重力對土體中地下結構地震反應的影響

董正方, 師成力, 王君杰, 曾繁凱

(1. 河南大學 巖土與軌道交通工程研究所, 河南 開封 475004; 2. 同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室, 上海 200092)

0 引言

分析地下結構的地震反應時,工程設計中的常用做法是作用組合,即將結構所受的重力作用和地震作用分開考慮,得到各自的結果后再進行疊加。從理論上來說,這種作用組合方法對于線性情況適用而非線性情況并不適用。但為了分析簡便,目前,對非線性情況也常采用線性疊加方式。這種方式對于地上結構誤差較小,但對于埋入土體中的地下結構,由于土體中存在初始地應力,且土體在地震作用下很容易進入非線性狀態(tài),因此,可能會存在較大的誤差。

目前,國內外學者對地下結構地震反應涉及的一些問題進行了研究。高峰等[1]通過同時考慮靜力效應和動力效應的地下結構靜-動力分析方法,推薦了一種較為合理的地下結構靜-動力分析的人工邊界轉換方法; 趙密等[2]基于改進的動力剛度連分式逼近方法,為頻域解析解的精確人工邊界條件轉換為時域高精度人工邊界條件提供了方法; 文獻[3-4]研究了土體的非線性處理方式; 文獻[5-6]探討了地下結構地震反應的簡化分析方法; 汪精河等[7]對比3種地震輸入方法并進行算例分析得出黏邊彈性邊界,采用應力輸入的方法進行地震輸入; 劉晶波等[8]基于波動法和有限元法的特點,提出直接求解等效地震荷載然后進行地震輸入的方法; 劉立平[9]和董正方等[10]等討論了重力的分析方法,但對該方法以及重力對地下結構地震反應的影響程度等研究還不充分。因此,本文將從重力對土體特性的影響、重力對地下結構地震反應影響的分析方法、重力對地震反應影響的程度等幾個方面開展研究。

1 重力對地震反應的影響

1.1 重力對土體性質的影響

土體初始應力主要受重力影響,深度越大則自重應力越大。另外,同樣的土體在不同的埋深處,由于其自重應力不同造成的力學特性也不同。在自重作用下,土體表現(xiàn)為壓硬性和剪脹性。當土體的本構關系采用黏彈性或等效線性時,需要知道最大剪切模量Gmax(或初始剪切模量G0)、阻尼比λ、剪切模量比和阻尼比隨剪應變的試驗曲線等。其中,對于Gmax和λ,圍巖壓力對其有顯著影響,例如文獻[11]通過分析上海深厚場地的地震反應得出,在大震作用時,宜考慮圍巖壓力對土體特性的影響,而剪切模量比、阻尼比隨剪應變的經驗曲線受土體性質等諸多因素影響[12]。因此,重力因素主要是通過圍巖壓力影響土體性質,最大剪切模量受圍巖壓力影響較大,圍巖壓力越大,剪切模量越大。剪切模量比曲線隨圍巖壓力增加不變或增加不大,其中,砂土受到的影響較小,黏土受到的影響較大。阻尼比曲線隨圍巖壓力增加不變或減小。

1.2 重力與地震相互影響

地下結構的地震反應主要受周圍土體變形影響,土體受到的重力荷載和地震荷載也會影響土體的變形。因此,重力和地震對地下結構的影響是不能分開來考慮的。重力產生正應力σ和正應變ε(見圖1(a)),垂直輸入剪切波產生剪應力τ和剪應變γ(見圖1(b))。對于二維和三維問題,為方便研究,經常采用一些特殊的應力,如八面體應力和應變。

圖1 應力-應變圖Fig. 1 Diagram of stress and strain

八面體正應變?yōu)?/p>

八面體剪應變?yōu)?/p>

式中:ε為正應變,下標x、y、z代表3個方向的主應變;γ為剪應變。

在重力與地震相互作用中,當土體進入非線性時,在地震作用下會引起剛度變化,進而引起正應變和剪應變變化;土體正應變和剪應變的變化反過來也將引起土體剛度變化。因此,重力與地震是相互影響的。

2 重力作用下的地震反應計算方法

2.1 初始應力的處理

土體在自重作用下已經完成的固結變形稱為先期固結變形。然而,固結完成前,土體尺寸是未知的,因此,有限元計算模型尺寸需根據(jù)固結完成后的尺寸確定。如果直接在模型上施加重力,模型將產生附加固結變形,特別是對于深厚土層,這種附加變形很大,甚至將改變模型的幾何尺寸,不利于后續(xù)的分析[13]。因此,在計算模型中需要施加初始地應力,從而模擬土體的實際狀態(tài)。但在實際工程中,由于測試條件、工程投資等方面的限制,只能對為數(shù)不多的點進行土體應力測量。因此,通常通過分析計算的方法獲得土體應力。

在分析時,如果不考慮構造應力的影響,土體中的應力場和自重應力場處于相互平衡狀態(tài)。自重應力場常利用數(shù)值計算方法得到。假定彈性材料體內存在初始應力σ0或初始應變ε0,則施加外荷載后的總應力向量

式中: σ是總應力列向量; D為彈性本構矩陣; ε為加載產生的應變。

采用虛位移原理,單元節(jié)點力與單元應力關系

式中: Ke為單元剛度矩陣; pe為單元內力的等效節(jié)點力向量; δe為單元節(jié)點位移向量; BT為應變轉換矩陣;為與初始應力有關的剛度矩陣。

系統(tǒng)的平衡方程可變?yōu)?

式中: K為系統(tǒng)剛度矩陣; δ為單元節(jié)點位移向量; K為系統(tǒng)與初始應力有關剛度矩陣; p為外荷載向量; CeT為位移轉換矩陣。

式(6)中,可以把初始應力當作一種特殊的荷載或者把其效應當作初始剛度。假定p為與重力等效的系統(tǒng)的荷載向量,σ0為與重力場相平衡單元的總應力,則式(6)中的節(jié)點位移δ=0。這樣可以保證附加固結變形被消除,且施加的重力場不會產生新的單元應力,保證單元應力狀態(tài)與初始條件一致。還有一種近似方法就是從初始應力為零開始先施加重力,得到應力和應變,后續(xù)計算減去初始應變得到實際應變。如果將初始應力的效應當作初始剛度,則初始應力或初始應變相當于修正了剛度矩陣,假定p為與重力相等效的系統(tǒng)的荷載向量,則{δ}≠0,這種情況常用于纜索結構初始剛度的描述。本文使用ABAQUS軟件自帶的地應力平衡模塊,把初始應力當做一種特殊的荷載。

2.2 重力的施加方式

開始地震計算時同時考慮重力,重力可以當作不變的荷載施加[10],如式(7)中就是重力。

式中: u¨g=[0 0g0 0 0…0 0g0 0 0]Tm×m,m×m表示除了邊界以外的自由度;g是重力加速度,由于要與地震同時進行動力計算,所以是時間的函數(shù)。

重力作用采用時間的函數(shù)有3種形式(見圖2),t1和t2是施加的重力時程變?yōu)間的時刻,同時,t2是地震開始施加時刻,本文t1取1 s,t2取10 s。方式1為t2時間內重力從0變?yōu)間; 方式2為保持g一直不變;方式3為開始t1內重力從0變?yōu)間,以后保持g一直不變。這3種施加方式都需要系統(tǒng)實際的或人為假定的阻尼或者耗能機制耗散重力時程的動力效應。在消除動力效應前的反應時間t2內,系統(tǒng)的反應是不真實的,因此,地震施加需要從t2時刻開始或者地震開始前t2時間內進行補零。方式1和方式2是方式3的2個極端,施加方式的優(yōu)劣可通過數(shù)值分析進行評價。

3 重力對地震反應的影響程度

由重力作用和地震作用相互影響,但影響程度以及重力施加的方式需要通過數(shù)值計算來評價。

3.1 算例

為評價重力施加方式,本文采用土層厚度為25 m的自由場,均勻土層,土體天然重度為18.6 kN/m3、剪切波速為130 m/s、泊松比為0.30; 模型底部垂直輸入水平地震,地震輸入采用Anza波,如圖3(a)所示。

圖2 重力時程施加方式Fig. 2 Different modes of gravity time history

圖3 地震波Fig. 3 Earthquake waves

評價重力對地震反應的影響程度時,選取土層厚度為25 m的2種不同性質均勻土層(Ⅱ類場地和Ⅲ類場地),土體、地下結構參數(shù)和模型邊界條件見圖4。在模型底部輸入水平和豎向地震動,地震動采用Anza波,見圖3(a)(豎向地震動取水平地震動的2/3)以及Elcentro波(分別采用水平分量和豎向分量),如圖3(b)和圖3(c)所示。

為考慮人工邊界處地震波的反射問題,將人工邊界設置在離地下結構一定的距離處,使在計算時間內人工邊界處的反射波不影響地下結構。因此,本文中計算模型寬度取為1 000 m。

圖4 模型示意圖Fig. 4 Schematic diagram of model

土體單元和結構單元大小見圖4。其中,土體單元不大于λmin/8(λmin為地震波最小波長)[15]。土體阻尼比取5%,土體和地下結構采用平面應變單元,單元厚度為1 m。土體非線性采用Davidenkov模型[16]。

式中:A′、B′和γ0為擬合參數(shù),參數(shù)取值如表1所示,按Mashing法則構造相應的滯回曲線;γ為瞬時動剪應變;G為瞬時動剪切模量;Gmax為最大動剪切模量。

表1 擬合參數(shù)表Table 1 Fitting parameters

3.2 重力的施加方式評價

選用自由場,設置工況如下: 工況1為有初始應力、線性計算; 工況2為無初始應力、線性計算; 工況3為有初始應力、非線性計算。選取地表A點的水平和豎向位移時程結果進行分析,如圖5所示。

圖5 位移對比結果Fig. 5 Comparison of displacements

分析圖5可知: 1)工況1時,由于地應力平衡后系統(tǒng)有和重力平衡的初始應力,如果開始時施加的重力為0(如方式1和方式3),就會產生一個較大的向上波動位移,且方式1的波動大于方式3; 如果施加重力為1g,則3種方式的豎向位移沒有波動。一定時間后再施加地震,方式2和方式3的豎向位移是重合的,方式1有偏差,三者水平位移重合。2)工況2時,方式2相當于突加荷載,豎向位移在開始段波動大;方式1和方式3的波動小,其余規(guī)律同工況1。3)工況3時,方式1的豎向位移在開始段波動大,且方式1和方式3豎向位移沒有返回到0的位置; 施加地震后3種方式水平位移不重合。綜上可得,方式1有誤差,不宜使用;方式2和方式3在線性情況下可以使用。但由于進行非線性工況計算不考慮初始應力,很容易造成不收斂,因此,非線性工況需要進行地應力平衡,宜使用方式2。

3.3 重力對地震反應影響程度評價

為考察2種場地(Ⅱ類和Ⅲ類場地)的非線性程度,將水平地震動加速度峰值分別調整為0.1g和0.6g,模型中間位置土體單元應力與應變關系如圖6所示。由圖6可知,0.6g工況的滯回曲線飽滿程度大于0.1g工況,其非線性程度較大;Ⅲ類場地的滯回曲線飽滿程度大于Ⅱ類場地,其非線性程度較大。

圖6 土體滯回曲線Fig. 6 Soil hysteretic curves

為考察重力的影響,加速度峰值為0.1g時計算線性和非線性2種情況,0.6g時只計算非線性,每種情況采用2種計算方式。方式1是初始地應力、重力、地震同時計算,這種方式理論上精確;方式2是初始應力和重力同時計算,地震單獨計算,然后再疊加。

計算結果取圖4中A、B、C3個點的豎向和水平位移的平均值,計算地下結構側墻頂、底點的軸力、剪力和彎矩,其中,軸力、剪力和彎矩的計算公式分別為:

式(9)—(11)中:FN、V、M分別為結構軸力、剪力和彎矩;h為結構壁厚;σ、τ分別為正應力和剪應力; 1為平面應變單元厚度。

以重力施加方式1的結果為基準,評價方式2的結果。為全面地衡量誤差,定義3種不同概念的最大值誤差,誤差定義如下:

式(12)—(14)中:r0(t)為基準模型的反應;r(t)為疊加的反應;tmax為|r0(t)|max對應的時刻; |?|max為反應量“?”絕對值的最大值;ε1為r(t)最大值的絕對值與基準模型最大值的絕對值之間的誤差,反映的是模型最大反應時的相對誤差;ε2為基準模型最大值tmax時刻r(t)的值與對應的疊加模型之間的誤差,反映的是基準模型達到反應最大值時刻的相對誤差;ε3為模型反應差值最大時的相對誤差,代表模型的最大值誤差。

計算結果見圖7和圖8,圖中實線代表Ⅱ類場地,虛線代表Ⅲ類場地,Elcentro波(簡稱E波)結果用實心標簽表示,Anza波(簡稱A波)結果用空心標簽表示。

圖7 位移誤差Fig. 7 Displacement error

圖8 內力誤差Fig. 8 Internal force error

由圖7和圖8可知: 線性情況疊加誤差較小,非線性情況疊加誤差較大,且非線性程度越大,疊加誤差越大。其中,對于位移,水平位移的疊加誤差小于豎向位移,豎向誤差最大值超過100%;Ⅱ類場地疊加誤差小于Ⅲ類場地,誤差的大小受場地類別的影響。對于內力,誤差最大值接近120%,有類似位移出現(xiàn)的規(guī)律,但沒有位移規(guī)律明顯,且有非單調情況。

誤差結果中ε3總是偏大,而ε1和ε2趨近一致,這一點可以從反應時程圖得到更清晰解釋。圖9示出在Elcentro波作用下,Ⅲ類場地頂點剪力0.6g工況時程和底點彎矩0.1g工況時程曲線。根據(jù)ε1、ε2和ε3的定義,由圖9可知,基準模型反應最大值時刻,進行疊加的反應與基準模型的反應的差別并非總是最大,而是隨時間二者差別有增大的趨勢,因此ε3一般總是較大;由于二者時程的趨勢基本一致,二者峰值具有一定的同步性,因此ε1和ε2數(shù)值接近。

誤差結果中還存在ε1、ε2和ε3非單調增加的情況,以ε3為例,取出Anza波Ⅱ類場地底點彎矩和軸力,將非線性0.1g、0.6g的疊加結果、合算結果的差值時程和合算時程進行比較,結果如圖10所示。0.1g和0.6g的差值時程的峰值相差不大,但二者合算結果的時程峰值相差較大(2～3倍)。因而,會出現(xiàn)0.6g誤差小于0.1g誤差的情況。

圖9 典型時程圖1Fig. 9 Typical time history diagram 1

圖10 典型時程圖2Fig. 10 Typical time history diagram 2

4 結論與討論

通過理論分析和典型算例數(shù)值計算,討論了地應力、重力施加方式對地下結構的影響,以及重力作用對地下結構地震反應的影響程度,得出以下結論:

1)地下結構進行非線性動力時程計算時,地下結構反應和重力反應分開計算然后疊加產生的水平位移誤差較小、豎向位移誤差較大,水平位移最大誤差超過100%,內力最大誤差接近120%。

2)重力和地震作用同時計算時,重力可采用時程荷載的形式施加,并且非線性計算時宜采用一直不變的形式。

3)位移和內力的疊加誤差隨著土體非線性程度的增加而增大,內力疊加誤差并非單調增加,誤差范圍從小非線性程度的5%到大非線性程度的120%。

4)疊加誤差還受場地軟硬影響,Ⅲ類場地位移誤差大于Ⅱ類場地,Ⅲ類場地的最大誤差接近100%,而Ⅱ類場地的最大誤差僅達到16%?？傮w來看,內力誤差規(guī)律沒有位移誤差規(guī)律明顯。

重力對土體中地下結構地震反應的影響還需要進一步研究,比如選取的場地和地震波樣本較少,得到的規(guī)律不明顯,有待設置更多的工況以得到更有規(guī)律的結果。