臨坡地基承載力問題研究現(xiàn)狀

許波濤 項金志

【摘 要】?我國幅員遼闊，地形地貌變化顯著，大量的建設(shè)工程的地基位于斜坡之上，在常規(guī)的地基承載力分析之外，還需要討論斜坡的存在對工程建設(shè)穩(wěn)定性的影響?，F(xiàn)行規(guī)范中卻缺乏對臨坡地基承載力具體計算方法的規(guī)定，更缺少對于臨坡地基局部或整體失穩(wěn)破壞機制的描述。文章在國內(nèi)外大量研究成果的基礎(chǔ)上，闡述了從平地地基到臨坡地基承載力問題研究發(fā)展的過程，著重對臨坡地基穩(wěn)定性分析的計算方法進行回顧和總結(jié)。依據(jù)破壞面幾何形態(tài)和地基承載力系數(shù)Nγ*數(shù)值將臨坡地基的破壞分為地基破壞和邊坡破壞兩個大類以及相應(yīng)的六種破壞機制。

【關(guān)鍵詞】臨坡地基; 地基承載力; 邊坡穩(wěn)定性; 破壞機制; 理論研究; 數(shù)值方法

1 臨坡地基承載力問題的研究意義

在道路、建筑、電力和水利等工程建設(shè)領(lǐng)域中，常遇到需要將基礎(chǔ)置于臨近邊坡的位置或既有建筑物的淺基礎(chǔ)一側(cè)進行基坑開挖的情況，斜坡的存在必然對地基承載力有所影響，潛在的破壞機制也與平地地基有所不同。

1.1 常見臨坡地基類型和部分事故簡述

河流旁的構(gòu)筑物可視作位于一個邊坡的頂部或邊坡上。人類逐水而居，常將房屋建造于河邊，建造橋梁以溝通兩岸。2012年，上海市某處河道進行疏浚作業(yè)清理淤泥時，沒有注意到工地旁的空置建筑，恰好挖除了該建筑與河道間的土體，破壞了受力平衡，削弱了承載能力，導(dǎo)致建筑地基失穩(wěn)倒塌，類似事故在杭州、蘇州也有發(fā)生。

高填方基礎(chǔ)的橫斷面亦可抽象為臨坡地基，常用于路堤、山區(qū)建筑，易發(fā)生沉降事故。延安市延安大學(xué)附屬醫(yī)院頤荷小區(qū)由于高填方地基不均勻沉降，自2013年交付以來十余棟樓發(fā)生地基下沉、開裂。2020年重慶市南岸區(qū)茶園某位于高填方區(qū)、采用整體筏板基礎(chǔ)的樓盤因降雨頻繁發(fā)生沉降。

淺埋地鐵隧道或地鐵站廳層施工時，常常先在地面進行基坑開挖并進行相應(yīng)支護，后期再封頂恢復(fù)道路通行。在封頂前，可將基坑附近構(gòu)筑物基礎(chǔ)視作特殊的臨坡地基，基坑周圍的道路或建筑基礎(chǔ)必然受到影響，易發(fā)生塌陷或沉降。2004年新加坡地鐵環(huán)線C824標段的地鐵基坑橫撐不足發(fā)生倒塌，緊鄰的Nicoll道路也相應(yīng)塌陷[2]。2008～2010年，深圳地鐵5號線太安站采用縱向放坡方式進行基坑開挖，隨著工程進行，附近某小區(qū)受影響越來越大，發(fā)生不同程度的地基沉降。

1.2 現(xiàn)行規(guī)范關(guān)于臨坡地基的規(guī)定

現(xiàn)行規(guī)范中缺少可靠的實驗數(shù)據(jù)和完善的理論基礎(chǔ)，沒有給出明確的方法來計算臨坡地基承載力，對臨坡地基的破壞模式也沒有明確的描述。

GB 5007-2011《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》將復(fù)雜地質(zhì)條件下的坡上建筑物（包括高邊坡）的和開挖深度大于15 m的基坑的設(shè)計等級列為甲級，應(yīng)作穩(wěn)定性分析驗算。對臨坡基礎(chǔ)，給出了相對位置的要求。對填土地基，給出了坡度的要求。規(guī)定計算擋土墻、地基、斜坡穩(wěn)定時，采用承載能力極限狀態(tài)作用的基本組合，取基本組合的效應(yīng)設(shè)計值S中作用的荷載分項系數(shù)為1.0[3]。TJ7-74《工業(yè)與民用建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》定義地基土的容許承載力為在保證地基穩(wěn)定的條件下構(gòu)筑物沉降量不超過容許值的地基承載能力，同樣規(guī)定了臨坡地基的相對位置和填土地基的坡度，應(yīng)驗算建造在斜坡上的構(gòu)筑物的穩(wěn)定性;第16條給出了地基土的容許承載力計算公式，但并沒有提及臨坡地基土容許承載力的修正方法[4]。JGJ 94-2008《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》規(guī)定坡地、岸邊建筑的設(shè)計標準為甲級，須采用荷載效應(yīng)標準組合進行整體穩(wěn)定性驗算;建筑樁基應(yīng)與邊坡保持一定水平距離，并整治存在不良地質(zhì)的邊坡[5]。

專門針對邊坡工程的GB 50330-2013《建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范》對邊坡工程中的不同滑面形態(tài)的邊坡穩(wěn)定性計算、邊坡支護結(jié)構(gòu)的側(cè)向壓力、錨桿、擋墻等的相關(guān)計算給出了詳細公式;該規(guī)范第7章雖然專門對坡頂有重要建（構(gòu)）筑物的邊坡工程作出了要求，但在計算方面，只給出了側(cè)向巖土壓力取值和巖質(zhì)邊坡的主動巖石壓力修正系數(shù)，并沒有給出承載力計算方法，也沒有說明存在臨坡地基時可能發(fā)生的破壞模式[6]。

1.3 研究意義

故在實際工程中，或為了安全而采取保守措施，或根據(jù)經(jīng)驗，從平面地基問題出發(fā)進行相應(yīng)折減修正，常常無法很好地兼顧工程的經(jīng)濟性和安全性，研究臨坡地基承載力及破壞模式就有其理論和工程實踐意義。目前針對臨坡地基承載力已有多種研究方法，本文就臨坡地基承載力的既有研究方法及研究現(xiàn)狀進行評述。

2 臨坡地基承載力問題的理論研究

2.1 地基承載力的早期研究

1857年，朗肯（Rankine）提出地面光滑的基礎(chǔ)兩側(cè)土重可以用以連續(xù)均布荷載q=γD代替，D為埋深深度。

1920年，普朗德爾（Prandtl）根據(jù)塑性平衡理論推導(dǎo)出地基承載力公式。

隨著臨坡地基承載力問題研究深入，研究者考慮的因素更符合現(xiàn)實，理論基礎(chǔ)更為先進，所假設(shè)的破壞模式也隨之演進，彰顯了臨坡地基承載力問題理論研究的發(fā)展。

Saran[14]考慮了基礎(chǔ)下方三角形楔體的非對稱性，分別用極限平衡和極限分析方法計算承載力系數(shù)Nc、Nq和Nγ，并采用土的抗剪強度發(fā)揮系數(shù)研究邊坡上土的受力情況。趙煉恒[15]基于極限分析中的機動法提出多塊體單側(cè)非對稱破壞機制。胡衛(wèi)東[16-17]也采用了非對稱破壞模式研究相關(guān)問題，其中的雙側(cè)破壞模式考慮了地基內(nèi)側(cè)土體對承載力的貢獻。

現(xiàn)實中的巖土體多是非均質(zhì)的，Li[18]采用特征值法生成滑移線場以研究非均質(zhì)邊坡承載力，包括了內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角的非均質(zhì)性。侯超群等[19]運用極限分析上限法和單側(cè)破壞模式，研究了邊坡土體的非均質(zhì)與各向異性對承載力的影響。

為研究矩形臨坡地基承載力問題，Michalowski、Buhan、Farzaneh、王紅雨、曹文貴等[20-24]采用了將破壞模式拓展到三維空間，同樣有單側(cè)雙側(cè)、過渡區(qū)形態(tài)的討論。

不少人口稠密的國家或地區(qū)位于地震帶上，受地震威脅較大，如中國四川、日本、美國加州等，因此地震在巖土工程領(lǐng)域很受重視。最常見的研究方法是將地震作用力等效為水平與垂直方向上的加速度的擬靜力法，Terzaghi（太沙基）首先將擬靜力法用于邊坡動力穩(wěn)定性分析。Saxena[25]評述了1980年代之前對動荷載條件下的承載力的研究進展，指出使用擬靜力法時應(yīng)當(dāng)使用偏心荷載和傾斜荷載的公式，且不應(yīng)使用動態(tài)土體-結(jié)構(gòu)相互作用來計算峰值動態(tài)力，但他提及的研究中不包括對臨坡地基的研究。Sawada[26]、Sarma等[27，29]采用擬靜力法對臨坡地基展開研究，其中Sarma采用了前文所述的三區(qū)塊破壞模式，且主動區(qū)為非對稱楔體。此后，Askari、Kumar、Choudhury、Castelli、Yamamoto、Maghous等[36-41]研究者進一步對地震作用下的臨坡或斜坡地基承載力問題進行理論研究，理論基礎(chǔ)涵蓋了極限平衡、極限分析、塑性滑移線場法等。Qin、Sharahi等[36-38]基于擬靜力法并不能表示實際的地震作用的缺陷，改進了擬動力法，該方法最早應(yīng)用于擋土墻土壓力研究，Ghosh[39]將其引入地基承載力的分析中，從而以解析的方式考慮地震波的時空間相關(guān)性（圖9～圖15）。

3 臨坡地基承載力問題的數(shù)值模擬研究

近年來，隨著計算機算法、軟件和硬件技術(shù)的飛速發(fā)展，研究者將傳統(tǒng)的理論方法與有限元、有限差分等方法結(jié)合，利用不同的編程語言編寫計算程序，也開發(fā)出眾多軟件如FLAC、ANSYS、PLAXIS、ABAQUS、OPTUMCE等。數(shù)值模擬方法已經(jīng)成為研究臨坡地基承載力問題的重要方法，進一步拓展了巖土工程領(lǐng)域研究的深度和廣度。與理論方法相比，數(shù)值模擬方法不需要假設(shè)臨界破壞機制，可以考慮土體內(nèi)部應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，較為真實地反映變形破壞過程。以下介紹最常見的極限分析有限元法和近年新興的不連續(xù)布局優(yōu)化（DLO）方法。

3.1 極限分析有限元法

極限分析有限元方法將有限元的離散思想和數(shù)學(xué)優(yōu)化理論應(yīng)用于極限分析中。早期，Lysmer、Anderheggen、Zienkiewicz、Pastor、Maier等[41-45]提出了一系列離散方法及數(shù)值計算方法。Sloan[46-47]充分考慮了約束矩陣稀疏的特性，并考慮了速度和應(yīng)力的不連續(xù)性條件，應(yīng)用主動優(yōu)化方法集合算法（active set algorithm）求解最終的優(yōu)化問題，將二維平面應(yīng)變問題簡化為線性規(guī)劃問題，形成了快速的線性規(guī)劃方法，大大減少了計算時間。他對斜坡上條形基礎(chǔ)的承載力進行了評估，并簡要討論了地表超載的影響。此后，Sloan、Kleeman[48]對算法進行了改進，允許所有相鄰單元的公共邊出現(xiàn)速度不連續(xù)性，可以自動搜索剪切方向，并以變形模式給出的最小耗散來判斷間斷面有效與否，從而實現(xiàn)了對復(fù)雜速度場的模擬。Lyamin等[49]提出自適應(yīng)網(wǎng)格劃分方法，減少了計算所需網(wǎng)格數(shù)量，大大提升了計算效率。Krabbenhoft[50]進一步改進方法，采用連續(xù)單元補丁替代二維和三維模型的速度間斷面[51]。

近年來采用極限分析有限元方法的研究者較多，研究范圍也得到了擴展，比如Georgiadis[52]運用了極限分析有限元法來估算垂直和傾斜荷載作用下臨坡地基的不排水承載力并進行了參數(shù)研究，并討論了三種典型的破壞模式。趙明華等[53]建立了基于極限分析上限理論和有限元方法的非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，并采用可行弧內(nèi)點算法來優(yōu)化求解，實際算例分析表明該計算方法速度快，所得結(jié)果誤差小、穩(wěn)定性好。Keshavarz[54]利用有限元極限分析軟件OptumG2研究了地震及不排水條件下各個因素對排水均質(zhì)與非均質(zhì)臨坡地基承載力和破壞機制的影響。Zhang[55]采用有限元極限分析方法研究了c-φ均質(zhì)邊坡臨坡地基在地震條件下的承載力和破壞機制及各個因素的影響。

3.2 不連續(xù)布局優(yōu)化（Discontinuity layout optimization，DLO）方法

Smith和Gilbert[56]于2007年針對平面應(yīng)變問題提出了不連續(xù)布局優(yōu)化方法（DLO）。DLO采用最優(yōu)化方法來規(guī)劃數(shù)條可能發(fā)生破壞的路徑（路徑由多個不連續(xù)面組成），搜索這些可能路徑，并對各個路徑進行能量耗散計算，能量耗散最小的可能路徑即為最不穩(wěn)定、最可能發(fā)生破壞的路徑，即破壞路徑（圖16）。

Leshchinsky[57-58]運用不連續(xù)布局優(yōu)化（DLO）方法研究c-邊坡臨坡地基承載力問題，分析了土壤強度特性、基礎(chǔ)寬度和位置及邊坡坡度對破壞機制和承載力的影響。周海祚等[59-60]同樣運用了不連續(xù)布局優(yōu)化（DLO）方法研究c-邊坡臨坡地基承載力問題，著重探究了地基相對位置對承載力和破壞機制的影響，并結(jié)合破壞面幾何形態(tài)和地基承載力系數(shù)N *γ區(qū)分出地基超載主導(dǎo)破壞和邊坡自身失穩(wěn)主導(dǎo)破壞兩大類六種破壞機制，而此前的研究聚焦于各個因素對承載力和破壞機制的影響。鄭剛[61]利用不連續(xù)布局優(yōu)化（DLO）極限分析法建立數(shù)值模型，分析了邊坡幾何參數(shù)、土體強度參數(shù)和地基相對位置對臨坡條基的極限承載力和邊坡破壞模式的影響，并對國內(nèi)外現(xiàn)行規(guī)范推薦的計算方法進行了評價（表1）。

4 結(jié)論與展望

本文回顧了臨坡地基承載力問題研究的發(fā)展歷程，提出以下結(jié)論與展望：

（1）臨坡地基在實際工程中普遍存在，研究者和工程建設(shè)主管部門也注意到了邊坡對地基承載力和破壞機制的影響。目前的研究中，對臨坡地基承載力的變化規(guī)律和臨坡地基的破壞機制已有不少認識?，F(xiàn)行規(guī)范中，雖然對存在邊坡的情況有特別規(guī)定，但對臨坡地基的承載力計算、可能發(fā)生的破壞機制等并無具體規(guī)定。

（2）目前的研究主要考慮邊坡幾何參數(shù)、強度參數(shù)和地基位置等三類因素，這些因素的變化會使承載力和破壞機制發(fā)生相應(yīng)變化。在水平地基和臨坡地基承載力研究中，普遍采用疊加法表示邊坡自身強度、重力和埋深對總承載力的“貢獻”。在早期研究中，通常采用理論方法，依據(jù)理論基礎(chǔ)和待研究的影響因素，參考模型試驗、塑性力學(xué)理論和既有研究成果預(yù)設(shè)破壞機制，推導(dǎo)出相關(guān)計算公式，研究承載力或承載力系數(shù)隨各個影響因素的變化規(guī)律，預(yù)設(shè)破壞機制的發(fā)展也體現(xiàn)了理論研究方法的發(fā)展;相應(yīng)地，數(shù)值分析方法不需要預(yù)設(shè)破壞機制，能很好地考慮應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，且更容易實現(xiàn)對復(fù)雜條件的模擬，比如邊坡強度參數(shù)的變異性、地震作用、基礎(chǔ)底面粗糙程度等，近年來數(shù)值分析算法和計算機硬件進步顯著，研究者更多采用數(shù)值分析方法。

（3）臨坡地基承載力問題實際包含邊坡穩(wěn)定問題和地基承載問題兩方面，因此，臨坡地基最終發(fā)生的失穩(wěn)破壞有兩種可能的主導(dǎo)方面——邊坡自身失穩(wěn)或地基承載過高導(dǎo)致的失穩(wěn)。目前，對具體工況，研究者主要聚焦于相關(guān)因素對總承載力或承載力系數(shù)的影響，附加對破壞機制的簡單討論，對主導(dǎo)破壞的方面討論較少。文獻[59]采用承載力系數(shù)N*γ表示重力做功的正負，從而科學(xué)地區(qū)分了邊坡失穩(wěn)破壞和地基過載破壞。

參考文獻

[1] 鐘祥浩， 劉淑珍. 中國山地分類研究[J]. 山地學(xué)報， 2014， 32（2）： 129-140.

[2] 肖曉春，袁金榮，朱雁飛.新加坡地鐵環(huán)線C824標段失事原因分析（一）——工程總體情況及事故發(fā)生過程[J].現(xiàn)代隧道技術(shù)，2009，46（5）：66-72.

[3] GB 50007-2011 建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范[S].

[4] TJ7-74 工業(yè)與民用建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范[S].

[5] JGJ94-2008 建筑樁基技術(shù)規(guī)范[S].

[6] GB 50330-2013 建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范[S].

[7] Meyerhof G G. The ultimate bearing capacity of foudations[J]. Geotechnique， 1951， 2（4）： 301-332.

[8] Hansen J B. A revised and extended formula for bearing capacity[J]. 1970.

[9] Vesic A S. Analysis of ultimate loads of shallow foundations[J]. Journal of Soil Mechanics & Foundations Div， 1973， 99（sm1）.

[10] Meyerhof G G. The ultimate bearing capacity of foundations on slopes[C]//Proc.， 4th Int. Conf. on Soil Mechanics and Foundation Engineering. 1957， 1： 384-386.

[11] Bowles J E. Analytical and computer methods in foundation engineering[M]. McGraw-Hill Companies， 1974.

[12] Kusakabe O， Kimura T， Yamaguchi H. Bearing capacity of slopes under strip loads on the top surfaces[J]. Soils and foundations， 1981， 21（4）： 29-40.

[13] Mizuno T， Tokumitsu Y， Kawakami H. On the bearing capacity of a slope of cohesionless soil[J]. Soils and Foundations， 1960， 1（2）： 30-37.

[14] Saran S， Sud V K， Handa S C. Bearing capacity of footings adjacent to slopes[J]. Journal of geotechnical engineering， 1989， 115（4）： 553-573.

[15] 趙煉恒，羅強，楊峰，等.臨坡條形基礎(chǔ)極限承載力上限計算[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報：交通科學(xué)與工程版，2010，34（1）：84-87+92.

[16] 胡衛(wèi)東，曹文貴.基于非對稱破壞模式的臨坡地基承載力上限極限分析方法[J].中國公路學(xué)報，2014，27（6）：1-9.

[17] 胡衛(wèi)東，曹文貴.基于雙側(cè)非對稱破壞模式的臨坡地基承載力極限平衡分析方法[J].土木工程學(xué)報，2015，48（1）：120-128.

[18] Li C， Jiang P. Ultimate load of nonhomogeneous slopes determined by using the method of characteristics[J]. Engineering Geology， 2019， 261： 105281.

[19] 侯超群，章哲一，孫志彬，等.非均質(zhì)與各向異性臨坡地基承載力上限計算[J].公路交通科技，2019，36（4）：21-27+35.

[20] Michalowski R L. Three-dimensional analysis of locally loaded slopes[J]. Geotechnique， 1989， 39（1）： 27-38.

[21] De Buhan P， Garnier D. Three dimensional bearing capacity analysis of a foundation near a slope[J]. Soils and Foundations， 1998， 38（3）： 153-163.

[22] Farzaneh O， Askari F. Three-dimensional analysis of nonhomogeneous slopes[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 2003， 129（2）： 137-145.

[23] 王紅雨，楊敏.臨近基坑矩形淺基礎(chǔ)地基承載力上限估算[J].巖土工程學(xué)報，2005（10）：1116-1122.

[24] 曹文貴，袁青松，胡衛(wèi)東.臨坡矩形淺基礎(chǔ)地基極限承載力的上限分析[J].湖南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2016，43（11）：86-94.

[25] Saxena S K. Bearing capacity under seismic loading[J]. Proc. 7th World Co@ on Earthquake Engineering， 1980： 242-248.

[26] Sawada T， Nomachi S G， Chen W F. Seismic bearing capacity of a mounded foundation near a down-hill slope by pseudo-static analysis[J]. Soils and Foundations， 1994， 34（1）： 11-17.

[27] Sarma S K， Iossifelis I S. Seismic bearing capacity factors of shallow strip footings[J]. Geotechnique， 1990， 40（2）： 265-273.

[28] Sarma S K， Chen Y C. Bearing capacity of strip footings near sloping ground during earthquakes[C]//Proceedings of the 11th world conference on earthquake engineering， Acapulco. 1996.

[29] Das S， Maheshwari B K. Review of Seismic Design of Shallow Foundations on Hill Slopes[J]. 2018.

[30] Askari F， Farzaneh O. Upper-bound solution for seismic bearing capacity of shallow foundations near slopes[J]. Geotechnique， 2003， 53（8）： 697-702.

[31] Kumar J， Ghosh P. Seismic bearing capacity for embedded footings on sloping ground[J]. Geotechnique， 2006， 56（2）： 133-140.

[32] Choudhury D， Subba Rao K S. Seismic bearing capacity of shallow strip footings embedded in slope[J]. International Journal of Geomechanics， 2006， 6（3）： 176-184.

[33] CastelliF， Motta E. Bearingcapacity of strip footings near slopes[J]. Geotechnical and Geological Engineering， 2010， 28（2）： 187-198.

[34] Yamamoto K. Seismic bearing capacity of shallow foundations near slopes using the upper-bound method[J]. International Journal of Geotechnical Engineering， 2010， 4（2）： 255-267.

[35] Maghous S， Saada Z， Garnier D， et al. Upper bound kinematic approach to seismic bearing capacity of strip foundations resting near rock slopes[J]. European Journal of Environmental and Civil Engineering， 2020： 1-24.

[36] Qin C， Chian S C. Seismic bearing capacity of non-uniform soil slopes using discretization-based kinematic analysis considering Rayleigh waves[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering， 2018， 109： 23-32.

[37] Qin C， Chian S C. Seismic ultimate bearing capacity of a Hoek-Brown rock slope using discretization-based kinematic analysis and pseudodynamic methods[J]. International Journal of Geomechanics， 2018， 18（6）： 04018054.

[38] JiryaeiSharahi M， Ramazan Boroujerdi A. Seismic Bearing Capacity of Strip Footings Adjacent to Slopes Using Pseudo Dynamic Approach[J]. Mathematics and Computational Sciences， 2021， 1（2）： 17-41.

[39] Ghosh P. Upper bound solutions of bearing capacity of strip footing by pseudo-dynamic approach[J]. Acta Geotechnica， 2008， 3（2）： 115-123.

[40] 鄭穎人，趙尚毅，鄧楚鍵，等.有限元極限分析法發(fā)展及其在巖土工程中的應(yīng)用[J].中國工程科學(xué)，2006（12）：39-61+112.

[41] Lysmer J. Limit analysis of plane problems in soil mechanics[J]. Journal of Soil Mechanics & Foundations Div， 1970.

[42] Anderheggen E， Knpfel H. Finite element limit analysis using linear programming[J]. International Journal of Solids and Structures， 1972， 8（12）： 1413-1431.

[43] Zienkiewicz O C， Humpheson C， Lewis R W. Associated and non-associated visco-plasticity and plasticity in soil mechanics[J]. Geotechnique， 1975， 25（4）： 671-689.

[44] Pastor J， Turgeman S. Limit analysis in axisymmetrical problems： numerical determination of complete statical solutions[J]. International Journal of Mechanical Sciences， 1982， 24（2）： 95-117.

[45] Maier G， Zavelani‐Rossi A， Benedetti D. A finite element approach to optimal design of plastic structures in plane stress[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1972， 4（4）： 455-473.

[46] Sloan S W. Lower bound limit analysis using finite elements and linear programming[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics， 1988， 12（1）： 61-77.

[47] Sloan S W. Upper bound limit analysis using finite elements and linear programming[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics， 1989， 13（3）： 263-282.

[48] Sloan S W， Kleeman P W. Upper bound limit analysis using discontinuous velocity fields[J]. Computer methods in applied mechanics and engineering， 1995， 127（1-4）： 293-314.

[49] Lyamin A V， Sloan S W， Krabbenhoft K， et al. Lower bound limit analysis with adaptive remeshing[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2005， 63（14）： 1961-1974.

[50] Krabbenhoft K， Lyamin A V， Hjiaj M， et al. A new discontinuous upper bound limit analysis formulation[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2005， 63（7）： 1069-1088.

[51] 胡嘯. 基于極限分析上限有限元法的臨坡地基承載力研究[D].湖南大學(xué)，2015.

[52] Georgiadis K. Undrained bearing capacity of strip footings on slopes[J]. Journal of geotechnical and geoenvironmental engineering， 2010， 136（5）： 677-685.

[53] 趙明華， 胡嘯，張銳. 臨坡地基承載力極限分析上限有限元數(shù)值模擬[J]. 巖土力學(xué)， 2016， 37（4）： 1137-1143.

[54] Keshavarz A， Beygi M， Vali R. Undrained seismic bearing capacity of strip footing placed on homogeneous and heterogeneous soil slopes by finite element limit analysis[J]. Computers and Geotechnics， 2019， 113： 103094.

[55] Zhang R， Xiao Y， Zhao M， et al. Seismic bearing capacity of strip footings placed near c-φ soil slopes[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering， 2020， 136： 106221.

[56] Smith C， Gilbert M. Application of discontinuity layout optimization to plane plasticity problems[J]. Proceedings of the Royal Society A： Mathematical， Physical and Engineering Sciences， 2007， 463（2086）： 2461-2484.

[57] Leshchinsky B. Bearing capacity of footings placed adjacent to c′-?

[58] Leshchinsky B， Xie Y. Bearing capacity for spread footings placed near c′-?

[59] Zhou H， Zheng G， Yin X， et al. The bearing capacity and failure mechanism of a vertically loaded strip footing placed on the top of slopes[J]. Computers and Geotechnics， 2018， 94： 12-21.

[60] Zhou H， Zheng G， Yang X， et al. Ultimate seismic bearing capacities and failure mechanisms for strip footings placed adjacent to slopes[J]. Canadian Geotechnical Journal， 2019， 56（11）： 1729-1735.

[61] 鄭剛， 于曉旋， 杜娟， 等. 臨近邊坡的條形基礎(chǔ)地基極限承載力數(shù)值分析[J]. 巖土力學(xué)， 2018， 39（10）： 3812-3820.

3801501908259