增長區(qū)域上擴(kuò)散的昆蟲捕獲模型解的漸近性

梁建秀 ,羅 芳，石漂漂 ,張雪霞

（1.晉中學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西晉中 030619；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037009）

在20 世紀(jì)50 年代初，Skellam[1]就將擴(kuò)散引入到生態(tài)模型中用來研究種群的漸近行為，之后反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于描述種群動力學(xué)中生物體空間擴(kuò)散的影響，Marray 等在文獻(xiàn)[2]中研究了一類簡單的非線性反應(yīng)擴(kuò)散昆蟲模型

其中u(x,t)表示昆蟲的種群密度，d為擴(kuò)散系數(shù)，a，b分別為種群的內(nèi)稟增長率和種內(nèi)競爭率，q為正的常數(shù)，Ω ∈?n(n≥1)，且具有光滑邊界?Ω，齊次Dirichlet邊界條件表示邊界沒有種群傳播，對于模型（1）有如下結(jié)果。

定理1設(shè)μ1為下列問題的主特征值

（Ⅰ）若a≤dμ1，則模型（1）有唯一非負(fù)穩(wěn)態(tài)解u=0，且該解是全局漸近穩(wěn)定的。

（Ⅱ）若a＞dμ1，則模型（1）有唯一非負(fù)穩(wěn)態(tài)解，則模型（1）有唯一正穩(wěn)態(tài)解u=u*(x)，且該解是全局漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)q=1 時，問題（1）就是經(jīng)典的具有擴(kuò)散的Logistic 方程，對該問題已經(jīng)得到了廣泛而深入的研究。通常人們通過反應(yīng)擴(kuò)散模型來刻畫生態(tài)現(xiàn)象時，大多數(shù)考慮的空間區(qū)域都是固定的，近年來，區(qū)域的增長對種群或傳染病的發(fā)展演化的影響引起了較多學(xué)者[3-9]的關(guān)注。文獻(xiàn)[3]分別在區(qū)域有限增長和區(qū)域無限增長情形下研究了具有擴(kuò)散的Logistic模型解的漸近性態(tài)；文獻(xiàn)[4]在問題（1）的基礎(chǔ)上考慮了區(qū)域增長，建立了增長區(qū)域上的昆蟲擴(kuò)散問題，對其解的漸近性態(tài)進(jìn)行了討論。考慮到可再生資源的持續(xù)開發(fā)和利用，很多學(xué)者又關(guān)注并研究了單種群的捕獲模型[5]等，文獻(xiàn)[6]在周期演化區(qū)域上對單種群的Logistic捕獲模型的動力學(xué)進(jìn)行了分析，受已有工作的啟發(fā)，將研究增長區(qū)域上一類具有捕獲的反應(yīng)擴(kuò)散的昆蟲模型。

對于模型（1），引入捕獲項，則得如下反應(yīng)擴(kuò)散的昆蟲模型

這里h為捕獲能力系數(shù)，hu表示捕獲數(shù)，其它參數(shù)的生物意義同模型（1）。

類似于文獻(xiàn)[4]，設(shè)Ω(t)為一個隨時間而變化的區(qū)域，其邊界為?Ω(t)，對于任意一點

假設(shè)u(x(t),t)為種群在時刻t和位置x(t)處的密度，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，由Reynolds 輸運定理，再利用Fick擴(kuò)散定律得

其中u0(x(0))為正的有界函數(shù)，Ω(0)為初始區(qū)域，假設(shè)區(qū)域Ω(t)的變化為各向同性，即當(dāng)時間t增加時，區(qū)域Ω(t)在所有方向上以相同比例進(jìn)行變化，即數(shù)學(xué)上表示為

其中?Ω(0) ∈C2，ρ(t)稱為增長函數(shù)，在[0,+∞)上連續(xù)可微，滿足ρ(0)=1，對所有為初始區(qū)域Ω(0)上的空間坐標(biāo)，由于模型（3）中含有對流項和稀釋項，對解的性態(tài)研究有較大困難，為便于研究模型（3）解的性質(zhì)，類似于文獻(xiàn)[4]的方法，利用Lagrangian坐標(biāo)變化，將一個連續(xù)演化的區(qū)域Ω(t)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€固定的區(qū)域Ω(0)，即令u(x(t),t)=v(y,t)，這里x(t)=ρ(t)y，經(jīng)計算則有

則模型(3) 就轉(zhuǎn)化為固定區(qū)域Ω(0)上的具有捕獲的昆蟲擴(kuò)散模型

模型（4）是要進(jìn)一步研究的新的具有捕獲的昆蟲擴(kuò)散模型。

為了研究模型（4）解的漸近性，首先給出模型（4）的上解與下解的定義。

由以上討論可知，區(qū)域的增長函數(shù)ρ(t)，擴(kuò)散率d及捕獲率h等對種群的生存都存在一定的影響。