高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧

姬秀云

(山東省東營(yíng)市第一中學(xué) 257000)

在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教材中，數(shù)列和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解題方法最多，也最能體現(xiàn)多樣的數(shù)學(xué)思維.數(shù)列章節(jié)作為高考高頻考點(diǎn)和數(shù)學(xué)多樣思維的體現(xiàn)，在求通項(xiàng)及求前n項(xiàng)方面有著眾多的方法，需要教師進(jìn)行細(xì)致地分類和講解，并列舉典型的例題讓學(xué)生進(jìn)行更好地吸收.

1 高中數(shù)學(xué)中數(shù)列知識(shí)的內(nèi)容和重要性

1.1 數(shù)列章節(jié)的基本知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容

數(shù)列在各地的高考中都占據(jù)著十分重要的地位，往往分值較高難度較大，是教學(xué)工作中的重難點(diǎn).在這一章節(jié)中，書本主要講述了等差數(shù)列、等比數(shù)列以及兩個(gè)數(shù)列的綜合應(yīng)用.雖然大綱上輕描淡寫，但其中包含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法卻十分豐富，尤其是在求數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和兩方面，方法五花八門且應(yīng)用靈活.教師需要將各類方法進(jìn)行細(xì)致歸類，并選取典型例題對(duì)學(xué)生進(jìn)行詳細(xì)講述，讓學(xué)生依據(jù)例題進(jìn)行舉一反三，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和能力的升格.

1.2數(shù)列章節(jié)對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的重要意義

數(shù)列這一章節(jié)所用到的倒序相加、錯(cuò)位相減、累加法、累乘法等解題方法體現(xiàn)了各類數(shù)學(xué)思想的魅力.這些方法的思想內(nèi)核不僅與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等章節(jié)息息相關(guān)，對(duì)學(xué)生日后進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的極限和積分也有著十分重要的基礎(chǔ)作用.在進(jìn)行方法指導(dǎo)時(shí)，依據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)等知識(shí)與數(shù)列間的聯(lián)系，充分打開學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，對(duì)有能力的學(xué)生也可進(jìn)行適當(dāng)?shù)臉O限和積分方面的拓展延伸，便于學(xué)生形成更為全面和完整的思維體系.

2 求數(shù)列通項(xiàng)的解題方法與技巧

數(shù)列章節(jié)的知識(shí)主要分為等差數(shù)列、等比數(shù)列和等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，在整個(gè)章節(jié)中，對(duì)各類方法的要求十分繁雜，尤其在求解通項(xiàng)公式和數(shù)列求和兩個(gè)方面，有著眾多的解法.求數(shù)列通項(xiàng)的方法主要包括定義法、累加和累乘法、構(gòu)造當(dāng)遇到等式右面是分式且較為復(fù)雜，同時(shí)與左面的倒數(shù)有關(guān)系時(shí)，可采用取倒數(shù)的方式進(jìn)行新數(shù)列的構(gòu)造.除此以外，對(duì)一些特殊的數(shù)列，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的觀察歸納法和復(fù)雜的對(duì)數(shù)求解等進(jìn)行額外方法的處理，最后得出相應(yīng)的通項(xiàng)公式.

2.1 定義求通項(xiàng)法

利用等差、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)、主要適用于給出Sn和an之間關(guān)系的試題，可利用an=Sn-Sn-1這個(gè)公式進(jìn)行相關(guān)求解.求解時(shí)，需要額外考慮a1=S1這一特殊情況.

例如對(duì)Sn=2n2-3n進(jìn)行數(shù)列通項(xiàng)求解時(shí)，可先考慮第一項(xiàng)，把n=1代入，可得出a1=S1=-1,隨后利用上述公式，得出an=Sn-Sn-1,n≥2且n恒為正整數(shù).這時(shí)可得出an=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1),化簡(jiǎn)求解后，若a1也符合這個(gè)式子，則直接得出an等于這個(gè)式子，否則需要將其與n≥2的情況分開.這類方法利用的條件在于題目中給定Sn與an的關(guān)系，或者題目中給出Sn的表達(dá)式.

2.2 累加和累乘方法

累加法適用的試題模板是an+1=an-f(n).針對(duì)這一式子，需要通過(guò)移項(xiàng)，把a(bǔ)n移到等式的左面，然后依次給n從1到n賦值，等式兩邊分別進(jìn)行上下相加，最后將兩邊都消解成一個(gè)式子.

例如an+1=an+2n,a1=2這個(gè)試題，在求解的過(guò)程中可以先移項(xiàng)，再依次將n賦值，首先是a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6，…，an+1-an=2n,然后將等式左面先相加，得出an+1-a1這個(gè)代數(shù)式，這時(shí)等式右面的和為2+4+6+…+2n，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)等差數(shù)列，直接利用等差數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解，再加上給出的a1值便可得出an+1的通項(xiàng)公式，通過(guò)變形便可得出an.累乘法與累加法原理相同，只是將累加過(guò)程中的加減運(yùn)算改變成了乘除運(yùn)算.適用公式是an+1=an·f(n).

2.3 構(gòu)造法

這類方法是待定系數(shù)法，通過(guò)構(gòu)造相關(guān)函數(shù)等形式對(duì)復(fù)雜的式子進(jìn)行變形.最為基礎(chǔ)的形式為an=kan-1+t,可以利用待定系數(shù)法將式子變形成an+m=k[an-1+m],在保證式子與原式相等的基礎(chǔ)上構(gòu)造出新數(shù)列an+m，這個(gè)新數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值為k.當(dāng)把t換成f(n-1)，則前面一項(xiàng)在構(gòu)造時(shí)則相應(yīng)變成f(n)，即構(gòu)造an+f(n)=k[an-1+f(n-1)].

2.4 倒數(shù)法

這類方法主要適用于等式兩邊存在分式，而分子部分相對(duì)復(fù)雜，且分式左右兩邊存在著密切聯(lián)系的情況.首先是等式左邊通常是an或者其他的數(shù)列單獨(dú)式子，等式右邊的分子和左邊類似，也是一個(gè)單獨(dú)的式子.分母部分往往較為復(fù)雜.

2.5 其他方法

除了以上的幾種常用方法以外，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式還有觀察法、歸納法和直接利用公式等.對(duì)于一些較為簡(jiǎn)單的公式，可以通過(guò)下標(biāo)和輔助公式進(jìn)行初步處理，然后通過(guò)求數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行直接求解.對(duì)一些特殊的數(shù)列，如斐波拉契數(shù)列等，往往會(huì)在試題中給出特殊數(shù)列的前幾項(xiàng)，需要學(xué)生通過(guò)觀察與分析得出數(shù)列的基本規(guī)律，然后進(jìn)行相關(guān)的試題解答.有些數(shù)列本身十分復(fù)雜，需要學(xué)生通過(guò)取對(duì)數(shù)等手段進(jìn)行處理，教師可對(duì)這些方法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，便于數(shù)學(xué)思維能力較強(qiáng)的學(xué)生攻克復(fù)雜的試題，獲得更大的提升.

3 數(shù)列求和的方法和技巧

除了求數(shù)列的通項(xiàng)之外，數(shù)列求和也是高考中十分重要的考查內(nèi)容，主要包括錯(cuò)位相減法以及裂項(xiàng)相消法，除此以外，還有分組求和法以及倒序相加法等.教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，可依據(jù)例題對(duì)學(xué)生進(jìn)行介紹與舉一反三，讓學(xué)生靈活應(yīng)用這些方法解決相關(guān)習(xí)題.

3.1 錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法主要用于解決等差比數(shù)列的求和問(wèn)題，在原數(shù)列求和的基礎(chǔ)上乘上等比數(shù)列的q值，然后上下兩個(gè)式子進(jìn)行相減，得到(1-q)Sn.

例如等差比數(shù)列cn=an·bn,{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，這時(shí)將兩個(gè)式子進(jìn)行相乘，便可采用錯(cuò)位相減法，首先計(jì)算Sn=a1×b1+a2×b2+…+an×bn，然后在下一行進(jìn)行q×Sn的計(jì)算，把a(bǔ)1×b1的位置空掉，從第二個(gè)位置下面開始寫：a1×b2+a2×b3+…+an×bn+1,然后將上下兩個(gè)式子相減，得到(1-q)Sn=a1×b1+b2(a2-a1)+…-an×bn+1,然后可以在這一式子中得到新的等比數(shù)列，利用對(duì)應(yīng)的求和公式進(jìn)行求解即可.這類數(shù)列求和的方法主要應(yīng)用在等差數(shù)列與等比數(shù)列相乘的情況下，尤其需要注意的是有的時(shí)候兩個(gè)數(shù)列以相除的方式出現(xiàn)，這時(shí)可以看做等差數(shù)列與等比數(shù)列的倒數(shù)進(jìn)行相乘，仍然可以采用錯(cuò)位相減的解題方法.

3.2 裂項(xiàng)相消法

3.3 分組求和法

這類求和方法通常適用于不同數(shù)列的相加和相減過(guò)程，這時(shí)需要將兩個(gè)式子進(jìn)行分開求和，最為常見(jiàn)的是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列之間進(jìn)行相互加減運(yùn)算.例如cn=2n+n，首先可利用等比數(shù)列的求和公式對(duì)整個(gè)式子的前面部分進(jìn)行求和，再利用等差數(shù)列的求和公式對(duì)后面的式子進(jìn)行求和，然后將這兩次求出的和相加，便可得到最終的求和結(jié)果.在對(duì)帶有絕對(duì)值的數(shù)列進(jìn)行求和時(shí)，一定要注意對(duì)大于零和小于零的部分進(jìn)行分組求和.

例如在對(duì)an=|2n-5|進(jìn)行求和時(shí)，先要找出這個(gè)絕對(duì)值內(nèi)部的式子大于零的拐點(diǎn)，也就是n=3，然后對(duì)n<3和n≥3兩種情況進(jìn)行展開討論，前一種情況直接進(jìn)行計(jì)算，而后一種情況則是利用前三項(xiàng)的和再加上剩余項(xiàng)的和來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)列的最終求和過(guò)程得到結(jié)果.

在新課標(biāo)改革的背景下，高中數(shù)學(xué)更加重視學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).而數(shù)列這一章節(jié)對(duì)學(xué)生思維能力的訓(xùn)練和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的塑造有著十分重要的意義.在數(shù)列這一章節(jié)的解題過(guò)程中，所應(yīng)用到的方法五花八門，主要表現(xiàn)在數(shù)列的求通項(xiàng)過(guò)程和數(shù)列的求和過(guò)程，教師可通過(guò)典型的例題對(duì)各類方法進(jìn)行分類總結(jié)，并通過(guò)舉一反三的訓(xùn)練讓學(xué)生充分掌握這些方法，在訓(xùn)練的過(guò)程中提高思維能力.數(shù)列求通項(xiàng)主要包括定義法、累加累乘、構(gòu)造法、倒數(shù)法以及觀察歸納和其他一些高難度的方法，而數(shù)列的求和過(guò)程主要包括等差比數(shù)列的錯(cuò)位相減、分式的裂項(xiàng)相消、多項(xiàng)式的分組求和法三種，教師應(yīng)做好各類方法的分類整合工作.