走出復(fù)數(shù)問題的幾個(gè)誤區(qū)

趙久果

(山東省鄒平市第一中學(xué))

數(shù)系擴(kuò)充后,有關(guān)數(shù)的一些難以解決的問題得到了解決,如負(fù)數(shù)可以開方,任何一元二次方程在復(fù)數(shù)域上有解.但我們也要看到新概念的完善過程并非一帆風(fēng)順,實(shí)數(shù)內(nèi)的一些運(yùn)算規(guī)則有些仍可執(zhí)行,有些卻已被打破.因此,我們在求解復(fù)數(shù)問題時(shí)必須“提高警惕”,才能“走出誤區(qū)”.

1 混淆復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的擴(kuò)充,虛數(shù)和實(shí)數(shù)都是復(fù)數(shù)的組成部分,純虛數(shù)隸屬虛數(shù),它的虛部不可為零.

例1若復(fù)數(shù)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i是純虛數(shù),則m的值為________.

錯(cuò)解由lg(m2－2m－2)＝0,得m2－2m－2＝1,則m＝3或－1.

綜上,m＝3.

復(fù)數(shù)是數(shù)的大家庭,其成員有實(shí)數(shù)與虛數(shù),而虛數(shù)又含有純虛數(shù),純虛數(shù)的實(shí)部一定是零,實(shí)部為零的數(shù)不一定是純虛數(shù),如實(shí)數(shù)0.

2 忽視兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件

由復(fù)數(shù)相等,可以得到方程組,進(jìn)而將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化,但解題時(shí)必須注意自變量或參數(shù)的屬性.

例2若x∈C,則滿足(x2－4x＋3)＋(x2－6x＋5)i＝0的x的值為_________.

綜上,x＝1.

剖析在兩個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi,c＋di相等的充要條件中,前提條件是a,b,c,d∈R,即當(dāng)a,b,c,d∈R 時(shí),a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.這里的x2－4x＋3和x2－6x＋5不一定是復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,因?yàn)檫@里的x∈C,故本題應(yīng)采用類似于一元二次方程的因式分解法來處理.

正解由(x2－4x＋3)＋(x2－6x＋5)i＝0,可得(x－1)[(x－3)＋(x－5)i]＝0,所以x＝1 或(x－3)＋(x－5)i＝0,由(x－3)＋(x－5)i＝0,可得(1＋i)x＝3＋5i,所以x＝＝4＋i.

綜上,x＝1或4＋i.

在明確題目中的未知數(shù)是實(shí)數(shù)時(shí),可采用復(fù)數(shù)相等的充要條件建立方程組來解未知數(shù);當(dāng)未知數(shù)的范圍不明確時(shí),將未知數(shù)設(shè)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件解之.

3 忽視“xt＝(xm)n?m·n＝t”成立的條件

實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算法則有時(shí)可以移植到復(fù)數(shù)的計(jì)算中,有時(shí)卻不行,必須注意相關(guān)條件.

剖析在實(shí)數(shù)集中,對任意x∈R(m,n∈R),有xmn＝(xm)n;而在復(fù)數(shù)集中,僅對m,n∈N*有xmn＝(xm)n.此錯(cuò)解盲目地將實(shí)數(shù)集中的指數(shù)運(yùn)算法則直接推廣到了復(fù)數(shù)集.

復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則有區(qū)別,不可盲目套用.

4 忽視“x2＝|x|2”的適用范圍

當(dāng)x∈R時(shí),x2＝|x|2成立,當(dāng)x∈C時(shí),它就不一定成立了.所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的結(jié)論不可盲目地搬到復(fù)數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)算.

例4方程x2－5|x|＋6＝0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解的個(gè)數(shù)為_________.

錯(cuò)解由x2－5|x|＋6＝0,得(|x|－2)(|x|－3)＝0,故|x|＝2或|x|＝3,從而x＝±2或x＝±3,故解的個(gè)數(shù)為4.

剖析本題中的未知數(shù)并不是實(shí)數(shù),但上述解答把它當(dāng)成實(shí)數(shù)來解.把實(shí)數(shù)的絕對值與復(fù)數(shù)的?；鞛橐徽?事實(shí)上,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)x2＝|x|2是不成立的.因?yàn)樵撌阶髠?cè)依然是復(fù)數(shù),而右側(cè)一定是實(shí)數(shù).

正解設(shè)x＝a＋bi(a,b∈R),那么原方程即為(a＋bi)2－6＝0,得

綜上,所求方程的解的個(gè)數(shù)為6.

當(dāng)x為虛數(shù)時(shí),x2＝|x|2不成立,因?yàn)檫@時(shí)x2仍可能是虛數(shù),而|x|2是實(shí)數(shù).

5 忽視兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小的條件

當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部不為0時(shí)無法比較大小,只有當(dāng)它是實(shí)數(shù)時(shí)才可以比較大小.所以復(fù)數(shù)可以比較大小的前提條件是它們必須是實(shí)數(shù).

例5求使x＋2＋(x＋y)i＞y－5＋(x＋2y－3)i成立的實(shí)數(shù)x,y的取值.

錯(cuò)解1復(fù)數(shù)無法比較大小,所以這是一道無法解答的錯(cuò)題.

錯(cuò)解2由得y＜3,且x＋7＞y.

剖析本題的隱含條件是不等式的左、右兩側(cè)都是實(shí)數(shù).錯(cuò)解1沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)隱含條件,而錯(cuò)解2更荒唐地認(rèn)為“實(shí)部與虛部都分別大的復(fù)數(shù)較大”.

正解由題意知x＋2＋(x＋y)i與y－5＋(x＋2y－3)i 均為實(shí)數(shù),故可得解得

復(fù)數(shù)固然無法比較大小,但實(shí)數(shù)可以比較大小,復(fù)數(shù)的?？梢员容^大小.對于這類問題必須認(rèn)真審題,發(fā)現(xiàn)隱含條件.

6 忽略判別式法判斷根的前提

在處理一元二次方程根的問題時(shí),判別式法只適用于實(shí)數(shù)范圍.當(dāng)方程中出現(xiàn)虛數(shù)時(shí),這個(gè)方法失效.

例6求實(shí)數(shù)k,使方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0至少有一個(gè)實(shí)根.

剖析如果一個(gè)一元二次方程的系數(shù)是實(shí)數(shù),那么可以采用判別式法來判定它的根的情形,可本題是一個(gè)復(fù)系數(shù)的一元二次方程,這時(shí)判別式法就“失靈”了,我們必須嚴(yán)格遵循復(fù)數(shù)的“游戲規(guī)則”.

對于復(fù)數(shù)集上的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否存在實(shí)數(shù)根,Δ＝b2－4ac≥0,既不是充分條件,也不是必要條件,判別式法僅在實(shí)數(shù)集內(nèi)有效,對于復(fù)系數(shù)一元二次方程問題,一般可將未知數(shù)設(shè)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,然后利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為方程組來解.

從以上錯(cuò)解可以看出,求解復(fù)數(shù)問題的最大誤區(qū)就是把它當(dāng)成實(shí)數(shù)問題來處理.因此,我們解復(fù)數(shù)問題時(shí)一定要注意它與實(shí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系,解有關(guān)復(fù)數(shù)問題時(shí)一定要嚴(yán)格遵循復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,有時(shí)還可以結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義來分析問題,從而達(dá)到解決問題的目的.

(完)