密立根油滴實驗問題三則

肖 勇，董 鍵

(曲阜師范大學(xué) 物理工程學(xué)院，山東 曲阜 273165)

密立根油滴實驗是一個有百年歷史的經(jīng)典實驗，它所揭示的電量量子化有重大的科學(xué)意義. 該實驗因為能直觀地證明電量量子化，被選入大學(xué)物理實驗，被一代代大學(xué)生所尊崇和重復(fù)，產(chǎn)生了良好的教學(xué)效果. 但是，該實驗在教學(xué)上的問題依然很多，需要進一步研究和澄清. 本文將研究3個問題：元電荷的測量值偏差較大問題，元電荷的“目標(biāo)函數(shù)”求解方法問題，以及油滴儀上紫外燈的使用方向問題，以期對做好油滴實驗有所幫助.

1 元電荷的測量值偏差較大

油滴教學(xué)實驗儀的設(shè)計生產(chǎn)參差不齊，而且使用久了性能也會發(fā)生一些變化，會導(dǎo)致所測量到的元電荷值偏離物理常數(shù)推薦值，這個現(xiàn)象并非罕見. 以筆者所在實驗室為例，就有兩個批次的MOD5型油滴儀存在此類現(xiàn)象. 為了研究此現(xiàn)象，筆者采用“平衡測量法”測量油滴電量，噴油采用701鐘表油，所測量的油滴超過300個，電量q的計算采取如下精確公式[1]：

27bglp2ρη0t-2b3g2ρ2t2]

(1)

其中，U表示平衡電壓，t表示油滴下落距離l所用的時間，U和t是要測量的量，q=q(t,U)；其余的參量在測量中要保持常數(shù)，d表示兩電極板之間的距離，g表示重力加速度，ρ表示油的密度，p表示大氣壓，η0表示空氣黏度，b表示黏度修正常數(shù)，b=8.23×10-3m·Pa.實驗溫度取18 ℃，氣壓取1.011×105Pa，是記錄的氣象條件的中間值.

圖1是使用期超過20年的油滴儀所測電量的分布圖，橫軸表示油滴編號，縱軸表示電量.電量呈現(xiàn)明顯的分組性，這是量子化的表現(xiàn).求得每組電量的平均值，對平均值分布進行線性擬合，擬合線的斜率即是元電荷e的值，結(jié)果見圖2，e=1.481×10-19C.這比最新國際推薦值[2]1.602176634×10-19C小了7.55%，偏離是明顯的，其原因值得追究.

圖1 油滴電量量子化分布

圖2 油滴分組電量平均值的分布

根據(jù)式(1)，與電量q相關(guān)的變量有ρ、η0，它們隨溫度而改變，p隨氣壓而波動，這會造成偶然誤差，不是系統(tǒng)誤差.電壓U和時間t的測量會造成偶然誤差，但它們的精度，經(jīng)過校驗，分別在1 V和0.1 s以內(nèi)，不會造成那么大的系統(tǒng)偏差.重力加速度g采取當(dāng)?shù)氐臏y量值，g=9.797 m/s2，也不能導(dǎo)致那么大的偏差.最后，筆者懷疑是對油滴的計時距離l的取值出了問題.在說明書上，屏幕上分劃板水平格線之間的垂直距離是0.5 mm，取4個格，l=2 mm，見圖3，在計算電量時，就按2 mm代入的，這個值可能不對，也就是說，表面上看油滴是下落了4個格，但實際距離可能不是2 mm.為了檢驗這個猜想是否正確，將l在1.8 mm～2.2 mm范圍內(nèi)取若干值，依次代入式(1)計算電量和求元電荷，結(jié)果見圖4，距離l對元電荷的計算值有顯著影響，當(dāng)l=2.105 mm時，對應(yīng)的元電荷最接近1.602×10-19C.

圖3 監(jiān)視器上分度線

圖4 對e與l關(guān)系的模擬計算

那么，為什么油滴下落的表觀距離與實際距離不一致呢？ 原因是：顯微鏡內(nèi)置分劃板刻度不準(zhǔn)，與物鏡焦距配合不協(xié)調(diào)，這可以用尺子來核對，實際觀測到尺子的刻度縮短了，相應(yīng)地，走過分劃板上規(guī)定的距離被拉長.這在早期帶CCD的油滴儀上很難避免. 在后來批次的MOD5油滴儀上，顯微鏡不帶分劃板了，改在監(jiān)視器屏幕上貼紙，上面畫有分度線，這樣做，需要貼紙分度線與監(jiān)視器的垂直偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)相協(xié)調(diào)，也不容易做到精確，難以長期保持穩(wěn)定. 另外，測量過程中，通常不會頻繁調(diào)焦，油滴像模糊一點也湊合著測，此時油滴在焦點之外，視角變小，若在此處開始下落，距離在表觀上被縮短，下落規(guī)定的距離被拉長[3].

2 “李煒疆目標(biāo)函數(shù)法”求元電荷

前面用電量的分組平均擬合法求得了元電荷e，方法自然而簡單.下面再介紹另一種求元電荷的方法，筆者稱之為“李煒疆目標(biāo)函數(shù)法”(以下簡稱“目標(biāo)函數(shù)法”).其思路是：理論上假定測量對象是某個值的整數(shù)倍，對該值呈周期性，但是，測量值又不精確再現(xiàn)這種周期，通過設(shè)計合適的“目標(biāo)函數(shù)”，用統(tǒng)計方法求得該周期[4].此法與各種擬合方法求函數(shù)參數(shù)有異曲同工之妙，值得在油滴實驗中介紹和推廣，以期與現(xiàn)行的油滴實驗數(shù)據(jù)的各種處理方法相對照[5-7].下面介紹“目標(biāo)函數(shù)法”的用法.

“目標(biāo)函數(shù)法”先要構(gòu)造一個目標(biāo)函數(shù)φ，形式如下：

(2)

它以元電荷e為自變量，求和遍及所有測量的油滴電量，總數(shù)是N.式(2)中，σqi是電量qi的標(biāo)準(zhǔn)差，它可以根據(jù)誤差傳遞公式進行計算:

(3)

由于時間t的測量與油滴所帶電量多少無關(guān)，只與油滴大小有關(guān)，可以抓取任何油滴反復(fù)測量其下落時間，得到不同平均時間下的標(biāo)準(zhǔn)差分布曲線，做法見文獻[1]，本文重新對其測量，擬合得到標(biāo)準(zhǔn)差分布函數(shù)為

σt=0.023 3t-0.001 24t2+0.000 026 7t3

(4)

至于σU，由于

(5)

與油滴的大小和所帶電量的多少有關(guān)，對同一個U，可以有質(zhì)量很不相同的油滴，它們的布朗運動有很大差異，導(dǎo)致U的起伏大小很不相同，U的標(biāo)準(zhǔn)差很難測算，σU只能估計，例如取電壓表的測量精度1 V，或者根據(jù)實驗經(jīng)驗，取不同時刻油滴偶然靜止時的平衡電壓差值的量級10 V代入計算，發(fā)現(xiàn)所得元電荷e的值對此并不敏感.

在以下討論中，電量均去掉了10-19C的量級.圖5是取σU=1V時φ(e)的約化分布曲線，圖6是其低端橫向放大圖，兩圖結(jié)合，可以看出，e>6.68，曲線單調(diào)下降，沒有值得注意的結(jié)構(gòu)存在.當(dāng)e<6.68，曲線有多次振蕩，有一系列“探底”的極小值，最深的極小值在e=1.479附近，它很接近分組平均擬合法得到的元電荷1.481，差別只有0.13%，可以認(rèn)為此處對應(yīng)元電荷的值；從該點往左看，各極小值位置ei見表1，ei/e1接近整數(shù)的倒數(shù)1/i，表明這些位置對應(yīng)e1的分?jǐn)?shù)電荷，e1是最大的電荷周期.可見“目標(biāo)函數(shù)法”不僅能揭示元電荷的存在，還能揭示分?jǐn)?shù)電荷的存在，這是電量數(shù)據(jù)隱含周期結(jié)構(gòu)的必然結(jié)果.換言之，“目標(biāo)函數(shù)法”不僅是計算元電荷的方法，同時也以獨特的方式展示了電荷量子化.另外，能連續(xù)出現(xiàn)6個清晰的“探底”極值，表明電量的測量誤差不大，所以，“目標(biāo)函數(shù)法”還是檢驗油滴實驗測量誤差大小的“試劑”.

圖5 目標(biāo)函數(shù)曲線概貌

圖6 低端目標(biāo)函數(shù)曲線

表1 目標(biāo)函數(shù)“探底”極值位置及其比值

3 通過紫外線電離油滴證明電量量子化

油滴實驗中，通過火花放電、紫外線或者激光，都可以改變油滴所帶的電量[8-10].MOD5型油滴儀上帶有汞燈，對油滴進行了紫外電離的實驗.根據(jù)測量經(jīng)驗，尋找?guī)б粋€正電荷的油滴，測量其初始平衡電壓U1，然后開啟紫外燈，照射油滴，待油滴有了上升的跡象，停止照射，重新測量其平衡電壓U2，然后再開啟紫外燈照射油滴，如此反復(fù)，可以觀察到油滴多次被電離的現(xiàn)象，記錄每次電離后的平衡電壓Ui.假設(shè)在實驗過程中油滴的質(zhì)量m沒有變化，每次測量平衡時油滴的電量為qi，則有

(6)

(7)

式(7)/(6)得

(8)

(9)

若式(9)成立，反過來就證明油滴電量是量子化的.為此，對5個油滴進行紫外電離的實驗，所測量的平衡電壓見表2，比值U1/Ui見表3，n是油滴編號.比值分布見圖7，其呈現(xiàn)了明顯的階梯性，展現(xiàn)了電量量子化的又一種有效的證明方法.過去只把紫外電離作用當(dāng)做改變電量的手段，油滴實驗還是按傳統(tǒng)方法進行，現(xiàn)在看來，只需測量平衡電壓，就可以使電離實驗成為證明電量量子化的新手段.

表2 油滴每次電離之后的平衡電壓分布

表3 油滴初始平衡電壓與電離之后的平衡電壓比值

圖7 比值U1/Ui的量子化分布

4 總結(jié)

油滴儀的設(shè)計存在缺陷，反映在元電荷測量值對國際推薦值的偏差上，可以通過模擬與電量有關(guān)的因素找到偏差的原因，其中，油滴實際下落距離誤差的影響尤其顯著，另一個影響因素是實驗者疏于對油滴成像的調(diào)焦.

油滴儀上的紫外燈可以成為檢驗電量量子化的新手段，前提是要找到帶一個電荷的油滴，對其逐次用紫外線進行電離，測量每次電離后的平衡電壓，電壓的比值隱含著量子性.

李煒疆“目標(biāo)函數(shù)法”從油滴電量數(shù)據(jù)中提取元電荷，是揭示量子化的有效方法，該方法采用的“目標(biāo)函數(shù)”概念有啟發(fā)性.使用“目標(biāo)函數(shù)法”需要編程計算，因為電量的方差計算是復(fù)雜的，目標(biāo)函數(shù)的計算也是復(fù)雜的，目標(biāo)函數(shù)求極值也需要編程，如若編好程序供調(diào)用，將會是一種系統(tǒng)化的方法，可以快速得到元電荷的值，并檢驗測量數(shù)據(jù)的誤差大小.