僅知需求區(qū)間信息下具有二次訂貨機會的損失厭惡報童魯棒優(yōu)化模型

邱若臻 曹沙沙 孫 月

(東北大學 工商管理學院, 遼寧 沈陽 110169)

0 引言

經(jīng)典報童問題(又稱為單周期庫存問題),研究的是決策者在面對隨機需求時,如何確定訂貨量以期獲取最大利潤。報童問題在經(jīng)濟管理活動中應用十分普遍,廣泛應用于收益管理,庫存管理,供應鏈契約及服務運作等運作管理領域[1]。傳統(tǒng)關于報童問題的研究通常假設只有一次訂貨機會,即,決策者只能在銷售季節(jié)來臨前向上游供應商發(fā)出訂貨訂單,一旦銷售季節(jié)開始,即使出現(xiàn)缺貨也不允許進行二次訂貨。然而,在實際運作中,為了降低報童的庫存風險并實現(xiàn)較高的客戶服務水平,供應商通常允許其下游零售商在銷售季節(jié)中進行二次訂貨,該問題又被稱為考慮追索權(quán)的庫存優(yōu)化問題[2]。比如時尚快消服裝的零售商,在銷售季到來之前向上游服裝供貨商以批量訂購價格訂貨。如果銷售期內(nèi)某類緊俏服裝的需求超過初始訂單,出現(xiàn)缺貨時,上游供應商允許零售商以高于初次訂貨單位成本的價格進行二次訂貨直至滿足所有需求。

關于此類問題,Lau和Lau[3]建立了允許二次訂貨的報童模型,給出了報童決策者的最初訂貨量,以及需要二次訂貨時,何時訂購及訂購多少等決策,并進一步表明庫存補貨需要綜合考慮訂單處理成本、價格變化及資源限制等因素。Weng[4]在報童模型框架下,研究了具有二次訂貨機會的單制造商和單銷售商協(xié)調(diào)訂貨問題。Zhou和Wang[5]在此基礎上將模型擴展為當初次訂貨之后,由于市場出現(xiàn)過量需求導致銷售商的產(chǎn)品短缺時,制造商和銷售商共同分擔二次訂貨成本時的供應鏈協(xié)調(diào)問題。禹海波[6]采用隨機占優(yōu)和可變序方法研究帶有二次訂貨策略的最大利潤報童問題,證明了只有當二次訂貨費用小于或等于零售價格時,隨機大需求才會導致較高的利潤。對任意二次訂貨費用,在二階隨機占優(yōu)意義下系統(tǒng)最優(yōu)利潤隨需求可變性增加而減小。Herbon等[7]針對具有二次定價和訂貨機會的銷售報童類型產(chǎn)品的零售商,通過將銷售周期劃分為兩個子周期,采用隨機規(guī)劃方法研究了基于延遲策略的定價和訂貨問題。

上述報童問題考慮了二次訂貨問題,但均沒有考慮決策者的風險厭惡水平。實證研究表明,決策者實際采用的運作策略并不總是與基于期望利潤或成本的策略一致[8]。因為決策者往往存在損失厭惡。作為前景理論的重要基礎,損失厭惡是指人們對于損失和收益的敏感程度不同,面對同樣數(shù)量的收益和損失時,認為損失更加難以忍受[9]。損失厭惡反映了人們對風險的偏好態(tài)度并不是一致的,當涉及收益時,人們表現(xiàn)為風險厭惡;當涉及損失時,人們則表現(xiàn)為風險尋求。針對報童決策問題,Schweitzer和Cachon[10]研究了損失厭惡對報童決策者訂貨量的影響,發(fā)現(xiàn)損失厭惡報童的訂貨量少于風險中性報童訂貨量。Wang和Webster[11]證明如果缺貨成本較高,損失厭惡報童決策者的訂貨量要高于風險中性報童的訂貨量,并且損失厭惡報童訂貨量會隨著損失厭惡系數(shù)的增加而增大。馬德青等[12]研究具有損失厭惡和損失概率厭惡行為的報童問題,通過構(gòu)建報童的前景值函數(shù),分析了報童訂貨量決策隨相關參數(shù)的變化情況。當考慮二次訂貨問題時,Ma等[13]通過研究在市場需求信息不斷更新的情況下,損失厭惡報童決策者的二次訂貨決策,發(fā)現(xiàn)初次訂貨量與需求的不確定性有關,決策者會將初次訂貨和二次訂貨進行權(quán)衡來實現(xiàn)利潤最大化,如果訂單允許取消,則初次訂貨量將會更高。Vipin和Amit[2]研究了損失厭惡下的報童訂貨行為,發(fā)現(xiàn)損失厭惡的考慮能夠有效改進所建模型在預測報童理性行為方面的績效。

上述文獻中無論是風險中性還是損失厭惡下具有二次訂貨的報童問題研究,均是基于已知不確定參數(shù)的完備信息。隨著市場競爭環(huán)境的復雜多變,各種不確定因素日益加劇,特別是市場信息的快速變化,以及企業(yè)在掌握市場變化能力方面的局限性,使得基于完備信息的決策難以適應實際情況。自上世紀90年代以來,魯棒優(yōu)化方法被廣泛應用于解決受不確定性擾動的供應鏈及庫存決策問題[14]。針對報童問題,Scarf[15]最早采用絕對魯棒性建模準則研究了在僅知需求均值和方差信息下的單周期報童訂貨問題,并給出了封閉形式的Scarf訂貨規(guī)則。在此基礎上,一些學者在不同條件下進一步做了擴展性研究[16-18]。最近,Yu等[19]在損失厭惡下研究了僅知需求均值和方差條件下的報童訂貨策略,發(fā)現(xiàn)損失厭惡和風險中性下的報童魯棒最優(yōu)訂貨策略雖然不同,但損失厭惡對于魯棒訂貨策略和傳統(tǒng)訂貨策略的影響基本一致。在同樣的條件下,張文思等[20]慮需求分布未知情況下含數(shù)量折扣的多產(chǎn)品庫存與定價聯(lián)合問題,建立了混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型并設計了求解算法。Park和Lee[21]針對損失厭惡優(yōu)化問題,研究了僅知不確定參數(shù)部分信息的分布魯棒優(yōu)化方法。根據(jù)Roy[22],在進行魯棒建模時有三種魯棒性度量準則,即絕對魯棒性、魯棒偏差(又稱后悔值準則)和相對魯棒性。由于絕對魯棒性僅關注最壞情況,導致該準則下的決策具有較高的保守性。為改進解的保守性,Yue等[23]在僅知需求均值和方差下,通過構(gòu)建基于后悔值準則的報童優(yōu)化模型,探討了特定訂貨量和特定分布下的分布信息期望值問題。在此基礎上,Perakis和Roels[24]采用后悔值準則研究了僅知部分需求信息(例如,需求區(qū)間、均值、均值和方差、中值等)的報童問題,給出了基于最小最大后悔值的訂貨量決策。Zhu等[25]進一步采用相對魯棒性研究了僅知需求區(qū)間和均值以及均值和方差條件下的報童決策問題。

通過梳理已有研究發(fā)現(xiàn),目前關于不確定條件下具有二次訂貨機會的報童決策研究還存在以下亟待解決的問題:(1) 在經(jīng)典報童模型基礎上,雖有相關研究考慮了二次訂貨問題,但通?；谝阎枨缶唧w分布形式假設,通過優(yōu)化期望利潤獲得最優(yōu)訂貨量決策?，F(xiàn)實當中,完備需求信息通常難以精確獲取,從而導致隨機優(yōu)化方法無法應用于需求信息缺失情況;(2) 已有關于報童魯棒優(yōu)化問題的研究在建模時多數(shù)采用絕對魯棒性準則,該準則由于僅關注最壞需求分布情況而致使得到的訂貨量決策具有較高的保守性;(3) 為改進傳統(tǒng)最大最小魯棒解的保守性,Yue等[23],Perakis和Roels[24]提出了最小最大后悔值準則,用于度量魯棒解和最優(yōu)解之間的績效偏差。該方法有效降低了基于最大最小準則的魯棒解的保守性。但由于求解具有封閉形式解的復雜性,目前此類方法應用較少且主要集中于僅有一次訂貨機會的報童決策問題,鮮有文獻采用該方法研究損失厭惡下考慮二次訂貨的報童決策問題?；诖?本文在已有研究基礎上,采用最小最大后悔值準則研究僅知需求區(qū)間信息條件下考慮二次訂貨的損失厭惡報童魯棒決策問題,得到了具有封閉形式的魯棒訂貨量決策及由于需求信息缺失而未能采取最優(yōu)決策導致的后悔值績效。進一步,分析了損失厭惡系數(shù)、初次訂貨單位成本、二次訂貨單位成本、單位殘值以及需求區(qū)間范圍等系統(tǒng)參數(shù)對報童魯棒訂貨量和后悔值績效的影響,并給出了相應的管理啟示。

1 基本問題描述

考慮一個銷售季節(jié)性產(chǎn)品的損失厭惡報童決策者,其面臨不確定市場需求x。假設市場需求x在區(qū)間[A,B]上具有服從某一類未知分布Ψ的累計分布函數(shù)F,F∈Ψ。為滿足市場需求,在銷售季節(jié)到來之前,決策者需要確定以單位價格w向上游供應商訂購多少數(shù)量的產(chǎn)品,即確定訂貨量決策Q。銷售季節(jié)開始后,需求實現(xiàn),決策者以單價p出售產(chǎn)品。如果訂貨量大于市場需求,即,Q≥x,超出的部分只能在季末以單位殘值v清倉處理;反之,如果訂貨量不足以滿足市場需求,即,Q＜x,則考慮決策者具有追索權(quán),即允許有二次訂貨的機會,但對于未滿足市場需求的部分,報童決策者將支付較高的單位采購成本w^(w^＞w)。整個銷售周期內(nèi)的事件發(fā)生時間過程如圖1所示。特別地,如果p=w^,報童將由于無利可圖而不進行緊急訂貨,此時問題等價于經(jīng)典的報童問題;如果w=w^,由于缺乏采購價格激勵,報童將不會過多地承擔銷售季節(jié)來臨之前采購所帶來的庫存風險,即在期初只少量訂貨或不訂貨。不失一般性,假設p＞w^＞w＞v≥0。

圖1 事件發(fā)生順序Figure 1Sequence of events

報童的收益函數(shù)如下:

當已知需求分布F時,最大化報童期望收益的最優(yōu)訂貨量為:

其中,W0為銷售季節(jié)期初報童的參考水平,λ≥1是損失厭惡系數(shù)。當λ=1時,表明決策者是風險中性或損失中性的。λ越大,說明報童損失厭惡程度越高。根據(jù)Kahneman和Tversk[9],λ的取值通常為2.25。不失一般性,令W0=0。則在式(3)基礎上,報童的期望效應函數(shù)為:

2 風險中性下具有追索權(quán)的報童魯棒優(yōu)化模型

當報童為風險中性(即,λ=1)時,根據(jù)式(1),報童的期望利潤函數(shù)可表示為:

令Q0表示已知需求完備信息時的最優(yōu)訂貨量,則當僅知需求區(qū)間信息時,報童訂購Q單位的產(chǎn)品時所導致的后悔值為:

其中,ρ0度量了當知道需求分布具體信息時所能獲得的額外利潤,當需求分布F未知時,最大后悔值可以表示為:

可以看出,最大后悔值ρ(Q)衡量了報童為獲得需求完備信息所愿支付的最高成本。根據(jù)最小最大后悔值準則,報童決策者的決策目標為:

考慮如下式(9)內(nèi)層優(yōu)化問題,即

根據(jù)文[24]中命題1,有如下引理1成立。

引理1(1) 函數(shù)θ(Q0,Q;x)在區(qū)間Q0∈[0,Q]和Q0∈[Q,∞)上均是凹函數(shù),但在區(qū)間Q0∈[0,∞)上并不一定是凹函數(shù);

(2) 最大后悔值函數(shù)ρ(Q)是凸函數(shù),則魯棒訂貨量Q*=argminρ(Q),且有如下等式成立:

引理1中(1)表明,在求解問題(9)時,應分別考慮Q0≤Q和Q0≥Q兩種情況;(2)表明,當由于實際訂貨過多產(chǎn)生的負效應值和實際訂貨過少產(chǎn)生的負效用值相等時,魯棒訂貨量能夠使最大后悔值最小化。

定理1當僅知需求區(qū)間信息,即x∈[A,B]時,基于最小最大后悔值準則的風險中性報童魯棒訂貨量和最優(yōu)后悔值分別為

證明:令g(Q0,Q;x)=min{x,Q0}-min{x,Q},根據(jù)引理1,分Q≤Q0和Q0≤Q兩種情況討論。

(1)Q≤Q0。當Q≤x≤Q0時,g(Q0,Q;x)=x-Q;當Q≤Q0≤x≤B時,g(Q0,Q;x)=Q0-Q;當A≤x≤Q時,g(Q0,Q;x)=x-x=0。因此,最大后悔值為:

(2)Q0≤Q。當Q0≤x≤Q時,g(Q0,Q;x)=Q0-x;當Q0≤Q≤x≤B時,g(Q0,Q;x)=Q0-Q;當A≤x≤Q0時,g(Q0,Q;x)=x-x=0。因此,最大后悔值為:

由定理1可以看出,當考慮追索權(quán)時,風險中性下的報童訂貨量及對應的后悔值績效僅與初次訂貨成本w、二次訂貨成本w^、殘值收益v及區(qū)間[A,B]有關,而與市場零售價格p無關,與傳統(tǒng)僅允許期初訂貨的報童模型不同。這是由于當決策者觀測到實際需求后,如果期初訂貨量難以滿足實際需求,可以以較高采購價格補貨直至完全滿足市場需求,因此,決策者所能獲得的銷售收入即為完全滿足市場需求x時的銷售收入,可認為是一定值;而當期初訂貨量超出實際市場需求時,決策者所能獲得的銷售收入仍為一定值,即滿足市場需求x時的銷售收入,多余的部分將以殘值v進行清倉處理。因此,考慮追索權(quán)的報童訂貨量及后悔值績效并不受市場零售價格p的影響。進一步,當二次訂貨與初次訂貨單位成本相等時,即時,根據(jù)式(10),Q*=A,說明由于缺乏采購價格激勵,決策者不會承擔庫存風險,因此只在期初訂購最少數(shù)量的產(chǎn)品,與前文分析一致。

由于完備需求分布信息的缺失,定理1給出的訂貨量決策雖然不是最優(yōu)的,但卻是具有魯棒性的。令ρ(Q)表示給定訂貨量Q下的最大后悔值,則對于任一決策準則(例如,均勻分布或正態(tài)分布)下的訂貨量,γ=ρ(Q)/ρ*衡量了其他決策準則與最小最大后悔值準則之間的優(yōu)劣。根據(jù)文[33],對于經(jīng)典報童模型,當僅知需求區(qū)間信息時,基于最小最大后悔值準則的魯棒訂貨量等同于已知需求在[A,B]上服從均勻分布時的最優(yōu)訂貨量。由式(2)可以看出,當已知需求服從均勻分布時,有,此時,因此,在需求分布信息缺失情況下,當允許報童進行二次訂貨時,可通過假定需求服從均勻分布進行決策。

推論1對于區(qū)間[A,B]上的任意非負累計分布函數(shù)F∈Ψ,有如下結(jié)論成立:

(1) 風險中性報童的魯棒訂貨量Q*隨初次訂貨單位成本w的增加而減小;

(2) 對于初次訂貨成本w,存在臨界值當時,風險中性下的報童后悔值ρ*隨初次訂貨單位成本w的增加而增加;當時,風險中性下的報童后悔值ρ*隨初次訂貨單位成本w的增加而降低;當,風險中性下的報童后悔值ρ*與初次訂貨單位成本w無關。

證明:根據(jù)式(10),有推論1(1)得證。根據(jù)式(11),有可以看出,存在＜0;當推論1(2)得證。

推論1中的結(jié)論(1)容易理解,當期初采購價格較高時,由于允許二次訂貨,風險中性決策者勢必會減少期初訂貨量以降低采購成本。然而,決策者因信息缺失而未能制定最優(yōu)決策所導致的后悔值隨初次訂貨成本的變化情況卻并不單調(diào)。當初次訂貨成本w較低,例如時,后悔值隨w的增加而增加;當初次訂貨成本w較高,例如,時,后悔值隨w的增加而降低。特別地,當時,后悔值為零,這暗含此時的魯棒訂貨量決策與最優(yōu)訂貨量決策一致。因此,結(jié)合推論1(1),當w較低時,w越大說明魯棒訂貨量決策越偏離最優(yōu)情況,從而導致后悔值增加;反之,當w較高時,w越大說明魯棒訂貨量決策越貼近最優(yōu)情況,因此后悔值越小,如下圖2所示。由圖2可以看出,當上游供應商制定的初次單位采購價格低于臨界值時,w越小對下游零售商越有利;而當初次單位采購價格高于該臨界值時,w越大越對下游零售商有利。推論1暗含如下管理啟示,即在允許二次訂貨條件下,與供應商進行采購談判時一味地壓低采購價格并非總是有利可圖。實際上,只有當供應商給予的初次采購價格低于某一臨界值時,零售商進一步壓低采購價格才能獲利。而當供應商初次采購價格高于該臨界值時,價格越高反而對零售商越有利。

圖2 魯棒訂貨量和后悔值隨初次訂貨單位成本的變化Figure 2Changes of robust order quantity and regret value with initial unit ordering cost

推論2對于區(qū)間[A,B]上的任意非負累計分布函數(shù)F∈Ψ,風險中性報童的魯棒訂貨量Q*和對應的后悔值ρ*均隨二次訂貨單位成本w^的增加而增加。

推論3對于區(qū)間[A,B]上的任意非負累計分布函數(shù)F∈Ψ,風險中性報童的魯棒訂貨量Q*和對應的后悔值ρ*分別與單位殘值v呈正相關和負相關關系,即單位殘值越高,風險中性報童的魯棒訂貨量越大,后悔值越小。

推論3的管理啟示體現(xiàn)在如下幾方面:(1) 從報童角度,由于較高的殘值會顯著改進其績效,因此,報童決策者在日常經(jīng)營過程中應提升其服務水平,通過提高附加于產(chǎn)品本身的服務價值確保產(chǎn)品在銷售周期結(jié)束時具有較高的殘值;(2) 從產(chǎn)品供應商角度,較高的殘值無論是對于消費者還是其下游零售商都具有較高的吸引力,為了提高產(chǎn)品殘值,供應商應注重產(chǎn)品價值的提升,例如,通過技術創(chuàng)新改進產(chǎn)品功能、提升產(chǎn)品質(zhì)量等。另一方面,無論是下游銷售商還是上游供應商,提升產(chǎn)品價值的一系列舉措又會反過來刺激市場需求的增加,從而使雙方獲利。

推論4對于需求區(qū)間[A,B]上的任意非負累計分布函數(shù)F∈Ψ,當區(qū)間下界A固定時,風險中性報童決策者的魯棒訂貨量Q*隨著上界B的增大而增大;當區(qū)間上界B固定時,風險中性報童的魯棒訂貨量Q*隨著下界A的增大而增大;當區(qū)間上、下界均變化時,風險中性報童的魯棒訂貨量Q*隨區(qū)間范圍的增大可能增加也可能減小。然而,風險中性報童的后悔值ρ*隨區(qū)間范圍的增大而增加。

證明:任取兩個不同范圍的需求區(qū)間[A,B1]和[A,B2],對應的訂貨量決策分別為和。不失一般性,假設B2＞B1,根據(jù)式(10),有如下結(jié)果

同理,任取兩個不同范圍的需求區(qū)間[A1,B]和[A2,B],對應的訂貨量決策分別為和。假設A2＞A1,根據(jù)式(10),有

當區(qū)間[A,B]的上下界均變化時,任取兩個需求區(qū)間[A1,B1]和[A2,B2],對應的訂貨量決策分別為和,假設B2-A2＞B1-A1,則根據(jù)式(10),有

由于B2-A2＞B1-A1,分三種情況進行討論:(1) 當當B2＜B1,A2＜A1時可能大于0也可能小于0。進一步,根據(jù)式(11),有說明后悔值隨區(qū)間范圍的增大而增加。

從需求預測角度,需求區(qū)間范圍的大小反映了決策者對需求信息掌握的準確性。通常,區(qū)間范圍越小說明需求信息越準確。從推論4可以看出,報童的后悔值隨需求區(qū)間范圍的增加而增加,說明掌握的需求信息越準確,依此所制定決策下的后悔值績效越貼近最優(yōu)情況。然而,其訂貨量決策卻與區(qū)間范圍的大小沒有直接關系。推論4的管理啟示在于決策者應在日常經(jīng)營過程中注重數(shù)據(jù)的收集和預測方法的改進,以提高需求隸屬區(qū)間范圍的精度,從而降低因難以掌握完備需求信息所帶來的后悔值。

3 損失厭惡下具有追索權(quán)的報童魯棒優(yōu)化模型

當報童為損失厭惡時,即λ＞1,根據(jù)式(4),報童期望效應函數(shù)可描述為:

同理,令Q0表示已知需求完備信息時的最優(yōu)訂貨量,則需求分布未知條件下的最大后悔值為:

根據(jù)最小最大后悔值準則,報童的決策目標為最小化其最大后悔值,即

對比式(14)和式(9)可以看出,當考慮報童損失厭惡態(tài)度時,其決策目標進一步受損失厭惡系數(shù)和盈虧平衡點的影響。下述定理2給出了僅知需求區(qū)間信息時,損失厭惡報童的魯棒訂貨量決策及最優(yōu)后悔值。

定理2當僅知需求區(qū)間信息,即x∈[A,B]時,基于最小最大后悔值準則的損失厭惡報童魯棒訂貨量和最優(yōu)后悔值分別為:

證明:令g1(x,Q0;Q)=min{x,Q0}-min{x,Q},g2(x,同上,分Q≤Q0和Q＞Q0兩種情況討論。

(1)Q≤Q0。當Q≤x≤Q0時,g1(Q0,Q;x)=x-Q;當Q≤Q0≤x≤B時,g1(Q0,Q;x)=Q0-Q;當A≤x≤Q時,g1(Q0,Q;x)=x-x=0。因此,

則相應的最大后悔值為:

(2)Q＞Q0。當Q0＜x＜Q時,g1(x,Q0;Q)=Q0-x;當Q0≤Q≤x≤B時,g1(x,Q0;Q)=Q0-Q;當A≤x≤Q0時,g1(x,Q0;Q)=x-x=0。因此,

則相應的最大后悔值為:

由定理2可以看出,當時,,說明損失厭惡下,當初次定訂貨和二次訂貨單位成本相等時,具有追索權(quán)的報童決策者仍然只會在銷售季節(jié)來臨之前訂購最少數(shù)量的產(chǎn)品。

當損失厭惡系數(shù)λ=1時,報童魯棒訂貨量

定理3損失厭惡 (λ＞1) 下的報童訂貨量低于風險中性 (λ=1) 下的訂貨量;而對應的后悔值卻高于風險中性下的情況,即

通過比較Q*和Q*,以及ρ*和ρ*,可以容易得到定理3中的結(jié)論。同樣,在有追索權(quán)的情況下,報童決策者的訂貨量和最優(yōu)后悔值僅與、w、v、λ及區(qū)間[A,B]有關。特別地,當已知需求在[A,B]上服從均勻分布時,根據(jù)式,說明信息缺失情況下,當考慮追索權(quán)時,損失厭惡報童決策者仍可按照均勻分布進行決策,與風險中性情況下的結(jié)果一致。

推論5對于區(qū)間[A,B]上的任意非負累計分布函數(shù)F∈Ψ,損失厭惡報童的魯棒訂貨量和對應的后悔值分別與損失厭惡系數(shù)λ呈負相關和正相關關系,即損失厭惡系數(shù)λ越大,損失厭惡報童決策者訂貨量越小,后悔值越大。

推論6對于區(qū)間[A,B]上的任意非負累計分布函數(shù)F∈Ψ,有如下結(jié)論成立:

(2) 對于初次訂貨單位成本w,存在閾值當時,損失厭惡報童的后悔值隨初次訂貨單位成本w的增加而增加;當時,損失厭惡報童的后悔值隨初次訂貨的單位成本w的增加而減小;當,損失厭惡報童的后悔值與初次訂貨單位成本w無關。

證明:根據(jù)式(15),有＜0,推論6(1)得證。根據(jù)式(16),有

推論6中的結(jié)論與風險中性情況下的推論1一致,即初次訂貨單位采購成本越高,期初訂貨量越小,原因在于追索權(quán)的存在使得決策者可以在實際需求發(fā)生時選擇是否進行二次訂貨。當考察由于需求分布信息缺失而未能進行最優(yōu)決策導致的后悔值與初次訂貨單位成本w的關系時,發(fā)現(xiàn)同樣存在閾值當w低于該閾值時,決策者可以從與上游供應商的采購價格談判中進一步獲利;而當w高于該閾值時,初次采購價格越高反而越有利于下游報童決策者。

推論7對于區(qū)間[A,B]上的任意非負累計分布函數(shù)F∈Ψ,損失厭惡報童的魯棒訂貨量和對應的后悔值均隨二次訂貨成本的增加而增加。

推論8對于區(qū)間[A,B]上的任意非負累計分布函數(shù)F∈Ψ,損失厭惡報童的魯棒訂貨量和對應的后悔值與剩余產(chǎn)品的單位殘值v分別呈正相關和負相關關系,即剩余產(chǎn)品的單位殘值越高,損失厭惡報童的訂貨量越大,后悔值越小。

推論9對于需求區(qū)間[A,B]上的任意非負累計分布函數(shù)F∈Ψ,當區(qū)間下界A固定時,損失厭惡報童的魯棒訂貨量隨著上界B的增大而增大;當區(qū)間上界B固定時,損失厭惡報童的魯棒訂貨量隨著下界A的增大而增大;當區(qū)間的上、下界均變化時,魯棒訂貨量隨區(qū)間范圍的增大可能增加也可能減小。然而,損失厭惡報童的最優(yōu)后悔值隨區(qū)間范圍的增大而增加。

推論9的證明同推論4,在此略去。推論9同樣表明,雖然需求區(qū)間范圍的大小與報童魯棒訂貨量沒有直接關系,但需求區(qū)間預測越精準,報童后悔值績效越貼近最優(yōu)情況。

4 數(shù)值算例及分析

為了更直觀地展現(xiàn)文中給出的定理和推論中的相關結(jié)論,進一步對比分析風險中性和損失厭惡下的報童決策及運作績效,針對文中所建模型及結(jié)果進行數(shù)值分析。不失一般性,假設需求上下界分別為A=20,B=200。

(1) 報童魯棒訂貨量和后悔值與初次訂貨單位成本的關系

為了對比分析不同初次訂貨單位成本下,基于風險中性和損失厭惡的報童魯棒訂貨量和后悔值績效情況,相關參數(shù)設定如下:v=8,w^=11,λ=2.25,w∈[8,10]。根據(jù)定理1和定理2,得僅知需求區(qū)間信息條件下的報童魯棒訂貨量和后悔值績效隨初次訂貨單位成本的變化情況如圖3和圖4所示。

由圖3可以看出,無論是風險中性還是損失厭惡下,報童的訂貨量決策均隨著初次訂貨成本的增加而降低。特別地,風險中性下的魯棒訂貨量要高于損失厭惡下的情況。進一步,對比分析風險中性和損失厭惡下的報童后悔值績效時,由圖4可以看出,隨著初次訂貨單位成本的增加,無論是風險中性還是損失厭惡報童的后悔值呈先增后減的變化趨勢,與推論1和6的結(jié)果一致。當w=9.5時,風險中性下的報童后悔值達到最大值ρ*=135;當w=9.24時,損失厭惡下的報童后悔值達到最大值=194.26。這說明相對于損失厭惡情況,初次訂貨單位成本對風險中性報童決策者的閾值效應具有一定滯后性。由于風險中性下的報童訂貨量高于損失厭惡情況,因此,風險中性下對應的后悔值績效要低于損失厭惡情況,與前文分析一致。

圖3 報童魯棒訂貨量和初次訂貨單位成本的關系Figure 3The relationship between robust order quantity and initial unit ordering cost

圖4 報童后悔值與初次訂貨單位成本的關系Figure 4The relationship between regret value and initial unit ordering cost

(2) 報童魯棒訂貨量和后悔值與二次訂貨單位成本的關系

為了分析風險中性和損失厭惡下,報童魯棒訂貨量和后悔值績效隨二次訂貨單位成本的變化情況,相關參數(shù)設定如下:v=8,w=9,λ=2.25,w^∈[10,14]。根據(jù)定理1和定理2,得不同二次訂貨單位成本下,風險中性和損失厭惡報童訂貨量及對應后悔值分別如圖5和圖6所示。由圖5和圖6可以看出,隨著二次訂貨單位成本的增加,風險中性和損失厭惡下報童魯棒訂貨量和對應的后悔值績效均呈遞增趨勢,特別地,為了規(guī)避可能帶來的損失,損失厭惡下的訂貨量低于風險中性下的情況,從而導致對應的后悔值高于風險中性下的情況,與推論2和7中的結(jié)果一致。進一步,由圖6可以看出,二次訂貨單位成本越高,損失厭惡和風險中性下的報童后悔值差距越大。這是由于對于報童決策者來說,一方面為了盡可能地滿足不確定市場需求,希望供貨商給予二次訂貨機會,另一方面又希望供貨商給予較低的二次訂貨成本。因此,當二次訂貨成本較高時,損失厭惡態(tài)度和高昂二次訂貨成本對報童運作績效的負面疊加效應使得損失厭惡下的后悔值明顯高于風險中性下的情況。

圖5 報童魯棒訂貨量與二次訂貨單位成本的關系Figure 5The relationship between robust order quantity and unit recourse cost

圖6 報童后悔值與二次訂貨單位成本的關系Figure 6The relationship between regret value and unit recourse cost

(3) 報童訂貨量和后悔值與剩余產(chǎn)品單位殘值的關系

為進一步分析風險中性和損失厭惡報童魯棒訂貨量和對應的后悔值隨剩余產(chǎn)品單位殘值的變化情況,相關參數(shù)設定如下:10,w=9,λ=2.25,v∈[5,8]。根據(jù)定理1和定理2,得剩余產(chǎn)品不同單位殘值下,風險中性和損失厭惡報童訂貨量及對應后悔值分別如圖7和圖8所示。由圖7可以看出,無論是風險中性還是損失厭惡,報童魯棒訂貨量均隨著剩余產(chǎn)品單位殘值的增加而增加。然后,隨著剩余產(chǎn)品單位殘值的增加,風險中性和損失厭惡下的報童后悔值卻呈遞減趨勢,見圖8,與推論3和8中的結(jié)果一致。同上,在不同的單位殘值下,風險中性下的魯棒訂貨量和對應的后悔值分別高于和低于損失厭惡下的情況。

圖7 報童魯棒訂貨量與剩余產(chǎn)品單位殘值的關系Figure 7The relationship between robust order quantity and unit salvage value

圖8 報童后悔值與剩余產(chǎn)品單位殘值的關系Figure 8The relationship between regret value and unit salvage value

(4) 損失厭惡報童魯棒訂貨量和后悔值與損失厭惡系數(shù)的關系

根據(jù)前文報童期望效應函數(shù),即式(14),λ＞1度量了決策者的損失厭惡態(tài)度。為了分析不同損失厭惡程度下的報童訂貨量決策和后悔值情況,相關參數(shù)設定如下:w^=10,w=9,v=8,λ∈[2,3]。根據(jù)定理2,得損失厭惡下報童魯棒訂貨量和后悔值隨λ的變化情況如圖9和圖10所示。由圖9可以看出,隨著參數(shù)λ的增加,魯棒訂貨量呈遞減趨勢,這說明決策者損失厭惡程度越高,為了規(guī)避可能帶來的損失,其期初訂貨量越低,對應地,報童后悔值越大,見圖10,與推論5中的結(jié)果一致。

圖9 損失厭惡報童訂貨量與損失厭惡系數(shù)的關系Figure 9The relationship between loss-averse newsboy′s order quantity and loss aversion coefficient

圖10 損失厭惡報童后悔值與損失厭惡系數(shù)的關系Figure 10The relationship between loss-averse newsboy′s regret value and loss aversion coefficient

(5) 最小最大后悔值準則與其他決策準則的對比分析

現(xiàn)實中,在應用報童模型進行決策時,人們通常需要事先指定需求分布形式,例如,均勻分布、正態(tài)分布等。根據(jù)前文分析,γ=ρ(Q)/ρ*和分別度量了風險中性和損失厭惡下,其他決策準則和最小最大后悔值準則的優(yōu)劣。當已知需求在區(qū)間[A,B]上服從均勻分布時,風險中性和損失厭惡下的報童訂貨量分別為:

根據(jù)定理1和定理2的證明過程,對于正態(tài)分布決策準則下的訂貨量,風險中性和損失厭惡下的最大后悔值分別為:

圖11 風險中性下基于正態(tài)分布的報童后悔值與最小最大后悔值之比Figure 11The ratio of newsboy′s regret value to min-max regret value based on normal distribution under risk neutral

由圖11和圖12可以看出,當報童假設需求服從正態(tài)分布進行訂貨量決策時,無論是風險中性還是損失厭惡情況,均有成立,且該比值隨相關參數(shù)的變化呈相同的變化趨勢。特別地,最高比值為這說明基于正態(tài)分布的訂貨量決策將使得報童可能的利潤損失高于文中最小最大后悔值準則下的利潤損失,進一步驗證了基于文中方法得到的訂貨量決策的魯棒性。在報童模型中,盡管正態(tài)分布是管理者在隨機需求下進行決策時被廣泛采用的一種分布形式,但從后悔值分析角度,正態(tài)分布卻具有較低魯棒性。綜合均勻分布和正態(tài)分布兩種情況下的結(jié)果,可以得出如下結(jié)論:對于具有追索權(quán)的報童決策者,當僅知需求區(qū)間信息時,基于文中最小最大后悔值準則的訂貨量決策能夠確保其較小的利潤損失,具有良好的魯棒性。特別地,從實際應用角度,無論是風險中性還是損失厭惡型報童決策者,均可通過事先假定需求服從均勻分布制定訂貨量決策。

圖12 損失厭惡下基于正態(tài)分布的報童后悔值與最小最大后悔值之比Figure 12The ratio of newsboy′s regret value to min-max regret value based on normal distribution under loss aversion

5 結(jié)論

本文針對有限需求分布信息下具有追索權(quán)的損失厭惡報童決策問題,建立了基于最小最大后悔值準則的報童魯棒優(yōu)化模型,給出了僅知需求區(qū)間條件下風險中性和損失厭惡報童決策者的魯棒訂貨量及后悔值表達式,分析了損失厭惡系數(shù)、初次訂貨單位成本、二次訂貨單位成本、剩余產(chǎn)品單位殘值以及區(qū)間范圍等參數(shù)對報童魯棒訂貨量和后悔值績效的影響。基于本文研究結(jié)果,對從事報童類產(chǎn)品銷售的企業(yè)提供如下決策建議:

(1) 當企業(yè)僅能估計市場需求的區(qū)間范圍時,可基于需求服從均勻分布的假設進行訂貨量決策制定,因為該假設條件下得到的決策與基于較低保守性的最小最大后悔值準則得到的決策一致。從決策制定的難易程度考慮,均勻分布假設將更便于企業(yè)進行決策優(yōu)化。此外,同風險中性情況相比,當決策者具有損失厭惡態(tài)度時,應減少期初訂貨量以規(guī)避庫存過剩可能帶來的損失。

(2) 當企業(yè)初次訂貨成本增加時,應減少期初訂貨量。然而,在允許二次訂貨的情況下,企業(yè)與上游供應商進行采購談判時不能一味地壓低采購價格。只有當供應商給予的初次采購價格低于某一臨界值時,零售商進一步壓低采購價格才能獲利;而當供應商初次采購價格高于該臨界值時,價格越高反而對零售商越有利。進一步,當上游供應商給予的二次訂貨價格較高時,企業(yè)應增加期初訂貨量以減少當需求超出期初訂貨量時導致的高昂的二次訂貨成本。

(3) 對于銷售企業(yè)來說,由于較高的產(chǎn)品殘值會顯著改進其績效,因此,決策者在日常經(jīng)營過程中應提升其服務水平,通過提高附加于產(chǎn)品本身的服務價值確保產(chǎn)品在銷售周期結(jié)束時具有較高的殘值;考慮到較高的殘值無論是對于消費者還是其下游零售商都具有較高的吸引力,為了提高產(chǎn)品殘值,供應商應注重產(chǎn)品價值的提升,例如,通過技術創(chuàng)新改進產(chǎn)品功能、提升產(chǎn)品質(zhì)量等。另一方面,無論是下游銷售商還是上游供應商,提升產(chǎn)品價值的一系列舉措又會反過來刺激市場需求的增加,從而使雙方獲利。

(4) 需求波動范圍的增加會損害企業(yè)績效,因此,決策者在日常經(jīng)營過程中應注重數(shù)據(jù)的收集和預測方法的改進,提高需求隸屬區(qū)間范圍的精度,從而降低因難以掌握完備需求信息所帶來的績效損失。

本文僅研究了需求區(qū)間信息下考慮追索權(quán)的損失厭惡報童魯棒優(yōu)化問題,未來,可將問題擴展到包含上游供應商在內(nèi)的二級供應鏈環(huán)境,采用博弈論方法研究考慮追索權(quán)和損失厭惡的供應鏈魯棒運作策略,并進一步探討供應鏈協(xié)調(diào)機制設計問題。此外,隨著數(shù)據(jù)科學的發(fā)展,數(shù)據(jù)可得性問題在運作管理領域受到人們普遍關注。這種日益增加的數(shù)據(jù)可得性使得決策者可以從廣泛的運作數(shù)據(jù)中盡可能多地挖掘決策信息,例如,除了需求區(qū)間信息外,可進一步獲得需求均值或方差信息?；诖?研究多種信息條件下的報童魯棒決策問題,并對比分析額外需求信息對于決策績效的改進情況將是進一步研究方向。