用先進(jìn)思想促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)解題能力的發(fā)展
——以數(shù)形結(jié)合為例

王 莉

(江蘇省海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 226699)

數(shù)形結(jié)合可以說(shuō)一方面屬于一種數(shù)學(xué)思想，而又是一種比較典型的、有突出實(shí)用價(jià)值的解題方法，它可以讓學(xué)生在解題期間，比較自然地?fù)碛谐橄笈c形象思維，并使二者有機(jī)結(jié)合.在針對(duì)高中生的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題指導(dǎo)期間，教師需要有意識(shí)地使用數(shù)形結(jié)合思想，則可使之依附于具體的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題效率提升的目標(biāo).

1 數(shù)形結(jié)合思想的解題能力發(fā)展重要性

1.1 保持學(xué)生的解題熱情

高中數(shù)學(xué)問(wèn)題有時(shí)本身過(guò)于枯燥，其抽象性與邏輯性特征，讓相當(dāng)一部分學(xué)生出現(xiàn)手足無(wú)措之感.然而正所謂萬(wàn)變不離其宗，只要使學(xué)生了解數(shù)、形這兩種數(shù)學(xué)基本概念，并使其對(duì)立與統(tǒng)一的關(guān)系被靈活應(yīng)用，則不但解題時(shí)的瓶頸被突破，而且還可以讓學(xué)生更加輕松與高效地應(yīng)對(duì)問(wèn)題處理任務(wù)，從而讓學(xué)生體會(huì)到問(wèn)題中的數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)之靈活性，并以生動(dòng)有趣的視角，將這種靈活性在解題過(guò)程中還原出來(lái).

1.2 發(fā)展學(xué)生的解題能力

高中代數(shù)問(wèn)題之中，“形”的建立有越來(lái)越廣闊的應(yīng)用空間，而幾何問(wèn)題之中，“數(shù)”的運(yùn)算也有越來(lái)越深入的應(yīng)用機(jī)會(huì)，二者的有機(jī)結(jié)合，實(shí)際上給學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力提出了更為嚴(yán)格的要求.教師借此機(jī)會(huì)，進(jìn)行數(shù)和形快速、合理轉(zhuǎn)化思想的嘗試，以及構(gòu)建更為直觀數(shù)量關(guān)系的思考，可對(duì)發(fā)展學(xué)生解題能力提供平臺(tái)支持.學(xué)生將在轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系期間，同步感受到“數(shù)”的運(yùn)算功能與“形”的直觀功能，讓二者的完美結(jié)合更好地服務(wù)于自我解題時(shí)的推理、演算、總結(jié)及歸納工作，從而保證數(shù)學(xué)問(wèn)題的完美解決.

1.3 拓展學(xué)生的思維能力

高中數(shù)學(xué)課程改革所提要求中，涉及到教師教學(xué)時(shí)需持續(xù)進(jìn)行學(xué)生發(fā)散思維能力開(kāi)發(fā)的努力，關(guān)注學(xué)生創(chuàng)造思維能力等方面的內(nèi)容，以及對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)加以培養(yǎng)的內(nèi)容.若教師忽略數(shù)學(xué)思維方面的訓(xùn)練，只注意問(wèn)題解決及考試技巧，那么解題指導(dǎo)過(guò)程難免會(huì)陷入于不利的境地，使學(xué)生的創(chuàng)造性與創(chuàng)新性思維被局限.為此，教師需要意識(shí)到引入數(shù)形結(jié)合觀念的價(jià)值，使之在解題期間，因生動(dòng)和靈活等特點(diǎn)，為學(xué)生帶來(lái)全新的思維體驗(yàn)，受此影響，學(xué)生會(huì)掌握數(shù)與形的構(gòu)建，還有融抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題于形象化處理情境的有效策略，從而激發(fā)自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大量潛在能力.

2 數(shù)形結(jié)合思想促進(jìn)解題能力發(fā)展的原則

在面對(duì)比較具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，若學(xué)生達(dá)到對(duì)于問(wèn)題題干的合理分析要求后，便可以以直接或者間接的方式，將數(shù)學(xué)知識(shí)朝圖形角度轉(zhuǎn)化與調(diào)整，并使這種轉(zhuǎn)化過(guò)程變?yōu)閱?wèn)題解決的途徑，而教師在此期間則應(yīng)將數(shù)形結(jié)合觀念滲入工作做好，以確保學(xué)生得以更順利地整合形和數(shù)的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)高效解題的目標(biāo).在此過(guò)程中，師生應(yīng)當(dāng)共同遵守如下幾個(gè)原則.

2.1 等價(jià)原則

所謂等價(jià)原則，即運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，需要保證題目之中的條件和關(guān)系，在利用外形呈現(xiàn)時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)背離和偏差，始終以精細(xì)化的態(tài)度加以處理.如果違背這一原則，學(xué)生將有可能在賦形時(shí)，變化題目條件內(nèi)容，如擴(kuò)大或者縮小定義域、值域等，從而導(dǎo)致結(jié)果的失之毫厘，謬以千里.

2.2 雙向原則

雙向原則即在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，應(yīng)當(dāng)始終保持以形助學(xué)，用數(shù)解形的基本態(tài)度.一般來(lái)講，即需要學(xué)生從兩個(gè)角度關(guān)注問(wèn)題，而并不是僅于單一方面展開(kāi)努力，從而防止在解題時(shí)誤入錯(cuò)誤渠道.對(duì)于相當(dāng)一部分高中數(shù)學(xué)題目來(lái)講，它們通常都有復(fù)雜化和綜合化的傾向，這便要求學(xué)生要利用圖形和運(yùn)算的同步認(rèn)知來(lái)帶動(dòng)題目的處理.

2.3 簡(jiǎn)化原則

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，從本質(zhì)上講，其宗旨在于讓數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單.若以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo)，并對(duì)具體操作模式進(jìn)行調(diào)整后，未能讓數(shù)學(xué)題變得更簡(jiǎn)單，甚至出現(xiàn)了趨于復(fù)雜化的傾向，那定然是解題出現(xiàn)了問(wèn)題.例如在方程求解時(shí)有漏洞，或者圖形展示時(shí)有不足，這種非但不能解決問(wèn)題反而制造了新問(wèn)題的做法是不可取的.

2.4 實(shí)用原則

數(shù)形結(jié)合思想在解題時(shí)的使用，目的在于解題，所以無(wú)論教師還是學(xué)生，在啟用本思想時(shí)，需要保證實(shí)用性原則的自始至終貫徹，也就是只有在滿足實(shí)踐需求的指引下，才能使數(shù)和形相結(jié)合，所以，在難度不是特別大，或者內(nèi)容不適宜的情況下，應(yīng)當(dāng)避免該思想及對(duì)應(yīng)方法的使用.

3 數(shù)形結(jié)合思想促進(jìn)解題能力發(fā)展的方向

3.1 集合問(wèn)題

當(dāng)面對(duì)集合問(wèn)題時(shí)，借鑒數(shù)形結(jié)合思想，具有內(nèi)容和方法上的便利性.例如下題：已知集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|(x+1)(x-5)≤0}，試求A∩B.針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生可先化簡(jiǎn)集合，再于數(shù)軸內(nèi)把集合A、B所表示的區(qū)域繪制出來(lái)，接下來(lái)找到公共區(qū)域值，得出A∩B={x|-1≤x<2或3

3.2 統(tǒng)計(jì)問(wèn)題

在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)教學(xué)時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師時(shí)常需要讓學(xué)生依據(jù)實(shí)際給出的數(shù)據(jù)，判斷各變量間的實(shí)際聯(lián)系，而學(xué)生若面對(duì)計(jì)算量極大的數(shù)據(jù)時(shí)，采用逐個(gè)展開(kāi)計(jì)算的辦法，很顯然會(huì)影響到解題效果，同時(shí)使其畏難、抵觸心理升溫.這時(shí)教師如果借助數(shù)形結(jié)合的思想，則能夠助力學(xué)生產(chǎn)生對(duì)于本類(lèi)問(wèn)題的高效、優(yōu)質(zhì)處理意識(shí).

3.3 向量問(wèn)題

在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，向量是不可忽略的關(guān)鍵性內(nèi)容，它的自身本來(lái)已經(jīng)顯現(xiàn)出較為顯著的幾何意義，也就是可以依靠向量展開(kāi)對(duì)于幾何對(duì)象的描述，像：a·b=0的幾何意義為向量a、b擁有彼此垂直的關(guān)系，此外，a·a可以表達(dá)為向量|a|的平方.在解決問(wèn)題時(shí)，教師利用數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的策略，會(huì)在具體的向量教學(xué)活動(dòng)期間，有效引導(dǎo)學(xué)生完成向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)，以及向量幾何意義的把握任務(wù)，以此突破向量代數(shù)性質(zhì)的難點(diǎn).

3.4 函數(shù)問(wèn)題

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)課程體系中的作用可謂舉足輕重，既屬于考試必選題目，又會(huì)在學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力檢測(cè)方面發(fā)揮出獨(dú)特價(jià)值.而在相當(dāng)多的函數(shù)解題中，也均會(huì)應(yīng)用函數(shù)圖像，使之成為復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的載體形式.但同時(shí)，函數(shù)知識(shí)并非常見(jiàn)生活體驗(yàn)范疇，學(xué)生學(xué)習(xí)并理解函數(shù)問(wèn)題出現(xiàn)困難是一種比較常見(jiàn)的現(xiàn)象，此時(shí)高中數(shù)學(xué)教師可以把數(shù)軸、坐標(biāo)軸等看作學(xué)習(xí)者深刻感受函數(shù)方程式的必要工具，用構(gòu)建圖形的做法，形象化地展現(xiàn)出數(shù)字意義，防止學(xué)生理解困難問(wèn)題的不易化解.

4 數(shù)形結(jié)合思想促進(jìn)解題能力發(fā)展的策略

4.1 數(shù)與形的直接結(jié)合

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)期間，部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題在數(shù)量關(guān)系上是比較抽象的，這一點(diǎn)人所共知，這在實(shí)際操作中，確實(shí)給學(xué)生的求解實(shí)際問(wèn)題增加了難度，此時(shí)便應(yīng)當(dāng)做好針對(duì)問(wèn)題條件的充分分析與有效理解.例如教師提示學(xué)生：是否能夠探索到其中的明顯幾何意義，若是可以利用數(shù)形結(jié)合的策略來(lái)解決最好.在教師的提示下，學(xué)生便可以直接利用畫(huà)圖的形式，從已知條件出發(fā)，完成對(duì)于數(shù)量關(guān)系的重新審視，并依題目所給數(shù)量關(guān)系、限制條件突破解決障礙，這種策略在前述集合問(wèn)題中，有比較生動(dòng)的體現(xiàn).

4.2 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化結(jié)合

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，將面對(duì)很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，此類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)法直接看到其中所具有的幾何意義，因此可采取先變形再數(shù)形結(jié)合的方式，將題目之中的數(shù)量關(guān)系向與圖形相結(jié)合的角度轉(zhuǎn)化，確保抽象問(wèn)題變得具象化，使題目擁有順利求解的可能性.關(guān)于這一點(diǎn)，直線斜率模式比較具有代表性，對(duì)于此類(lèi)型數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，如果可以把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化成(a+d)/(b+c)的形式，便能夠更加接近于直線斜率公式，依斜率幾何解釋完成規(guī)律變化的探索，從而突破解題的瓶頸.

4.3 數(shù)與形的聯(lián)想結(jié)合

這里所說(shuō)的聯(lián)想，是在對(duì)題目信息中的數(shù)形結(jié)合可能性進(jìn)行挖掘過(guò)程中，增加類(lèi)比環(huán)節(jié)，通過(guò)類(lèi)比的形式，找到隱含的數(shù)形結(jié)合關(guān)鍵點(diǎn)，在此之后通過(guò)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)圖形模型的形式，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決.此種類(lèi)比聯(lián)想形式能夠讓原本復(fù)雜的解題步驟被簡(jiǎn)化，同時(shí)也將便利于高中生的問(wèn)題思考過(guò)程.例如問(wèn)題：已如0

數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的兩項(xiàng)比較古老和基本的研究對(duì)象，它們能夠于一定情況下做到相互轉(zhuǎn)化.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)期間，利用它們的這種轉(zhuǎn)化可能性，以及由此體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)思想，將讓學(xué)生在課堂上擁有更大的收獲.正是由于數(shù)形結(jié)合思想意義突出，因此需要教師在未來(lái)工作中投入更多關(guān)注目光.