例談指對型量大小比較的思維導(dǎo)向

安徽省濉溪縣第二中學(235100)張靜 祝峰

1 問題提出

指對數(shù)運算與指對函數(shù)相互關(guān)聯(lián),是高中數(shù)學的基本知識,亦是高考必考知識點.指對型量大小比較問題能靈活地考查學生指對數(shù)運算、指對函數(shù)性質(zhì)的掌握程度.涉及指數(shù)運算的法則和性質(zhì)、對數(shù)的概念、指對式互化、對數(shù)運算法則和性質(zhì)、換底公式、指對函數(shù)圖象和性質(zhì)等必備知識;以及這些知識所蘊含的觀察模式、驗證猜想、估計結(jié)果、模型設(shè)計、抽象化、最優(yōu)化、邏輯分析、數(shù)據(jù)推斷、符號運用等數(shù)學特有的思維方法.轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、分類整合等數(shù)學思想常貫穿于此類問題求解的始終,對學生提出問題、分析問題、解決問題的能力要求較高.高考中,此類問題常以選擇題形式呈現(xiàn),合理的思維導(dǎo)向是求解關(guān)鍵.下文以近幾年高考試題為例,呈現(xiàn)這類問題求解的幾種基本思維導(dǎo)向,供參考.

2 思維導(dǎo)向及實例舉隅

2.1 臨界值分段

2.2 特值檢驗

評析特值檢驗是歸納思想的起始步驟,數(shù)學抽象需建立在對一系列特殊情形對比、分析和概括的基礎(chǔ)之上.所以,特值檢驗不僅在這類問題的求解中有直接應(yīng)用,也是數(shù)學問題求解的一般觀念,即特例歸納、猜想結(jié)論、演繹證明的思維過程.

大小關(guān)系常與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān),亦可構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)單調(diào)性比較大小,下文會作詳細分析.

2.3 奇偶性轉(zhuǎn)化

利用函數(shù)的奇偶性,把不在一個單調(diào)區(qū)間上的比較大小問題,轉(zhuǎn)化到函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間上,再結(jié)合相關(guān)函數(shù)單調(diào)性,完成指對型量大小的比較,集中體現(xiàn)了函數(shù)奇偶性、對稱性單調(diào)性之間的關(guān)聯(lián)及應(yīng)用.

2.4 比較法

2.5 幾何直觀

2.6 構(gòu)造函數(shù)

3 結(jié)語

“臨界值分段、特值檢驗、奇偶性轉(zhuǎn)化、作差作商比較、幾何直觀、構(gòu)造函數(shù)”是指對型量大小比較問題常見的六種思維導(dǎo)向.具體問題的求解中,不能厚此薄彼,需全方位、多角度分析思考,恰當選擇這些思維導(dǎo)向中一種或幾種來解決問題.

上述實例求解和思維導(dǎo)向總結(jié)的根本目的是:鞏固基本概念、提升思維能力、發(fā)展思維品質(zhì).實際教學中應(yīng)引導(dǎo)學生養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問題的習慣,更應(yīng)努力超越這些具體問題,體會其在發(fā)展學生思維的靈活性與深刻性、自覺性與整體性方面的意義.僅聚焦“題型+技巧”,忽視相關(guān)概念所反映的數(shù)學基本性質(zhì),淡化數(shù)學概念所蘊含數(shù)學思想和一般觀念的舍本逐末之舉,無法達成解題的真正目的.