多徑信道下FTN技術的性能分析

韓雙鋒，夏 亮，王啟星，王江舟

（1.中國移動研究院，北京 100053 2.肯特大學工學院，英國 坎特伯雷 CT2 7NT）

按照無線通信系統(tǒng)十年一代的發(fā)展規(guī)律，2030年將部署6G網(wǎng)絡，以滿足不斷飛速增長的無線通信業(yè)務需求。預計6G階段的業(yè)務需求比5G階段會有大幅度的提升，例如200 Gbit/s的下行峰值速率，用戶面時延小于0.1 ms，支持1 000 km/h的移動速度，至少50%以上的頻譜效率提升，以及100倍的能量效率提升等［1］。為了滿足如此高的業(yè)務需求，業(yè)界在6G關鍵技術方面開展了廣泛研究，力求在物理層和網(wǎng)絡架構等方面取得實質(zhì)突破［2-5］。尤其是高能效的綠色通信技術［5］，對6G和未來通信系統(tǒng)的可持續(xù)發(fā)展至關重要。

在傳統(tǒng)通信系統(tǒng)中，為了避免符號間干擾，通常采用奈奎斯特準則，確保在不同時刻的發(fā)送脈沖在采樣點處滿足正交性。超奈奎斯特技術（Faster than Nyquist，F(xiàn)TN）［6-9］早在 20 世紀 70 年代就被提出，后來又擴展到頻域，例如 SEFDM（Spectrally Efficient Frequency Division Multiplex）技術［10-11］。這些超奈奎斯特技術的特點，是將待發(fā)送的基帶數(shù)據(jù)符號以大于奈奎斯特采樣的速率，在時域或者頻域與脈沖成型函數(shù)進行卷積后得到待發(fā)送信號。每個符號經(jīng)過成型濾波器后被調(diào)制到一個波形，F(xiàn)TN處理后，N個連續(xù)符號被調(diào)制到N個時域或者頻域波形，波形之間的時域或者頻域間隔是傳統(tǒng)奈奎斯特系統(tǒng)的1/K。Anderson等［6］推導了FTN技術的容量界，發(fā)現(xiàn)其高于基于奈奎斯特準則的信號方式，并將這一結果歸因于使用了非Sinc成形濾波器（如根升余弦濾波器）使用的多余帶寬。不同于傳統(tǒng)的正交傳輸，超奈奎斯特采樣技術利用發(fā)送端的非正交信號設計結合接收端過采樣處理，有望提升通信系統(tǒng)容量和頻譜效率，是6G潛在關鍵技術方向之一。

超奈奎斯特技術通過發(fā)送端傳輸更高速率的非正交信號，在傳輸時不可避免地引入符號間干擾，因此處理系統(tǒng)中的符號間干擾是一個重要研究課題。近年來業(yè)界提出了諸多的解決方案，一個經(jīng)典的思路是通過發(fā)送端預編碼以及接收端的聯(lián)合處理。文獻［9］推導了預編碼FTN技術的容量，還給出了最優(yōu)的功率分配策略，結論表明其方案的頻譜效率超越了香農(nóng)極限，然而此結果存在很大爭議。文獻［12］提出了基于預編碼FTN的非正交多址技術，并和多天線技術進行了結合。

由于FTN技術自身的波形非正交特點，其在多徑環(huán)境下的性能備受業(yè)界關注。文獻［13］推導了預編碼FTN技術在多載波系統(tǒng)中的容量，還給出了最優(yōu)的功率分配策略。文獻［14］研究了FTN技術在多徑信道下的可達速率，并提出了一種干擾消除方案，以提升在多徑信道的容量。

由于在時域多徑信道下，F(xiàn)TN技術中既存在波形之間的干擾，還存在多徑帶來的嚴重的多徑干擾，這給相關的科研工作帶來很大挑戰(zhàn)，業(yè)界對于FTN技術在多徑信道下的容量研究還很不充分。本文研究了FTN技術在時域多徑信道下的性能，推導了多徑信道下的符號間干擾矩陣，并推導了系統(tǒng)的容量和頻譜效率；進而通過數(shù)值仿真，驗證了在不同信道環(huán)境下系統(tǒng)容量的變化規(guī)律；此外，還探討了未來的一些研究方向。

1 系統(tǒng)建模

假設作用于時域符號的成型濾波器函數(shù)為f（t），考慮等間隔符號的情況（其他不等間隔的情況可以同理推導，不再贅述），相鄰時域符號間隔為T，當過采樣因子為K時，符號間隔T是奈奎斯特采樣間隔的 1/K?？紤]連續(xù) N個數(shù)據(jù)符號，s＝［s0，…，sN-1］T，F(xiàn)TN 發(fā)送信號可以表示為

經(jīng)過匹配濾波器f?（-t）后，等效的總體濾波函數(shù)g（t）是f（t）與 f?（-t）的卷積：

假設接收端噪聲n（t）是均值為0、方差為σ2的加性高斯白色噪聲（AWGN）。經(jīng)過匹配濾波器后，噪聲變?yōu)?/p>

當考慮L徑多徑信道，相鄰徑之間的時延也為T，第l徑的信道系數(shù)為hl，N個符號的接收信號可以表示為

考慮每隔T時間的采樣，信號的輸入輸出關系表示成如下矩陣形式

其中，r為接收端采樣序列，Gc為考慮多徑效果后的符號間干擾矩陣，nr為采樣點噪聲向量。

基于式（2）得到的AWGN信道下數(shù)據(jù)符號間的干擾矩陣G是一個拓普利茲矩陣，第一行為［g（0），g（-T），…，g（-（N-1）T）］。在多徑信道下，接收端看到的符號間干擾矩陣Gc是由矩陣G的元素和多徑信道的響應共同決定的。當L＝1，h1＝1時，Gc和G等效。

由于噪聲不受多徑影響，因此噪聲向量的協(xié)方差矩陣為

2 FTN容量分析

為了獲得信道的容量（單位為bit/s）表達式，首先分析接收數(shù)據(jù)符號向量r和發(fā)送符號序列s之間的互信息，然后用這個互信息除以發(fā)送N個波形所需要的時間。首先，r和s之間的互信息表示如下

其中，h（r） 是向量 r的熵，h（nr） 是向量nr的熵。根據(jù)通信經(jīng)典理論，h（r）和h（nr）可以分別寫成如下的形式：

向量r的協(xié)方差矩陣可以表示為

其中，Rx＝E［s sH］，是向量s的協(xié)方差矩陣。根據(jù)式（11）至（13），可以得到互信息 I（r；s） 的表達式：

可以看出，互信息I（r；s）取決于發(fā)送和接收濾波器共同決定的矩陣G，向量s的協(xié)方差矩陣Rx，以及濾波器和信道信息共同決定的矩陣Gc。不同的多徑功率分布和時延分布會產(chǎn)生不同的矩陣Gc，從而影響互信息。對發(fā)送符號的不同的功率分配會影響Rx，進而也會影響互信息。

考慮不同符號等功率分配的情況，假定奈奎斯特系統(tǒng)的發(fā)送功率為P，為了保證FTN系統(tǒng)的功率相同，每個發(fā)送符號滿足均值為0、方差為P/K的高斯分布，顯然 Rx＝E［s sH］＝（P/K）I?；バ畔（r；s） 可以表示為

如果信道為平衰落，G＝Gc?；バ畔?/p>

式（16）和經(jīng)典信息論的結論是一致的，也就是說，F(xiàn)TN的容量取決于發(fā)送和接收濾波器的特性。然而，由于實際系統(tǒng)中多徑衰落是普遍存在的，式（16）中的經(jīng)典香農(nóng)公式不能準確描述系統(tǒng)的性能，必須要基于式（14）結合具體的多徑分布和功率分配情況（對應不同的Rx）來分析FTN系統(tǒng)的性能優(yōu)劣。

得到互信息 I（r；s） 的表達式（15）后，等功率分配FTN系統(tǒng)的速率表示為

當N趨于無窮大時，即得到系統(tǒng)的容量C：

對于嚴格帶限［-W，W］的系統(tǒng)，每秒發(fā)送的FTN符號數(shù)為2WK個，系統(tǒng)的容量可以表示為

其中，N0為噪聲的功率譜密度。系統(tǒng)的頻譜效率SE（Spectrum Efficiency）表示為

3 仿真結果與分析

3.1 不同符號間隔對頻譜效率的影響

首先驗證AWGN信道下FTN系統(tǒng)不同的符號間隔對系統(tǒng)頻譜效率的影響?？紤]理想時域Sinc函數(shù)作為脈沖成型函數(shù)，在仿真中截取1 000個正常符號間隔（考慮的時間范圍為-500 KT～500 KT），信噪比SNR＝P/σ2。如圖1所示，當FTN符號間隔變化時，例如K從2變化到5時，系統(tǒng)的頻譜效率和AWGN信道下的香農(nóng)頻譜效率相同。也就是說，F(xiàn)TN技術通過發(fā)送端更密的波形進行數(shù)據(jù)傳輸，并沒有超越傳統(tǒng)香農(nóng)的信道容量界。

圖1 AWGN信道下FTN系統(tǒng)的頻譜效率

3.2 不同多徑環(huán)境對頻譜效率的影響

考慮理想的時域Sinc函數(shù)作為脈沖成型函數(shù)，在仿真中截取1 000個正常符號間隔（-500 KT～500 KT）。考慮4種多徑信道，信道1是單徑信道，信道2是3徑信道，信道3是20徑信道，信道4是30徑信道。多徑信道中的每條徑服從瑞利分布且功率相同，每種信道中多徑總功率保持一致。過采樣因子K為5，相鄰多徑時延為T。

圖2 多徑信道下FTN系統(tǒng)的頻譜效率

圖3 FTN系統(tǒng)的頻譜效率隨多徑數(shù)的變化趨勢

4 結束語

FTN技術是未來6G通信系統(tǒng)的潛在關鍵技術。本文研究了FTN技術在時域多徑信道下的性能，推導了多徑信道下的符號間干擾矩陣以及系統(tǒng)的容量和頻譜效率，并通過數(shù)值仿真驗證了不同信道環(huán)境下系統(tǒng)頻譜效率的變化規(guī)律。隨著符號間隔的變化，F(xiàn)TN的頻譜效率并不發(fā)生變化。在多徑信道中，隨著多徑數(shù)目的增加，F(xiàn)TN頻譜效率也相應地增加，在達到最大值后反而隨著多徑數(shù)目的增加而下降。

為了公式推導和仿真分析的簡潔，本文的仿真分析假定不同符號進行等功率分配。當采用不同的功率分配時，Rx的取值會發(fā)生變化，從而影響系統(tǒng)的互信息。給定符號個數(shù)、多徑分布、發(fā)送和接收濾波器的參數(shù)后，最優(yōu)的功率分配策略也就被確定下來。但是求解使得容量最大的功率分配策略非常困難，因為符號個數(shù)要趨于無窮大。此外，求解使得頻譜效率最大的功率分配策略也非常具有挑戰(zhàn)性，因為首先是符號個數(shù)要趨于無窮，其次是不同的功率分配策略既影響容量的大小，也會影響發(fā)送信號的功率譜分布，從而導致頻譜效率優(yōu)化變得困難。因此，多徑信道下FTN系統(tǒng)在時域或者頻域的最優(yōu)功率分配策略是重要的研究課題。此外，獲知信道信息以及匹配濾波器參數(shù)的FTN系統(tǒng)可以在發(fā)送端進行預編碼操作，以消除多徑間以及符號間的干擾，從而提升系統(tǒng)的性能。但是預編碼方案同樣會影響容量和發(fā)送信號的功率譜分布，有效提升FTN系統(tǒng)頻譜效率的預編碼方案設計也是一個非常重要的研究方向。