一類包含完美數(shù)的歐拉函數(shù)方程的可解性

許倩，楊海，王釗

(西安工程大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710048)

0 引言

序列1,2,…,m-1中與m互素的正整數(shù)個數(shù)稱為歐拉函數(shù)φ(m)的值，那么序列中剩余的數(shù)為m的因數(shù).為了探究m與m的因數(shù)的關(guān)系，歐拉定義了數(shù)論函數(shù)σ(m)為m的全部正因數(shù)的和，當σ(m)=2m時，稱m為完美數(shù)(完全數(shù))[1].畢達哥拉斯最先找到了前兩個完美數(shù)為6和28. 對完美數(shù)與完美數(shù)和方程的結(jié)合進行研究至今都吸引著國內(nèi)外學(xué)者的研究興趣并且得到了一些很好的成果[2-4].

數(shù)論中的不定方程也稱丟番圖方程.對包含歐拉函數(shù)φ(m)的丟番圖方程的研究不僅內(nèi)容形式多樣且成果較為豐富[5-6].可以簡單分為幾類：等系數(shù)、變系數(shù)、乘積型與加減型的方程.近年來，文獻[7-10]中討論了當k=3,4,6,7,8時，二元等系數(shù)方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的可解性;對于含常數(shù)的二元變系數(shù)方程φ(ab)=k1φ(a)+k2φ(b)+k,文獻[11-13]中利用整數(shù)的分解性質(zhì)討論了(k1,k2,k)=(5,7,0),(7,8,16),(4,7,28)時的可解性問題．文獻[14-16]中根據(jù)方程φ(x)=y中y的取值討論x的取值情況，得到了當k=3,4,5時，三元等系數(shù)歐拉函數(shù)方程φ(abc)=k(φ(a)+φ(b)+φ(c))的全部正整數(shù)解.然而隨著系數(shù)k取值的增大，采用此方法計算復(fù)雜且容易出錯.袁合才等[17]、楊張媛等[18]討論了當(k1,k2,k3)=(1,2,3),(2,3,4)時，三元變系數(shù)歐拉函數(shù)方程φ(abc)=k1φ(a)+k2φ(b)+k3φ(c)的可解性，并分別給出了方程的全部33組與70組正整數(shù)解.

本文中利用歐拉函數(shù)的性質(zhì)與初等數(shù)論方法，把完美數(shù)6、28與含φ(m)的丟番圖方程結(jié)合，構(gòu)造不等式,分類討論了φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)-k,(k=6,28)的正整數(shù)解.而對于形如φ(abc)=k1φ(a)+k2φ(b)+k3φ(c)-k(k為完美數(shù))的方程可解性問題，當完美數(shù)k值較大時，目前還鮮少得到一致的求解方法，但是本研究的求解方法可為求解該類方程提供一些借鑒.

1 引理

引理1[19]φ(m)的乘積公式：對m>1,我們有

引理2[19]歐拉函數(shù)φ(m)具有下列性質(zhì)：

a)對任意的正整數(shù)m,n，則有

這里d=(m,n)表示m與n最大公約數(shù).

b)φ(mn)=φ(m)φ(n).如果(m,n)=1.

c)當m≥3時，即φ(m)>1時，φ(m)必為偶數(shù).而且，如果m有r個不同的奇素因子，則2r|φ(m).

2 主要結(jié)果與證明

定理1方程φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)-6有正整數(shù)解的必要條件是：

(φ(a)-3)(φ(b)-2)≤4.

定理1的證明對于歐拉函數(shù)方程

φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)-6

(1)

利用歐拉函數(shù)的性質(zhì)得

2φ(a)+3φ(b)-6≥(φ(a)φ(b)-4)φ(c)

≥φ(a)φ(b)-4，

故有

(φ(a)-3)(φ(b)-2)≤4

(2)

定理1得證.

定理2含完美數(shù)6的歐拉函數(shù)方程φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)-6共有51組正整數(shù)解，如下：

(a,b,c)=(1,8,4),(1,8,6),(1,10,4),(1,10,6),(1,12,4),(2,5,4),(2,5,6),(2,8,3),(2,10,3),(1,5,15),(1,5,20),(1,5,30),(1,10,15),(2,5,15),(1,13,5),(1,13,8),(1,13,10),(1,13,12),(1,21,5),(1,21,8),(1,21,10),(1,26,5),(1,28,5),(1,36,5),(1,42,5),(2,13,5),(2,21,5),(3,7,4),(4,7,3),(3,4,2),(4,3,2),(4,6,1),(6,4,1),(4,4,1),(12,3,1),(3,3,4),(3,4,3),(4,3,3),(5,3,4),(5,4,3),(5,7,1),(5,9,1),(8,7,1),(5,7,2),(5,14,1),(10,7,1),(8,9,1),(12,7,1),(10,9,1),(5,18,1),(5,9,2).

定理2的證明由定理1可知，當(2)式成立時方程(1)有解.故對一元二次不等式(2)進行討論：

當(φ(a)-3)(φ(b)-2)<0時，有φ(a)=1,2,φ(b)≥4;或φ(a)≥4,φ(b)=1.

當(φ(a)-3)(φ(b)-2)=0時，有φ(a)=3或φ(b)=2.由引理2的c)知φ(a)=3不存在，舍去.

當(φ(a)-3)(φ(b)-2)=1時，有φ(a)=4,φ(b)=3或φ(a)=2,φ(b)=1.

由引理2的c)知φ(a)=4,φ(b)=3這種情況不存在，舍去.

當(φ(a)-3)(φ(b)-2)=2時，有φ(a)=5,φ(b)=3或φ(a)=4,φ(b)=4或φ(a)=1,φ(b)=1.由引理2的c)知φ(a)=5,φ(b)=3這種情況不存在，舍去.

當(φ(a)-3)(φ(b)-2)=3時，有φ(a)=4,φ(b)=5或φ(a)=6,φ(b)=3,由引理2的c)知式(1)式無解.

當(φ(a)-3)(φ(b)-2)=4時，有φ(a)=7,φ(b)=3或φ(a)=5,φ(b)=4或φ(a)=4,φ(b)=6.由引理2的c)知φ(a)=7,φ(b)=3和φ(a)=5,φ(b)=4這兩種情況不存在，舍去.

根據(jù)以上可得方程(1)有解的8種情況，下面進行分類討論給出方程的解.

1.當φ(a)=1,φ(b)≥4時，代入(1)式進行化簡得

(φ(b)-4)(φ(c)-3)≤8.

(1)當φ(b)=4時，此時(1)式為φ(abc)=8+4φ(c).

當φ(c)=1時，φ(abc)=12，即abc=13,21,26,28,36,42,又a=c=1,2;b=5,8,10,12,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=2時，φ(abc)=16，即abc=17,32,34,40,48,60,又c=3,4,6,經(jīng)檢驗此時有解為(a,b,c)=(1,8,4),(1,8,6),(1,10,4),(1,10,6),(1,12,4),(2,5,4),(2,5,6),(2,8,3),(2,10,3).

當φ(c)=4時，φ(abc)=24，即abc=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90,又c=5,8,10,12,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=6時，φ(abc)=32，即abc=51,64,68,80,96,102,120,又c=7,9,14,18,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=8時，φ(abc)=40，即abc=41,55,75,82,88,100,110,132,150,又c=15,16,20,24,30,經(jīng)檢驗此時有解為

(a,b,c)=(1,5,15),(1,5,20),(1,10,15),(2,5,15),(1,5,30).

當φ(c)≥10時，φ(abc)=8+4φ(c)，將a=1,2;b=5,8,10,12代入式(1)，經(jīng)檢驗不存在滿足φ(abc)=8+4φ(c)又φ(c)≥10的a,b,c, 故此時式(1)無解.

(2)當φ(b)=6時，此時φ(c)-3≤4，即φ(c)=1,2,4,6.

當φ(c)=1時，φ(abc)=18，即abc=19,27,38,54,又a=c=1,2;b=7,9,14,18,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=2時，φ(abc)=22，即abc=23,46,又c=3,4,6,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=4時，φ(abc)=30，即abc=31,62,又c=5,8,10,12,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=6時，φ(abc)=38，因為不存在這樣的a,b,c使得φ(abc)=38,故此時式(1)無解.

(3)當φ(b)=8時，此時φ(c)-3≤2，即φ(c)=1,2,4.

當φ(c)=1時，φ(abc)=24，即abc=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90,又a=c=1,2;b=15,16,20,24,30,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=2時，φ(abc)=28，即abc=29,58,又c=3,4,6,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=4時，φ(abc)=36，即abc=37,57,63,74,76,108,114,126,又c=5,8,10,12,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

(4)當φ(b)=10時，此時6(φ(c)-3)≤8，即φ(c)=1,2,4.

當φ(c)=1時，φ(abc)=30，即abc=31,62,又a=c=1,2;b=11,12,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=2時，φ(abc)=34，因為不存在這樣的a,b,c使得φ(abc)=34，故此時式(1)無解.

當φ(c)=4時，φ(abc)=42，即abc=43,49,86,98,又c=5,8,10,12,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

(5)當φ(b)=12時，此時φ(c)-3≤1，即φ(c)=1,2,4.

當φ(c)=1時，φ(abc)=36，即abc=37,57,63,74,76,108,114,126.又a=c=1,2;b=13,21,26,28,36,42,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=2時，φ(abc)=40，即abc=41,55,75,82,88,100,110,132,150,又c=3,4,6,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=4時，φ(abc)=48，即abc=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210,又c=5,8,10,12,經(jīng)檢驗有解為(a,b,c)=(1,13,5),(1,13,8),(1,13,10),(1,13,12),(1,21,5),(1,21,8),(1,21,10),(1,26,5),(1,28,5),(1,36,5),(1,42,5),(2,13,5),(2,21,5).

(6)當φ(b)=14時，因為不存在這樣的b使得φ(b)=14成立，故此時式(1)無解.

(7)當φ(b)≥16時，此時φ(c)-3≤0，即φ(c)=1,2.

當φ(a)=1,φ(c)=1時，又a=c=1,2代入式(1)，經(jīng)檢驗不存在滿足φ(abc)=3φ(b)又φ(b)≥16的a,b,c，故式(1)無解.

同理當φ(a)=1,φ(c)=2時，式(1)無解.

2.當φ(a)=2,φ(b)≥4時，代入(1)式進行化簡得

(φ(b)-2)(2φ(c)-3)≤4.

(1)當φ(b)=4時，此時2φ(c)-3≤2，即φ(c)=1,2.

當φ(c)=1時，φ(abc)=14，因為不存在這樣的a,b,c使得φ(abc)=14,故此時式(1)無解.

當φ(c)=2時，φ(abc)=18，即abc=19,27,38,54,又c=3,4,6,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

(2)當φ(b)=6時，此時2φ(c)-3≤1，即φ(c)=1,2.

當φ(c)=1時，φ(abc)=20，即abc=25,33,44,50,66,又c=1,2,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(c)=2時，φ(abc)=24，即abc=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90,又c=3,4,6,經(jīng)檢驗此時有解為(a,b,c)=(3,7,4),(4,7,3).

(3)當φ(b)=8時，此時3(2φ(c)-3)≤2，即φ(c)=1.

當φ(c)=1時，φ(abc)=26，因為不存在這樣的a,b,c使得φ(abc)=26,故此時式(1)無解.

(4)當φ(b)≥10時，此時2φ(c)-3≤0，即φ(c)=1.

當φ(a)=2,φ(c)=1時，又a=c=1,2代入式(1)，經(jīng)檢驗不存在滿足φ(abc)=3φ(b)+2.

又φ(b)≥10的a,b,c，故式(1)無解.

3.當φ(b)=1,φ(a)≥4時，有φ(abc)=2φ(a)+4φ(c)-3，即φ(abc)為奇數(shù)，由引理2的c)可知式(1)無解.

4.當φ(b)=2時，代入(1)式化簡可得

(φ(a)-2)(φ(c)-1)≤2.

(1)當φ(c)=1時，此時式(1)為

φ(abc)=2φ(a)+4.

當φ(a)=1時，φ(abc)=6，即abc=7,9,14,18,又a=1,2,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(a)=2時，φ(abc)=8，即abc=15,16,20,24,30,又a=3,4,6,經(jīng)檢驗有解(a,b,c)=(3,4,2),(4,3,2),(4,6,1),(6,4,1),(4,4,1).當φ(a)=4時，φ(abc)=12，即abc=13,21,26,28,36,42,又a=5,8,10,12,經(jīng)檢驗有解(a,b,c)=(12,3,1).

當φ(a)=6時，φ(abc)=16，即abc=17,32,34,40,48,60,又a=7,9,14,18,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(a)≥8時，φ(abc)=2φ(a)+4，將b=3,4,6;c=1,2代入式(1)，即φ(abc)=2φ(a)+4，經(jīng)檢驗不存在滿足φ(abc)=2φ(a)+4又φ(a)≥8的a,b,c,式(1)無解.

(2)當φ(c)=2時，此時φ(a)-2≤2，即φ(a)=1,2,4.

當φ(a)=1時，φ(abc)=10，即abc=11,22,又a=1,2,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

當φ(a)=2時，φ(abc)=12，即abc=13,21,26,28,36,42,又a=3,4,6,經(jīng)檢驗有解(a,b,c)=(3,3,4),(3,4,3),(4,3,3).

當φ(a)=4時，φ(abc)=16，即abc=17,32,34,40,48,60,又a=5,8,10,12,經(jīng)檢驗有解(a,b,c)=(5,3,4),(5,4,3).

(3)當φ(c)≥4時，此時φ(a)-2≤0，即φ(a)=1,2.

當φ(a)=1時，式(1)為φ(abc)=2+4φ(c)，又a=1,2;b=3,4,6，經(jīng)檢驗，此時式(1)無解.

當φ(a)=2時，式(1)為φ(abc)=4+4φ(c)，又a=b=3,4,6，經(jīng)檢驗，此時式(1)無解.

5.當φ(a)=2,φ(b)=1時,代入(1)式可得φ(abc)=1+4φ(c)無解.

6.當φ(a)=4,φ(b)=4時，式(1)為φ(abc)=14+4φ(c)≥16φ(c)，即φ(c)=1.此時φ(abc)=18,即abc=19,27,38,54,又a=b=5,8,10,12;c=1,2,經(jīng)檢驗此時式(1)無解.

7.當φ(a)=1,φ(b)=1時，有φ(abc)=4φ(c)-1，即φ(abc)為奇數(shù)，由引理2的(c)可知式(1)無解.

8.當φ(a)=4,φ(b)=6時，式(1)為φ(abc)=20+4φ(c)≥24φ(c)，即φ(c)=1.此時φ(abc)=24,即abc=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90,又a=5,8,10,12;b=7,9,14,18;c=1,2,經(jīng)檢驗此時有解為(a,b,c)=(5,7,1),(5,9,1),(8,7,1),(5,7,2),(5,14,1),(10,7,1),(8,9,1),(12,7,1),(10,9,1),(5,18,1),(5,9,2).

綜上討論，定理2得證.

定理3含完美數(shù)28的歐拉函數(shù)方程φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)-28共有25組正整數(shù)解，如下：

(a,b,c)=(1,3,11),(1,3,22),(1,3,33),(1,3,66),(1,4,11),(1,6,11),(1,6,33),(1,19,3),(1,19,4),(1,19,6),(1,27,4),(1,38,3),(1,46,2),(2,3,11),(2,3,33),(2,19,3),(2,23,2),(2,46,1),(3,25,1),(3,25,2),(3,44,1),(3,50,1),(4,25,1),(4,33,1),(6,25,1).

定理3的證明運用類似于定理2的證明方法可得定理3的結(jié)論.