非理想磁鏈永磁同步電機轉矩脈動抑制

郭鴻浩， 曹睿， 林欣欣， 張文峰

(南京郵電大學 自動化學院、人工智能學院，江蘇 南京 210023)

0 引 言

永磁同步電機具有體積小、效率高、功率密度高、轉動慣量比高以及調速范圍寬等優(yōu)點，如今被廣泛應用于航空航天、高精度數(shù)控機床、機器人、電動汽車驅動等領域[1-3]。然而，在PMSM驅動系統(tǒng)中，由于電機存在齒槽效應和轉子磁極結構引起的氣隙磁場畸變，同時逆變器存在死區(qū)時間、管壓降等非線性特性，電機將產(chǎn)生較大的轉矩脈動，從而使電機系統(tǒng)產(chǎn)生振動和噪聲，甚至會損壞轉軸等機械結構件，對高精度場合的應用存在不利的影響[4]。因此，如何有效地抑制轉矩脈動一直以來是研究的熱點問題。

目前抑制轉矩脈動的方法主要分為兩個方向。第一種是從電機本體入手，對電機的本體結構進行優(yōu)化，從而減少氣隙磁場的諧波和齒槽轉矩影響[5-6]，例如：定子斜槽或轉子斜極、優(yōu)化電機繞組類型、優(yōu)化定轉子磁路等。另一種是從控制策略入手，通過優(yōu)化定子電流來抵消轉矩中的諧波分量，從而使轉矩輸出更加平滑。這種方法不需要改變電機的本體結構，可以靈活地應用在不同的電機驅動系統(tǒng)中，因此具有更廣闊的應用前景與研究意義。

一直以來，為了獲得優(yōu)化定子電流指令，國內外的研究學者們提出了一系列的方法。文獻[7]使用了梯度下降算法，文獻[8-9]設計了迭代學習控制器，通過對速度閉環(huán)控制系統(tǒng)做出改進，用新的控制器代替?zhèn)鹘y(tǒng)速度環(huán)PI控制，從而減小速度與轉矩脈動。以上方法中并未考慮諧波電流的影響，電流控制仍采用傳統(tǒng)PI控制，因此轉矩脈動抑制效果有限。文獻[10]推導了考慮諧波磁鏈的轉矩模型，在此基礎上建立了三相電流的幾何模型，并設計了神經(jīng)網(wǎng)絡算法計算最優(yōu)定子電流。文獻[11]用LaGrange乘數(shù)法作為優(yōu)化算法推導出了最優(yōu)諧波電流的解析式。文獻[12]建立了包含三目標的目標函數(shù)，并采用遺傳算法尋找最優(yōu)諧波電流。這些抑制方法都需要根據(jù)轉矩模型經(jīng)過復雜的公式推導，計算出諧波轉矩的幅值并作為約束對象進行最優(yōu)電流尋優(yōu)。由于解析計算的復雜性，推導過程都忽略了諧波磁鏈相角的影響，降低了其結果的精確性和適用性。

為解決上述問題，提出了一種考慮諧波磁鏈相角的非理想磁鏈PMSM轉矩脈動抑制方法，該方法用數(shù)值序列擬合出轉矩的波形，將一個電角度周期內的轉矩峰峰值作為優(yōu)化對象，無需推導出諧波轉矩的幅值，有效降低了計算復雜性。此外，該方法考慮了電機損耗的問題，建立了多目標函數(shù)，能夠同時保證轉矩脈動和損耗的最小化。最后，通過實驗對所提抑制方法進行了有效性驗證。

1 非理想磁鏈PMSM電磁轉矩分析

根據(jù)磁共能模型[13]，PMSM的電磁轉矩可以表示為

te=Kp[λdiq-λqid+(Ld-Lq)idiq+

(1)

式中：te為PMSM的總轉矩；Kp=3p/2，p為電機的極對數(shù)；λd、λq分別為d、q軸轉子永磁磁鏈；id、iq分別為d、q軸定子電流；Ld、Lq分別為d、q軸電感；θe為電角度；tcog為齒槽轉矩。

為了便于分析PMSM數(shù)學模型，通常會假定轉子磁鏈正弦分布于氣隙中。但實際情況中，當磁鏈無法做到完全理想的正弦分布時，其將既包含直流分量也包含諧波分量。同時考慮到后續(xù)用電流的諧波分量來抑制轉矩脈動，則λd、λq、id、iq可以用直流分量與諧波分量的和來表示，即

(2)

(3)

式中：λ0為d軸磁鏈的直流分量；λdh、λqh分別為d、q軸磁鏈的諧波分量；Id0、Iq0分別為d、q軸電流的直流分量；idh、iqh分別為d、q軸電流的諧波分量。

為了分析電磁轉矩的構成分量，將式(2)、式(3)代入式(1)中并進行分類，則轉矩可以表示為直流分量與諧波分量的總和，即

te=T0+th=T0+(th1+th2+th3+tcog)。

(4)

其中

T0=Kp(λ0Iq0+LΔId0Iq0)，

(5)

th1=Kp[λ0iqh+LΔ(Iq0idh+Id0iqh)]，

(6)

(7)

th3=Kp(λdhiqh-λqhidh+LΔidhiqh+

(8)

式中：T0為直流轉矩；th=th1+th2+th3+tcog為諧波轉矩；LΔ=Ld-Lq。

根據(jù)式(4)～式(8)可知，諧波轉矩主要由四部分組成：th1表示僅由諧波電流引起的諧波轉矩部分；th2表示僅由諧波磁鏈引起的諧波轉矩部分；th3表示由諧波電流和諧波磁鏈共同作用引起的諧波轉矩部分；tcog表示齒槽轉矩。對于成品PMSM，其磁鏈和齒槽轉矩均無法改變，因此諧波轉矩th2和tcog是不可人為控制的，而th1和th3都與諧波電流有關，故可以通過調節(jié)定子諧波電流的方式來實現(xiàn)該部分轉矩的控制。此外，分析式(6)～式(8)可見，轉速的大小只會影響諧波轉矩的頻率，而不會對諧波轉矩的大小造成影響。綜上所述，抑制轉矩脈動的核心思想便是尋找最優(yōu)的定子諧波電流，使諧波轉矩的可控部分與不可控部分相抵消，從而實現(xiàn)總諧波轉矩的最小化。

2 最優(yōu)諧波電流計算方法

2.1 轉矩的序列表示

在使用優(yōu)化算法尋找最優(yōu)諧波電流之前，首先需要根據(jù)定子電流與轉矩之間的約束關系建立目標函數(shù)。通常方法是將諧波磁鏈、諧波電流和齒槽轉矩的具體展開式代入轉矩公式，提取出轉矩的幅值并使其最小。根據(jù)文獻[14]，諧波磁鏈、諧波電流和齒槽轉矩可以表示為

(9)

(10)

(11)

式中：λdk、λqk為d、q軸磁鏈的k次諧波幅值；φλdk、φλqk為d、q軸磁鏈對應次數(shù)諧波的相角；Idk、Iqk為d、q軸電流的k次諧波幅值；φidk、φiqk為d、q軸電流對應次數(shù)諧波的相角；Tck和φck分別為齒槽轉矩的k次諧波幅值與相角。

將式(9)～式(11)代入式(4)，雖然可以得到諧波轉矩的幅值與相位，但推導過程復雜，結果表現(xiàn)形式冗長，不利于構建目標函數(shù)。同時，推導過程中常常忽略了th3項的影響，且對諧波磁鏈的d、q軸相角進行了近似化處理。如文獻[11]中為了便于提取諧波轉矩的幅值表達式，將φλdk和φλqk皆取為0，與實際情況有偏差，這樣使其計算結果只能反映特殊情況，不具有普遍性，極大地限制了該抑制方法的精確性和應用范圍。

為了解決上述問題，可以用足夠密集的數(shù)值序列來表示出諧波磁鏈和諧波電流的波形。在一個電角度周期中，將電角度θe的變化區(qū)間0～2π平均分成n等分，這樣每一個角度都有一個對應的磁鏈與電流值，即可用一組n維數(shù)值序列將一個周期內的諧波磁鏈和諧波電流表示為

(12)

(13)

齒槽轉矩也可以用一組n維序列表示，即

(14)

在PMSM中，諧波轉矩的頻率為6的整數(shù)倍基頻[12]，對于不同次的諧波轉矩，可以用相應次的諧波電流單獨進行抑制。以k次諧波為例，將式(12)～式(14)代入式(1)，可以得到僅保留k次諧波時的轉矩序列為

(15)

其中

(16)

從式(15)中可以看到，轉矩直接根據(jù)磁鏈和電流的序列獲得，使用了最基本的轉矩公式，不僅避免了復雜的公式推導過程，還考慮了磁鏈相角對轉矩的影響，因此具有更高的準確性和適用性。

2.2 基于遺傳算法的優(yōu)化電流設計

PMSM的轉矩脈動峰峰值可以表示為

(17)

在PMSM轉矩脈動抑制中，電流尋優(yōu)的目標就是找到合適的諧波電流idh、iqh，使轉矩波動的峰峰值最小。同時，諧波電流也會引起額外的損耗，損耗的大小與諧波電流幅值的平方和有關[15]，故電流尋優(yōu)還需考慮減小諧波電流的平方和。此時，該優(yōu)化問題包含兩個目標函數(shù)，即

(18)

對于一個多目標函數(shù)優(yōu)化問題，難以直接計算出優(yōu)化結果。雖然可以采用類如LaGrange乘數(shù)法推導出最優(yōu)諧波電流的表達式[11]，但前提是只有在對磁鏈相角進行近似化處理后表達式才成立。在考慮實際磁鏈相角的情況下，本文選擇使用遺傳算法進行諧波電流優(yōu)化設計。將式(18)兩個目標函數(shù)用一個函數(shù)來表示：

(19)

式中：k1和k2為權重系數(shù)，影響了各自目標在函數(shù)中所占的比重，數(shù)值越大，說明該項對總體結果的影響越大；x為函數(shù)的解，即包含了k次諧波電流的幅值Ikd、Ikq與相位φidk、φiqk。

基于遺傳算法的最優(yōu)諧波電流搜尋過程如流程圖1所示。首先需要對種群進行初始化，參數(shù)設置參照遺傳算法一般取值范圍，并通過觀察結果的收斂性進行適當調整。設置初始種群數(shù)N為100，且每一代種群總數(shù)均保持不變，設置最大迭代次數(shù)MAXGEN為200，交叉概率Pc和變異概率Pm分別為0.8和0.2，權重系數(shù)k1和k2分別為10和1。算法自動生成100組x作為第0代，并計算出各自的F(x)，將其中的最優(yōu)解x儲存。接著依次進行選擇、交叉、變異的操作，從而產(chǎn)生新的子代，并計算出子代各自的F(x)，更新最優(yōu)解。重復進行選擇、交叉、變異，直至達到最大迭代次數(shù)，輸出此時儲存的最優(yōu)解。

圖1 基于遺傳算法的最優(yōu)諧波電流搜尋流程圖Fig.1 Optimal harmonic current searching flow chart based on genetic algorithm

圖2給出了Id0=0 A，Iq0=6.75 A時遺傳算法的計算結果。圖2(a)結果表明，經(jīng)過迭代，最終F(x)的值明顯降低且趨于穩(wěn)定。此時，對應最優(yōu)諧波電流時的單周期轉矩理論波形如圖2(b)所示，轉矩波動只有0.04 N·m。將該組最優(yōu)解作為諧波電流的給定值注入電機，便可以實現(xiàn)轉矩脈動的抑制。

圖2 遺傳算法計算結果Fig.2 Result of genetic algorithm

3 最優(yōu)諧波電流控制系統(tǒng)設計

根據(jù)以上分析建立PMSM最優(yōu)諧波電流控制系統(tǒng)，其原理圖如圖3所示。

圖3 最優(yōu)諧波電流控制系統(tǒng)原理圖Fig.3 Schematic diagram of optimal harmonic current control system

從圖3中可以看出，d、q軸參考電流包含了直流給定值和諧波給定值兩部分。其中，直流給定值由系統(tǒng)的速度環(huán)輸出決定，諧波給定值則由遺傳算法根據(jù)電機當前的運行工況獲得。為此，需要設計兩個獨立的電流控制器。由于PR控制器的控制效果受離散化方式影響，不便于設計，而多同步旋轉PI控制器只需要經(jīng)過一系列的坐標變換即可實現(xiàn)諧波電流的跟蹤控制，因此本文采用多同步旋轉PI控制器[16]。首先，對實際電流和參考電流進行諧波坐標變換，并使用低通濾波器提取出它們各自在該次坐標系上的直流量。然后，在不同次坐標軸上分別使用PI控制器使實際電流跟蹤參考電流，產(chǎn)生諧波電壓信號Udqk。最后，將諧波電壓信號應用于逆變器控制，實現(xiàn)轉矩脈動的抑制。

當電機處于穩(wěn)態(tài)運行時，其轉矩波動呈現(xiàn)為幅值穩(wěn)定的周期變化，因此對于每一個穩(wěn)態(tài)，都有一組與之相應的最優(yōu)諧波電流。在實際應用中，可以通過遺傳算法預先算出不同負載狀態(tài)時的最優(yōu)諧波電流，生成一組查找表。當電機運行時，只要根據(jù)查找表選擇當前的最優(yōu)諧波電流，這樣大大簡化了系統(tǒng)在線計算流程，更易于實現(xiàn)系統(tǒng)的實時控制。

4 仿真及實驗驗證

4.1 仿真分析

本文對所提出的轉矩脈動抑制方法首先進行了仿真驗證。在MATLAB/Simulink中搭建了系統(tǒng)的仿真模型，系統(tǒng)結構圖如圖3所示，最優(yōu)諧波電流算法目標函數(shù)如式(19)所示，其中k1=10、k2=1。仿真中電機參數(shù)設置與實驗電機參數(shù)一致，如表1所示。

表1 永磁同步電機參數(shù)

該實驗待測IPMSM中諧波磁鏈的主導分量為18次諧波，因此為方便說明所提出轉矩脈動抑制方法的效果，仿真及實驗主要針對18次的轉矩脈動進行抑制。分別對負載轉矩為20 N·m和40 N·m時，加入抑制算法前后的仿真結果進行分析。

圖4給出了轉速為1 500 r/min額定轉速，負載轉矩為20 N·m時的仿真結果。通過仿真結果可以看出，未施加抑制策略時電壓與電流諧波較小，轉矩脈動約有10%。采用遺傳算法計算當前穩(wěn)態(tài)工況下的最優(yōu)諧波電流，此時算法輸入為Id0=0 A，Iq0=6.75 A，輸出18次諧波電流幅值Id18、Iq18分別為-0.190 7 A和-0.338 0 A，相位φid18、φiq18分別為3.749 7 rad和0.981 9 rad。施加抑制策略，將最優(yōu)諧波電流注入控制系統(tǒng)后d、q軸電流上疊加高次諧波，轉矩脈動峰峰值由2.03 N·m降低為0.12 N·m。

圖4 負載轉矩20 N·m時仿真結果Fig.4 Simulation results when load is 20 N·m

圖5給出了同樣轉速下，負載轉矩為40 N·m時的仿真結果。由于工況發(fā)生改變，此時算法的輸入發(fā)生改變，輸入變?yōu)镮d0=0 A，Iq0=13.5 A，得出該工況下18次諧波電流幅值Id18、Iq18分別為0.524 9 A和-0.663 6 A，相位φid18、φiq18分別為0.987 3 rad和1.114 7 rad。通過施加轉矩脈動抑制策略，轉矩脈動峰峰值由3.82 N·m降低為0.79 N·m，具有顯著的轉矩脈動抑制效果。

圖5 負載轉矩40 N·m時仿真結果Fig.5 Simulation results when load is 40 N·m

4.2 實驗結果

實驗平臺如圖6所示。該平臺包含被測電機、光電編碼器、轉矩傳感器、逆變器、負載電機以及伺服控制器。其中，被測電機為內置式PMSM(IPMSM)，具體參數(shù)如表1所示。伺服控制器采用Opal-RT實時仿真控制器，該控制器中運行著由仿真模型編譯成的算法，并與硬件電路相連實時采集信號，可以通過上位機進行控制和觀測。

圖6 實驗平臺實物圖Fig.6 Photograph of experimental platform

與仿真工況相對應進行實驗分析，在1 500 r/min的額定轉速下進行兩組實驗，分別給出了負載轉矩為20 N·m和40 N·m時加入抑制算法前后的實驗結果。需要指出，實驗中考慮到算法計算量大，存在延遲，因此通過離線計算預生成查找表，所采用目標函數(shù)與仿真一致，實際實驗時最優(yōu)諧波電流通過查找表確定。

啟動電機至額定轉速1 500 r/min，施加20 N·m負載轉矩待電機運行至穩(wěn)態(tài)，此時即未施加抑制策略時的d、q軸電壓與電流穩(wěn)態(tài)波形如圖7(a)、圖7(b)所示。

圖7 20 N·m時抑制前后d、q軸電壓與電流穩(wěn)態(tài)波形Fig.7 dq-axis voltages and current before and after torque minimization when load is 20 N·m

電流的跟蹤控制通過對實際電流進行采樣，比較實際電流與參考電流的誤差并送入電流控制器，最終將電流控制器輸出的參考電壓即d、q軸電壓注入空間電壓矢量調制器實現(xiàn)?？梢钥吹?，此時由于未施加抑制策略，最優(yōu)諧波電流尚未注入，PI控制器僅能對電流中的直流分量進行控制，因此電流控制器輸出的d、q軸電壓中諧波分量較少。施加抑制策略，待注入最優(yōu)諧波電流幅值Id18、Iq18分別為0.115 5 A和0.322 1 A，相位φid18、φiq18分別為1.503 7 rad和4.093 1 rad，注入后d、q軸電壓與電流穩(wěn)態(tài)波形如圖7(c)、圖7(d)所示。從圖中可以看出，此時d、q軸電流上疊加高次諧波，相應的d、q軸參考電壓也會產(chǎn)生很大的高次諧波以保證諧波電流的跟蹤，與仿真結果吻合。此外，實驗時開關頻率為20 kHz，需要注入的諧波電壓為900 Hz，由于開關的非線性，會使得注入的電壓產(chǎn)生一定的失真。

圖8為負載轉矩20 N·m時施加抑制策略前后的轉矩波形。從圖中可以看出，抑制前轉矩脈動峰峰值為2.54 N·m，施加抑制策略后，轉矩脈動峰峰值為0.82 N·m，降低了67.71%。實驗中轉矩脈動大于仿真結果，是由于仿真建模時僅考慮了18次的諧波，而實際電機還存在6次、12次等頻次諧波。

圖8 20 N·m時抑制前后轉矩穩(wěn)態(tài)波形Fig.8 Measured torque before and after torque minimization when load is 20 N·m

將負載轉矩增加為40 N·m，待系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，d、q軸電壓與電流穩(wěn)態(tài)波形如圖9(a)、圖9(b)所示，此時尚未施加抑制策略。注入該工況下的最優(yōu)諧波電流，幅值Id18、Iq18分別為-0.324 5 A和0.732 8 A，相位φid18、φiq18分別為1.976 9 rad和4.001 0 rad。注入后的d、q軸電壓與電流穩(wěn)態(tài)波形如圖9(c)、圖9(d)所示。

圖9 40 N·m時抑制前后d、q軸電壓與電流穩(wěn)態(tài)波形Fig.9 dq-axis voltages and currents before and after torque minimization when load is 40 N·m

圖10給出了負載轉矩40 N·m時施加抑制策略前后的轉矩波形?？梢钥吹剑┘右种撇呗院?，轉矩脈動峰峰值由4.83 N·m減小為1.66 N·m，降低了65.63%，與仿真結果吻合。以上實驗結果表明，基于遺傳算法的永磁同步電機轉矩脈動抑制方法通過注入額外的諧波電流產(chǎn)生額外的諧波轉矩，與已有的諧波轉矩相抵消，能有效地降低轉矩脈動。

圖10 40 N·m時抑制前后轉矩穩(wěn)態(tài)波形Fig.10 Measured torque before and after torque minimization when load is 40 N·m

5 結 論

本文針對PMSM驅動系統(tǒng)的轉矩脈動問題，設計了一種考慮諧波磁鏈相角的PMSM轉矩脈動抑制方法。通過理論分析和實驗驗證，得出以下結論：

1)采用序列表示諧波磁鏈、諧波電流及諧波轉矩，能反映磁鏈相角對諧波轉矩的影響。該方法能夠準確反映轉矩的變化，同時也避免了復雜的公式推導；

2)遺傳算法根據(jù)不同的工況計算出相應的最優(yōu)諧波電流，通過離線計算生成最優(yōu)諧波電流查找表，使該方法可以很好地適用于不同的工況；

3)實驗結果顯示，采用本文所提出的轉矩脈動抑制方法，轉矩脈動減少了約67%，具有很好的轉矩脈動抑制效果。