深度剖析粒子流背景類試題

徐華兵

(浙江省金華第一中學(xué))

高中物理中常常出現(xiàn)以氣體流、液體流、粒子流和不能看成質(zhì)點的繩子等為背景的試題，這類試題也被統(tǒng)稱作粒子流背景類試題.這類試題背景常取材于生活實際，能很好地考查高中物理力學(xué)主干知識.而解決這類問題需要學(xué)生合理選取研究對象，構(gòu)建物理模型——柱體模型，能很好地考查學(xué)生模型建構(gòu)、科學(xué)推理等關(guān)鍵能力，深受命題者的青睞.

筆者在講授粒子流背景類試題時發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在用動量定理和動能定理兩種不同的方法求解時，結(jié)果有細(xì)微差別，學(xué)生感覺兩種方法求解都是正確的，而結(jié)果卻不同，甚是疑惑，甚至懷疑動量定理和動能定理解決粒子流背景類試題方法的自洽性，本文擬對此進行深入剖析.

1 粒子流背景類試題

由于粒子流分布在整個空間，所以處理粒子流背景類試題時研究對象的選取尤為重要，解題中常采用微元思想建立“柱體模型”，選取任意Δt時間段內(nèi)的“粒子流”為研究對象.筆者根據(jù)粒子流是否運動將粒子流背景類試題分為兩類——靜止粒子流背景類試題和運動粒子流背景類試題.

1.1 靜止粒子流背景類試題

靜止粒子流是指粒子流均勻靜止分布在空間中，即粒子流的初速度為零.當(dāng)外界物體進入粒子流空間中時，與粒子流發(fā)生相互作用.由于外界物體對粒子流有力的作用，粒子流由靜止開始運動，動量、能量發(fā)生變化.

例1宇宙飛船在飛行過程中有很多技術(shù)問題需要解決，其中之一就是當(dāng)飛船進入宇宙微粒塵區(qū)時如何保持速度不變的問題.假設(shè)一宇宙飛船以速度v進入密度為ρ的微粒塵區(qū)，飛船垂直于運動方向上的最大截面積為S.且認(rèn)為微粒與飛船相碰后都附著在飛船上，則飛船要保持速度v不變，所需推力為多大?

分析與求解宇宙飛船在前進空間區(qū)域中遇到微粒塵區(qū)，微粒塵埃吸附在宇宙飛船上.被吸附在飛船上的微粒塵埃具有和宇宙飛船相同的速度.沿宇宙飛船運動方向建立“柱體模型”(如圖1).任取一極小時間段Δt，則在此Δt時間段內(nèi)有體積為S·v·Δt柱體內(nèi)的微粒塵埃吸附在宇宙飛船上.要求解微粒塵埃與宇宙飛船間的作用力F，可選取極小段時間內(nèi)與宇宙飛船發(fā)生相互作用的微粒塵埃柱體作為研究對象，應(yīng)用動量定理或動能定理求解.

圖1

方法1動量定理法

Δt時間段內(nèi)有體積為S·v·Δt柱體內(nèi)的微粒塵埃吸附在宇宙飛船上，其對應(yīng)的質(zhì)量Δm＝ρ·S·v·Δt，對極小段柱體內(nèi)的微粒塵埃應(yīng)用動量定理有F·Δt＝Δm·v＝ρ·S·v·Δt·v，解得F＝ρSv2.

方法2動能定理法

Δt時間內(nèi)有體積為S·v·Δt的微粒塵埃由初速度為0變?yōu)樗俣葀，所以Δt時間內(nèi)，此柱體內(nèi)的微粒塵埃位移為.對微粒塵埃應(yīng)用動能定理有v2，將位移Δx值代入即得F＝ρSv2.

很多學(xué)生從動能定理角度求解作用力F時，誤認(rèn)為在微小時間段Δt內(nèi)柱體內(nèi)的微粒塵埃發(fā)生的位移Δx＝v·Δt，從而利用動能定理F·計算出的作用力為，與應(yīng)用動量定理法求解的作用力F相差一個系數(shù).此種解法忽略了微粒塵埃與宇宙飛船相互作用時所發(fā)生的相對運動，微粒塵埃的速度從0變?yōu)関，而宇宙飛船一直勻速直線運動，所以存在相對位移.進一步分析知Δt時間內(nèi)微粒塵埃與宇宙飛船的相對位移x相＝，宇宙飛船與微粒塵埃因相互作用而損失的機械能，即產(chǎn)生的熱量Q＝F·x相＝.

變式汽車高速行駛時，空氣阻力不能忽略，將汽車簡化為橫截面積約為1 m2的長方體，并以此模型估算汽車以60km·h－1行駛時為克服空氣阻力所增加的功率.已知空氣密度ρ＝1.3kg·m－3.

分析與求解已知汽車的運行速度，要求解汽車因克服空氣阻力所增加的功率，可先利用動量定理求出汽車與空氣(粒子流連續(xù)體)之間的作用力，再利用功率計算式P＝F·v計算因克服空氣阻力所增加的功率.也可從能量守恒角度分析，先計算極小段時間Δt內(nèi)空氣(粒子流連續(xù)體)獲得的動能Ek和汽車與空氣(粒子流連續(xù)體)相互作用所產(chǎn)生的熱能Q(或系統(tǒng)損失的機械能)，再利用公式計算所增加的功率.

方法1動量定理法

Δt時間內(nèi)有體積為S·v·Δt柱體內(nèi)的空氣粒子流與汽車發(fā)生相互作用，其對應(yīng)的空氣粒子流質(zhì)量Δm＝ρ·S·v·Δt，對極小段空氣粒子流柱體應(yīng)用動量定理有F·Δt＝Δm·v，解得F＝ρSv2.克服空氣阻力所增加功率P＝F·v＝ρSv3＝6019 W.

方法2能量法

Δt時間內(nèi)有體積為S·v·Δt柱體內(nèi)的空氣與汽車發(fā)生相互作用，其對應(yīng)的質(zhì)量Δm＝ρ·S·v·Δt，空氣柱獲得的動能

空氣粒子流速度從0增加到與汽車相同的速度v，空氣粒子流與汽車間因相對運動產(chǎn)生熱量Q ＝Ek＝，增加的功率ρSv3＝6019 W.

汽車與靜止的空氣粒子流相互作用，空氣粒子流與汽車之間發(fā)生相對滑動，有能量損失，且損失的能量剛好等于空氣粒子流獲得的動能.

1.2 運動粒子流背景類試題

運動粒子流是指粒子流以某一固定速度在空間中運動.當(dāng)外界物體進入運動粒子流所處空間時，由于外界物體速度與運動粒子流速度不同，故外界物體與運動粒子流間有力的作用.

例2一艘帆船在靜水中由于風(fēng)力的推動做勻速直線運動，帆面的面積為S，風(fēng)速為v1，船速為v2(v2＜v1)，空氣密度為ρ，帆船在勻速前進時帆面受到的平均風(fēng)力大小為多少? (設(shè)空氣碰到帆后隨帆一起運動)

分析與求解帆船在運動的同時，空氣粒子流也在運動，由于空氣粒子流的速度比船向前運動的速度大，所以空氣粒子流對船帆面有沿運動方向力的作用，此作用力為帆船前進的動力.若取前進的帆船作為參考系，則空氣粒子流相對帆船的初速度v0＝v1－v2，空氣粒子流與帆船作用后的速度為0.利用微元法建立柱體模型如圖2所示，取一極小時間段Δt，在Δt時間內(nèi)有ΔV＝S·(v1－v2)·Δt體積內(nèi)空氣粒子流與帆船發(fā)生作用，對應(yīng)空氣粒子流柱體質(zhì)量Δm＝ρ·S(v1－v2)·Δt.對圓柱體內(nèi)的空氣粒子流柱體應(yīng)用動量定理有－F·Δt＝0－Δm·(v1－v2)，解得空氣粒子流對帆船的作用力F′＝F＝ρS(v1－v2)2.

圖2

帆船在運動，空氣粒子流也在運動，兩個物體都在運動給求解帶來了麻煩，若取前進中的帆船為參考系，那么在該參考系中帆船可看作不動，空氣粒子流相對于帆船運動，規(guī)律較為簡單.

變式一帆船在靜水中順風(fēng)飄行，風(fēng)速為v0，求船速多大時，風(fēng)供給帆船的功率最大? (設(shè)帆船帆面是完全彈性面，且與風(fēng)向垂直，面積為S).

分析與求解空氣粒子流(風(fēng))在運動，帆船也在運動，兩個物體都運動，較為復(fù)雜，若取帆船為參考系，則化兩個物體運動為一個物體運動，求解較為方便.設(shè)帆船行駛速度為v，取帆船為參考系，則風(fēng)以(v0－v)的初速度撞擊帆船并原速率反彈.取一極小時間Δt，則此Δt時間內(nèi)與帆船發(fā)生作用的空氣粒子流質(zhì)量Δm＝ρ·S(v0－v)·Δt.對風(fēng)柱體應(yīng)用動量定理有F·Δt＝Δm·2(v0－v)，代入數(shù)據(jù)得風(fēng)與帆船間的作用力F＝2ρS(v0－v)2.

地面系中，風(fēng)對帆船的功率

由于帆船帆面是完全彈性面，所以風(fēng)與帆船帆面相互作用時為彈性碰撞，無能量損失.極小時間Δt內(nèi)風(fēng)(空氣粒子流)損失的動能即為帆船獲得的能量，故可從能量的角度求解

2 類粒子流——軟繩背景類試題

軟繩可看作一種特殊的粒子流，運動(或靜止)部分質(zhì)量可以連續(xù)變化，具有粒子流的性質(zhì)，只不過不同段繩與繩之間有力的作用.軟繩運動狀態(tài)的改變需要力的作用，軟繩動量、能量會發(fā)生變化.根據(jù)軟繩類粒子流的運動類型不同，可將軟繩類粒子流背景類試題分為勻速運動軟繩類試題和勻變速運動軟繩類試題.

2.1 勻速運動軟繩類試題

勻速運動軟繩類試題是指軟繩在外界力的作用下做勻速運動，由于軟繩運動部分質(zhì)量不斷增加，軟繩具有的動量、能量不斷變化.一般采用微元法求解軟繩內(nèi)部運動段和靜止段間的作用力，即選取一段極小時間Δt，則有長度Δl＝v·Δt段軟繩運動狀態(tài)發(fā)生改變，可對這一極小段軟繩應(yīng)用動量定理求作用力.

例3如圖3 所示，長度為l的柔軟繩堆放在光滑的水平面上，其線密度為λ，現(xiàn)用水平力拉繩的一端，使之做速度為v的勻速直線運動.已知t＝0時刻拉出的繩子長度l0＝0，求:

圖3

(1)所需的拉力F;

(2)從初始時刻到將整條繩子拉動的過程中，拉力做的功W.

分析與求解(1)在水平拉力F的作用下，軟繩沿水平方向展開.任意時刻取極小時間段Δt，由于繩子一端做勻速直線運動，有長度Δl＝v·Δt段繩子由靜止變?yōu)檫\動.對這極小段繩子應(yīng)用動量定理有F·Δt＝Δm·v＝λv·Δt·v－0，解得F＝λv2.

(2)據(jù)上述求解知，水平拉力F為恒力，拉力F做的功即為恒力做的功，則有WF＝F·l＝λv2·l.

軟繩在拉力F的作用下做勻速運動，運動段軟繩的長度、質(zhì)量不斷改變，屬于變質(zhì)量問題.直接對已經(jīng)運動的軟繩不好分析，此時可應(yīng)用微元法，任取極小時間段Δt，選取即將開始運動的Δl＝v·Δt段軟繩作為研究對象進行分析.

變式一段單位長度質(zhì)量為λ的細(xì)繩，繞放在光滑水平面上(不交叉，不重疊)，用力以速度v勻速向上提升繩的一端，如圖4 所示.求:當(dāng)繩被提升高度為y時作用在繩端的作用力有多大?

圖4

分析與求解要求解作用在繩端的作用力F，此作用力F的作用效果一部分用來克服已經(jīng)變?yōu)閯蛩僦本€運動段繩子的重力，一部分用來克服運動段繩和靜止段繩間的沖擊力.任取極小段時間Δt，此時間內(nèi)有Δy＝v·Δt段繩子即將開始運動.對Δy段繩子應(yīng)用動量定理有F沖·Δt＝Δm·v－0，得F沖＝λv2，對運動段繩分析有F＝F沖＋λy·g＝λv2＋λy·g.

軟繩被勻速提起時，拉力F一方面要克服豎直繩的重力，另一方面克服沖擊力，用微元法對微小段繩應(yīng)用動量定理求沖擊力大小.本題也可從能量角度求解，由于繩子從水平地面上速度為0變?yōu)樨Q直方向上速度為v，繩子在拉直繃緊過程中有能量損失.

2.2 勻變速運動軟繩類試題

勻變速運動軟繩類試題是指軟繩在外界力的作用下做勻變速直線運動.由于軟繩做勻變速直線運動，所以運動段軟繩的質(zhì)量、動量和能量發(fā)生變化.求解這類問題時一般也采用微元法，選取運動狀態(tài)即將發(fā)生改變的極小段軟繩進行分析.

例4一質(zhì)量為m、長為l的均勻軟繩自由懸垂.下端恰與一臺秤秤盤接觸，某時刻放開軟繩上端，求臺秤的最大讀數(shù).

分析與求解軟繩釋放后做自由落體運動，任取t時刻落到秤盤上靜止軟繩長x，則此時豎直軟繩下落的距離為x，速度.軟繩對臺秤的壓力應(yīng)包括兩部分，軟繩下落對臺秤的沖擊力和靜止在臺秤上的軟繩對臺秤的壓力，如圖5所示.利用微元法求沖擊力，在任意t時刻取極小時間段Δt，則在此時間段內(nèi)有質(zhì)量段繩子從速度v變?yōu)?.對此極小段繩子應(yīng)用動量定理有

圖5

用微元法對極小段軟繩應(yīng)用動量定理求沖擊力時，由于沖擊力遠遠大于此極小段軟繩的重力，故相對沖擊力沖量而言，極小段軟繩所受重力沖量可忽略不計.

變式如圖6所示，利用自動稱米機稱米，買者認(rèn)為，因為米落在容器中時有向下的沖力，造成讀數(shù)偏大，因而不劃算.賣者認(rèn)為，當(dāng)讀數(shù)滿足需要時，自動裝置立即切斷米流，尚有一些米在空中，這些米都是多給買者的.請問自動稱米機到底準(zhǔn)不準(zhǔn)?

圖6

分析與求解自動稱米機到底準(zhǔn)不準(zhǔn)關(guān)鍵取決于切斷開關(guān)時米流對臺秤的沖擊力大小與空中米流重力的大小關(guān)系，若米流對臺秤沖擊力大小與空中米流重力大小相等，則自動稱米機準(zhǔn)，否則不準(zhǔn).利用微元法選取一段極小時間Δt，則Δt時間內(nèi)落入臺秤的米流質(zhì)量Δm＝m0·Δt，m0為單位時間從自動稱米機流出的米的質(zhì)量.對此極小段米流應(yīng)用動量定理有－F·Δt＝0－Δm·v，解得米流對臺秤沖擊力F＝;空中米流重力

經(jīng)分析知米流對臺秤沖擊力與空中米流重力剛好相等，所以自動稱米機是準(zhǔn)確的.

來自自動稱米機的米流可以看作類勻變速運動軟繩類粒子流.求解米流對臺秤的沖擊力時，仍可采用求解軟繩內(nèi)沖擊力的方法.

以粒子流為背景的試題由于能很好地考查高中物理力學(xué)部分動量定理和動能定理知識而深受命題者的青睞.準(zhǔn)確求解這類試題要求學(xué)生能從抽象的物理情境中建立物理模型.一般先用微元思想，選取一段極小時間，建立一個微小的“柱體模型”，再對已建立的柱體模型應(yīng)用動力學(xué)規(guī)律求解.

(完)