基于研究生創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)的“非線性泛函分析”課程教學(xué)探究

吳照奇 朱傳喜

摘 ? ?要：研究生創(chuàng)新思維能力的訓(xùn)練是研究生培養(yǎng)的核心。如何以研究生課程教學(xué)改革為依托，有效激發(fā)研究生的創(chuàng)新欲望，牢固樹立其科研創(chuàng)新意識，引導(dǎo)其發(fā)現(xiàn)問題，并積極探究解決方式，最終實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新思維能力的養(yǎng)成和提升，是目前研究生培養(yǎng)中亟待解決的重要問題。文章以“非線性泛函分析”課程教學(xué)實(shí)踐為例，探討如何通過提高學(xué)生的自主探究能力，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新人才的培養(yǎng)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：非線性泛函分析;自主探究;合作小組;創(chuàng)新人才

中圖分類號：G643 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ?文章編號：1002-4107（2022）03-0004-03

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》指出，要“實(shí)施‘研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃。加強(qiáng)管理，不斷提高研究生特別是博士生培養(yǎng)質(zhì)量”[1]?！督魇≈虚L期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》明確要“建立健全學(xué)術(shù)型、專業(yè)型研究生教育創(chuàng)新體系”[2]。《江西省教育事業(yè)發(fā)展“十三五”規(guī)劃》提出，要“推動高校加強(qiáng)研究生課程建設(shè)，加強(qiáng)不同培養(yǎng)階段課程的整合銜接，提升研究生課程教學(xué)質(zhì)量”[3]。

一、問題的提出

研究生創(chuàng)新思維能力的訓(xùn)練是研究生培養(yǎng)工作的核心。如何以研究生課程教學(xué)改革為依托，激發(fā)研究生的創(chuàng)新欲望，培養(yǎng)研究生的創(chuàng)新意識，引導(dǎo)其尋找合理創(chuàng)新路徑，主動發(fā)現(xiàn)問題，并積極探究解決方式，最終實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新思維能力的養(yǎng)成和提升，是目前研究生培養(yǎng)中亟待解決的重要問題。

應(yīng)用泛函分析是南昌大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)碩士點(diǎn)的主要研究方向之一。“非線性泛函分析”是南昌大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的一門重要專業(yè)課，是該專業(yè)研究生開展科研工作的重要基礎(chǔ)。本課程現(xiàn)采用的主要教材與參考書目包括：馬丁·謝克特（Martin Schechter）編著的An Introduction to Nonlinear Analysis[4]、埃伯哈德·蔡德勒（Eberhard Zeidler）編著的Nonlinear Functional Analysisand its Applications I：Fixed-Point Theorems[5]、孫經(jīng)先教授編著的《非線性泛函分析及其應(yīng)用》[6]和郭大鈞教授編著的《非線性泛函分析》[7]等。

長期以來，南昌大學(xué)“非線性泛函分析”課程教學(xué)面臨以下突出問題。第一，學(xué)生在本科階段習(xí)慣教師講授的教學(xué)方式，尚不太適應(yīng)以報(bào)告和討論為主的教學(xué)方式。第二，部分學(xué)生傾向于被動接受書本上的知識，自主思考能力薄弱，不善于挖掘現(xiàn)有理論產(chǎn)生和發(fā)展的動因與背景。第三，學(xué)生更注重對于知識的學(xué)習(xí)，對相關(guān)理論形成過程中產(chǎn)生的重要研究方法的領(lǐng)悟和運(yùn)用重視度較低。

通過課程教學(xué)實(shí)踐，期望解決以上問題，并使學(xué)生逐漸適應(yīng)以自主探索學(xué)習(xí)為主、教師講授和參與討論為輔的研究生課程教學(xué)方式，訓(xùn)練其嚴(yán)謹(jǐn)清晰講解數(shù)學(xué)知識、準(zhǔn)確到位總結(jié)歸納的能力。筆者以探究本門課程的教學(xué)改革與研究生創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)為契機(jī)，指導(dǎo)學(xué)生了解和掌握相關(guān)理論的歷史背景和演化邏輯，梳理知識體系的發(fā)展脈絡(luò)，把握專業(yè)方向的發(fā)展態(tài)勢，為下一步學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。同時(shí)，將學(xué)生從以知識為主要學(xué)習(xí)對象的局限中解放出來，引導(dǎo)其更多地挖掘知識背后隱藏的重要研究方法，深刻領(lǐng)悟解決不同具體問題的研究手段和技巧。

二、課程改革的具體措施

（一）改革教學(xué)方法和模式，使學(xué)生逐漸適應(yīng)報(bào)告為主的授課方式

對大多數(shù)國內(nèi)高校而言，本科階段的大部分課程仍遵循傳統(tǒng)教學(xué)方式。與其形成反差的是，當(dāng)學(xué)生進(jìn)入研究生階段，尤其是涉及專業(yè)課學(xué)習(xí)時(shí)，教師的講授居次要地位，而學(xué)生的報(bào)告和與教師的討論則需更多的時(shí)間。在這一過程中，學(xué)生會產(chǎn)生強(qiáng)烈的不適應(yīng)感。

如何解決這一問題呢？在課程開始時(shí)，可以考慮先以教師講授為主，對本門課程進(jìn)行一個(gè)宏觀的介紹，講授3～4次課，引領(lǐng)學(xué)生了解基礎(chǔ)知識，并布置后期要完成的任務(wù)（通常是以學(xué)生輪流報(bào)告，教師參與點(diǎn)評和討論為主）。每輪授課中，教師講授和學(xué)生報(bào)告具體各占多大比例，應(yīng)根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)、接受和領(lǐng)悟能力來定，不能一概而論。

教師要針對每一次課的內(nèi)容，在學(xué)生報(bào)告時(shí)適時(shí)地進(jìn)行提問，反復(fù)進(jìn)行互動和正向反饋，達(dá)到讓學(xué)生理解相關(guān)理論精髓的目的。教師的作用絕非只是簡單評價(jià)講解的好壞，而應(yīng)起到穿針引線的作用，使學(xué)生通過報(bào)告真正有所收獲。具體來說，有兩個(gè)層次：第一個(gè)層次是學(xué)生應(yīng)理解和掌握自己講授的內(nèi)容，教師可通過提問來檢驗(yàn)，針對知識點(diǎn)可以連續(xù)提問，由淺入深，步步推進(jìn)。最基本的要求是學(xué)生應(yīng)完善教材或?qū)Ｖ衔茨茉敿?xì)闡述的知識點(diǎn)，教師提問細(xì)節(jié)時(shí)學(xué)生可能會“掛黑板”，但只有這樣，學(xué)生才能印象深刻。對于學(xué)生既要適當(dāng)鼓勵，又要適當(dāng)施加壓力。第二個(gè)層次是學(xué)生能在此基礎(chǔ)上進(jìn)行深度思考，在報(bào)告時(shí)教師應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)和發(fā)問，如為什么要這樣引入定義？必要性是什么？合理性在哪里？相關(guān)定理?xiàng)l件為何要這樣設(shè)定？可否更改？定理的妙處在哪里？只有這樣，才能最大程度地激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，在潛移默化中逐步培養(yǎng)其創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。

在后續(xù)環(huán)節(jié)中，除教師點(diǎn)評外，引入“合作小組學(xué)習(xí)”模式，讓選課的研究生在課后互相交流報(bào)告經(jīng)驗(yàn)，在報(bào)告中采用互評的方式，讓他們相互啟發(fā)，增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)合作意識。引入“問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)”模式，在課程報(bào)告后期，可視情況適當(dāng)讓學(xué)生報(bào)告1～2篇前沿科研論文，有意識地引導(dǎo)學(xué)生針對某些內(nèi)容提出問題，以“問題”為導(dǎo)向和驅(qū)動，帶著問題去補(bǔ)基礎(chǔ)、學(xué)工具、找方法、練本領(lǐng)，活學(xué)活用，避免學(xué)習(xí)過多的基礎(chǔ)知識卻不用于研究問題而做無用功。讓學(xué)生正確處理好“讀書”與“讀論文”的關(guān)系。

學(xué)生自主報(bào)告的另一個(gè)訓(xùn)練重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生用簡明、清晰、準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言來表達(dá)數(shù)學(xué)思想的能力。這不僅需要對所報(bào)告內(nèi)容有較為透徹的理解，還需要對所講的內(nèi)容進(jìn)行有效的設(shè)計(jì)，梳理重點(diǎn)、分清主次，將問題的來龍去脈講清楚。問題從何而來，研究思路是什么，方法有何特別之處和精妙之處，都是需要學(xué)生在報(bào)告時(shí)進(jìn)行總結(jié)的。

在南昌大學(xué)理學(xué)院的“非線性分析與方程”科研團(tuán)隊(duì)中有眾多教授和副教授為博士生導(dǎo)師或碩士生導(dǎo)師。除了單一教師授課外，也可借助團(tuán)隊(duì)的師資力量，邀請團(tuán)隊(duì)中其他教師共同聽取學(xué)生報(bào)告，并給予點(diǎn)評和指導(dǎo)。不同教師的具體研究方向和專長有所差異，這樣可最大程度地發(fā)揮團(tuán)隊(duì)指導(dǎo)的優(yōu)勢，讓學(xué)生博采眾長，快速成長。此外，還可通過邀請專家學(xué)者來校開設(shè)講座擴(kuò)大研究生的視野，促使其盡快進(jìn)入學(xué)術(shù)前沿。

（二）提高學(xué)生自主探究意識，挖掘數(shù)學(xué)理論的歷史背景與產(chǎn)生動因

學(xué)生在本科階段大多是以閉卷考試的單一考核形式，學(xué)生習(xí)慣了被動接受，自主思考能力和思辨能力較為薄弱。進(jìn)入研究生階段后，學(xué)生要面臨一定的科研創(chuàng)新工作，研究生專業(yè)方向課的學(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換的有利契機(jī)。

華羅庚先生曾說：“讀書要由薄到厚，再由厚到薄?！庇杀〉胶袷茄a(bǔ)足證明、完善細(xì)節(jié)的過程，由厚到薄是提煉升華、削枝強(qiáng)干的過程，這兩個(gè)過程是相輔相成、缺一不可的。要引導(dǎo)學(xué)生在徹底消化理解所有理論結(jié)果證明細(xì)節(jié)的基礎(chǔ)上，提煉出所學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和精髓。

要讓學(xué)生思考數(shù)學(xué)定理和相關(guān)結(jié)果產(chǎn)生的背景和動因，這需要教師一方面熟悉和了解相關(guān)數(shù)學(xué)理論的歷史和發(fā)展，另一方面引導(dǎo)學(xué)生理解相關(guān)的定義、定理是在研究什么問題時(shí)受到驅(qū)動而創(chuàng)立的。要引導(dǎo)學(xué)生追本溯源，深刻理解這些數(shù)學(xué)理論并非憑空產(chǎn)生，而是有實(shí)際需求的。要體會提出問題者和學(xué)科奠基人所處的大背景，才會有比較切實(shí)的體會。

“非線性泛函分析”是研究生基礎(chǔ)課程中最重要的一門綜合性課程，以難度大、內(nèi)容多為特點(diǎn)。受課時(shí)限制，本課程主要講述三方面內(nèi)容：（1）賦范線性空間的微分學(xué);（2）拓?fù)涠壤碚摷跋嚓P(guān)不動點(diǎn)定理;（3）錐理論與半序方法。比如，教師在介紹拓?fù)涠壤碚摃r(shí)，要先介紹這一理論的緣起以及早期建立時(shí)所利用的代數(shù)拓?fù)浞椒?，再說明如何利用分析學(xué)的工具重建這一重要理論。同時(shí)，要讓學(xué)生知曉拓?fù)涠壤碚摽梢詫?dǎo)出一系列重要的不動點(diǎn)定理，這些不動點(diǎn)定理又可進(jìn)一步解決大量非線性方程解的問題。再如，教師在講解錐理論與半序方法部分內(nèi)容時(shí)，要讓學(xué)生明白在實(shí)際中產(chǎn)生的大量非線性方程都是缺乏連續(xù)性或缺乏緊性的。半序方法的好處在于，可以建立僅使用較弱的連續(xù)性或較弱的緊性條件（而這些緊性條件很多實(shí)際問題中通常是自然滿足的）的定理，以解決更廣泛的問題。

另一方面，介紹一些對泛函分析應(yīng)用作出杰出貢獻(xiàn)的中國數(shù)學(xué)家的代表，其中重點(diǎn)介紹田方增和關(guān)肇直等人的生平和貢獻(xiàn)。田方增和關(guān)肇直都曾在法國留學(xué)，他們同是中國泛函分析的開拓者。20世紀(jì)50年代中后期，田方增等人為響應(yīng)國家號召，放棄原有科研計(jì)劃，結(jié)合數(shù)學(xué)物理、國防科技數(shù)學(xué)，開展泛函分析的應(yīng)用工作，并與關(guān)肇直合作共同開辟了中國原子能科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中“粒子遷移理論的數(shù)學(xué)問題”的研究，填補(bǔ)了中國在尖端科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中數(shù)學(xué)研究工作的一個(gè)空白，在中國成功地探索出應(yīng)用泛函分析的一個(gè)重要科研領(lǐng)域[8]。這是理論聯(lián)系實(shí)際的范例，可以讓學(xué)生認(rèn)識到“實(shí)際問題—理論—實(shí)際應(yīng)用”是數(shù)學(xué)研究的一種重要范式。數(shù)學(xué)理論不是“無源之水，無本之木”。

（三）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注研究方法，使知識掌握和方法積累雙管齊下

任何一門課程的學(xué)習(xí)都涉及到知識和方法兩方面的習(xí)得。只關(guān)注知識的灌輸，不重視研究方法的滲透，無法讓學(xué)生體會前人如何在已有理論上進(jìn)行創(chuàng)新，當(dāng)然就更談不上下一步自己進(jìn)行科研創(chuàng)新了。

“非線性泛函分析”的三個(gè)重要研究方法是拓?fù)涠确椒?、半序方法和變分方法。這三個(gè)重要方法各有其優(yōu)劣，是在研究不同的非線性問題時(shí)創(chuàng)立和發(fā)展出來的。在學(xué)習(xí)時(shí)，要體會不同方法的特色和亮點(diǎn)，這樣，才能在實(shí)際應(yīng)用時(shí)得心應(yīng)手、游刃有余。這些方法還可以互相結(jié)合，形成更強(qiáng)有力的工具。如半序方法與拓?fù)涠确椒ㄏ嘟Y(jié)合，稱為半序拓?fù)浞椒?。利用這一方法，可得到經(jīng)典的錐拉伸與壓縮不動點(diǎn)定理等許多重要結(jié)果。

拓?fù)涠壤碚摰膬?nèi)容體現(xiàn)了“化繁為簡，由簡至繁”地考慮問題的數(shù)學(xué)思想。為了建立無窮維空間中映射的拓?fù)涠壤碚?，可先考慮建立有限維空間中映射的度理論。要建立有限維空間中的結(jié)果，又可通過先建立n維歐氏空間Rn中相關(guān)結(jié)果來完成，而這又可以藉由先討論R2中的度理論來推廣。歷史上，Brouwer L E于1912年對有限維空間中連續(xù)映射建立了度理論，現(xiàn)通常稱之為Brouwer度。此后，Leray J和Schauder J在1934年利用有限維逼近的方法推廣了Brouwer度，建立了Banach空間中全連續(xù)場的拓?fù)涠?，即現(xiàn)在所謂的Leray-Schauder度，這是拓?fù)涠壤碚摰闹匾黄?，具有里程碑式的意義。

在拓?fù)涠壤碚撓嚓P(guān)定理證明過程中，還應(yīng)讓學(xué)生知道在利用拓?fù)涠壤碚摃r(shí)重點(diǎn)在于如何構(gòu)造同倫，在構(gòu)造的過程中，利用的是“逆向思維”的方法。有的定理在講解完之后，還可引導(dǎo)學(xué)生考慮可以從什么角度進(jìn)行推廣。比如，空間是否可以推廣？映射類型是否可以推廣？算子是否可以推廣為隨機(jī)算子？在讓學(xué)生進(jìn)行嘗試之后，可以告訴學(xué)生已有文獻(xiàn)中有哪些關(guān)于這一結(jié)果的相關(guān)推廣，并推薦一些參考文獻(xiàn)讓學(xué)生進(jìn)一步深入閱讀。這樣，可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)課程的同時(shí)，進(jìn)行初步的科研嘗試，作為后一階段論文撰寫的熱身。

針對傳授事實(shí)還是傳授方法這一問題，實(shí)際上，事實(shí)和方法不見得可以輕松拆分開來。側(cè)重于任何一方，都可能影響學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成和最終的學(xué)習(xí)效果。因此，需要指出的是，不能過分強(qiáng)調(diào)方法和“批判性思維”，而輕視對知識的傳授[9]。事實(shí)上，方法須以知識作為載體。

三、結(jié)語

2020年7月，習(xí)近平總書記就研究生教育工作作出重要指示，強(qiáng)調(diào)研究生教育在培養(yǎng)創(chuàng)新人才、提高創(chuàng)新能力、服務(wù)經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展、推進(jìn)國家治理體系和治理能力現(xiàn)代化方面具有重要作用。各級黨委和政府要高度重視研究生教育，推動研究生教育適應(yīng)黨和國家事業(yè)發(fā)展需要，堅(jiān)持“四為”方針，瞄準(zhǔn)科技前沿和關(guān)鍵領(lǐng)域，深入推進(jìn)學(xué)科專業(yè)調(diào)整，提升導(dǎo)師隊(duì)伍水平，完善人才培養(yǎng)體系，加快培養(yǎng)國家亟需的高層次人才，為堅(jiān)持和發(fā)展中國特色社會主義、實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國夢作出貢獻(xiàn)[10]。

課程學(xué)習(xí)是研究生求學(xué)期間的主要任務(wù)之一，也是日后進(jìn)行科研的重要基礎(chǔ)。以研究生課程建設(shè)和改革為抓手，來實(shí)現(xiàn)研究生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是可行的。本文以“非線性泛函分析”課程為例，分析了如何通過改革教學(xué)方法、教學(xué)模式和教學(xué)內(nèi)容，依托課程強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新思維意識和創(chuàng)新思維能力。在這一過程中，要適時(shí)地對研究生進(jìn)行引導(dǎo)，鼓勵其進(jìn)行自主探究。只有這樣，才能從根本上使研究生經(jīng)過嚴(yán)格訓(xùn)練，通過對知識的深度加工將其內(nèi)化為自身的創(chuàng)新能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧明遠(yuǎn)，石中英.國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要? ? （2010—2020年）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，? ? 2010：1-476.

[2]江西省人民政府辦公廳.江西省中長期教育改革和發(fā)展? ? 規(guī)劃綱要（2010—2020年）[R].南昌：江西省人民政府公報(bào)，? ? 2010.

[3]江西省人民政府辦公廳.江西省教育事業(yè)發(fā)展“十三五”? ? 規(guī)劃[R].南昌：江西省人民政府公報(bào)，2016.

[4]Schechter M.An Introduction to Nonlinear Analysis[M].? ? Cambridge：Cambridge University Press，2004：1-376.

[5]Zeidler，Eberhard.Nonlinear Functional Analysis and its? ? Applications I：Fixed-Point Theorems[M].Berlin：Springer，? ? 1985：1-897.

[6]孫經(jīng)先.非線性泛函分析及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，? ? 2008：1-284.

[7]郭大鈞.非線性泛函分析（第三版）[M].北京：高等教育出版? ? 社，2015：1-427.

[8]鄧亮.田方增留法經(jīng)歷考述[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然? ? 科學(xué)漢文版），2019（6）.

[9][美]威廉·龐德斯通.知識大遷移：移動時(shí)代知識的真正價(jià)? ? 值[M].閭佳，譯.杭州：浙江人民出版社，2018：9-11.

[10]胡浩.習(xí)近平對研究生教育工作作出重要指示強(qiáng)調(diào) 適應(yīng)? ? ? 黨和國家事業(yè)發(fā)展需要 培養(yǎng)造就大批德才兼?zhèn)涞母邔? ? ? 次人才 李克強(qiáng)對研究生教育工作作出批示[EB/OL].? ? ? （2020-07-29）[2021-02-10].http：//news.china.com.cn/? ? ? 2020-07/29/content_76326487.htm.