異質多智能體系統(tǒng)的自適應點對點擬一致性控制

查昕昕，王正新，2，蔣國平

（1.南京郵電大學理學院，江蘇 南京 210023 2.南京郵電大學江蘇省物聯網智能機器人工程實驗室，江蘇 南京 210023 3.南京郵電大學自動化學院、人工智能學院，江蘇 南京 210023）

近年來，多智能體系統(tǒng)的協(xié)調控制被廣泛研究，特別是多智能體系統(tǒng)的一致性控制。多智能體系統(tǒng)節(jié)點之間的一致性主要通過智能體之間的局部信息交換來實現。在研究多智能體系統(tǒng)一致性問題時，大致可以分為以下幾種情形：有向網絡［1］或者無向網絡［2］、線性網絡系統(tǒng)［3］或非線性網絡系統(tǒng)［4］、單層網絡［5］或多層網絡［6］、同質網絡［7］或異質網絡［8］。除了網絡的協(xié)調動力學，網絡的可控性及可觀性［9］、拓撲識別［10］、信息擴散［11］等也得到了廣泛的研究。近年來，與單層網絡相比，對多層網絡的研究越來越深入。文獻［12］利用線性變換討論了兩層網絡，首先給出了兩層網絡中領導者網絡之間達到一致性的充分條件；然后給出了兩層網絡中節(jié)點之間達到一致性的充分條件。文獻［13］設計了一個兩層網絡，并提出了一種識別單層結構的新方法。文獻［14］利用 Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了兩層網絡中節(jié)點間的同步是可以實現的，并將結果推廣到了多層網絡的情形。

由于受到參數擾動、節(jié)點多樣性等影響，無論是單層網絡還是多層網絡往往表現出異質的特征。在現實世界中，異質網絡更加普遍。例如，在多個機器人的協(xié)調控制中，所有機器人的參數可能并不完全相同。生物系統(tǒng)、腦科學、生理學等領域也存在大量的異質系統(tǒng)。文獻［15］研究了異質非線性多智能體系統(tǒng)的一致性跟蹤問題。文獻［16］研究了具有時變的非線性異質多智能體系統(tǒng)的輸出同步問題。文獻［17］研究了由一階和二階積分器組成的異質多智能體系統(tǒng)的一致性問題。異質多智能體系統(tǒng)的研究逐漸得到學者的關注。

由于在異質復雜系統(tǒng)中，不同類型的節(jié)點很難實現同步或一致性。在固定耦合關系的情況下，引入外部控制是必要的。對于非線性復雜網絡系統(tǒng)，已經找到了一些有效的控制策略，如脈沖控制［18］、自適應控制［19］、間歇控制［20］，以及采樣控制［21］。文獻［22］提出了一種新的間歇脈沖控制方法來實現具有時滯多智能體系統(tǒng)的一致性。由于網絡通訊存在延遲，文獻［23］研究了一個具有延遲脈沖的非線性系統(tǒng)的跟蹤一致性問題。文獻［24］研究了在周期數據同步采樣框架下，非線性智能體的同步問題。文獻［25］設計了兩個自適應協(xié)議，以確保所有無向連接下多智能體系統(tǒng)都能以完全分布式的方式達到同步。本文采用自適應控制協(xié)議，與采樣控制相比，它不僅降低了控制成本，而且具有動態(tài)調整的特性。

受到上述討論的啟發(fā)，本文研究了兩層異質多智能體系統(tǒng)的自適應點對點擬一致性問題。主要創(chuàng)新點如下：首先，研究了異質網絡，各層節(jié)點的動力學是異質的，兩層之間對應節(jié)點的動力學也是異質的。其次，設計了自適應控制以保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。最后，給出了兩層異質網絡點對點擬一致性的充分判據。

1 預備知識和模型描述

1.1 符號說明

本文所用的一些符號介紹：?和?N×N表示實數集和N×N維實矩陣。IN表示N×N維單位陣，1N表示元素全1的列向量，0N表示元素全0的列向量。假設方陣A是對稱的，λmin（A）和 λmax（A）分別表示其最小和最大的特征值。矩陣A和B的克羅內克積用A?B表示。符號‖·‖表示歐幾里得范數。

1.2 圖論與引理

引理 1［26］對于任意兩個向量 x，y有

2xTy≤xTx+yTy

引理2［27］令 A∈?n×n是一個實對稱矩陣，對任意的x∈?n，都有

λmin（A）xTx≤xTAx≤λmax（A）xTx

1.3 模型描述

本文討論一個兩層多智能體系統(tǒng)的點對點擬一致性問題。兩層網絡分別是驅動層和響應層，它們都有N個節(jié)點。驅動層不但影響響應層的節(jié)點，而且還與其鄰居節(jié)點相互影響。

在驅動層，第i個領導者的動力學方程表示為

其中，xi（t）∈ ?n為第 i個領導者的狀態(tài)，A1i∈?n×n為系統(tǒng)矩陣，i＝1，2，…，N。α ＞0表示耦合強度，P＝［pij］N×N為驅動層的加權鄰接矩陣。

假設1 驅動層網絡中包含一個有向生成樹。

不失一般性，設驅動層的第一個節(jié)點為根節(jié)點，視為整個驅動層的領導者。在本文中，假設x1（t）有界，即在任意初始條件下，存在正常數γ，使得‖x1（t）‖≤γ。

注1 因為領導者的狀態(tài)可能是穩(wěn)定的，或者是周期振蕩的，或者存在一個混沌吸引子，所以假設領導者狀態(tài)有界是合理的。

進一步地，驅動層的動力學方程可以改寫為

在響應層，第i（1≤i≤N）個跟隨者的動力學方程表示為

注2 本文主要研究具有驅動?響應結構的多智能體系統(tǒng)的點對點擬一致性問題，且假設兩個系統(tǒng)的拓撲結構是不同的。

定義1 對于任意初值，如果

其中κ為常數，那么具有驅動?響應結構的多智能體系統(tǒng)（1）和（2）可以實現點對點擬一致性。

為了實現驅動層（1）和響應層（2）之間的點對點擬一致性，設計了如下控制協(xié)議

2 主要結果

2.1 線性多智能體系統(tǒng)分布式點對點擬一致性

本節(jié)主要通過控制器（3），實現兩層多智能體系統(tǒng)（1）和（2）的點對點擬一致性。分為兩步進行分析：第一步證明驅動層內部達到擬一致性；第二步證明響應層與驅動層對應節(jié)點間達到擬一致性的狀態(tài)。

2.1.1 驅動層網絡的擬一致性

定理1 在假設1成立的前提下，如果存在α＞0使得

成立，那么驅動層多智能體系統(tǒng)（1）可以達到擬一致性。

證明：構造如下的Lyapunov函數

沿著式（4）對 V1（t） 求導得

因此，從引理1可以得到

結合式（5）和（6）得到

根據定理1的條件，令

于是，由引理2得

注3 從上述證明中可以得到，在已知‖x1（t）‖≤γ的情況下，驅動層多智能體系統(tǒng)可以達到擬一致性的狀態(tài)，并且存在ω ＞0使‖x（t）‖≤ω。

2.1.2 驅動層與響應層的點對點擬一致性

式中，H＝［hij］N×N和 L＝［lij］N×N分別為 P 和 Q 對應的拉普拉斯矩陣。

定理2 如果存在α＞0使得

證明：為系統(tǒng)構造如下Lyapunov函數

沿著式（8）對 V1（t） 求導得

由引理1可得

以上分析表明，兩層線性多智能體系統(tǒng)（1）和（2）可以實現點對點擬一致性。

注4 如果A2i-A1i＝0，則

構造同V2（t）的Lyapunov函數，同上述分析，在定理2成立的條件下同樣可以得到兩層多智能體系統(tǒng)（1）和（2）可以實現分布式點對點擬一致性。

結合定理1和定理2，兩層多智能體系統(tǒng)（1）和（2）可以實現整個系統(tǒng)的擬一致性。

定理3 在假設1成立的前提下，如果定理1和定理2的條件成立，那么兩層多智能體系統(tǒng)（1）和（2）可以實現擬一致性。

2.2 非線性多智能體系統(tǒng)分布式點對點擬一致性

本節(jié)討論具有Lipschitz非線性動力學的多智能體系統(tǒng)的擬一致性問題。

在2.1節(jié)研究了線性多智能體系統(tǒng)的分布式點對點擬一致性。然而，大多數真實的節(jié)點服從非線性動力學模型。在本節(jié)中，第i個（2＜i＜N）領導者的動力學描述為

式中，xi（t）∈ ?n為第 i個領導者的狀態(tài)，A1i∈?n×n，B1i∈ ?n×n為系 統(tǒng) 矩陣，i＝1，2，…，N。f（·）∈?n為一個連續(xù)可微的向量函數，表示第i個領導者自己的非線性動力學。α＞0表示耦合強度，在本節(jié)中，假設x1（t）有界，即在任意初始條件下，存在正常數γ，使得‖x1（t）‖≤γ。

在響應層，第i（1≤i≤N）個跟隨者的動力學方程表示為

2.2.1 驅動層網絡的擬一致性

假設2 存在一個非負的常數δ，使得‖f（xi（t））-f（x1（t））‖≤δ‖xi（t）-x1（t）‖其中 i＝2，3，…，N。

定理4 在假設1和假設2成立的條件下，如果存在α＞0使得

成立，那么驅動層多智能體系統(tǒng)（12）可以達到擬一致性。

由引理1可知

其中，‖f（xi（t））‖≤ν，記

根據定理4的條件知θ＞0。由引理2得

注5 從上述證明中可以得到，在‖x1（t）‖≤γ的條件下，驅動層網絡可以達到擬一致性的狀態(tài)，并且存在χ＞0使得‖x（t）‖≤χ。

2.2.2 驅動層與響應層的點對點擬一致性

定理5 如果存在α＞0使得

證明：構造如下Lyapunov函數

由Lipschitz條件可知，對任意正常數δ＞0可得

沿著式（16）對 V4（t） 求導得

將式（17）代入式（19）可得

根據定理5的條件，記

因此由引理2可知

因此，兩層非線性多智能體系統(tǒng)分布式點對點的擬一致性可以實現。

結合定理4和定理5可得定理6。

定理6 在假設1和假設2成立的條件下，如果定理4和定理5的條件成立，那么非線性多智能體系統(tǒng)式（12）和（13）可以實現擬一致性。

3 仿真結果與分析

例1 考慮有3個節(jié)點的兩層線性多智能體系統(tǒng)，其驅動層系統(tǒng)如下

響應層的系統(tǒng)如下

因此，根據定理1可以得到

根據定理2可以得到

根據定理1，線性多智能體系統(tǒng)的驅動層可以實現擬一致性。取驅動層的初始狀態(tài)為［1.2，0.9，0.6］′，響應層的初始轉態(tài)為［3.5，4.6，6］′，仿真結果如圖1所示。在定理2成立的情況下，線性多智能體系統(tǒng)的驅動層與響應層之間也可以實現點對點擬一致性，仿真結果分別如圖2和圖3所示。

圖1 線性多智能體系統(tǒng)驅動層 xi（t），i＝1，2，3 的狀態(tài)圖

圖2 線性多智能體系統(tǒng)響應層（t），i＝1，2，3的狀態(tài)圖

由定理1和定理2可以得到線性多智能體系統(tǒng)中驅動層與響應層間的誤差值能達到一個有界的狀態(tài)，如圖3所示。

圖3 線性多智能體系統(tǒng)驅動層與響應層間誤差 ei（t），i＝1，2，3 的狀態(tài)圖

例2 在非線性多智能體系統(tǒng)中，驅動層系統(tǒng)如下

取 B21＝-0.04，B12＝-0.028，B13＝0.015，其他參數取值與例1相同。

因此，根據定理4可以得到

根據定理5可以得到

根據定理4，非線性多智能體系統(tǒng)的驅動層可以實現擬一致性，如圖4所示。根據定理5，非線性多智能體系統(tǒng)的驅動層與響應層之間也可以實現點對點擬一致性，分別如圖5和圖6所示。

圖4 非線性多智能體系統(tǒng)驅動層 xi（t），i＝1，2，3 的狀態(tài)圖

由定理4和定理5可以得到非線性多智能體系統(tǒng)中驅動層與響應層間的誤差值能達到一個有界的狀態(tài)，如圖6所示。

圖6 非線性多智能體系統(tǒng)驅動層與響應層間誤差 ei（t），i＝1，2，3 的狀態(tài)圖

4 結束語

本文研究了兩層異質多智能體系統(tǒng)的自適應點對點擬一致性問題。各層節(jié)點間的狀態(tài)是異質的，相應的節(jié)點在兩層之間的狀態(tài)也是異質的。針對異質線性多智能體系統(tǒng)和異質非線性多智能體系統(tǒng)，設計了自適應控制協(xié)議，保證了兩層多智能體系統(tǒng)中響應層的每個節(jié)點能夠跟蹤到驅動層相應的節(jié)點，從而實現了兩層多智能體系統(tǒng)點對點擬一致性。在未來的研究中，將致力于更為一般的多層網絡的同步問題。