時間依賴的Hessian商不等式正解的不存在性

蔣飛達，陳 希

(1.南京信息工程大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 江蘇 南京 210044；2.東南大學 數(shù)學學院，丘成桐中心, 江蘇 南京 211189)

偏微分方程和偏微分不等式解的不存在性是一個廣受關(guān)注的話題, 有許多人針對不同的方程和不等式做出了研究[1-5]. 論文研究兩類時間依賴的Hessian商不等式全局正解的不存在性結(jié)果. 第一類不等式是與平均場博弈論有關(guān)的時間依賴的不等式

(1)

它類似于文獻[6]中的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程. 第二類不等式是拋物型完全非線性不等式

(2)

正解的不存在性結(jié)果. 文獻[4]中證明了與問題(2)相關(guān)的拋物型k-Hessian不等式全局正解的不存在性.

(3)

其中：k=1,2，…,n；i1,i2，…,is∈{1,2，…,n}；λ=(λ1,λ2,…，λn).通?？啥xS0(λ)≡1.在歐氏空間n上, 共形Hessian矩陣Agu有以下形式

Agu=D2u-[a(x)|Du|2I-b(x)Du?Du],

(4)

其中：Du和D2u分別表示關(guān)于u的梯度向量和Hessian矩陣,I是n×n單位矩陣,a(x)和b(x)是關(guān)于x的函數(shù). 根據(jù)文獻[7]的研究, 定義容許錐

Γk:={λ∈n:Si(λ)>0,i=1，2，…，k}，

若λ(Agu)∈Γk, 則稱u是(1)，(2)的容許解.

問題(1)，(2)形式上類似, 但不存在性結(jié)果和證明細節(jié)是不同的, 所以分別給出問題(1)，(2)在n×[0,+∞)上的全局正容許解的不存在性結(jié)果.

作者考慮Hessian商不等式全局正解的不存在性, 即對全空間上的問題(1)，(2)的解給出刻畫. 如果證明了不等式不存在全局的正解, 也就說明了不等式對應(yīng)的方程正的下解并不存在. 定理1，2中證明的是全局光滑解的不存在性, 類似文獻[3]中證明全局弱解不存在.

作者考慮u關(guān)于t的導數(shù)項的時間依賴的Hessian商不等式, 相較于文獻[3,5]中與時間無關(guān)的情形, 其難點是如何用其他項來控制u關(guān)于t的導數(shù)項帶來的困難. 在證明過程中可以將共形Hessian商不等式簡化為含有拉普拉斯算子的不等式. 總體采用反證法, 假設(shè)不等式存在全局正解, 推導矛盾. 構(gòu)造合適的截斷函數(shù)φ(x)和μ(t), 在不等式兩邊同乘截斷函數(shù)并在n×(0,+∞)上積分， 廣泛使用Schwarz和Young不等式以及分部積分等, 經(jīng)過計算得出矛盾, 從而證明定理的不存在性結(jié)果.

論文第一節(jié)將證明定理1以及給出一個注釋, 第二節(jié)將給出定理2的證明過程, 然后用兩個注釋進一步說明.

1 定理1的證明

首先構(gòu)造測試函數(shù)η(x,t)=φ(x)μ(t), 其中φ(x)和μ(t)分別是關(guān)于空間和時間變量的截斷函數(shù). 然后在不等式兩邊同乘測試函數(shù)uδηθ并作積分, 選取合適的參數(shù)δ和θ, 運用反證法, 計算得出矛盾.

反設(shè)問題(1)存在全局正解, 將推導出矛盾. 假設(shè)D僅表示空間方向上的梯度算子. 構(gòu)造φ(x),μ0(s)兩個C2截斷函數(shù)且滿足

(5)

和

(6)

其中：C為一個正常數(shù),BK表示n中以0為球心、K為半徑的球.

利用φ(x)和μ0(s), 構(gòu)造函數(shù)η(x,t)=φ(x)μ(t), 其中

(7)

其中：ρ為待定常量.因λ(Agu)∈Γk,由文獻[8]中的引理15.13,得

(8)

再由(1)式，有

(9)

由于Agu如(4)式所示, 計算可得S1(Agu) =Δu-(na(x)-b(x))|Du|2.因此, (9)式變?yōu)?/p>

ut+Δu-(na(x)-b(x))|Du|2≥uα.

(10)

在不等式(10)的兩邊同乘測試函數(shù)uδηθ, 然后在n×(0,+∞)上積分, 有

(11)

其中：δ和θ是有待確定的常數(shù). 選取δ和θ使它們滿足

下面消去ut項, 對(11)式左端第二項進行分部積分, 計算得

(12)

將(12)式代入(11)式, 有

(13)

經(jīng)過計算，有

(14)

(15)

(16)

(17)

其中：ωn表示n空間上單位球的體積,C為任意正常數(shù). 選取K足夠大, 有

(18)

將(15)～(17)式代入(13)式, 結(jié)合(18)式,有

(19)

下面處理Δu項. 考慮(19)式不等號右端的第一項,有

(20)

其中:U：=supp|Dη|={x∈n:K<|x|<2K}.將(20)式的最后一項用Schwarz不等式, 得

(21)

其中:ε1為任意正常數(shù),Cε1為依賴于ε1的正常數(shù).

將(21)式代入(19)式, 有

(22)

(23)

下面要用不等式左端的第一項來控制不等號右端的第一項. 對(23)式中不等號右端的第一項使用Young不等式, 得

(24)

其中：ε2是任意正常數(shù),Cε2表示依賴于ε2的正常數(shù),p,q是正常數(shù)且滿足

p+q=θ-2,s>1,t≥4，

將p,q,s,t代入(24)式, 計算得

(25)

有

(26)

其中：ωn表示n空間上的單位球的體積,C為(5)式中的正常數(shù).

為使(26)式中2ρ/(ρ+1)-1為正, 不失一般性, 簡單起見, 可以選取ρ=1,有

(27)

由于δ>max{2(α-1)(n+1)-α,0}, 有

因此, 在(27)式中令K→+∞, 有

(28)

由于u>0以及截斷函數(shù)的性質(zhì)知(28)式中的積分是正的, 矛盾. 故完成了定理1的證明.

注1在文獻[9]中, 耦合方程組

2 定理2的證明

該節(jié)首先給出定理2的證明過程, 接著給出兩個注釋, 第一個注釋表明改變初值條件可以簡化證明過程, 第二個注釋總結(jié)和對比了定理1，2中的困難項ut的處理過程.

假設(shè)問題(2)存在全局正解. 首先采用(5)，(7)式中的測試函數(shù)φ(x)和μ(t), 結(jié)合(2)，(8)式可得

(29)

再由S1(Agu) =Δu-(na(x)-b(x))|Du|2，(29)式變?yōu)?/p>

-ut+Δu-(na(x)-b(x))|Du|2≥uα.

(30)

在(30)式兩邊同乘測試函數(shù)uδηθ, 然后在n×(0,+∞)上積分, 并采用一次分部積分消去ut項, 得

(31)

其中：δ和θ是有待確定的常數(shù).

由于

(32)

下面選取δ和θ，使得

δ=0,θ>n+ρ.

已知u0(x)≥0,α=0,u0(x)∈L∞(n), 那么(32)式可以變?yōu)?/p>

(33)

考慮(33)式的第一項

(34)

(35)

那么

(36)

用與第二節(jié)相同的方法處理Δu項, 結(jié)合(20)，(21)式，有

(37)

(38)

其中：ε3和ε4是任意正常數(shù),Cε3和Cε4分別表示依賴于ε3和ε4的正常數(shù).

選取恰當?shù)摩?和ε4，使得

可以得到

故

(39)

其中：ωn表示n空間上的單位球的體積,C為(5)式中的正常數(shù).

與第二節(jié)中類似, 可以選取ρ=1, 令K→+∞, 有

(40)

根據(jù)截斷函數(shù)的性質(zhì)知(40)式中的積分是正的, 所以得到了矛盾. 故完成了定理2的證明.

注2當u0(x)≡0時, 證明過程更加直接. 假設(shè)α=0, 此時(32)式變成

(41)

結(jié)合(15)，(16)式, 有

(42)

(43)

其中：ε5和ε6是任意正常數(shù),Cε5和Cε6分別表示依賴于ε5和ε6的正常數(shù).

選取恰當?shù)摩?和ε6，使得

由(43)式可以得到

故

(44)

其中：ωn表示n空間上的單位球的體積,C為(5)式中的正常數(shù).

與定理2的證明類似,可以選取ρ=1, 令K→+∞, 有

(45)

根據(jù)截斷函數(shù)的性質(zhì)知(45)式中的積分是正的, 矛盾.