(shí)線(xiàn)所示),此時(shí)等效不可壓縮流動(dòng)的參考溫度需要進(jìn)行二次修正,修正后的參考溫度與振動(dòng)非平衡程度相關(guān),振動(dòng)凍結(jié)極限下修正量為0,平衡極限下修正量則最大.

在高超聲速庫(kù)埃特流動(dòng)中,流動(dòng)可壓縮效應(yīng)對(duì)參考溫度的影響是主要的,振動(dòng)非平衡效應(yīng)在此基礎(chǔ)上疊加了小幅度修正.采用修正后的參考溫度,就可以根據(jù)不可壓縮流動(dòng)理論得到實(shí)際可壓縮流動(dòng)情況下的壁面摩阻.若要得到壁面熱流,除了討論摩阻的修正,還需要確認(rèn)雷諾比擬關(guān)系是否受振動(dòng)非平衡效應(yīng)影響.通過(guò)提煉關(guān)鍵物理過(guò)程的無(wú)量綱判據(jù),最終可建立完備的振動(dòng)非平衡庫(kù)埃特流動(dòng)動(dòng)量、能量輸運(yùn)的理論體系,為進(jìn)一步研究更復(fù)雜強(qiáng)剪切流動(dòng)模型的氣動(dòng)力/熱規(guī)律奠定基礎(chǔ).

1.3 計(jì)算方法

DSMC 方法是一種基于微觀分子運(yùn)動(dòng)論的唯象物理模擬方法,是目前稀薄流動(dòng)領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛、公認(rèn)可靠的數(shù)值研究手段.本文將采用Bird 開(kāi)發(fā)的開(kāi)源DSMC 程序DS2 V[25]對(duì)提出的預(yù)測(cè)理論進(jìn)行驗(yàn)證和標(biāo)定.在計(jì)算中,選取氮?dú)?N2流動(dòng)作為研究對(duì)象,分子碰撞模型采用了變徑硬球模型,黏性-溫度指數(shù)律的冪指數(shù) ω=0.74 .內(nèi)能弛豫模型采用廣義的Larsen-Borgnakke 模型,其中轉(zhuǎn)動(dòng)能是連續(xù)的,轉(zhuǎn)動(dòng)弛豫數(shù)為5;振動(dòng)能描述采用間斷的量子態(tài)能級(jí)模型,振動(dòng)弛豫數(shù)根據(jù)碰撞對(duì)的相對(duì)碰撞能和振動(dòng)能來(lái)計(jì)算.二維計(jì)算域的左右為周期性邊界條件,上下邊界設(shè)為壁面,氣體分子與壁面之間為完全漫反射,且能量完全適應(yīng).計(jì)算網(wǎng)格為矩形網(wǎng)格,計(jì)算過(guò)程中程序自動(dòng)根據(jù)當(dāng)?shù)氐南”〕潭冗M(jìn)行加密,計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)小于分子平均碰撞時(shí)間的三分之一,每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的分子數(shù)為 10～20 個(gè),滿(mǎn)足了DSMC 數(shù)值模擬的標(biāo)準(zhǔn).

2 理論分析與驗(yàn)證

2.1 量熱完全氣體的可壓縮修正

對(duì)于量熱完全氣體,庫(kù)埃特流動(dòng)的動(dòng)量能量守恒方程及其邊界條件為

其中 μ和K分別表示氣體的黏性系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù).引入無(wú)量綱變換

方程可以改寫(xiě)為無(wú)量綱的形式

其中無(wú)量綱的Brinkman 數(shù)Br=Pr·Ec,Prandtl 數(shù)Pr=cpμ∞/K∞表征氣體動(dòng)量和能量輸運(yùn)能力的相對(duì)強(qiáng)弱,Eckert 數(shù)表征剪切耗散效應(yīng)的相對(duì)大小,cp是氣體的定壓比熱容.邊界條件無(wú)量綱化得到的參數(shù)Rt=Tw/T∞表征了純導(dǎo)熱過(guò)程的強(qiáng)度.通過(guò)無(wú)量綱分析可知,量熱完全氣體的可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)完全由特征參數(shù)Br和Rt控制.

黏性系數(shù) μ 和導(dǎo)熱系數(shù)K隨溫度的變化可以采用冪律表示為

由于冪次形式的特殊性,可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)速度、溫度剖面的理論解難以得到顯式表達(dá)式,但可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到其精確解,如圖5 中黑色實(shí)線(xiàn)所示.圖中符號(hào)點(diǎn)代表DSMC 的計(jì)算結(jié)果,兩個(gè)算例的邊界條件(U∞,Tw,T∞)不同,但無(wú)量綱參數(shù)Br和Rt相同.

從圖5 可以看出,相同的無(wú)量綱參數(shù)的算例有相同的歸一化速度、溫度剖面,說(shuō)明對(duì)于量熱完全氣體的可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng),其控制參數(shù)確實(shí)是Br和Rt.另一方面,DSMC 模擬的結(jié)果和精確解吻合得很好,說(shuō)明DSMC 作為數(shù)值計(jì)算工具在當(dāng)前問(wèn)題中具有足夠的精度,可以用于進(jìn)一步的討論分析.

圖5 量熱完全氣體庫(kù)埃特流動(dòng)剖面Fig.5 Profiles of the Couette flow of a calorically perfect gas

下壁面的摩阻系數(shù)Cf為

其中,τw是下壁面切應(yīng)力,ρ*是可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)的平均密度,雷諾數(shù).φc表征了可壓縮條件下壁面摩阻系數(shù)相較于不可壓縮流動(dòng)情況Cf,inc=2/Re∞的修正,不妨將其定義為可壓縮修正因子.根據(jù)前人對(duì)可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)的研究[35],當(dāng)黏性系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù)與溫度之間滿(mǎn)足冪次關(guān)系(3)時(shí),可壓縮修正因子 φc可以表示為特征參數(shù)Br和Rt的積分形式

可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)的壁面熱流可以根據(jù)摩阻系數(shù)以及雷諾比擬關(guān)系得到.對(duì)于量熱完全氣體模型,庫(kù)埃特流動(dòng)中速度與溫度滿(mǎn)足能量積分關(guān)系[35]

其中qw為下壁面的熱流.引入Stanton 數(shù)

因此,可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)的Stanton 數(shù)可以表示為

式(4)和式(8)分別給出了量熱完全氣體模型下可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)的摩阻與熱流,然而可壓縮修正因子 φc的積分形式(5)求解不便.工程上經(jīng)常采用參考溫度方法來(lái)估計(jì)邊界層流動(dòng)的可壓縮效應(yīng),本文借鑒這一思想來(lái)考慮可壓縮性對(duì)庫(kù)埃特流動(dòng)與傳熱的影響.為了盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)流動(dòng)可壓縮性對(duì)熱物性參數(shù)的影響,需要參考溫度能夠反應(yīng)流場(chǎng)的全局溫度,前人利用溫度剖面的積分平均值來(lái)近似估計(jì)[42]

代入溫度T與速度u的能量積分關(guān)系式(6),積分后得到可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)的參考溫度

可壓縮修正因子φc可以用參考溫度表示

圖6 顯示了可壓縮修正因子 φc隨控制參數(shù)Br和Rt變化的等值線(xiàn)圖.當(dāng)Br＞6(1-Rt) 時(shí),可壓縮修正因子 φc＞1,剪切耗散作用占優(yōu),摩阻因流動(dòng)的可壓縮性變大;當(dāng)Br＜6(1-Rt) 時(shí),可壓縮修正因子φc＜1,上下邊界溫差造成的熱傳導(dǎo)作用占優(yōu),摩阻因流動(dòng)的可壓縮性變小.當(dāng)Br≈6(1-Rt) 時(shí),可壓縮修正因子 φc≈1,此時(shí)剪切耗散作用和邊界導(dǎo)熱作用相互抵消,可壓縮性對(duì)熱物性參數(shù)的修正量為 0 .通過(guò)參考溫度方法得到的近似修正理論與此規(guī)律一致,圖6 中虛線(xiàn)為近似修正理論(11)給出的修正分界線(xiàn)Br=6(1-Rt) ,與精確解的等值線(xiàn) φc=1 幾乎重合,說(shuō)明了參考溫度公式(10)的合理性.

圖6 可壓縮修正因子 φc 的等值線(xiàn)圖Fig.6 Contour map of the compressibility correction factor φc

圖7 顯示了量熱完全氣體庫(kù)埃特流動(dòng)摩阻和熱流的理論預(yù)測(cè)值與DSMC 計(jì)算值的對(duì)比圖,實(shí)線(xiàn)為積分形式的精確數(shù)值解式(5),虛線(xiàn)為參考溫度方法得到的近似理論解式(11),符號(hào)點(diǎn)是DSMC 數(shù)值模擬結(jié)果,其中實(shí)心和空心符號(hào)分別表示根據(jù)摩阻(式(4))和熱流(式(8))結(jié)果推出的相應(yīng)數(shù)值.在不同的溫度比Rt下,摩阻和熱流隨剪切強(qiáng)度變化的規(guī)律都與預(yù)測(cè)相符,相對(duì)誤差在2%以?xún)?nèi).

圖7 量熱完全氣體可壓縮修正因子近似理論解與精確解和DSMC 數(shù)據(jù)之間的對(duì)比Fig.7 Theoretical prediction of compressibility correction factorφc under calorically perfect gas model and its comparison with the exact solution and DSMC results

2.2 振動(dòng)非平衡對(duì)參考溫度的影響

正如前面提到的那樣,高超聲速庫(kù)埃特流動(dòng)除了需要考慮流動(dòng)可壓縮性帶來(lái)的影響外,還需要考慮流場(chǎng)溫度升高引起的高溫真實(shí)氣體效應(yīng)的影響.對(duì)于振動(dòng)模態(tài)激發(fā)的熱完全氣體,庫(kù)埃特流動(dòng)的控制方程組為

其中,氣體平轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)的焓h=cpT,其中定壓比熱容cp仍沿用了量熱完全氣體模型的定義;氣體的振動(dòng)能,其中 θv和R分別是振動(dòng)特征溫度和氣體常數(shù)(對(duì)于氮?dú)?θv=3371K,R=;ev,e是平轉(zhuǎn)動(dòng)溫度T對(duì)應(yīng)的平衡振動(dòng)能;振動(dòng)弛豫特征時(shí)間[15]τv=C1/p·exp(C2/T)1/3(對(duì)于氮?dú)?C1=7.12×10-3atm·μs(1 atm=1×105Pa),C2=1.91×106K).振動(dòng)能Prandtl 數(shù)Prv表征氣體動(dòng)量和振動(dòng)能輸運(yùn)能力的相對(duì)強(qiáng)弱[50].為了找到振動(dòng)非平衡庫(kù)埃特流動(dòng)中的控制參數(shù),對(duì)方程進(jìn)行無(wú)量綱化,引入無(wú)量綱變換如下

方程中除了表征可壓縮效應(yīng)的控制參數(shù)Br和Rt外,還出現(xiàn)了新的無(wú)量綱參數(shù).=Pr/Prv表征氣體分子平轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)與振動(dòng)模態(tài)導(dǎo)熱能力之比,對(duì)于氮?dú)?0.9.Damk?hler 數(shù)表征振動(dòng)能導(dǎo)熱過(guò)程與振動(dòng)能弛豫過(guò)程的特征時(shí)間之比,其中 ρH2Prv/μ 衡量了氣體分子振動(dòng)能導(dǎo)熱特征時(shí)間[51].ηv=(ev,∞-ev,w)/(haw-hw) 表征氣體分子振動(dòng)與平轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)導(dǎo)熱驅(qū)動(dòng)勢(shì)之比.

特別地,特征參數(shù)Dav,r是當(dāng)前問(wèn)題中的振動(dòng)非平衡判據(jù).當(dāng)Dav,r→0 時(shí),振動(dòng)趨近于凍結(jié)極限;當(dāng)Dav,r→∞時(shí),振動(dòng)趨近于平衡極限;當(dāng)Dav,r～1 時(shí),振動(dòng)處于非平衡狀態(tài).考慮到公式中涉及的熱力學(xué)參數(shù)p和黏性系數(shù) μ 都會(huì)隨著溫度變化,不妨用參考溫度對(duì)應(yīng)的不可壓縮流動(dòng)狀態(tài)來(lái)估計(jì),取其參考值p*和.經(jīng)過(guò)整理,振動(dòng)非平衡判據(jù)Dav,r表示為

更進(jìn)一步地,為了賦予Dav,r定量的物理意義,以便預(yù)測(cè)振動(dòng)非平衡效應(yīng)的影響,引入比例系數(shù)A,通過(guò)后文DSMC 數(shù)據(jù)可標(biāo)定A≈0.053 .

氣體分子的振動(dòng)模態(tài)激發(fā)會(huì)使得振動(dòng)溫度升高,平轉(zhuǎn)動(dòng)溫度降低,如圖8 所示.氣體的熱物性參數(shù)隨平轉(zhuǎn)動(dòng)溫度而變化,為了定量描述這一變化,有必要根據(jù)振動(dòng)非平衡程度對(duì)可壓縮因子 φc進(jìn)行修正.

圖8 熱完全氣體可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)的溫度剖面Fig.8 Temperature profiles of the Couette flow of a thermally perfect gas

在振動(dòng)凍結(jié)極限條件下,平轉(zhuǎn)動(dòng)溫度不受振動(dòng)模態(tài)的影響,不需要修正;在振動(dòng)平衡極限條件下,氣體分子的平轉(zhuǎn)動(dòng)能會(huì)最大程度地傳遞給振動(dòng)能,此時(shí)對(duì)熱物性參數(shù)的影響最大,所以需要先考慮振動(dòng)平衡極限下的修正.考慮到在等效不可壓縮庫(kù)埃特流動(dòng)中溫度均勻分布,可以根據(jù)能量守恒關(guān)系得到一種可行的求解振動(dòng)平衡極限下的參考溫度的方法,即

其中,ζv(Tv)=(2θv/Tv)/[exp(θv/Tv)-1] 為氣體分子的振動(dòng)自由度.對(duì)于振動(dòng)非平衡狀態(tài),其參考溫度介于凍結(jié)極限和平衡極限之間.可以發(fā)現(xiàn),凍結(jié)和平衡極限的加權(quán)平均可以很好地描述振動(dòng)非平衡狀態(tài)下的參考溫度,即

相應(yīng)的可壓縮修正因子為

圖9 可壓縮修正因子隨振動(dòng)非平衡判據(jù)的歸一化變化Fig.9 Normalized variation of compressibility correction factor with the vibrational nonequilibrium criterion

2.3 振動(dòng)非平衡對(duì)雷諾比擬關(guān)系的影響

對(duì)于量熱完全氣體模型,庫(kù)埃特流動(dòng)的壁面摩阻系數(shù)Cf和Stanton 數(shù)S t之間存在雷諾比擬關(guān)系(7).對(duì)于熱完全氣體,考慮氣體分子振動(dòng)模態(tài)激發(fā)后,也能相應(yīng)得到壁面摩阻和熱流之間的能量積分關(guān)系

為了更好地體現(xiàn)振動(dòng)激發(fā)對(duì)雷諾比擬關(guān)系的影響,Stanton 數(shù)的定義仍然采用量熱完全氣體模型的焓差 (haw-hw) 來(lái)無(wú)量綱化

從而熱完全氣體庫(kù)埃特流動(dòng)的雷諾比擬關(guān)系為

式(20)說(shuō)明,熱流和摩阻之間的比擬關(guān)系只與各個(gè)內(nèi)能模態(tài)的熱流驅(qū)動(dòng)勢(shì)之比 ηv有關(guān),而與流動(dòng)振動(dòng)非平衡程度無(wú)關(guān).這是因?yàn)?本文假設(shè)氣體與壁面碰撞過(guò)程中,各個(gè)模態(tài)的能量都完全適應(yīng).流場(chǎng)中的能量無(wú)論是平轉(zhuǎn)動(dòng)能的形式還是振動(dòng)能的形式都能完全地參與壁面熱交換過(guò)程,在與壁面碰撞過(guò)程中各種模態(tài)的能量沒(méi)有差異,總熱流只與總的熱流驅(qū)動(dòng)勢(shì)相關(guān).另一方面,由于振動(dòng)激發(fā)引起的氣體黏性系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù)的修正是一致的,二者均與溫度呈相同冪次關(guān)系,在比擬關(guān)系中這一影響相互抵消.因此,對(duì)于考慮振動(dòng)激發(fā)的熱完全氣體,由于氣體分子振動(dòng)模態(tài)與平轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)的導(dǎo)熱能力有所差異,雷諾比擬關(guān)系與總熱流驅(qū)動(dòng)勢(shì)中振動(dòng)能的占比相關(guān),與流動(dòng)非平衡程度無(wú)關(guān).

圖10 中,虛線(xiàn)和實(shí)線(xiàn)分別代表量熱完全氣體和熱完全氣體的雷諾比擬關(guān)系(式(7)和式(20)),符號(hào)點(diǎn)表示DSMC 的數(shù)值計(jì)算結(jié)果,空心符號(hào)和實(shí)心符號(hào)代表的算例一一對(duì)應(yīng),二者流動(dòng)邊界條件完全一致,只有氣體模型的差異.從圖中可以看出,理論預(yù)測(cè)的結(jié)果與DSMC 數(shù)值計(jì)算的結(jié)果吻合得較好,從而能夠驗(yàn)證理論的正確性.

圖10 不同氣體模型下庫(kù)埃特流動(dòng)的雷諾比擬關(guān)系Fig.10 Reynolds analogy of the Couette flows under different gas models

2.4 高超聲速庫(kù)埃特流動(dòng)的摩阻和熱流

通過(guò)前文的分析可知,在高超聲速庫(kù)埃特流動(dòng)中,需要考慮剪切流動(dòng)中上下邊界溫度差異引起的導(dǎo)熱過(guò)程、剪切運(yùn)動(dòng)造成的黏性耗散過(guò)程,以及振動(dòng)非平衡過(guò)程的影響.通過(guò)借鑒參考溫度方法的思想,氣體熱物性參數(shù)的變化都被歸結(jié)到無(wú)量綱的可壓縮修正因子 φ 上.對(duì)于量熱完全氣體,修正因子φc(式(11))只與流動(dòng)控制參數(shù)Br和Rt相關(guān).對(duì)于振動(dòng)激發(fā)的熱完全氣體,振動(dòng)非平衡的可壓縮因子φv,ne需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)行二次修正,修正幅度由振動(dòng)非平衡判據(jù)Dav,r決定(式(16)).從而,高超聲速庫(kù)埃特流動(dòng)的壁面摩阻系數(shù)Cf為

再結(jié)合熱完全氣體庫(kù)埃特流動(dòng)的雷諾比擬關(guān)系式(20),可求得表征壁面熱流的S t數(shù)

圖11 和圖12 分別展示了對(duì)于高超聲速庫(kù)埃特流動(dòng)的摩阻和熱流的理論預(yù)測(cè)結(jié)果與DSMC 數(shù)值結(jié)果的對(duì)比圖.可以看出,無(wú)論是量熱完全氣體還是考慮振動(dòng)非平衡的熱完全氣體,在不同的邊界條件下的理論預(yù)測(cè)結(jié)果與數(shù)值結(jié)果都能吻合得較好.說(shuō)明本文提出的無(wú)量綱參數(shù)能夠很好地描述不同條件下的可壓縮效應(yīng)以及振動(dòng)非平衡效應(yīng),推導(dǎo)得到的參考溫度以及可壓縮修正因子也能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)高超聲速庫(kù)埃特流動(dòng)的摩阻和熱流.

圖11 不同條件下庫(kù)埃特流動(dòng)壁面摩阻的理論預(yù)測(cè)和DSMC 數(shù)值結(jié)果的對(duì)比Fig.11 Comparison of the theoretical prediction and DSMC results of the skin-friction of Couette flows

圖12 不同條件下庫(kù)埃特流動(dòng)壁面熱流的理論預(yù)測(cè)和DSMC 數(shù)值結(jié)果的對(duì)比Fig.12 Comparison of the theoretical prediction and DSMC results of the heat flux of Couette flows

最后需要說(shuō)明的是,本文上述分析討論僅適用于近連續(xù)區(qū),當(dāng)流動(dòng)更加稀薄后,新的流動(dòng)物理現(xiàn)象會(huì)顯著影響氣動(dòng)力/熱的預(yù)測(cè).一方面,稀薄流動(dòng)中壁面的速度滑移、溫度跳躍現(xiàn)象顯著,對(duì)于參考溫度和雷諾比擬關(guān)系的影響需要重新考慮[52];另一方面,根據(jù)之前的研究結(jié)果[31],在流動(dòng)更加稀薄后,氣體分子與壁面碰撞時(shí),平轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)很快與壁面之間達(dá)到平衡,而振動(dòng)模態(tài)往往需要更多的碰撞才能與壁面達(dá)到熱平衡,壁面上存在振動(dòng)能適應(yīng)非平衡過(guò)程.這一過(guò)程對(duì)摩阻影響不大,但對(duì)熱流影響較為顯著,需要提出新的非平衡判據(jù)來(lái)討論.可以看到,當(dāng)考慮極端環(huán)境下的復(fù)雜介質(zhì)和復(fù)雜邊界條件時(shí),即使極為簡(jiǎn)單的庫(kù)埃特流動(dòng)模型,也將表現(xiàn)出豐富且多變的非平衡過(guò)程,需留待后續(xù)研究中進(jìn)一步完善.

3 結(jié)論

本文以新型高超聲速飛行器氣動(dòng)力/熱精確預(yù)測(cè)為背景,研究了高溫氣體分子振動(dòng)非平衡效應(yīng)對(duì)典型強(qiáng)剪切流動(dòng)模型-庫(kù)埃特流動(dòng)及其傳熱特征的影響.通過(guò)物理建模與理論分析,提出了高溫真實(shí)氣體庫(kù)埃特流動(dòng)的參考溫度表達(dá)式和振動(dòng)非平衡判據(jù),進(jìn)而構(gòu)建了該流動(dòng)模型摩擦阻力和熱流的理論預(yù)測(cè)公式,并采用DSMC 數(shù)值方法對(duì)之進(jìn)行了驗(yàn)證.研究發(fā)現(xiàn),流動(dòng)可壓縮性和分子振動(dòng)非平衡效應(yīng)對(duì)于氣體熱物性參數(shù)的影響都可以通過(guò)參考溫度模型進(jìn)行修正;對(duì)于振動(dòng)激發(fā)的熱完全氣體模型,雷諾比擬關(guān)系仍然成立,只是比擬系數(shù)需要考慮振動(dòng)能傳熱的影響.通過(guò)參考溫度方法和修正的雷諾比擬關(guān)系可以很好地預(yù)測(cè)高超聲速庫(kù)埃特流動(dòng)的氣動(dòng)力/熱特征.該研究豐富了對(duì)非平衡流動(dòng)物理的認(rèn)識(shí),對(duì)研究更復(fù)雜流動(dòng)模型的非平衡傳熱問(wèn)題及工程快速估算都具有參考價(jià)值.