一次從三角問題到建模應(yīng)用的發(fā)散型探究*

南京師范大學(xué)附屬中學(xué)(210003)孫風(fēng)建 管慧慧

實際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生疲于做題卻難做到對問題深入理解,遇到復(fù)雜情境容易重新陷入困境.如果能見“樹木”而想到“森林”,形成發(fā)散性探究,則容易幫助學(xué)生從知識綜合認(rèn)知的高度推進(jìn)對多個子問題的深入思考,建立數(shù)學(xué)整體觀,達(dá)成“一通”則“百通”的學(xué)習(xí)成果.

一、問題提出

二、問題驅(qū)動,形成初次探究

(一)以“形”示“數(shù)”,平幾視角——用幾何知識解決代數(shù)問題

(二)靜中有動,“軌跡”視角——對原問題幾何意義的探究

三、形成變題,進(jìn)一步發(fā)散思考

(一)問題延展,“一般化”視角

(二)自主建構(gòu),“創(chuàng)造性”視角

四、聯(lián)系實際經(jīng)驗,形成立體理解

學(xué)生沿著這個思維路徑繼續(xù)深入思考,最終抽象出了這個問題的潛在數(shù)學(xué)模型,由此發(fā)現(xiàn)最值問題、軌跡問題,對問題的理解再上一個新臺階.

(一)情境激活,鏈接“最短路徑”問題

情境鏈接如圖7,某城市有一塊半徑為1(單位:百米)的圓形景觀,圓心為C,有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路.最初規(guī)劃在拐角處(圖中陰影部分)只有一塊綠化地,后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路,便于市民快捷地往返兩條道路.規(guī)劃部門采納了此建議,決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.問:A,B兩點應(yīng)選在何處可使得小道AB最短?

本解法充分利用幾何背景,選擇角作為變量,建立了相對簡單的基本不等式模型,如果沒有幾何背景,利用解析法,讀者可以自行嘗試,從而更好地體會幾何法的優(yōu)點.

(二)數(shù)學(xué)模型建構(gòu),實現(xiàn)高階應(yīng)用

五、結(jié)束語

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)不能依靠繁瑣、割裂和雜亂堆砌的知識,更不能依靠那些追求細(xì)枝末節(jié)、訓(xùn)練解題技巧的題庫,而是要引導(dǎo)學(xué)生理解核心思想,這些核心思想不僅對后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是關(guān)鍵的,對形成理性思維、科學(xué)精神等也至關(guān)重要[1].探究教學(xué)應(yīng)始終堅持學(xué)生的主體地位,教師的作用在于“引領(lǐng)”, 應(yīng)少“告知”, 盡量將“表現(xiàn)”的機(jī)會讓給學(xué)生[2],讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識“生長”的過程,自主將已有概念與探究主題建立聯(lián)系.

本次探究,教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生思考,學(xué)生從三角知識的運(yùn)用入手,沿著“角邊關(guān)系的轉(zhuǎn)化、幾何背景、點的軌跡、最值問題、解析幾何鏈接、實際模型構(gòu)建”這一核心路徑,讓學(xué)生充分體會了歸納、推理、抽象和建模的核心方法, 注重“發(fā)現(xiàn)與已知關(guān)聯(lián)緊密的本質(zhì)模型”這一核心思想,完成了一次發(fā)散性探究,對問題形成了立體認(rèn)知,有利于直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的發(fā)展.