在“分?jǐn)?shù)的意義”復(fù)習(xí)課中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

江蘇揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校（225100） 許明堅(jiān)

課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的要求，不僅對新授課管用，對復(fù)習(xí)課也同樣有用。即便是在復(fù)習(xí)課中，教師也要將此要求堅(jiān)決貫徹到底，不能打折扣。筆者仔細(xì)揣摩和研究了這個(gè)教學(xué)要求，結(jié)合復(fù)習(xí)課“梳理全局”“綜合應(yīng)用”“延展提高”三部曲，以“分?jǐn)?shù)的意義”復(fù)習(xí)課為例，論述數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的三大策略。

一、連：梳理全局，前后貫通，夯實(shí)基本面

【片段一】

師：本學(xué)期我們進(jìn)一步認(rèn)識了分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在再度與分?jǐn)?shù)相逢，你有哪些新的收獲？

（學(xué)生討論分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)的分類、分?jǐn)?shù)單位的區(qū)別、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系）

師：咱們先從分?jǐn)?shù)的意義切入，請講一講分?jǐn)?shù)的基本意義。

（教師板書：將單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)）

師（出示課后練習(xí)第1題，見圖1）：分?jǐn)?shù)不但可以用圖形的涂色部分來表示，還可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示。你能將這些分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類嗎？

圖1

生1：我將這些分?jǐn)?shù)分別與單位“1”比較，將分?jǐn)?shù)劃分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)兩大類。真分?jǐn)?shù)就是分子小于分母的分?jǐn)?shù)，其分?jǐn)?shù)值小于1，反映到數(shù)軸上就排布在0 和1 之間，即真分?jǐn)?shù)都比1 ??；假分?jǐn)?shù)的分子大于或等于分母，假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

（教師板書：真分?jǐn)?shù)＜1≤假分?jǐn)?shù)）

生2：像這樣的假分?jǐn)?shù)，可以按照一定的方法將它化成整數(shù)或者帶分?jǐn)?shù)，然后在數(shù)軸上找出它的位置。

師：這些分?jǐn)?shù)的數(shù)值各不相同，那它們的分?jǐn)?shù)單位是一致的嗎？請說一說它們的分?jǐn)?shù)單位分別是什么。為何有的分?jǐn)?shù)單位相同，有的不同？到底是什么決定了分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位？如果把單位“1”平均分成n份，那么無論取多少份，所得到的分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位都是分?jǐn)?shù)還能用其他得到的數(shù)來表示嗎？

生3：可以，用分?jǐn)?shù)的分子除以分母，計(jì)算出結(jié)果，就能得到相應(yīng)的小數(shù)。

師：剛才你們運(yùn)用除法將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)，那分?jǐn)?shù)與除法之間有什么關(guān)系？［板書：現(xiàn)在，數(shù)軸上既有分?jǐn)?shù)也有整數(shù)和小數(shù)，這些數(shù)都有自己的計(jì)數(shù)單位，請你們說一說1.25、2.5、3 的計(jì)數(shù)單位分別是什么，并在數(shù)軸上標(biāo)出它們的位置。（學(xué)生給出的答案見圖2）

圖2

生4：數(shù)軸上的同一個(gè)點(diǎn)，如果用不同形式的數(shù)表示，那么這個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)單位也不同。

【反思】

蘇教版數(shù)學(xué)教材的分?jǐn)?shù)內(nèi)容分為三大塊：第一塊是從認(rèn)識物品開始，給出一個(gè)物品或圖形，通過切分一個(gè)物品或圖形，分出幾分之一和幾分之幾；第二塊是認(rèn)識一些物品的集合體，也就是從一些物品中分出幾分之一和幾分之幾；第三塊是認(rèn)識分?jǐn)?shù)的算術(shù)意義，識別分?jǐn)?shù)單位，區(qū)別真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，以及理解和掌握分?jǐn)?shù)和除法的運(yùn)算關(guān)系，在此基礎(chǔ)上學(xué)會轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)和小數(shù)。筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)遵循了這一編排邏輯，先引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立重構(gòu)知識體系，再結(jié)合教材上的配套練習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固有關(guān)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)知識。

分?jǐn)?shù)具有多重意義，在不同的學(xué)習(xí)階段，學(xué)生需要掌握的分?jǐn)?shù)意義是不同的。分?jǐn)?shù)最原始的定義是對單位“1”的平均分，即便在這種定義下，學(xué)生對分?jǐn)?shù)的書寫、表達(dá)還是有一些困惑，突出表現(xiàn)在對假分?jǐn)?shù)的理解上。學(xué)生要想突破假分?jǐn)?shù)這個(gè)難點(diǎn)，必須借助分?jǐn)?shù)的第二重意義，即分?jǐn)?shù)可以用來表示除法算式的商。在被除數(shù)大于除數(shù)的一般情況下，如果得不出整數(shù)商，就可以用一個(gè)假分?jǐn)?shù)來表示：被除數(shù)作為分子，除數(shù)作為分母。從這個(gè)角度理解，假分?jǐn)?shù)的存在是合情合理的。同時(shí)，對分?jǐn)?shù)單位的梳理可以讓假分?jǐn)?shù)獲得合理解釋。

二、練：綜合應(yīng)用，查漏補(bǔ)缺，形成基本技能

【片段二】

師：前面我們從分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位、分?jǐn)?shù)的分類、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系四個(gè)方面系統(tǒng)梳理了分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識，下面我們就學(xué)以致用。

把（ ）看作單位“1”，將其平均分成（ ）份，（ ）占了（ ）份。這個(gè)分?jǐn)?shù)本身就暗含了一個(gè)除法運(yùn)算的結(jié)果在里面，，如果將（ ）看作4份，那么（ ）就有5份。

練習(xí)2.大伯開車帶著陳鵬回家過年，在高速路上因超速受到處罰，大伯的平均車速是最高時(shí)速的這里的有什么含義？

把（ ）看作單位“1”，將其平均分成（ ）份，（ ）占了（ ）份。改寫成除法算式就是5÷其中（ ）是5 份，（ ）是4 份。如果該路段限速80千米/時(shí)，那么大伯的駕車速度是多少呢？

練習(xí)3.如果把武漢到中轉(zhuǎn)站杭州的一條線路平均分成4 份，把始發(fā)站武漢到終點(diǎn)站合肥的一段路平均分成5份，你能用來編一道題嗎？

【反思】

綜合練習(xí)板塊，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)題組，密切結(jié)合生活情境，始終圍繞這兩個(gè)互為倒數(shù)的分?jǐn)?shù)。先引導(dǎo)學(xué)生理解真分?jǐn)?shù)再引導(dǎo)學(xué)生理解和吃透假分?jǐn)?shù)的含義，最后通過對比，交叉滲透理解兩個(gè)分?jǐn)?shù)，達(dá)到辯證統(tǒng)一的目標(biāo)，使學(xué)生更加深刻、全面地掌握分?jǐn)?shù)的意義，以及真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)意義下的統(tǒng)一性，修補(bǔ)學(xué)生對分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的認(rèn)識漏洞。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)不但達(dá)到了檢修知識體系的目的，而且還讓學(xué)生學(xué)會了應(yīng)用，幫助學(xué)生真正掌握有關(guān)分?jǐn)?shù)的知識。

分?jǐn)?shù)的意義的多重性常常會讓學(xué)生混淆，但是如果對分?jǐn)?shù)的意義運(yùn)用得當(dāng)，也能起到互相促進(jìn)、互利互惠的教學(xué)作用。讓學(xué)生在不同的含義之間來回穿梭，取長補(bǔ)短、揚(yáng)長避短，如對的理解，既可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境，從分?jǐn)?shù)的意義來理解（將一個(gè)整體平均分成5 份，取其中4 份），也可以從除法的角度理解（將4平均分成5份，每份是多少），還可以將兩個(gè)互為倒數(shù)的分?jǐn)?shù)編進(jìn)一個(gè)情境里，利用分?jǐn)?shù)的第三重意義，即一個(gè)量占另一個(gè)量的幾分之幾，讓學(xué)生進(jìn)一步感受分?jǐn)?shù)的意義。誰占誰的幾分之幾，其實(shí)就是一個(gè)除法運(yùn)算的比例問題，可以從基本意義的角度理解，一般將后者看成單位“1”，分成與實(shí)際數(shù)量相等的份數(shù)，1份1個(gè)，前者與之進(jìn)行一一對應(yīng)，對上了幾個(gè)，就是幾分之幾，只要將兩個(gè)數(shù)顛倒，就可以生成互為倒數(shù)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，這樣不但讓學(xué)生加深了對分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的認(rèn)識，而且織牢、織密了分?jǐn)?shù)各意義之間的交互關(guān)系。

三、煉：延展提高，錘煉思維，積累活動經(jīng)驗(yàn)

【片段三】

師（同時(shí)出示三組☆圖案）：畫一畫，使○的個(gè)數(shù)分別是每組☆的

圖3

（學(xué)生展示畫法）

師：為何大家畫的○的個(gè)數(shù)不一？

生1：因?yàn)槊拷M☆的個(gè)數(shù)不一，也就意味著單位“1”的量各不相同，所以在平均分的份數(shù)相等的情況下，每一份的量也不一樣，因此對應(yīng)的○的個(gè)數(shù)也不一樣。

（學(xué)生自由發(fā)揮）

師（展示學(xué)生的兩種方法：第一種是把正方形平均分成4 份，給其中1 份涂色，第二種是把正方形平均分成4 份，給其中3 份涂色）：哪種方法是對的呢？

生2：第二種?？梢越柚?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系來理解，寫成除法算式是3÷4，根據(jù)除法運(yùn)算的意義，就是把3 平方米平均分成4 份，進(jìn)行等分除，除法運(yùn)算的結(jié)果就表示每份數(shù)，也就是其中1 份的量，這種方法得到的平方米就表示3平方米的

【反思】

延展提高部分分為兩大環(huán)節(jié)，畫圓練習(xí)可以進(jìn)一步滲透分?jǐn)?shù)的原始意義，通過不同的畫法得出同一個(gè)分?jǐn)?shù)，彰顯“殊途同歸”，使學(xué)生認(rèn)識到同一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果參照的單位“1”的量不同，那么即便選取相同份數(shù)，每份數(shù)的量也不同。畫面積，重在貫通不同分?jǐn)?shù)的意義與理解方式，構(gòu)筑較為完備的分?jǐn)?shù)認(rèn)知體系，為寫分?jǐn)?shù)打下基礎(chǔ)。寫分?jǐn)?shù)的練習(xí)重在檢測學(xué)生對分?jǐn)?shù)的理解情況。

分?jǐn)?shù)如果僅僅作為一種新的數(shù)出場，其實(shí)不管其意義多么豐富、用途多么廣泛、內(nèi)涵多么深刻、靈活性多么強(qiáng)，學(xué)生都可以通過教師的講解和自主練習(xí)熟練掌握，但是分?jǐn)?shù)一旦與生活中的事物掛鉤，學(xué)生就會面臨理解上的一道鴻溝。學(xué)生平常理解整數(shù)的單位量就因?yàn)槿狈α扛卸陡谐粤?，現(xiàn)在冒出一個(gè)分?jǐn)?shù)，更是難以理解，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的意義的特殊性、相對性和機(jī)變性在很多場合和情境下會產(chǎn)生歧義，給學(xué)生帶來理解障礙。如題：（1）一根繩子長5 米，用去米，還剩多少米？（2）一根繩子長5 米，用去還剩幾米？“用去米”和“用去一字之差，分?jǐn)?shù)的意義就發(fā)生翻天覆地的變化，前者表示一個(gè)數(shù)值，后者表示一個(gè)比值。再如，1 米的和3米的意義不同，說法不同，但是最終的結(jié)果卻一致，恰是因?yàn)閿?shù)據(jù)的巧合，這個(gè)用切分分析法理解很困難，而用分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算機(jī)制則可以解釋清楚：

綜上所述，分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)計(jì)算雖然豐富多彩、復(fù)雜多變，但是其基本意義不變，分?jǐn)?shù)計(jì)算的算理是建立在兩個(gè)對比量（部分和整體或者具有對應(yīng)關(guān)系的同類量）的比率和倍率運(yùn)算上的，萬變不離其宗，只要在復(fù)雜多變的形式中堅(jiān)持用單位“1”來連接、貫通分?jǐn)?shù)的多重意義，就能靈活處理分?jǐn)?shù)問題。