數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)時(shí)變特性建模與分析

姚亞健，張錚

(湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,武漢 430068)

數(shù)控機(jī)床是一個(gè)復(fù)雜的機(jī)電系統(tǒng),其工作性能、加工精度與加工效率取決于機(jī)床的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、靜動(dòng)態(tài)特性、數(shù)控算法、控制系統(tǒng)和加工工藝系統(tǒng)等諸多方面[1-2]。

目前機(jī)床線性進(jìn)給系統(tǒng)靜態(tài)誤差建模、檢測(cè)、辨識(shí)和補(bǔ)償?shù)睦碚撗芯縖3-7]已經(jīng)相對(duì)成熟,文獻(xiàn)[3]對(duì)整機(jī)精度設(shè)計(jì)指標(biāo)的確定,進(jìn)一步縮小了機(jī)床與試件相對(duì)位姿誤差的范圍。文獻(xiàn)[4-5]針對(duì)空間誤差進(jìn)行精確建模,采用智能算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化補(bǔ)償。文獻(xiàn)[6]提出了一種基于球桿儀的五次安裝測(cè)量辨識(shí)運(yùn)動(dòng)誤差的方法。文獻(xiàn)[7]針對(duì)特定的誤差模型進(jìn)行系統(tǒng)性的誤差補(bǔ)償測(cè)試。然而對(duì)于伺服動(dòng)態(tài)誤差的研究仍然還停留在初級(jí)階段[8-12]。

大量研究表明,影響機(jī)床的伺服動(dòng)態(tài)誤差的因素不僅包括控制系統(tǒng)伺服增益,還包括進(jìn)給單元的位置、速度和加速度等運(yùn)動(dòng)參數(shù),伺服動(dòng)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)和機(jī)械系統(tǒng)耦合作用的結(jié)果。Andolfatto[13]等認(rèn)為機(jī)床的伺服動(dòng)態(tài)誤差是機(jī)床速度、加速度和進(jìn)給速度等變化產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)力作用,導(dǎo)致的機(jī)床機(jī)械系統(tǒng)產(chǎn)生彈性變形誤差。王磊等[14]考慮多軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)過程中,機(jī)床加減速將會(huì)導(dǎo)致機(jī)床結(jié)合部剛度非線性變化,從而導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性改變,其采用集中參數(shù)法建立了一臺(tái)三軸數(shù)控機(jī)床動(dòng)力學(xué)模型,然后運(yùn)用有限元方法分析了位置變化下的系統(tǒng)響應(yīng)變換。李杰等[15]考慮進(jìn)給機(jī)構(gòu)的集中柔性和分布柔性,建立了機(jī)電-剛?cè)狁詈系膭?dòng)力學(xué)模型,分析了進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)誤差的產(chǎn)生過程以及各類因素的對(duì)動(dòng)態(tài)誤差的影響規(guī)律。

在文獻(xiàn)[13-15]中,其傳統(tǒng)的伺服動(dòng)態(tài)誤差建模方法中為獲得的系統(tǒng)剛度,阻尼等參數(shù)主要是運(yùn)用動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法在靜態(tài)的情況下獲取,當(dāng)進(jìn)給系統(tǒng)單元位置、速度和加速等運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)的剛度,阻尼等參數(shù)也會(huì)隨之變化[14,16-18],那么傳統(tǒng)的僅考慮靜態(tài)情況下的伺服動(dòng)態(tài)誤差建模將不再適用于高速運(yùn)動(dòng)中的機(jī)床。同時(shí),進(jìn)給速度加至一定高速(10 000 mm/min)范圍,伺服誤差在總誤差的比重超過75%[19]。因此為準(zhǔn)確的建立機(jī)床高速運(yùn)動(dòng)中的伺服動(dòng)態(tài)誤差模型,需要建立一種基于時(shí)變特性的進(jìn)給系統(tǒng)伺服動(dòng)態(tài)誤差模型,為機(jī)床進(jìn)給軸伺服動(dòng)態(tài)誤差的補(bǔ)償打下基礎(chǔ)。

本文采用集中參數(shù)法和控制理論建立了考慮進(jìn)給系統(tǒng)剛度值、阻尼值隨速度、加速度變化的時(shí)變特性伺服系統(tǒng)模型,通過給定正弦輸入信號(hào),利用MATLAB中Simulink模塊仿真得到了時(shí)變特性下的進(jìn)給軸輸出值,并與傳統(tǒng)伺服系統(tǒng)的輸出值進(jìn)行了對(duì)比分析。最后以本實(shí)驗(yàn)室THC6350IV雙轉(zhuǎn)臺(tái)臥式加工中心進(jìn)給系統(tǒng)為例,進(jìn)行了球桿儀實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 含時(shí)變特性的進(jìn)給機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)物理模型的等效

數(shù)控機(jī)床控制系統(tǒng)的跟隨誤差和機(jī)械系統(tǒng)的彈性變形誤差,將會(huì)導(dǎo)致數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)輸入指令與輸出不匹配,即伺服動(dòng)態(tài)誤差。當(dāng)進(jìn)給系統(tǒng)的整體柔性、剛度變化其固有頻率和慣性也隨之變化,因此建立精確的機(jī)械和控制系統(tǒng)模型是準(zhǔn)確分析伺服動(dòng)態(tài)誤差的關(guān)鍵。

典型的數(shù)控機(jī)床單軸進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。其主要由床身、工作臺(tái)、滾珠絲杠副、導(dǎo)軌滑塊副、電機(jī)、聯(lián)軸器、支撐軸承軸承等部件構(gòu)成。采用集中參數(shù)法建立其動(dòng)力學(xué)模型,如圖2所示。

圖1 進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖2 進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)牛頓第二定律,數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為:

(1)

式中:Mt為工作臺(tái)質(zhì)量;Jm為電機(jī)與聯(lián)軸器的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Jl為滾珠絲桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;θm為伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)角;θl為滾珠絲杠的轉(zhuǎn)角;Xl為滾珠絲杠的軸向位移;Xt為工作臺(tái)的軸向位移;Cl為滾珠絲桿阻尼系數(shù);Ct為導(dǎo)軌的阻尼系數(shù);l為滾珠絲杠導(dǎo)程;η為絲杠螺母副的傳動(dòng)效率;Kθ為聯(lián)軸器與滾珠絲杠的等效轉(zhuǎn)動(dòng)剛度;Ke為伺服系統(tǒng)等效軸向剛度。

將式(1)進(jìn)行拉普拉斯變換,與一典型控制系統(tǒng)相結(jié)合得到機(jī)電耦合的進(jìn)給系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 進(jìn)給系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖

如圖3所示,該伺服系統(tǒng)共有3個(gè)控制回路,即:位置環(huán)、速度環(huán)和電流控制環(huán)。其中位置環(huán)采用比例控制,位置增益Kpp;速度環(huán)采用比例-積分控制,比例增益為Kvp,積分增益Kvi,時(shí)間常數(shù)Ti;Kf為電機(jī)的扭轉(zhuǎn)系數(shù)。

根據(jù)梅森公式,輸入與輸出之間的傳遞函數(shù)為

(2)

其中:

a1=KeKfKθKvi；

a0=KeKfKppKθKvp；

b0=KeKfKθKvi；

b1=KeKfKθKvi+KeKfKppKθKvp；

b2=ClKeKθ+ClKeKfKvi+CtKfKθKvi+KeKfKθKvp+

CtKeKθR2+CtKeKfKviR2；

b3=ClCtKθ+JlKeKθ+JmKeKθ+ClCtKfKvi+

ClKeKfKvp+CtKfKθKvp+JlKeKfKvi+

KfKθKviMt+KeKθMtR2+CtKeKfKvpR2+

KeKfKviMtR2；

b4=ClJmKe+CtJlKθ+CtJmKθ+ClKθMt+ClCtKfKvp+

CtJlKfKvi+ClKfKviMt+JlKeKfKvp+KfKθKvpMt+

CtJmKeR2+KeKfKvpMtR2；

b5=JmKeMtR2+ClCtJm+JlJmKe+JlKθMt+

JmKθMt+CtJlKfKvp+ClKfKvpMt+JlKfKviMt；

b6=CtJlJm+ClJmMt+JlKfKvpMt；

b7=JlJmMt。

由于該系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng),輸入與偏差之間的傳遞函數(shù)為

(3)

1.2 等效剛度值計(jì)算

當(dāng)機(jī)床高速運(yùn)動(dòng)時(shí),進(jìn)給系統(tǒng)的剛度與阻尼值不斷改變,系統(tǒng)中的剛度和阻尼值可以用以下關(guān)于進(jìn)給信號(hào)的速度和加速度表示。

Kθ等于聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)剛度與滾珠絲杠扭轉(zhuǎn)剛度串聯(lián)，即

(4)

其中：

式中：lc為聯(lián)軸器長(zhǎng)度；Gc為聯(lián)軸器切變模量；Dc為聯(lián)軸器直徑；Gs為滾珠絲杠切邊模量；Ds為滾珠絲杠直徑。

Ke等于滾珠絲杠軸向剛度Ks,絲杠螺母副結(jié)合面處等效剛度Knut和絲杠軸承結(jié)合面處的等效剛度串聯(lián)Klb、Krb。

(5)

式中:E為彈性模型；L為滾珠絲杠安裝間距；Kh為類剛度系數(shù)；α為接觸角；φ為絲杠螺旋角；D0為滾珠直徑；i為單個(gè)螺母中滾珠圈數(shù)；P為滾珠絲杠預(yù)緊力；F為軸承預(yù)緊力；Z為軸承滾珠個(gè)數(shù)；β為軸承接觸角；N為單邊軸承個(gè)數(shù)。

1.3 等效阻尼值計(jì)算

Ct可采用在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)能量消耗相等的方法進(jìn)行求得[20]:

(6)

式中:μf為干摩擦因數(shù)；Sgn(rtre)為符號(hào)函數(shù)；ω為振動(dòng)圓頻率；A為振動(dòng)幅度值；μ為泊松比；E為彈性模量；R為導(dǎo)軌副單個(gè)滾珠半徑；Qi為單個(gè)滾珠的受力。

1.4 時(shí)變系統(tǒng)的建模求解方法

將式(4)～式(6)代入式(2)中,該系統(tǒng)是一個(gè)狀態(tài)連續(xù)時(shí)變系統(tǒng),可采用狀態(tài)空間方程進(jìn)行求解式(2),其時(shí)變微分方程為

(7)

將式(7)左邊保留微分方程輸出信號(hào)的高階項(xiàng)則有

(8)

基于狀態(tài)空間法選擇中間狀態(tài)變量:

(9)

那么可以得到對(duì)應(yīng)的一階微分方程組:

(10)

式(10)采用數(shù)值求解的方法比較困難,這里建立其微分方程的仿真模型如圖4所示,采用MATLAB里的Simulink仿真模塊進(jìn)行求解。

圖4 時(shí)變系統(tǒng)的仿真模型

2 仿真分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 仿真分析

圖5 臥式加工中心結(jié)構(gòu)示意圖

以某機(jī)床廠生產(chǎn)的THC6350IV雙轉(zhuǎn)臺(tái)臥式加工中心X軸傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象,分析在不同的進(jìn)給速度、加速度情況下,機(jī)床伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差變化規(guī)律。機(jī)床結(jié)構(gòu)示意圖如圖5所示。

X軸進(jìn)給機(jī)構(gòu)具體參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

當(dāng)正弦信號(hào)為r(t)=100sin(2πt),t∈[0,1],將表1中機(jī)床的數(shù)據(jù)代入相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算,得到等效剛度值在上述指令下隨時(shí)間的變化規(guī)律,如圖6所示。

圖6 等效剛度值隨時(shí)間變化規(guī)律

等效阻尼值在上述指令下隨時(shí)間的變化規(guī)律,如圖7所示。

圖7 等效阻尼值隨時(shí)間變化規(guī)律

進(jìn)給系統(tǒng)在上述指令下3個(gè)不同時(shí)間瞬時(shí)由于系統(tǒng)參數(shù)變化所導(dǎo)致的的頻率響應(yīng)變化,如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)頻率響應(yīng)變化

由圖8可以看出,在不同時(shí)刻下機(jī)床加減速造成進(jìn)給機(jī)構(gòu)系統(tǒng)剛度、阻尼改變,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能也隨之發(fā)生改變。若僅采用動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法獲得的剛度、阻尼值將不能反映機(jī)床機(jī)械系統(tǒng)的時(shí)變特性,靜態(tài)情況下建立的機(jī)床伺服系統(tǒng)誤差模型也不夠準(zhǔn)確。

運(yùn)用MATLAB軟件仿真圖4的時(shí)變特性模型,得到本文建立的模型伺服系統(tǒng)的時(shí)變動(dòng)態(tài)誤差輸出值和當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取固定值傳統(tǒng)伺服模型的誤差輸出值對(duì)比圖,如圖9所示。

圖9 伺服系統(tǒng)傳統(tǒng)模型輸出值與時(shí)變模型輸出值對(duì)比圖

由圖9可知,在大多數(shù)時(shí)刻基于時(shí)變特性的進(jìn)給軸伺服動(dòng)態(tài)誤差比傳統(tǒng)的伺服進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)誤差要大,因此考慮時(shí)變特性的進(jìn)給軸伺服動(dòng)態(tài)模型更能準(zhǔn)確的反應(yīng)機(jī)床高速運(yùn)動(dòng)中的伺服動(dòng)態(tài)誤差變化規(guī)律。

2.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性,采用球桿儀對(duì)五軸臥式加工中心XYB三軸聯(lián)動(dòng)進(jìn)行圓軌跡檢測(cè),研究不同進(jìn)給速度下變化對(duì)機(jī)床綜合誤差的影響規(guī)律。XYB三軸聯(lián)動(dòng)圓度誤差檢測(cè)原理如圖10所示。根據(jù)球桿儀自身的特點(diǎn),球桿儀高速檢測(cè)得到的誤差主要由機(jī)床各部件的幾何誤差和伺服系統(tǒng)的伺服動(dòng)態(tài)誤差兩部分組成。

圖10 XYB三軸聯(lián)動(dòng)綜合誤差檢測(cè)原理

試驗(yàn)裝置如圖11所示,球桿儀安裝在回轉(zhuǎn)工作臺(tái)上,A軸置于90°,XYB三軸聯(lián)動(dòng)走圓軌跡進(jìn)行綜合誤差的檢測(cè)。XY軸在不同的進(jìn)給速度下(100 mm/min、1 000 mm/min、3 000 mm/min、5 000 mm/min)配合B軸聯(lián)動(dòng)運(yùn)動(dòng)畫圓,球桿儀桿長(zhǎng)設(shè)置為100 mm。研究表明,機(jī)床低速運(yùn)轉(zhuǎn)下機(jī)床誤差主要表現(xiàn)為幾何誤差,因此在進(jìn)給率100 mm/min下采集每個(gè)軸的位置與編碼信息,計(jì)算機(jī)床的幾何誤差。

圖11 試驗(yàn)裝置

2.3 試驗(yàn)結(jié)果

圖12～圖14是XY軸進(jìn)給速度分別為1 000 mm/min、3 000 mm/min和5 000 mm/min時(shí),球桿儀檢測(cè)得到的圓軌跡結(jié)果圖。

圖12 速度為1 000 mm/min時(shí)圓軌跡圖

圖13 速度為3 000 mm/min時(shí)圓軌跡圖

圖14 速度為5 000 mm/min時(shí)圓軌跡圖

2.4 結(jié)果分析

由圖9可以看出,雖然基于時(shí)變特性的進(jìn)給軸伺服動(dòng)態(tài)誤差模型的動(dòng)態(tài)誤差與傳統(tǒng)的伺服進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)誤差變化趨勢(shì)一致,進(jìn)給速度增加,伺服動(dòng)態(tài)誤差變大,但是由于進(jìn)給系統(tǒng)的剛度,阻尼值每個(gè)時(shí)刻不斷改變,基于時(shí)變特性的進(jìn)給軸伺服動(dòng)態(tài)誤差在每個(gè)時(shí)刻均比傳統(tǒng)的伺服進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)誤差要大,僅僅考慮靜態(tài)情況下獲取系統(tǒng)參數(shù)的伺服動(dòng)態(tài)誤差模型將不再適用于高變速情況下機(jī)床伺服動(dòng)態(tài)誤差建模,而本文提出的基于時(shí)變特性的進(jìn)給軸伺服動(dòng)態(tài)誤差模型將更適用于高變速情況下的伺服動(dòng)態(tài)誤差建模。

由圖12可以看出,當(dāng)進(jìn)給速度為1 000 mm/min時(shí),球桿儀波動(dòng)軌跡幅度不是很大,誤差主要表現(xiàn)為機(jī)床的幾何誤差與伺服滯后誤差,與本文模型預(yù)測(cè)趨勢(shì)規(guī)律相一致。

由圖13和圖14可以看出,當(dāng)機(jī)床的進(jìn)給速度增大,球桿儀測(cè)量軌跡波動(dòng)變大。在機(jī)床幾何誤差高度低速變化不大的情況下,說明機(jī)床伺服動(dòng)態(tài)誤差不斷加大,主要表現(xiàn)為機(jī)床兩軸聯(lián)動(dòng)伺服系統(tǒng)不匹配、滯后和反向躍沖,再一次說明了文本預(yù)測(cè)模型可以很好的預(yù)測(cè)機(jī)床聯(lián)動(dòng)的綜合誤差變化規(guī)律。

綜上所述,本文提出對(duì)五軸臥式加工中心幾何誤差和時(shí)變特性的伺服動(dòng)態(tài)誤差綜合建模與檢測(cè)方法能夠很好的預(yù)測(cè)機(jī)床誤差在不同進(jìn)給速度下的變化趨勢(shì),為機(jī)床的實(shí)時(shí)補(bǔ)償策略提供一種思路,具有一定的適用性。

3 結(jié)論

本文建立了考慮機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)時(shí)變特性的傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)集中參數(shù)模型,仿真分析了速度,加速度改變情況下的機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)伺服動(dòng)態(tài)誤差的變化規(guī)律,并進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。仿真分析和實(shí)驗(yàn)分析都表明機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)再高速運(yùn)動(dòng)過程中存在時(shí)變特性,因此準(zhǔn)確地建立機(jī)床的時(shí)變特性進(jìn)給軸伺服系統(tǒng)模型具有很強(qiáng)的意義。

首先,基于時(shí)變特性的進(jìn)給軸伺服動(dòng)態(tài)誤差在某些時(shí)刻比傳統(tǒng)的伺服進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)誤差要大,提出的基于時(shí)變特性的進(jìn)給軸伺服動(dòng)態(tài)誤差模型將更適用于高變速情況下的伺服動(dòng)態(tài)誤差建模。

其次,本文建立的機(jī)床時(shí)變特性模型能夠很好的預(yù)測(cè)機(jī)床在不同進(jìn)給速度下的變化規(guī)律,可以為機(jī)床的實(shí)時(shí)補(bǔ)償策略奠定一定的基礎(chǔ)。

最后,機(jī)床的進(jìn)給速度越大,球桿儀測(cè)量軌跡波動(dòng)變化越大,說明機(jī)床伺服動(dòng)態(tài)誤差不斷加大,也說明機(jī)床高速運(yùn)動(dòng)下的誤差表現(xiàn)形式主要為伺服動(dòng)態(tài)誤差,因此需要準(zhǔn)確的建立機(jī)床伺服動(dòng)態(tài)誤差模型。