可拆分ATO系統(tǒng)的最優(yōu)、漸進(jìn)最優(yōu)和次優(yōu)庫(kù)存控制策略

金 鑫，王正肖，葉建芳，潘曉弘

(1.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310027；2.浙江大學(xué)華南工業(yè)技術(shù)研究院，廣東 廣州 510700)

0 引言

在高資本成本和高競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境壓力下，越來(lái)越多的企業(yè)開(kāi)始采用面向訂單裝配(Assemble-To-Order，ATO)的生產(chǎn)模式，以同時(shí)達(dá)到增加產(chǎn)品個(gè)性化和降低響應(yīng)時(shí)間的目的。ATO生產(chǎn)模式與傳統(tǒng)的面向庫(kù)存生產(chǎn)(Make-To-Stock，MTS)模式之間的重要區(qū)別是將產(chǎn)品的裝配延遲至客戶需求實(shí)現(xiàn)以后，因此系統(tǒng)中只需儲(chǔ)存零部件庫(kù)存，而無(wú)需儲(chǔ)存產(chǎn)品庫(kù)存。對(duì)于產(chǎn)品裝配時(shí)間相比零部件補(bǔ)貨提前期可忽略不計(jì)的行業(yè)，ATO生產(chǎn)模式的優(yōu)勢(shì)相當(dāng)明顯。

雖然ATO生產(chǎn)模式得到了廣泛應(yīng)用，但是其最優(yōu)庫(kù)存控制策略的結(jié)構(gòu)尚不清楚，目前只在一些裝配物料清單(Bill of Material，BOM)結(jié)構(gòu)極其特殊的系統(tǒng)下有明確的結(jié)論。ATO系統(tǒng)庫(kù)存控制策略研究的難度來(lái)源于以下3方面：①不同的ATO系統(tǒng)具有不同且十分復(fù)雜的BOM結(jié)構(gòu)；②一個(gè)一般的ATO系統(tǒng)可以看作為單零部件、多產(chǎn)品的分配系統(tǒng)和多零部件、單產(chǎn)品的組裝系統(tǒng)的結(jié)合，對(duì)其庫(kù)存的控制應(yīng)同時(shí)包括庫(kù)存分配和庫(kù)存補(bǔ)貨兩方面，而且?guī)齑娣峙浜蛶?kù)存補(bǔ)貨均需考慮不同零部件和不同產(chǎn)品間的協(xié)調(diào)；③即使不同產(chǎn)品需求的隨機(jī)過(guò)程之間相互獨(dú)立，由于存在通用零部件，系統(tǒng)各狀態(tài)之間也存在很強(qiáng)的相關(guān)性，進(jìn)一步增加了求解難度。ZüMBüL等[1]簡(jiǎn)單整理了ATO生產(chǎn)系統(tǒng)庫(kù)存控制研究進(jìn)度。

由于求解最優(yōu)庫(kù)存控制策略十分困難，學(xué)界的早期研究常集中于在給定策略形式下求解最優(yōu)控制參數(shù)。在所有類型的庫(kù)存分配策略中，先到先得(First Come First Served，F(xiàn)CFS)策略最簡(jiǎn)單，因此學(xué)界的研究也較成熟。其中，SONG[2]研究了確定補(bǔ)貨提前期、(r，nQ)策略和FCFS策略下的系統(tǒng)性能，證明了產(chǎn)品需求的時(shí)段滿足率可以轉(zhuǎn)化為即時(shí)滿足率，而即時(shí)滿足率可以通過(guò)一系列卷積迭代計(jì)算求得。LU等[3]研究了以零部件總庫(kù)存量為約束、產(chǎn)品總期望缺貨成本最小化為目標(biāo)的一般ATO系統(tǒng)最優(yōu)化問(wèn)題；在一般BOM結(jié)構(gòu)、隨機(jī)補(bǔ)貨提前期、獨(dú)立基準(zhǔn)庫(kù)存(Independent Base Stock, IBS)策略和FCFS策略下，LU等[4]用概率母函數(shù)法確定了在途庫(kù)存聯(lián)合分布、產(chǎn)品滿足率和缺貨分布等許多重要指標(biāo)的解析表達(dá)式；“LU[5]將上述方法應(yīng)用到了產(chǎn)品需求到來(lái)過(guò)程是更新過(guò)程、庫(kù)存補(bǔ)貨策略是(r，nQ)策略的ATO系統(tǒng)中”，研究了產(chǎn)品需求到來(lái)和補(bǔ)貨提前期波動(dòng)性變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響；ZHAO等[6]研究了IBS策略和FCFS策略下，產(chǎn)品需求到來(lái)為獨(dú)立的齊次泊松過(guò)程、零部件補(bǔ)貨提前期為序貫隨機(jī)變量時(shí)，組裝系統(tǒng)產(chǎn)品滿足率的精確表達(dá)式和一般ATO系統(tǒng)的一些重要性質(zhì)。

與本文研究密切相關(guān)的庫(kù)存分配策略為非綁定(No-HoldBack, NHB)類分配策略，對(duì)于此類策略，學(xué)界目前也有一些研究成果。SONG等[7]研究了零部件補(bǔ)貨提前期確定的W型ATO系統(tǒng)，結(jié)果表明FCFS策略沒(méi)有充分挖掘通用零部件的風(fēng)險(xiǎn)聚合效應(yīng)，同時(shí)提出一類修正的FCFS策略(即為NHB類策略中的先準(zhǔn)備好先得(First Ready First Served，F(xiàn)RFS)策略)，求出了該系統(tǒng)下采用該策略時(shí)各產(chǎn)品需求的即時(shí)滿足率；LU等[8]研究了IBS策略下，零部件補(bǔ)貨提前期確定的ATO系統(tǒng)中NHB類分配策略的性質(zhì)；SHI等[9]研究了IBS策略和NHB類分配策略下具有特定結(jié)構(gòu)的ATO系統(tǒng)，證明了零部件通用性增加時(shí)，單位時(shí)間庫(kù)存總成本可能會(huì)上升。

隨著對(duì)ATO系統(tǒng)認(rèn)識(shí)的逐漸深入，學(xué)者們不滿足于在給定策略形式下求解最優(yōu)控制參數(shù)，開(kāi)始直接研究一些具有特殊BOM結(jié)構(gòu)的ATO系統(tǒng)的最優(yōu)或漸進(jìn)最優(yōu)庫(kù)存控制策略。然而，目前學(xué)術(shù)界對(duì)最優(yōu)庫(kù)存控制策略的研究尚停留在滿足特定條件的組裝系統(tǒng)、嵌套系統(tǒng)，以及N型、W型或M型這類結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單的ATO系統(tǒng)上。

(1)對(duì)于滿足特定條件的組裝系統(tǒng)、嵌套系統(tǒng)和一般M型系統(tǒng)，ROSLING[10]證明了組裝系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略為平衡基準(zhǔn)庫(kù)存(Balanced-Base-Stock，BBS)策略。在零部件只有單個(gè)生產(chǎn)設(shè)備，且零部件的生產(chǎn)和產(chǎn)品需求到來(lái)均具有馬爾可夫性的假設(shè)下，BENJAAFAR等[11]研究了單個(gè)產(chǎn)品和多需求類型的ATO系統(tǒng)，證明了最優(yōu)的庫(kù)存補(bǔ)貨策略是狀態(tài)相關(guān)的基準(zhǔn)庫(kù)存(state-dependent base-stock)策略，而最優(yōu)的庫(kù)存分配策略為多水平配給(multi-level rationing)策略。ELHAFSI等[12]將上述結(jié)論推廣到嵌套系統(tǒng)中，而NADAR等[13]進(jìn)一步將其推廣到一般M型系統(tǒng)中。與上述研究不同，本文假設(shè)零部件有無(wú)限多個(gè)生產(chǎn)時(shí)間確定的生產(chǎn)設(shè)備，即零部件有與系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)關(guān)的確定補(bǔ)貨提前期。

(2)對(duì)于一個(gè)具有相同且確定補(bǔ)貨提前期的W型系統(tǒng)，DOGRU等[14]證明了在其定義的對(duì)稱成本或平衡能力下，最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略是IBS策略，而最優(yōu)庫(kù)存分配策略則是一種特殊的狀態(tài)相關(guān)的NHB類策略。當(dāng)對(duì)稱成本或平衡能力的條件不滿足時(shí)，REIMAN等[15]證明了補(bǔ)貨提前期趨于無(wú)窮大時(shí)，IBS策略與一種具有缺貨目標(biāo)水平的分配策略是漸進(jìn)最優(yōu)的。

(3)對(duì)于零部件的補(bǔ)貨提前期互不相同的N型和W型ATO系統(tǒng)，LU等[16]求出在對(duì)稱成本下的最優(yōu)庫(kù)存控制策略，其中最優(yōu)庫(kù)存分配策略為NHB類策略。

本文從3個(gè)方向?qū)η捌谘芯窟M(jìn)行推廣：①將LU等[16]的研究推廣到一類更一般的ATO系統(tǒng)——可拆分ATO系統(tǒng)中；②與陳文博等[17]的研究不同，本文考察補(bǔ)貨提前期為確定值時(shí)連續(xù)時(shí)間ATO系統(tǒng)的庫(kù)存控制問(wèn)題；③求解出不同條件下可拆分ATO系統(tǒng)的最優(yōu)、漸進(jìn)最優(yōu)和次優(yōu)庫(kù)存控制策略后，進(jìn)一步將上述求解方法推廣到具有一般BOM結(jié)構(gòu)的ATO系統(tǒng)中。通過(guò)仿真算例，與經(jīng)典IBS策略和最新的基于隨機(jī)規(guī)劃的控制策略進(jìn)行比較，表明了本文所提控制策略在降低ATO系統(tǒng)庫(kù)存總成本上的優(yōu)勢(shì)。

1 模型的基本概念和基礎(chǔ)假設(shè)

ATO系統(tǒng)庫(kù)存控制研究中涉及的概念較多，表1所示為一些重要概念的簡(jiǎn)要介紹。

表1 ATO庫(kù)存系統(tǒng)中一些重要概念的簡(jiǎn)要介紹

下面給出描述ATO庫(kù)存系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其符號(hào)：

(1)BOM結(jié)構(gòu)

(2)各項(xiàng)成本

在任何時(shí)刻，零部件i導(dǎo)致的庫(kù)存持有成本與其現(xiàn)有庫(kù)存成正比，其單個(gè)現(xiàn)有庫(kù)存的單位時(shí)間庫(kù)存持有成本為hi；產(chǎn)品j導(dǎo)致的缺貨成本與其缺貨成正比，產(chǎn)品j的單個(gè)缺貨的單位時(shí)間缺貨成本為bj。

(3)補(bǔ)貨提前期與需求到來(lái)

(4)系統(tǒng)狀態(tài)變量

IP(π,t)為庫(kù)存控制策略π下ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的庫(kù)存位值的分布，

IP(π,t)=[IP1(π,t),IP2(π,t),…,IPm(π,t)]T；

IL(π,t)為庫(kù)存控制策略π下ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的庫(kù)存水平的分布，

IL(π,t)=[IL1(π,t),IL2(π,t),…,ILm(π,t)]T；

H(π,t)為庫(kù)存控制策略π下ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的現(xiàn)有庫(kù)存的分布，

H(π,t)=[H1(π,t),H2(π,t),…,Hm(π,t)]T；

B(π,t)為庫(kù)存控制策略π下ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的產(chǎn)品缺貨的分布，

B(π,t)=[B1(π,t),B2(π,t),…,Bn(π,t)]T。

其中，有以下幾點(diǎn)需要說(shuō)明：

1)下文中，若庫(kù)存控制策略可以根據(jù)上下文確定，則將一個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)變量M(π,t)簡(jiǎn)記為M(t)。

2)與產(chǎn)品缺貨類似，也可以定義ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的零部件缺貨的分布。

3)根據(jù)系統(tǒng)各狀態(tài)變量的定義，顯然有

(1)

Bi(π,t)=(-ILi(π,t))+。

(2)

式中i=1,2,…,m。對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x+=max{x,0}，x-=max{-x,0}。

4)在庫(kù)存控制策略π下，ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的庫(kù)存總成本

(3)

而其在無(wú)限時(shí)段下的單位時(shí)間庫(kù)存總成本

(4)

(5)庫(kù)存控制策略

本文的研究目標(biāo)為求解一個(gè)可行的庫(kù)存控制策略π，使ATO系統(tǒng)在無(wú)限時(shí)段下的單位時(shí)間庫(kù)存總成本C(π)取得最小值。

2 可拆分ATO系統(tǒng)

2.1 可拆分ATO系統(tǒng)的定義

本文主要研究可拆分ATO系統(tǒng)，即其裝配BOM矩陣為可拆分矩陣的ATO系統(tǒng)。其中，對(duì)可拆分矩陣反復(fù)執(zhí)行下述兩種操作后，能將其變?yōu)閱卧鼐仃嚕孩賱h去元素全為0或只含有一個(gè)非零元素的行；②若有兩列完全相同，則刪去其中一列。

應(yīng)該注意的是，在上述操作的任何一個(gè)中間狀態(tài)中，裝配任意一種產(chǎn)品所需要的所有通用零部件會(huì)出現(xiàn)3種狀態(tài)，即已被刪去、依舊為新ATO系統(tǒng)中的通用零部件、變?yōu)樾翧TO系統(tǒng)中的專用零部件，然而這些專用零部件只會(huì)同屬于一種產(chǎn)品的BOM，不會(huì)分屬于多個(gè)產(chǎn)品的BOM。

以往研究的很多ATO系統(tǒng)均屬可拆分ATO系統(tǒng)，例如：

(1)兩種產(chǎn)品、3種零部件的W型ATO系統(tǒng)屬于可拆分ATO系統(tǒng)。

(2)將W型ATO系統(tǒng)推廣為有兩種以上產(chǎn)品、每種產(chǎn)品均由同一種通用零部件和一種專用零部件裝配而成的ATO系統(tǒng)，該系統(tǒng)也屬于可拆分ATO系統(tǒng)。

(3)將上述ATO系統(tǒng)進(jìn)一步推廣為有兩種以上產(chǎn)品、每個(gè)產(chǎn)品均由同一組通用零部件和一組專用零部件裝配而成的ATO系統(tǒng)，該系統(tǒng)也屬于可拆分ATO系統(tǒng)。

(4)將上述ATO系統(tǒng)更進(jìn)一步推廣為有兩種以上產(chǎn)品，且所有通用零部件構(gòu)成的子系統(tǒng)是嵌套系統(tǒng)的ATO系統(tǒng)，該系統(tǒng)也屬于可拆分ATO系統(tǒng)。

(5)還有很多不屬于(4)的ATO系統(tǒng)也是可拆分系統(tǒng)。例如具有下述性質(zhì)的系統(tǒng)，其中所有產(chǎn)品共分為V類，裝配任何一種產(chǎn)品需要用到3類零部件：①該產(chǎn)品的專用零部件；②該產(chǎn)品所在產(chǎn)品類共享的一組通用零部件；③該系統(tǒng)中所有產(chǎn)品共享的一組通用零部件。

圖1所示為例(4)中可拆分ATO系統(tǒng)的一種具體BOM結(jié)構(gòu)示意圖，可見(jiàn)在可拆分ATO系統(tǒng)中，裝配BOM矩陣每一行中的所有非零元素均相等，因此可以將每種零部件按照其對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)“打包”后再進(jìn)行庫(kù)存分配和庫(kù)存補(bǔ)貨，此時(shí)該BOM矩陣成為一個(gè)0-1矩陣。下文只要未作特殊說(shuō)明，均假定裝配BOM矩陣為0-1矩陣。

2.2 可拆分ATO系統(tǒng)的性質(zhì)

在求解可拆分ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存控制策略之前，先證明其具有的幾個(gè)性質(zhì)。

引理1將可拆分ATO系統(tǒng)限制到任何產(chǎn)品子集和零部件子集上后仍是一個(gè)可拆分ATO系統(tǒng)。

證明較簡(jiǎn)單，略去。

證明見(jiàn)附錄。

引理2表明，在NHB類分配策略下的可拆分ATO系統(tǒng)中，利用零部件層的缺貨信息可以計(jì)算出產(chǎn)品總?cè)必浟?。因此，只要分配策略屬于NHB類，其具體形式就不會(huì)影響產(chǎn)品總?cè)必浟俊?/p>

定義1最大無(wú)關(guān)零部件集。在某個(gè)ATO系統(tǒng)中，集合I是一個(gè)最大無(wú)關(guān)零部件集，當(dāng)且僅當(dāng)其滿足3個(gè)條件：①I?ζ；②對(duì)于任意i1,i2∈I且i1≠i2，有ξi1∩ξi2=?；③對(duì)于任意i?I，存在i′∈I，使得ξi∩ξi′≠?。

若將一個(gè)ATO系統(tǒng)的所有最大無(wú)關(guān)零部件集構(gòu)成的集合記為Ω，則有如下引理成立：

引理3對(duì)于任意i1,i2∈ζ，ξi1∩ξi2=?等價(jià)于存在I?Ω，使得i1,i2∈I。

證明當(dāng)ξi1∩ξi2=?時(shí)，可以通過(guò)逐步往{i1,i2}中增加零部件的方式構(gòu)造一個(gè)最大無(wú)關(guān)零部件集I，使得i1,i2∈I。當(dāng)存在I?Ω，使得i1,i2∈I，根據(jù)Ω的定義，ξi1∩ξi2=?。因此，引理3得證。

證明見(jiàn)附錄。

3 可拆分系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存控制策略

3.1 最優(yōu)庫(kù)存分配策略

為了求解可拆分ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存分配策略，需滿足如下條件：

條件1表明，當(dāng)現(xiàn)有庫(kù)存能夠滿足兩個(gè)或兩個(gè)以上的產(chǎn)品缺貨時(shí)，無(wú)論滿足其中哪一個(gè)都對(duì)ATO系統(tǒng)的即時(shí)庫(kù)存總成本沒(méi)有影響。因此，不應(yīng)考慮預(yù)留的零部件及產(chǎn)品的優(yōu)先級(jí)，此時(shí)NHB類分配策略將會(huì)最小化ATO系統(tǒng)的即時(shí)庫(kù)存總成本。然而，因?yàn)槿我鈺r(shí)刻的分配決策都會(huì)對(duì)系統(tǒng)未來(lái)的庫(kù)存總成本產(chǎn)生影響，所以當(dāng)以最小化ATO系統(tǒng)的無(wú)限時(shí)段單位時(shí)間庫(kù)存總成本為目標(biāo)時(shí)，NHB類分配策略一般不會(huì)是最優(yōu)的庫(kù)存分配策略，但有如下定理成立：

定理2在對(duì)稱成本的可拆分ATO系統(tǒng)中，NHB類分配策略是最優(yōu)庫(kù)存分配策略。

詳細(xì)證明過(guò)程見(jiàn)附錄，大致思路如下：①庫(kù)存分配策略不會(huì)影響ILi(t)的分布；②在對(duì)稱成本的可拆分ATO系統(tǒng)中，給定ILi(t)的分布，可以證明任何一個(gè)NHB類分配策略均可使原系統(tǒng)達(dá)到任意時(shí)刻t的即時(shí)庫(kù)存總成本的最小值；③NHB類分配策略是可行的；④綜上所述，在對(duì)稱成本的可拆分ATO系統(tǒng)中，ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存分配策略是NHB類分配策略。

當(dāng)ATO系統(tǒng)不可拆分時(shí)，NHB類分配策略一般不是最優(yōu)的庫(kù)存分配策略。當(dāng)成本不對(duì)稱時(shí)，NHB類分配策略一般也不是最優(yōu)的庫(kù)存分配策略，一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子就是具有不同單位時(shí)間產(chǎn)品缺貨成本的單零部件、多產(chǎn)品分配系統(tǒng)。第4章將進(jìn)一步研究成本不對(duì)稱時(shí)可拆分ATO系統(tǒng)的庫(kù)存控制問(wèn)題。

3.2 最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略

3.1節(jié)求出了對(duì)稱成本可拆分ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存分配策略，本節(jié)進(jìn)一步求解該類ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略。求解思路如下：①先求出一個(gè)庫(kù)存補(bǔ)貨策略，使采用其ATO系統(tǒng)的無(wú)限時(shí)段單位時(shí)間庫(kù)存總成本是所有可行庫(kù)存補(bǔ)貨策略的下界；②證明在某些條件下，上述庫(kù)存補(bǔ)貨策略可行；③結(jié)合①和②可得，在某些條件下，上述庫(kù)存補(bǔ)貨策略是最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略。

注意到，對(duì)于零部件i0，在確定其t-Li0時(shí)刻的庫(kù)存位值IPi0(t-Li0)時(shí)，有兩類信息已知：①所有補(bǔ)貨提前期比零部件i0長(zhǎng)的零部件i，在時(shí)刻t-Li的庫(kù)存位值IPi(t-Li)；②所有裝配時(shí)要用到零部件i0的產(chǎn)品j，在時(shí)刻t-L1和時(shí)刻t-Li0之間的需求到來(lái)個(gè)數(shù)Dj(t-L1,t-Li0)。因此，為了求得最優(yōu)的庫(kù)存補(bǔ)貨策略，需要考慮這兩類信息?？梢詮难a(bǔ)貨提前期最短的零部件m開(kāi)始，逐一確定系統(tǒng)在t-Li時(shí)刻的零部件i的庫(kù)存位值IPi(t-Li)，使ATO系統(tǒng)能達(dá)到時(shí)刻t的庫(kù)存總成本的下界。具體的求解表達(dá)式如下：

(5)

(6)

條件2適當(dāng)補(bǔ)貨提前期排序條件：①ξi?ξi+1，i=1,2,…,m-1；②若存在i0，使得ξi0?ξi0+1，則對(duì)于0≤j,k≤i0，有Lj=Lk或ξj∩ξk=?。

證明見(jiàn)附錄。

定理3求解出了滿足一定條件的可拆分ATO系統(tǒng)最優(yōu)的庫(kù)存控制策略。該定理是文獻(xiàn)[16]的推廣，其確定了連續(xù)時(shí)間模型下，具有產(chǎn)品缺貨和較一般BOM結(jié)構(gòu)的一類ATO系統(tǒng)中的最優(yōu)庫(kù)存控制策略。這在學(xué)術(shù)界尚屬首次。

推論1對(duì)于對(duì)稱成本可拆分ATO系統(tǒng)，若其所有零部件的補(bǔ)貨提前期均相等，則其最優(yōu)庫(kù)存控制策略為NHB類分配策略和IBS策略。

證明只需將定理3應(yīng)用到所有零部件的補(bǔ)貨提前期均相等的情況即可。

4 可拆分ATO系統(tǒng)的漸進(jìn)最優(yōu)、次優(yōu)庫(kù)存控制策略及在一般ATO系統(tǒng)中的推廣

第3章求出了當(dāng)滿足條件1和條件2時(shí)，可拆分ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存控制策略。當(dāng)不滿足條件1或條件2時(shí)，一般無(wú)法采用上述方法求解，但仍可得到一些有用的結(jié)論。

4.1 只有條件1不滿足

4.1.1 最小庫(kù)存總成本的上下界

當(dāng)可拆分ATO系統(tǒng)的成本不對(duì)稱時(shí)，可以根據(jù)上述研究給出其最小庫(kù)存總成本的上下界。

4.1.2 漸進(jìn)最優(yōu)庫(kù)存控制策略

LU等[16]給出了一個(gè)不對(duì)稱成本的N型ATO系統(tǒng)的漸進(jìn)最優(yōu)庫(kù)存控制策略求解方法，本節(jié)主要證明該方法可以很自然地推廣到滿足條件2的不對(duì)稱成本的可拆分系統(tǒng)中，其重點(diǎn)是要給出漸進(jìn)最優(yōu)庫(kù)存分配策略和漸進(jìn)最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略的求解方法，并證明其可行性(漸進(jìn)最優(yōu)性的證明與文獻(xiàn)[16]相同，這里略去)。

可證明漸進(jìn)最優(yōu)分配策略是PBC策略。PBC策略的可行性是顯然的，而對(duì)于滿足條件2的不對(duì)稱成本的可拆分系統(tǒng)，可證明PBC策略所對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品缺貨是如下線性規(guī)劃P1的最優(yōu)解：

s.t.

Bj≥0,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n;

定理4PBC策略所對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品缺貨是線性規(guī)劃P1的最優(yōu)解。

證明見(jiàn)附錄。

為了求解漸進(jìn)最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略，可以寫出在PBC策略下ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t庫(kù)存總成本的表達(dá)式。不失一般性，設(shè)c1≥c2≥…≥cn，產(chǎn)品間的優(yōu)先級(jí)排序?yàn)楫a(chǎn)品1≥產(chǎn)品2≥…≥產(chǎn)品n(在可拆分系統(tǒng)中，若cj1=cj2，則產(chǎn)品j1和產(chǎn)品j2間的優(yōu)先級(jí)排序不會(huì)影響庫(kù)存總成本)。為便于表述，用BW(ILi(t),i∈ζ)表示時(shí)刻t庫(kù)存水平的分布為ILi時(shí)，所有零部件構(gòu)成的集合為ζ的可拆分ATO系統(tǒng)W的產(chǎn)品總?cè)必浟?。將原可拆分ATO系統(tǒng)記為W1，其所有零部件構(gòu)成的集合為ζ1，此時(shí)根據(jù)PBC策略的定義有

依次類推，可以得到

r=1,2,…,n。

因此，原ATO系統(tǒng)W1在時(shí)刻t的庫(kù)存總成本為

(7)

注意到，上述漸進(jìn)最優(yōu)庫(kù)存控制策略下的庫(kù)存總成本也是原系統(tǒng)最小庫(kù)存總成本的一個(gè)上界。

4.2 只有條件2不滿足時(shí)的次優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略

因?yàn)槎ɡ?的成立無(wú)需依賴條件2，所以NHB類分配策略仍然是最優(yōu)庫(kù)存分配策略。

由第3章的證明和求解過(guò)程可知，條件2的引入主要是為了使求解出的庫(kù)存位值函數(shù)所對(duì)應(yīng)的庫(kù)存補(bǔ)貨策略可行。因此，當(dāng)條件2不滿足時(shí)，若不考慮可行性，則按照第3章求解方法求出的庫(kù)存位值函數(shù)下的庫(kù)存總成本將是原系統(tǒng)最小庫(kù)存總成本的一個(gè)下界。

由引理5的證明過(guò)程進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，若在滿足條件2的ATO系統(tǒng)中采用第3章的求解方法，則對(duì)于所有不滿足ξi?ξi+1的零部件i，其庫(kù)存位值函數(shù)都將是與t無(wú)關(guān)的常數(shù)。因此，對(duì)于一個(gè)不滿足條件2的對(duì)稱成本可拆分ATO系統(tǒng)，可以確定如下所述的一組可稱為準(zhǔn)協(xié)調(diào)基準(zhǔn)庫(kù)存策略(quasi Coordinated Base-Stock，qCBS)的庫(kù)存補(bǔ)貨策略：

令i0=max{i|ξi?ξi+1,i=1,2,…,m-1}，則：①當(dāng)i0+1≤i≤m時(shí)，采用第3章方法求出零部件i的庫(kù)存位值函數(shù)；②當(dāng)1≤i≤i0時(shí)，采用IBS策略，即不考慮已獲得的歷史信息，同時(shí)優(yōu)化所有1≤i≤i0的零部件i的庫(kù)存位值。

上述庫(kù)存補(bǔ)貨策略具有如下性質(zhì)：①根據(jù)引理5的證明過(guò)程可知，上述庫(kù)存補(bǔ)貨策略是可行的；②因?yàn)樵到y(tǒng)不滿足條件2，所以該策略不一定是最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略；③當(dāng)i0+1≤i≤m時(shí)，零部件i的庫(kù)存位值函數(shù)的確定充分利用了已獲得的歷史信息，因此該策略一定優(yōu)于傳統(tǒng)的IBS策略，可以稱為次優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略；④該策略下的庫(kù)存總成本是原系統(tǒng)最小庫(kù)存總成本的一個(gè)上界。

4.3 條件1與條件2均不滿足

當(dāng)條件1與條件2均不滿足時(shí)，可以結(jié)合4.1節(jié)和4.2節(jié)的方法，獲得其最小庫(kù)存總成本的上下界。

4.4 一般ATO系統(tǒng)的庫(kù)存控制策略

當(dāng)ATO系統(tǒng)不滿足可拆分性時(shí)，產(chǎn)品總?cè)必浟恳约爱a(chǎn)品層其他更細(xì)致的性能指標(biāo)無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算零部件層的信息獲得。對(duì)于此類ATO系統(tǒng)，尚不清楚求解其最優(yōu)或次優(yōu)庫(kù)存控制策略的方法，但由本文與前人的研究過(guò)程，可以得到以下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

(1)根據(jù)WAN等[18]的研究可知，不可拆分ATO系統(tǒng)中的漸進(jìn)最優(yōu)庫(kù)存控制策略一般包含零部件庫(kù)存預(yù)留。

(2)當(dāng)ATO系統(tǒng)滿足可拆分性時(shí)，產(chǎn)品總?cè)必浟恐慌c零部件的庫(kù)存水平分布有關(guān)。由于庫(kù)存分配策略不會(huì)影響零部件的庫(kù)存水平，可以采用本文方法，通過(guò)對(duì)零部件的庫(kù)存水平施加條件，將最優(yōu)庫(kù)存分配策略和最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略分開(kāi)求解。然而，在不可拆分ATO系統(tǒng)中，上述方法無(wú)法適用，可能需要統(tǒng)一考慮分配策略和補(bǔ)貨策略的最優(yōu)化。

(3)同樣地，因?yàn)榭刹鸱諥TO系統(tǒng)的產(chǎn)品總?cè)必浟恐慌c零部件的庫(kù)存水平分布有關(guān)，所以確定其最優(yōu)補(bǔ)貨策略時(shí)只需利用各零部件的庫(kù)存位值信息與各產(chǎn)品的時(shí)段累積需求信息，具體表現(xiàn)為零部件的最優(yōu)庫(kù)存位值只是其他零部件的庫(kù)存位值以及產(chǎn)品的時(shí)段需求個(gè)數(shù)的函數(shù)。而在不可拆分ATO系統(tǒng)中，為了確定最優(yōu)補(bǔ)貨策略，可能還需要用到其他類型的信息，例如到?jīng)Q策時(shí)刻為止的所有產(chǎn)品的需求到來(lái)信息、所有零部件的現(xiàn)有庫(kù)存變化信息和所有產(chǎn)品的缺貨變化信息等，因此可以預(yù)期此時(shí)最優(yōu)補(bǔ)貨策略的形式非常復(fù)雜。

5 仿真算例研究

許多具體的ATO系統(tǒng)均屬于本文所研究的可拆分系統(tǒng)，包括結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的N型、W型系統(tǒng)以及如圖1所示的結(jié)構(gòu)復(fù)雜的系統(tǒng)。對(duì)ATO系統(tǒng)最優(yōu)策略和漸進(jìn)最優(yōu)策略的研究，目前學(xué)界還集中于W型和M型系統(tǒng)。因此，本章主要以W型和M型系統(tǒng)為例，對(duì)采用本文CBS策略、傳統(tǒng)IBS策略、其他學(xué)者近期所提庫(kù)存策略下的庫(kù)存總成本對(duì)仿真算例進(jìn)行比較。

5.1 W型ATO系統(tǒng)下的策略比較

當(dāng)對(duì)稱成本條件和適當(dāng)補(bǔ)貨提前期排序條件均滿足時(shí)，可以嚴(yán)格證明本文CBS策略是W型ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存控制策略。因此，以下仿真只考慮上述兩個(gè)條件不滿足時(shí)的情況。

近期，WAN[19]提出一種基于隨機(jī)規(guī)劃的漸進(jìn)最優(yōu)策略(以下簡(jiǎn)稱SP1策略)，并與之前的庫(kù)存策略進(jìn)行比較，證明了該策略的有效性。本節(jié)通過(guò)仿真算例，比較CBS策略、SP1策略和經(jīng)典IBS策略3種情況下W型ATO系統(tǒng)的庫(kù)存總成本。

構(gòu)建一個(gè)由兩種產(chǎn)品和3種零部件組成的W型ATO系統(tǒng)，其中產(chǎn)品1由1個(gè)零部件1和1個(gè)零部件3裝配而成，產(chǎn)品2由1個(gè)零部件2和1個(gè)零部件3裝配而成，顯然該系統(tǒng)是一個(gè)可拆分ATO系統(tǒng)。產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的需求到來(lái)過(guò)程均為齊次泊松過(guò)程。設(shè)定模型參數(shù)、零部件的相關(guān)參數(shù)和產(chǎn)品的相關(guān)參數(shù)，分別如表2和表3所示。

表2 數(shù)值模型中零部件的相關(guān)參數(shù)

表3 數(shù)值模型中產(chǎn)品的相關(guān)參數(shù)

表4 CBS策略、SP1策略和經(jīng)典IBS策略下的庫(kù)存總成本比較

由圖2可知：

(1)經(jīng)典IBS策略的表現(xiàn)并不理想，最壞情況下其庫(kù)存總成本比CBS策略高約65%。

(2)在所有情況下，CBS策略均優(yōu)于IBS策略。

(3)在近71.8%的情況下，CBS策略均優(yōu)于SP1策略。其中，SP1策略的庫(kù)存總成本比CBS策略最多高23.5%，而CBS策略的庫(kù)存總成本比SP1策略最多高6%。

(4)通用零部件的持有成本越大，CBS策略的優(yōu)勢(shì)越明顯。

5.2 M型ATO系統(tǒng)下的策略比較

構(gòu)建一個(gè)由3種產(chǎn)品和兩種零部件組成的M型ATO系統(tǒng)，其中產(chǎn)品1由1個(gè)零部件1裝配而成，產(chǎn)品2由1個(gè)零部件2裝配而成，產(chǎn)品3由1個(gè)零部件1和1個(gè)零部件2裝配而成，該系統(tǒng)不是一個(gè)可拆分ATO系統(tǒng)。所有產(chǎn)品的需求到來(lái)過(guò)程均為齊次泊松過(guò)程。設(shè)定模型參數(shù)、零部件相關(guān)參數(shù)和產(chǎn)品相關(guān)參數(shù)，分別如表5和表6所示。

表5 數(shù)值模型中零部件的相關(guān)參數(shù)

表6 數(shù)值模型中的產(chǎn)品相關(guān)參數(shù)

由于原系統(tǒng)不是可拆分系統(tǒng)，根據(jù)4.4節(jié)方法，在產(chǎn)品1、產(chǎn)品3、零部件1和零部件2構(gòu)成的可拆分子系統(tǒng)中求解CBS策略，并將其拓展到整個(gè)系統(tǒng)。算例研究當(dāng)x變化時(shí)，比較本文CBS策略與經(jīng)典IBS策略、SP2策略下的庫(kù)存總成本。在每一次取值下，仿真計(jì)算CBS策略和最優(yōu)IBS策略、最優(yōu)SP2策略下的庫(kù)存總成本。設(shè)定仿真總時(shí)間為70 000單位仿真時(shí)鐘時(shí)間，前20 000為初始階段，對(duì)20 000～70 000時(shí)間內(nèi)的運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表7所示。將表7中產(chǎn)品2的需求到來(lái)強(qiáng)度對(duì)庫(kù)存總成本相對(duì)差距的影響繪制成折線圖，如圖3所示。所有仿真中，p值均小于0.000 1。

表7 CBS策略、SP2策略和經(jīng)典IBS策略下的庫(kù)存總成本比較

由圖3可知：

(1)4.4節(jié)的求解方法雖然只能獲得不可拆分ATO系統(tǒng)的近似最優(yōu)CBS策略，但是一般也優(yōu)于IBS策略和SP2策略。

(2)對(duì)上述現(xiàn)象的理論解釋是，在一般ATO系統(tǒng)的庫(kù)存控制中，保證零部件間再訂貨點(diǎn)協(xié)調(diào)能有效降低庫(kù)存總成本，而本文CBS策略較好地實(shí)現(xiàn)了零部件間再訂貨點(diǎn)的協(xié)調(diào)。

6 結(jié)束語(yǔ)

求解一般ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存控制策略是ATO系統(tǒng)庫(kù)存控制問(wèn)題研究的核心任務(wù)，然而由于問(wèn)題本身的復(fù)雜性，目前只在一些具有十分特殊結(jié)構(gòu)(如N型和W型)的ATO系統(tǒng)中得到了明確的結(jié)論。本文重點(diǎn)研究了可拆分ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存控制策略，并得到以下結(jié)論：

(1)對(duì)稱成本的可拆分ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存分配策略為NHB類分配策略。

(2)在BOM結(jié)構(gòu)和補(bǔ)貨提前期排序滿足一定限制條件下，求解出了對(duì)稱成本可拆分ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略。該策略是一個(gè)考慮歷史信息、多零部件間庫(kù)存位值相互協(xié)調(diào)的狀態(tài)相關(guān)基準(zhǔn)庫(kù)存策略，而之前學(xué)者求解出的N型、W型，以及多零部件、單產(chǎn)品組裝系統(tǒng)中的最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略均為其特殊形式。

(3)當(dāng)可拆分ATO系統(tǒng)不滿足關(guān)于成本、BOM結(jié)構(gòu)以及補(bǔ)貨提前期排序等限制條件時(shí)，得到了如漸進(jìn)最優(yōu)庫(kù)存控制策略、最優(yōu)庫(kù)存分配策略、次優(yōu)庫(kù)存分配策略、最小庫(kù)存總成本上下界等結(jié)論，并將(2)中的求解方法推廣到一般ATO系統(tǒng)中。

(4)通過(guò)仿真算例，驗(yàn)證了本文CBS策略相比經(jīng)典IBS策略、最新的基于隨機(jī)規(guī)劃的控制策略的優(yōu)勢(shì)。

由于本文所研究的可拆分ATO系統(tǒng)，其產(chǎn)品層的部分性能指標(biāo)可以通過(guò)零部件層的信息直接計(jì)算得出，使可拆分ATO系統(tǒng)最優(yōu)庫(kù)存控制策略的求解有章可循。本文采用的求解方法可以應(yīng)用于如下情形：

(1)零部件具有隨機(jī)補(bǔ)貨提前期時(shí)，可拆分ATO系統(tǒng)最優(yōu)庫(kù)存控制策略的求解。

(2)離散多周期情況下可拆分ATO系統(tǒng)最優(yōu)庫(kù)存控制策略的求解。

當(dāng)ATO系統(tǒng)不滿足可拆分性時(shí)，如何求解其最優(yōu)庫(kù)存控制策略尚不清楚，甚至不清楚其最優(yōu)庫(kù)存分配函數(shù)和最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨函數(shù)與哪些歷史信息有關(guān)。本文研究的啟示在于，可以將對(duì)零部件層性能指標(biāo)與產(chǎn)品層性能指標(biāo)關(guān)系的認(rèn)識(shí)用于求解最優(yōu)或次優(yōu)庫(kù)存控制策略。在具有一般BOM結(jié)構(gòu)的ATO系統(tǒng)中，已獲得一些零部件層性能指標(biāo)與產(chǎn)品層性能指標(biāo)之間的近似關(guān)系式，如何將這些近似表達(dá)式用于最優(yōu)或次優(yōu)庫(kù)存控制策略的求解，也是可以進(jìn)一步研究的方向。